VIET e sharing chuyên đề tiếp tuyến của hàm số

Thầy Hoàng Hải-0966405831

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

CHUYÊN ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.

Lý thuyết

1. Hệ số góc của tiếp tuyến

k  tan 
   : y  kx  b là tiếp tuyến của (C). Khi đó k là hệ số góc của tiếp tuyến và k được định ng
với  là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và phần đường thẳng    nằm phía trên Ox
Lưu ý: * VABO cân thì k  1 .
*    qua A, B  k AB 

y A  yB
 xA  xB 
xA  xB

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

M   C  , tiếp tuyến tại M có hệ số góc k  f '( xM )
 Tiếp tuyến tại M có dạng:    : y  k  x  xM   yM

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn

Thầy Hoàng Hải-0966405831

3. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

 C  : y  f ( x)
 C ' : y  g  x 
 f  x  g  x

 C  tiếp xúc  C '  


 f ' x  g ' x

có nghiệm x

Nghiệm của hệ chính là hoành độ tiếp điểm;
Hệ quả.


Đường thẳng y  kx  m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x 

 f  x   kx  m
có nghiệm đối với x .

f
'
x

k








Ox : y  0 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C  : y  f  x 


 f  x  0
có nghiệm đối với x .


 f ' x  0

II.

Các dạng toán
Loại 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số  C  : y  f  x 

1. Tại điểm M  x0 ; y0  trên đồ thị
B1: TXĐ
B2: Tính y '  ?  k  y '  x0 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0
B3: Kết luận.
Bài mẫu : Cho hàm số y  x 3  3x  5 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
tại điểm A ( -1; 7).
B1: TXĐ: .
B2: Tính y '  3x2  3  y '(1)  0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A  1;7  là:

y  y '  1 x  1  7  y  7
B3: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  7 .
2. Tại điểm có hoành độ x0 trên đồ thị.
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

B1: TXĐ
B2: Tính y0  f  x0 
B3: Tính y '  y '  x0 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0
B4: Kết luận.
x2  x  1
Bài mẫu: Cho hàm số y 
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M
3x 2  1
có hoành độ bằng 1 .
B1: TXĐ: .
12  1  1 1
 1
B2: Tính y 1 
  M 1; 
2
3.1  1 4
 4
 2 x  1  3x 2  1  6 x  x 2  x  1 3x2  4 x  1
2

1
B3: Tính y ' 

 y '(1)    
2
2
2
2
16
8
3x  1
3x  1
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là:
1
1
1
1
3
y  y '  1 x  1   y    x  1   y   x 
4
8
4
8
8
1
3
B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   x  .
8
8
3. Tại điểm có tung độ y0 trên đồ thị.

B1: TXĐ
B2: Giải phương trình f  x   y0  x0
B3: Tính y '  y '  x0 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M  x0 ; y0  là: y  y '  x0  x  x0   y0
B4: Kết luận.
Bài mẫu: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : y  x3  3x 2 tại điểm có tung độ bằng - 2
B1: TXĐ:

.

x  1
B2: Cho y  2  x3  3x 2  2  x3  3x 2  2  0  
x  2
Có 2 điểm có tung độ -2 thuộc đồ thị (C) là M1 1; 2  và M 2  2; 2  .

B3: Tính y '  3x 2  6 x
Tại M1 1; 2  ta có: y ' 1  3.12  6.1  3
 tiếp tuyến của (C) tại M 1 là:  d1  : y  y ' 1 x  1  2  y  3.  x  1  2  y  3x  1

Tại M 2  2; 2  ta có: y '  2   3.22  6.2  0
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

 tiếp tuyến của (C) tại M 2 là:  d2  : y  y '  2 x  2   2  y  2

B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:.  d1  : y  3x  1 và  d2  : y  2
4. Tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy
B1: TXĐ

B2: Thay x  0 vào hàm số  y0  y  0 
B3: Tính y '  y '  0  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M  0; y0  là:

y  y '  0 x  0  y0  y  y '  0  x  y0
B4: Kết luận.
Bài mẫu: Viết phương trình các tiếp tuyến của  C  : y 

x 1
tại giao điểm của  C  với trục
x 1

tung.
B1: TXĐ:

\ 1

B2: Cho x  0  y  0  
B3: Tính y ' 

11

 x  1

2



0 1
 1  giao điểm của (C) với Oy là A  0; 1 .
0 1

2

 x  1

2

 y '  0  2

Tiếp tuyến của (C) tại A  0; 1 là  d  : y  y '  0 x  0  1  y  2 x  1
B4: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:.  d  : y  2 x  1 .
5. Tại giao điểm của đồ thị với trục hoành Ox
B1: TXĐ
B2: Giải phương trình y  f  x   0  x0
B3: Tính y '  y '  x0  . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M  x0 ;0  là:

y  y '  x0  x  x0   0  y  y '  x0  x  x0 
B4: Kết luận.
Bài mẫu: Cho y  x3  4 x2  5x  2  C  . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C  tại những
giao điểm của  C  với trục hoành.
B1: TXĐ:
 x  2
B2: Cho y  0  x3  4 x 2  5 x  2  0  
 x  1
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

Suy ra  C  có hai giao điểm với trục hoành là M1  2;0  và M 2  1;0  .
B3: Tính y '  3x2  8x  5  y '  2   1 , y '  1  0 .

Do đó phương trình tiếp tuyến với  C  tại các điểm M 1 , M 2 lần lượt là:

d1 : y  1.  x  2   0  d1 : y  x  2 ,
d2 : y  0.  x  1  0  d2 : y  0 .
B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là d1 : y  x  2 và d2 : y  0
6. Tại một điểm đặc biệt
Bài mẫu 1: Cho hàm số y  x 3  mx 2  m  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại
các điểm cố định.
B1: TXĐ:
B2: Gọi (x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đó ta có:
y0  x03  mx02  m  1 m

 ( x02  1)m  x03  1  y0  0 m
  x0  1

 x02  1  0
 y0  0
 3

 A 1;0  , B  1; 2  là hai điểm cố định của (C).
  x  1
 x0  1  y0  0
0

  y0  2
2
B3: Tính: y’ = 3x + 2mx
Ta có y '(1)  3  2m . Do đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là:
y  (2m  3)( x  1)  0 hay y  (2m  3) x  (2m  3)
Tương tự , y '(1)  3  2m  phương trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là:

y  (3  2m)  x  1  2 hay y  (3  2m)  x  1  2m  1

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y  (2m  3) x  (2m  3) và y  (3  2m)  x  1  2m  1
Bài mẫu 2: Cho hàm số  C  : y  2 x3  3x2  1
Viết phương trình tiếp tuyến (  ) với đồ thị  C  tại điểm uốn của đồ thị và CMR (  ) là tiếp
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
B1: TXĐ:
B2: Tính y '  6 x 2  6 x, y ''  12 x  6
1
3
y ''  0  12 x  6  0  x   y  
2
2
1
3


 U  ;   là điểm uốn của đồ thị. Ta đi viết phương trình tiếp tuyến của  C  tại U.
2 2
1
1
3
1
1 3
B3: Tính y '    6.  6.    phương trình tiếp tuyến của  C  tại U  ;   là
4
2
2
2 2
2

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

   : y  y ' 

1 
1 3
3
1 3
3
3
 x     y    x     y   x 
2 2
2
2 2
2
4
 2 
B4: