Về một số phương pháp hiệu chỉnh bài toán cauchy của phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI
TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ: NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

HÀ NỘI, 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ HẰNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BÀI
TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102

Người hướng dẫn khoa học:
TS. DƯ ĐỨC THẮNG

HÀ NỘI, 2017

3

Mục lục
Mở đầu

1

1 Cơ sở toán học

2

1.1

Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của một số không
gian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Không gian Sobolev và Hilbert (H 1 và H 1/2 ) . . . .

3

1.1.2

Chuẩn trong không gian Sobolev . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson . . . . . . . . . . .

7

2 Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ liệu bằng phương pháp
lặp Richardson

12

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Công thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3

Phương pháp Richardson tiền điều kiện . . . . . . . . . . . 19

2.4

2.3.1

Một số kết quả kỹ thuật

. . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2

Liên hệ với phương pháp KMF . . . . . . . . . . . . 22

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1

Quy tắc dừng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận và phương hướng nghiên cứu

31

Tài liệu tham khảo

32


1

MỞ ĐẦU
Luận văn này nhằm trình bày một phương pháp hiệu chỉnh lặp đối với bài

toán Cauchy của phương trình elliptic. Đây là một vấn đề được nhiều nhà
toán học quan tâm ở cả phương diện lý thuyết và thực hành, có ứng dụng
nhiều trong thực tế.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số cơ sở toán học cần thiết
cho việc nghiên cứu bài toán Cauchy và một số phương pháp hiệu chỉnh
của phương trình elliptic bằng phương pháp biến phân. Chúng tôi nhắc lại
vắn tắt về các không gian định chuẩn và không gian hàm. Các khái niệm
về bài toán Cauchy và biểu thức biến phân của nó được nêu lại. Một số
phương pháp hiệu chỉnh cho lớp các bài toán này cũng được nêu ra.
Ở chương 2, chúng tôi giới thiệu bài toán Cauchy của phương trình
elliptic và một ứng dụng của nó là bài toán hoàn thiện dữ liệu. Chúng tôi
đưa ra mô hình hiệu chỉnh lặp bài toán và các ước lượng tiên nghiệm và
hậu nghiệm.
Phần kết thúc của luận văn là Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Qua đây tác giả chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc
tới Thầy hướng dẫn TS. Dư Đức Thắng, người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo cùng toàn thể
cán bộ, công nhân viên Khoa Toán- Cơ- Tin học đã giảng dạy và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Bên cạnh đó, tác giả cũng rất mong nhận được những ý kiến đóng góp,
phê bình của thầy cô và các bạn cho bản luận văn này.


2

Chương 1
Cơ sở toán học
1.1

Khái niệm, tính chất, chuẩn và nửa chuẩn của
một số không gian.

Phần này, chúng tôi giới thiệu một số không gian tuyến tính định chuẩn
thường dùng trong các phần sau. Nhắc lại rằng không gian Banach là
không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức là nó đảm bảo cho mọi dãy
Cauchy đều hội tụ. Không gian tiền Hilbert là không gian tuyến tính có
tích vô hướng. Không gian Hilbert là không gian Banach có tích vô hướng.
Đương nhiên mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn
với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Ví dụ về một số không gian tuyến tính định chuẩn thường gặp:

• Không gian các hàm Lp [a, b] với phần tử là các hàm khả tích x(s) có
chuẩn được xác định như sau
1/p

b
p

|x(s)| ds

x =

.

a

• Không gian C[a, b], a, b ∈ R gồm các hàm x(s) liên tục trên [a, b] và
x = max |x(s)|.

s∈[a,b]


3

1.1.1

Không gian Sobolev và Hilbert (H 1 và H 1/2 )

Nội dung của phần này được tham khảo từ [7, trang 12].
Cho k ∈ N, p ∈ [1, ∞]. Cho Ω là một miền bị chặn (giới nội) trong Rn .
Chúng ta gọi C k (Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục trên Ω đến cấp
¯ là compact, cho nên với mỗi k = 0, 1, 2, . . . , ta có C k (Ω) ⊆ Lp (Ω).
k . Vì Ω
Do đó, ta có thể xác định được
1/p
p
Lp (Ω)

α

x(s) =

D x
|α|≤k

,

với mỗi x(s) ∈ C k (Ω), p ≥ 1.
Không gian Sobolev Wpk (Ω) là không gian C k (Ω) được làm đầy đủ bằng

chuẩn trên. Chúng ta thấy rằng:
với mọi x(s) ∈ C k (Ω), x(s)

Lp (Ω)

≤ x(s)

Wpk (Ω) .

Các không gian trên đều là các không gian Banach. Nếu p = 2 thì chúng
là không gian Hilbert, trừ trường hợp không gian các hàm liên tục.
Kí hiệu H 1 (Ω) là không gian Sobolev gồm tất cả các hàm trong L2 (Ω)
sao cho đạo hàm cấp một của nó cũng thuộc L2 (Ω). Với mỗi phần Υ ⊂ ∂Ω,
không gian H01 (Ω, Υ) gồm tất cả các hàm của H 1 (Ω) mà triệt tiêu trên Υ.
Không gian H 1/2 (Υ) là tập các vết trên Υ của tất cả các hàm của H 1 (Ω).
Chúng ta kí hiệu H −1/2 (Υ) là không gian topo đối ngẫu của H 1/2 (Υ).

1.1.2

Chuẩn trong không gian Sobolev

Xét Ω là một miền bị chặn trong R2 với một độ đo Lebesgue µ. Kí hiệu

L2 (Ω) là không gian Lebesgue gồm các hàm khả tổng bình phương, tức là
1/2
2

2

f ∈ L (Ω) khi và chỉ khi

f dµ

< ∞.

Ω

Cùng với tích vô hướng trên L2 (Ω) được xác định bởi
1/2

f, g =

f (x)g(x)dµ(x)
Ω

, f, g ∈ L2 (Ω).


4

Ta định nghĩa chuẩn trên L2 (Ω) được xác định bởi
1/2
2

f =

f dµ

, f ∈ L2 (Ω).

Ω

1.2

Tìm hiểu về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử trong cặp không gian Hilbert (X, Y ) nào đó có
dạng

T x = b,

(1.1)

trong đó T là toán tử tuyến tính trên T ∈ L(X, Y ), vectơ b ∈ Y cho trước
và vectơ x ∈ X là vectơ cần tìm. Ta nói bài toán (1.1) là Bài toán đặt
chỉnh theo Hadamard

• Với mỗi b ∈ Y tồn tại nghiêm x ∈ X.
• Nghiệm x xác định duy nhất.
• Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thoả mãn
ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó là sai lầm. Nhất
là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng
máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến
các kết quả sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài
toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn. Cũng
cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp
không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian

metric khác.
Khái niệm về bài toán đặt chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic.


5

Ví dụ 1.2.1. Ví dụ này được đưa ra bởi J. Hadamard và nằm trong bài
toán hoàn thiện dữ liệu dọc theo phần không thể truy nhập được của biên
từ các điều kiện biên đặc biệt trên phần truy nhập được. Chúng ta có

−∆u = 0 trong R × R+ ;
u(x, 0) = g(x) và ∂y u(x, 0) = ϕ(x).
Giả sử cho trước các dữ liệu Neumann và Dirichlet g(x) = 0, ϕ(x) =

sin(ax), ta tìm được nghiệm của bài toán có dạng
u(x, y) =

1
sin(ax) sinh(ay).
a

Nhận thấy rằng dữ liệu Cauchy (g, ϕ) là bị chặn đều theo tham số a trong
khi nghiệm u tăng trưởng mũ theo a khi a → ∞. Do đó, nghiệm không phụ
thuộc liên tục theo dữ liệu Cauchy trong L∞ . Thực ra chúng ta không thể
có tính bị chặn theo bất kì chuẩn khả dĩ nào chẳng hạn các chuẩn Sobolev
hoặc H¨older.
Ví dụ 1.2.2. Một ví dụ khác đến từ bài toán truyền nhiệt. Chúng ta xét
bài toán truyền nhiệt trong Ω ⊂ Rd (d = 2, 3) với τ > 0,

ut − ∆u = 0 trong QT = Ω × (0, τ ),
u(x, t) = 0 trên Γ × (0, τ ),
u(x, 0) = ϕ(x) trong Ω.
Ta biểu diễn nghiệm u dưới dạng chuỗi Fourier. Trước tiên, chúng ta xét
cơ sở Hilbert (un (x))n trong L2 (Ω), ở đây (un )n là các vector riêng của
toán tử Laplace xác định trên H01 (Ω). Điều này nghĩa là un ∈ H01 (Ω) và

−∆un = λn un . Dãy các giá trị riêng (λn )n là dương và dần tới vô cực khi
n → ∞. Chúng ta viết

∞

ϕ=

ϕn un (x),
n=0

và rút ra nghiệm
∞

ϕn e−λn t un (x),

u(x, t) =
n=1

t ∈ (0, τ ).


6

Dễ dàng kiểm tra ngay rằng u ∈ C((0, +∞); L2 (Ω)). Bây giờ, cho trước
một quan sát cuối cùng uτ ∈ L2 (Ω). Bài toán truy ngược để tìm ϕ(x) tức
là nhiệt độ ở thời điểm ban đầu t = 0 nào đó, biết rằng u(x, τ ) = uτ (x)
trong Ω là đặt không chỉnh. Quả vậy, bài toán trên dẫn tới biểu diễn
∞

∞
−λn τ

ϕn e

un (x) =

n=0

uτ,n un (x).
n=0

khi đó ta viết bài toán ban đầu dưới dạng sau:

T ϕ = uτ ,

trong L2 (Ω).

Do đó, T là toán tử chéo với các giá trị riêng µn = e−λn τ . Kết quả là, bài
toán trên đặt không chỉnh (nghiêm ngặt) theo nghĩa của G. Wahba.
Để cho thuận tiện, ta xét trường hợp các không gian Hilbert X và Y
là trùng nhau, và được kí hiệu chung là H . Khi đó có một tiêu chuẩn đặc
trưng cho sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được áp lên

vế phải b, được gọi là tiêu chuẩn Picard. Giả thiết rằng toán tử T là toán
tử compact, khi đó toán tử ngược của nó T −1 là không bị chặn. Giả sử giá
trị riêng và vectơ riêng của T là hệ (mun , vn ) thì điều kiện Picard được
phát biểu là phương trình (1.1) là giải được khi và chỉ khi
∞

k=0

b, vk
µ2k

2

< ∞.

Trong trường hợp vế phải không đo được chính xác mà ta chỉ biết được
giá trị bị nhiễu của nó b = b + δb, với = δb << b , tức là δb ∈ R(T ),
tức là

∞

k=0

δb, vk
µ2k

2

= ∞,

thì nghiệm tương ứng x sẽ tiến ra vô cùng khi

→ 0. Điều này dẫn đến

trường hợp là nghiệm nhận được từ số liệu bị nhiễu và nghiệm tính toán
từ các dữ liệu chính xác là rất sai khác nhau, gây khó khăn cho việc tính
toán khoa học. Chính vì vậy người ta sử dụng các công cụ, mô hình toán
học thích hợp để hiệu chỉnh hoá bài toán, nhằm tìm ra một nghiệm xấp


7

xỉ tin cậy được cho bài toán đang xét. Từ thời Tikhonov (1952) tới nay,
các nhà toán học đã xây dựng rất nhiều phương pháp hiệu chỉnh các bài
toán đặt không chỉnh. Trong chương này và chương tiếp theo, chúng tôi
sẽ trình bày về một phương pháp hiệu chỉnh bài toán Cauchy của phương
trình elliptic thông qua ví dụ về bài toán hoàn thiện dữ liệu.

1.3

Phương pháp hiệu chỉnh lặp Richardson

Để chuẩn bị cho các nghiên cứu về quá trình hiệu chỉnh bài toán bằng
phương pháp Richardson, chúng tôi giới thiệu một số kết quả mang tính
chất kĩ thuật. Ta nhắc lại phương trình (1.1) trong không gian Hilbert H
như sau: tìm x ∈ H sao cho

T x = b,

b ∈ H.

Ở đây T là toán tử bị chặn, tuyến tính, đối xứng và toàn ánh. Ta giả thiết
thêm rằng T là compact, và

0 < (T x, x) < x 2 ,

∀x ∈ H\{0}.

Từ tính đối xứng của T , miền giá trị của T là trù mật trong H nhưng
không trùng với H . Điều này kéo theo T −1 được xác định nhưng không bị
chặn.
Phương pháp lặp Richardson cho phép từ điểm x0 ∈ H , ta xác định
được dãy {xn } thoả mãn

xn+1 = xn + (b − T xn ) = (I − T )xn + b.
Ta đi nghiên cứu tốc độ hội tụ của dãy {xn } trong trường hợp b là chính xác
hoặc b bị nhiễu thành b . Giả sử phương trình có nghiệm, khi đó b ∈ R(T ),
tức là tồn tại duy nhất nghiệm x thoả mãn T x = b. Đặt en = xn − x thì
ta được phương trình

en+1 = (I − T )en = . . . = (I − T )n+1 e0 .
Ta có một số kết quả sau


8

Bổ đề 1.3.1.

1. Toán tử I − T là chính qui tiệm cận, tức là

lim ((I − T )n+1 − (I − T )n )x = 0,

n→∞

2. lim (I − T )n x = 0,

∀x ∈ H.

∀x ∈ H .

n→∞

Chứng minh. 1. Từ giả thiết

0 < (T x, x) < x 2 ,

∀x ∈ H\{0}.

(I − T )x < x ,

∀x ∈ H\{0}.

Ta có:

Xét xn = (I − T )n x và đặt yn = xn+1 − xn = −(I − T )n T x. Ta có

yn+1 = (I − T )yn .
Mà dãy ( yn )n là không tăng vì vậy hội tụ tới số thực ν . Từ T là compact
và dãy ((I − T )n x)n bị chặn bởi

x

do vậy (yn )n là compact trong H .

Do đó có thể trích ra một dãy (yn )k hội tụ đến y nào đó trong H . Hơn nữa
,dãy (yn+1 = (I − T )yn )k hội tụ (I − T )y . Do vậy,

(I − T )y = y . Từ

đó, ta có: y = 0 hay ( yn )n hội tụ về 0. Ta có điều phải chứng minh.
2. Giả sử x ∈ R(T ) thì x = T z . Ta có:

(I − T )n x = (I − T )n T z
Áp dụng Bổ đề 1.3.1 phần 1, ta có điều phải chứng minh.
Nếu x ∈
/ R(T ), với mọi

> 0, tồn tại y ∈ R(T ) sao cho

x − y < . Ta

có:

(I−T )n x ≤ (I−T )n (x−y)

+

(I−T )n y ≤ x−y

mà ((I − T )n y)n hội tụ về 0 khi n tiến ra vô cùng. Vậy:

hay

(I − T )n x ≤ 2 .
Ta có điều phải chứng minh.

+

(I−T )n y

(I − T )n y ≤ ,


9

Nếu gọi (µk , φk ) là giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của toán tử T
thì do T compact ta có µk → ∞ khi k → ∞. Điểm x ∈ H sẽ được biểu
diễn qua hệ cơ sở {φk } như sau:
∞

∞

xk φk ,

(x, φk )φk =

x=

k=1

k=1

thế thì

∞

(1 − µk )n xk φk .

n

(I − T ) x =
k=1

Theo định lí Hội tụ trội của Lebesgue, dãy {(I − T )n x} hội tụ về 0 khi

n → ∞.
Bổ đề 1.3.2 (Trường hợp dữ kiện chính xác). Cho b ∈ R(T ). Thuật toán
Richardson hội tụ, tức là

lim xn − x = 0.

n→∞

Ngược lại, nếu b ∈ R(T ), thì lim xn = ∞.
n→∞

Để trình bày tốc độ hội tụ của thuật toán Richardson, chúng ta cần
một sự hiệu chỉnh bổ sung cho nghiệm chính xác. Chúng ta gọi là Điều
kiện Nguồn Tổng quát (GCS). Mục đích của bổ đề tiếp theo là cung cấp
một tốc độ hội tụ như thế rất hữu ích cho các lập luận sau này.
Bổ đề 1.3.3. Cho p ∈ (0, 1] và x, x0 ∈ R(T p ). Khi đó chúng ta có

xn − x ≤ En−p ,
ở đây, hằng số E chỉ phụ thuộc vào (x, x0 ).
Tốc độ hội tụ của dãy (xn )n tới x có thể chậm tùy ý. Sự lựa chọn hợp
lí tham số p sẽ cho chúng ta bậc hội tụ tối ưu. Tiếp theo đây, chúng ta sẽ
xét sự phân kì của nghiệm x khi dữ kiện vế phải bị nhiễu. Từ đây ta đưa
ra một điều kiện về chỉ số của dãy xấp xỉ để có thể có được nghiệm chấp
nhận được của phương trình. Xét x ,n là dãy nghiệm tương ứng với dữ kiện

b = b + δb, xấp xỉ tới nghiệm chính xác x. Như ở trên, nhìn chung khoảng


10

cách từ x ,n tới x sẽ dần ra vô cùng khi n tăng vô hạn. Tuy nhiên, với một
cách chọn lựa n phù hợp, ta sẽ nhận được nghiệm xấp xỉ mong muốn.
Bổ đề 1.3.4 (Trường hợp dữ kiện bị nhiễu). Ta có

x ,n − xn ≤ n ,

∀n ≥ 0.

Từ đây, nếu chọn n là một hàm phụ thuộc

lim n = ∞,
→0

sao cho

lim n = 0,

→0

thì thuật toán Richardson sẽ cho ta một mô hình hiệu chỉnh phù hợp, tức
là

lim x ,n − x = 0.
→0

Hiển nhiên nghiệm xấp xỉ x ,n không thể hội tụ về x, nhưng nếu ta có
thể xác định được chỉ số n thích hợp (phụ thuộc vào độ lệch tương đối ),
gọi là tham số dừng, mà với tham số đó, nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm
chính xác. Để đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ, ta bổ sung
một điều kiện về tính trơn của nghiệm, được gọi là điều kiện nguồn tổng
quát (GSC) dạng H¨older, được biểu diễn như sau: x ∈ H được gọi là thoả
mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC) nếu với một giá trị p ∈ (0, 1] nào
đó, x ∈ R(T p ), tức là tồn tại χ ∈ H sao cho x = T p χ. Với điều kiện này,
ta xây dựng được một ước lượng tiên nghiệm, tức là chọn được điểm dừng
của tham số n phụ thuộc vào

để thuật toán Richardson hội tụ và có tốc

độ hội tụ tương ứng như sau.
Bổ đề 1.3.5. Giả sử x ∈ H thoả mãn điều kiện nguồn tổng quát (GSC)
ở trên, với p ∈ (0, 1] nào đó. Khi đó nếu trong phép lặp Richardson, chỉ
số n được chọn sao cho

n = n( ) =

p
p+1

pE

,

thì ta có ước lượng

x ,n − x ≤ CE
với C là hằng số chỉ phụ thuộc vào p.

p
p+1

E

,


11

Chứng minh. Chứng minh dựa vào các đánh giá của các bổ đề ở trên. Ta
có

x ,n − x ≤ n + En−p .
Xét cực đại của hàm số

f (t) = t−1 + Etp ,
ta thấy

max f (t) = C(p)E

đạt được khi

n=
Ta có điều phải chứng minh.

pE

p
p+1

E

p
p+1

.

,


12

Chương 2
Hiệu chỉnh bài toán hoàn thiện dữ
liệu bằng phương pháp lặp
Richardson
2.1

Đặt bài toán

Cho Ω là một miền bị chặn trong R2 với biên Γ = ΓC ∪ ΓI . Phần ΓC có
thể tiếp cận được và đo được các thông lượng và dữ liệu ( dữ liệu Cauchy),
còn ΓI là phần không thể tiếp cận được. (xem Hình 2.1).

Hình 2.1: Miền Ω, biên ΓC là tiếp cận được, và biên ΓI là không tiếp cận được. Khi đó
có sẵn dữ liệu Cauchy trên ΓC và không có thông tin gì trên ΓI .

Cho trước một thông lượng ϕ và một dữ liệu g. Bài toán Hoàn thiện
Dữ liệu được phát biểu như sau: tìm u ∈ H 1 (Ω) sao cho

−∆u = 0, trong Ω,

(2.1)


13

u = g, trên ΓC

(2.2)

∂n u = ϕ, trên ΓC

(2.3)

u =? trên ΓI

(2.4)

Phần ΓC là phần có thể truy nhập được của Γ và do đó có thể thu được

g và ϕ, nên được gọi là điều kiện biên Cauchy. Trái lại, phần ΓI là không
thể tiếp cận và không thể đo được trên đó.
Tìm u mà (∇u) ∈ L2 (Ω), hay tương đương, u ∈ H 1 (Ω). Từ nay về sau

H 1 (Ω) là khuôn khổ phù hợp cho bài toán Cauchy. Dữ liệu Cauchy có thể
chấp nhận yêu cầu rằng g ∈ H 1/2 (ΓC ) và ϕ ∈ H −1/2 (ΓC ). Điều này được
giả sử trong suốt luận văn này.

2.2

Công thức biến phân

Ta phân rã nghiệm u thành (uD , uN ) là các nghiệm của hai bài toán giá trị
biên độc lập. Thành phần đầu tiên uD thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên

ΓC trong khi thành phần thứ hai uN thỏa mãn điều kiện Neumann trên
ΓC . Khi hai nghiệm này bằng nhau, chúng trùng với nghiệm cần tìm u
của (2.1)-(2.4). Phương pháp của chúng tôi dựa theo là công thức SteklovPoincaré. Điểm mấu chốt là xét vết chung (uD )|ΓI = (uN )|ΓI = λ, trên ΓI ,
mà không có trước, được coi như một ẩn của bài toán. Nếu biết được nó
thì nghiệm toàn bộ u = (uD = uN ) của (2.1)-(2.4) được tìm lại bằng cách
giải một trong các bài toán con theo uD và uN . Để giải quyết vấn đề này,
đặt uD = uD (λ, g) là nghiệm của

−∆uD = 0, trong Ω,

(2.5)

uD = g, trên ΓC ,
uD = λ, trên ΓI ,

và uN = uN (λ, ϕ) là nghiệm của

−∆uN = 0, trong Ω,

(2.6)


14

∂n uN = ϕ, trên ΓC ,
uN = λ, trên ΓI .
Một ứng dụng của dạng mới của Định lý duy nhất nghiệm Holmgren
cho phép dữ liệu cần tìm λ ∈ H 1/2 (ΓI ) là dữ liệu mà thỏa mãn phương
trình thông lượng, được gọi là bài toán Steklov-Poincaré,

∂n uD (λ, g) = ∂n uN (λ, ϕ) trên ΓI .

(2.7)

Thật vậy, ta xét hiệu w = uD − uN . Nó là nghiệm của bài toán thuần nhất
sau

−∆w = 0, trong Ω,
w = 0 trên ΓI .
Khi đó ta có thể sử dụng Định lý duy nhất nghiệm Holmgren, để chứng
minh được

w = 0,
trên toàn Ω tức là uD = uN (= u).
Phương trình (2.7) có thể được đặt dưới dạng biến phân thích hợp.

Trước khi làm điều này, ta cần một số ký hiệu. Ta sử dụng các ký hiệu
được dùng trong [2], để đơn giản ta viết

(uD (µ), uN (µ)) := (uD (µ, 0), uN (µ, 0))
(˘
uD (g), u˘N (ϕ)) := (uD (0, g), uN (0, ϕ)).
Lấy λ thuộc H 1/2 (ΓI ). Ta xây dựng công thức biến phân của bài toán
Dirichlet (2.5) như sau: tìm uD (λ, g) ∈ H 1 (Ω) sao cho

∇uD (λ, g)∇vdx = 0,

∀v ∈ H01 (Ω)

(2.8)

Ω

với

uD (λ, g) |ΓC = g, và uD (λ, g) |ΓI = λ.
Với cùng giá trị λ như trên, nghiệm uN (λ, ϕ) của bài toán biên Neumann
thỏa mãn bài toán sau: tìm uN (λ, ϕ) ∈ H 1 (Ω) sao cho

∇uN (λ, ϕ)∇vdx =
Ω

ϕvdσ,
ΓC

∀v ∈ H01 (Ω, ΓI ),

(2.9)


15

và

uN (λ, ϕ) |ΓI = λ.
Bây giờ, các thành phần tổng thể cần thiết cho việc xây dựng công
thức biến phân của bài toán Steklov-Poincaré (2.7) đang có sẵn. Do đó,
bài toán có thể được phát biểu lại như sau: tìm λ ∈ H 1/2 (ΓI ) thỏa mãn

s(λ, µ) = (µ),

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.10)

Dạng song tuyến tính s(·, ·) và dạng tuyến tính (·) được định nghĩa bởi:

s(λ, µ) = (sD − sN )(λ, µ)
∇uD (λ)∇uD (µ)dx −

=
Ω

(µ) = (

D

∇uN (λ)∇uN (µ)dx,
Ω

−

N )(µ)

=−

∇˘
uD (g)∇uD (µ)dx −
Ω

ϕuN (µ)dσ.
ΓC

Dạng song tuyến tính sD (·, ·) và sN (·, ·) và dạng tuyến tính

D (·)

và

N (·)

liên hệ với số hạng tích phân chứa uD (λ, g) và uN (λ, ϕ), tương ứng. Ta có
một số các kết quả sau.
Bổ đề 2.2.1. Ta có kết quả sau

s(µ, µ) > 0,

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI )\{0}.

Khi đó dạng song tuyến tính s(·, ·) là đối xứng và xác định không âm.
Chứng minh. Tính đối xứng của s(·, ·) được suy ra từ tính đối xứng của

sD (·, ·) và sN (·, ·), điều này là hiển nhiên. Cho trước µ ∈ H 1/2 (ΓI ). Ta
thấy

uN ∈ Vµ = {v ∈ H 1 (Ω), v|ΓI = µ},
là nghiệm duy nhất của bài toán

−∆v = 0, trong Ω
∂n v = 0, trên ΓC
v = µ, trên ΓI .


16

Đây là bài toán giá trị biên và do đó là đặt chỉnh. Theo bổ đề của LaxMilgram, uN là nghiệm duy nhất của bài toán cực tiểu hóa

1
2

(∇uN )2 = min
v∈Vµ

Ω

1

2

(∇v)2 dx .

(2.11)

Ω

Nếu uD thuộc Vµ , ta thu được

(∇uD )2 dx ≥
Ω

(∇uN )2 dx.
Ω

Suy ra rằng

sD (µ, µ) ≥ sN (µ, µ),

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ),

từ đó suy ra

s(µ, µ) ≥ 0,

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

Bây giờ, giả sử rằng µ ∈ H 1/2 (ΓI ) sao cho s(µ, µ) = 0, điều này có nghĩa

sD (µ, µ) = sN (µ, µ). Do tính duy nhất của bài toán tối ưu (2.11), ta thu
được

uD (µ) = uN (µ) = u.
Do đó u là nghiệm của bài toán hoàn thiện dữ liệu thuần nhất với điều kiện
Cauchy bị triệt tiêu trên ΓC . Sử dụng định lý duy nhất nghiệm Holmgren
dẫn tới u = 0 trong Ω, và khi đó µ = 0 trên ΓI . Điều này nói rằng s(·, ·)
là xác định không âm. Điều phải chứng minh.
Bài toán đặt không chỉnh (2.1)-(2.4), được chỉ ra bởi J. Hadamard,
được biết đến rộng rãi. Có thể xem chứng minh của nó trong [5] trong
miền tổng quát hơn. Trong các công trình đó có đưa ra rằng tập các dữ
liệu Cauchy chính xác (g, ϕ) mà sự tồn tại của nghiệm u trong H 1 (Ω) là
trù mật trong H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ). Khi đó ta có các kết quả sau:
Bổ đề 2.2.2. Tập dữ liệu Cauchy (g, ϕ) tương thích sẽ trù mật trong

H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ).
Bổ đề 2.2.3. Tập dữ liệu Cauchy (g, ϕ) không tương thích sẽ trù mật
trong H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ).


17

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Xét không gian

H(∆, 0) = v ∈ H 1 (Ω),

−∆v = 0, trong Ω .

H 1 -chuẩn là chuẩn Hilbert trên H(∆, 0). Xét toán tử vết tuyến tính
T : v → (v, ∂n v)|ΓC .

Theo định lý Holmgren nó là một đơn ánh và bị chặn từ H(∆, 0) vào

H 1/2 (ΓC )×H −1/2 (ΓC ). Bây giờ, giả sử phần bù của R(T ) không có tính trù
mật. Khi đó R(T ) sẽ chứa ít nhất một hình cầu mở khác rỗng. Bây giờ cho

R(T ) là một không gian con trong H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ), có phần trong
khác rỗng, do đó nó trùng với toàn bộ không gian H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ).
Toán tử T sẽ là toàn ánh và do đó cũng là song ánh. Sử dụng định lý ánh
xạ mở ta suy ra nó là một đẳng cấu. Kết quả là, bài toán Cauchy là đặt
chỉnh mâu thuẫn với tính đặt không chỉnh.
Chú ý 2.2.4. Ký hiệu S là toán tử Dirichlet-Neumann tương ứng với dạng
song tuyến tính s(·, ·) thông qua quan hệ

Sλ, µ = s(λ, µ),

∀λ, µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

Theo định nghĩa của s(·, ·), S là toán tử xác định không âm ánh xạ H 1/2 (ΓI )
vào H −1/2 (ΓI ). Nó được chứng minh thuộc lớp Hilbert-Schmidt và do đó
nó là toán tử compact.
Chú ý 2.2.5. Mỗi dạng song tuyến tính sD (·, ·) và sN (·, ·) xác định một
tích trong trên H 1/2 (ΓI ), và chuẩn tương ứng của chúng trên H 1/2 (ΓI ) đều
tương đương với chuẩn thông thường ·

H 1/2 (ΓI ) .

Tức là, với µ ∈ H 1/2 (ΓI ),

ta có

µ

sD

=

sD (µ, µ) ≈ µ

H 1/2 (ΓI ) .

(2.12)

Do đó ta có thể sử dụng chuẩn đầu thay cho chuẩn sau trong phần phân
tích tiếp theo.
Vì s(·, ·) là đối xứng, ta có thể xét cực tiểu hóa phiếm hàm năng lượng

1
J(µ) = s(µ, µ) − (µ),
2

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.13)


18

Thật ra, ta có thể nói J(·) chính là dạng tách ra của phiếm hàm được
khảo sát bởi R. Kohn và M. Vogelius định nghĩa như sau
1

K(µ) =
(∇uD (µ, g) − ∇uN (µ, ϕ))2 dx, ∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).
2 Ω

(2.14)

Ta có dạng tương đương sau.
Bổ đề 2.2.6. Kết quả sau đây đúng

J(µ) = K(µ) − K(0),

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

Giá trị cực tiểu của K(·) bằng không, và do đó giá trị cực tiểu của J(·) là

(−K(0)).
Chứng minh. Chứng minh dựa theo [2, Bổ đề 4.2] nhờ tính trù mật của
tập dữ liệu Cauchy tương thích trên H 1/2 (ΓC )×H −1/2 (ΓC ). Ngoài ra, theo
[25, Bổ đề 4.3], nếu K(·) không âm và K(λ) = 0 (λ là nghiệm chính xác
của bài toán Cauchy), thì ta có

min

K(µ) = 0,

min

J(µ) = −K(0).

µ∈H 1/2 (ΓI )

và do đó

γ :=

µ∈H 1/2 (ΓI )

Bổ đề được chứng minh.
Sự tương đương của Bổ đề 2.2.6 giúp ích cho việc xây dựng phương
pháp chính quy cho bài toán được xét trong luận văn. Với phương pháp
này, dạng tuyến tính (·) thỏa mãn tính ổn định đối với dạng song tuyến
tính s(·, ·). Đầu tiên, ta cố định số thực phụ thuộc (g, ϕ)
1/2
2

(∇˘
uD (g) − ∇˘
uN (ϕ)) dx

η=

=

2K(0).

(2.15)

Ω

Bổ đề sau đúng với mọi dữ liệu Cauchy (g, ϕ) ∈ H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ).

Bổ đề 2.2.7. Cho trước (g, ϕ) ∈ H 1/2 (ΓC ) × H −1/2 (ΓC ). Khi đó đánh
giá sau đúng

(µ) ≤ η

s(µ, µ),

trong đó η được xác định như (2.15).

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ),

(2.16)


19

Chứng minh. Theo bổ đề trên, với mọi t ∈ R, µ ∈ H 1/2 (ΓI ), ta có

γ=

min

µ∈H 1/2 (ΓI )

J(µ) ≤ J(tµ).

Suy ra

1 2
t s(µ, µ) − t (µ) − γ ≥ 0,

2

∀t ∈ R, ∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

Bất đẳng thức đúng với mọi t ∈ R khi và chỉ khi điều sau đúng

( (µ))2 + 2γs(µ, µ) ≤ 0,
Kết quả trên đúng với n =

√

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

−2γ . Suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý 2.2.8. Từ (2.15) và hệ thức trong Bổ đề 2.2.6, ta suy ra

1
1
K(µ) = s(µ, µ) − (µ) + η 2 ,
2
2

2.3

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.17)

Phương pháp Richardson tiền điều kiện

Do tính đặt không chỉnh của bài toán Cauchy (2.1)-(2.4) và dựa theo
phương pháp trong Chương 1, mục tiêu của chúng tôi là xây dựng nghiệm
xấp xỉ ổn định của nghiệm chính xác (theo nghĩa nào đó) bằng thuật toán
lặp Richardson. Để giải bài toán ta đã thiết lập phương trình SteklovPoincaré và dạng song tuyến tính.

2.3.1

Một số kết quả kỹ thuật

Để viết bài toán điều kiện đầu theo cách toán học, từ nay trở đi để cho
thuận tiện ta xét không gian Hilbert H 1/2 (ΓI ) được trang bị tích trong

sD (·, ·), chuẩn tương ứng được ký hiệu là
đương giữa chuẩn ·

sD

và chuẩn ·

H 1/2 (ΓI )

·

sD .

Xin nhắc lại sự tương

được phát biểu trong Chú ý

2.2.5, điều này cho phép ta dùng chuẩn sD thay cho chuẩn thông thường.
Ta định nghĩa toán tử

T : H 1/2 (ΓI ) → H 1/2 (ΓI ),


20

như sau: với bất kỳ λ ∈ H 1/2 (ΓI ), T λ ∈ H 1/2 (ΓI ) là nghiệm (duy nhất)
của

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

sD (T λ, µ) = sN (λ, µ),

Nghiệm T λ của phương trình tồn tại và duy nhất do tính bức của sD (·, ·).
Ta kiểm tra trước đây T là đối xứng và co trên (H 1/2 (ΓI ), sD (·, ·)). Hệ quả
là (I − T ) tác động trên (H 1/2 (ΓI ), sD (·, ·)), thỏa mãn

sD ((I − T )λ, µ) = s(λ, µ),

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.18)

Ngoài ra, (I − T ) cũng đối xứng, không âm và co. Tính compact của nó
được chứng minh trong [5, Định lý 3.1]. Bây giờ, dữ liệu f của hệ tiền điều
kiện được xây dựng (duy nhất) như sau: tìm f ∈ H 1/2 (ΓI ) sao cho

sD (f, µ) = (µ),

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.19)

Bài toán Steklov-Poincaré (2.10), sau khi thêm tiền điều kiện, trở thành
giải phương trình sau: tìm λ ∈ H 1/2 (ΓI ) sao cho

(I − T )λ = f trong H 1/2 (ΓI ).

(2.20)

−1
Chú ý 2.3.1. Thật ra, toán tử I − T chính là SD
S , vì ta có thể viết
−1
−1
I − T = I − SD
SN = SD
S.

Mặt khác, ta có
−1
f = SD
.

Điều này chỉ ra phương trình Steklov-Poincaré được thêm tiền điều kiện
bởi SD .
Cho (I − T ) có tính đối xứng, không âm trong (H 1/2 (ΓI ), ·
thể xây dựng căn bậc hai của nó, ký hiệu là

sD ),

ta có

(IT ), thừa kế những tính

chất từ (I − T ), ví dụ như tính đối xứng, không âm và co. Nhắc lại rằng η
được định nghĩa như trong (2.15), ở đây chúng tôi đưa ra hệ quả của Bổ
đề 2.2.7 chứng tỏ rằng f có tính ổn định như sau.
Bổ đề 2.3.2. Kết quả sau đúng

(f, µ)sD ≤ η

(I − T )µ

sD ,

∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ).

(2.21)


21

Chứng minh. Do Bổ đề 2.2.7, ta có với µ ∈ H 1/2 (ΓI ),

(f, µ)sD ≤ (µ) ≤ η

s(µ, µ).

Mặt khác, theo (2.18),

s(µ, µ) = sD ((I − T )µ, µ) = sD ( (I − T )µ,

(I − T )µ).

Do đó,

(f, µ)sD ≤ η

(I − T )µ

sD .

Suy ra điều phải chứng minh.
Bây giờ, ta có thể viết ra phương pháp lặp Richardson và thu được một
số kết quả hội tụ từ những phân tích tiến hành trong Chương 1. Chúng ta
được thừa kế những tích chất của toán tử điều kiện đầu từ chương trước,
tức là toán tử T là đối xứng, xác định không âm, co (0 ≤ T ≤ I ) và chính
quy tiệm cận. Cho trước λ0 ∈ H 1/2 (ΓI ). Dãy (λn )n ⊂ H 1/2 (ΓI ), là xấp xỉ
của λ, thỏa mãn phương trình quy nạp sau

λn+1 − T λn = f trong H 1/2 (ΓI ).

(2.22)

Chú ý 2.3.3. Nói riêng, T (và do đó (I − T )) không bao giờ xây dựng
được (is never constructed), và dãy (λn )n chỉ được tính bằng cách giải (quy
nạp) bài toán Steklov-Poincaré elliptic

∂n uD (λn+1 , g) = ∂n uN (λn , ϕ) trên ΓI ,

(2.23)

Điều này tương đương với phương trình:

sD (λn+1 , µ) = sN (λn , µ) + (µ), ∀µ ∈ H 1/2 (ΓI ),

(2.24)

Đây có thể coi như dạng quy nạp của phương trình thông lượng (2.7).
Ưu điểm chính của công thức biến phân của bài toán là ở mức độ rời rạc,
khi nó được xấp xỉ bằng một số phương pháp (ví dụ phương pháp phần tử
hữu hạn), ta thu được ma trận cương mà thừa kế tất cả các tính chất của

s(·, ·), đặc biệt là tính đối xứng và xác định không âm. Tất cả các công cụ
chính quy hóa và ma trận điều kiện yếu đều có thể áp dụng vào ma trận
này.


22

2.3.2

Liên hệ với phương pháp KMF

Bước đầu tiên trong phân tích của chúng tôi là mối liên hệ giữa thuật toán
Richardson điều kiện đầu và phương pháp KMF được đề xuất và nghiên
cứu từ năm 1991 bởi V.A. Kozlov, V.G. Maz’ya và A.V. Fomin. Thật ra,

chúng là cùng một phương pháp được viết theo hai dạng khác nhau. Điều
này giải thích tại sao sự hội tụ của phương pháp KMF được chứng minh
trong [6] và trong [4], khi dữ liệu Cauchy là chính xác. Chúng tôi nhắc
lại cách xây dựng dãy KMF. Lấy u0 ∈ H 1 (Ω) là dự đoán ban đầu. Dãy

((vn , un ))n được kết hợp từ nghiệm của các bài toán lặp giá trị ban đầu
sau: với n = 1, 2, . . .

−∆vn = 0, trong Ω

(2.25)

∂n vn = ϕ, trên ΓC
vn = un , trên ΓI ,

(2.26)

và

−∆un+1 = 0, trong Ω

(2.27)

un+1 = g, trên ΓC
∂n un+1 = ∂n vn , trên ΓI .

(2.28)

Mệnh đề 2.3.4. Cho (λn )n ⊂ H 1/2 (ΓI ) là nghiệm của thuật toán lặp
Richardson (2.22) và ((vn , un ))n ⊂ H 1 (Ω)×H 1 (Ω) được tạo ra theo phương

pháp KMF. Khi đó ta có un = uD (λn , g) và vn = uN (λn , ϕ).
Chứng minh. Cho trước dữ liệu Cauchy (g, ϕ) ∈ H 1/2 (ΓC )×H −1/2 (ΓC ) và

λ0 ∈ H 1/2 (ΓI ) là dự đoạn ban đầu. Đặt vn = uN (λn , ϕ) và un = vD (λn , g).
Ta chứng minh rằng (un , vn ) là nghiệm của (2.25)-(2.27). Một mặt, hai
dòng đầu tiên của (2.25) được thỏa mãn và điều kiện trên ΓI được xác
định bởi

vn = un (= λn ), trên ΓI .
Mặt khác, hai phương trình đầu của (2.27) đúng. Ngoài ra, do (2.7) và
(2.23), ta được phép viết

∂n un+1 = ∂n vn ,

trên ΓI .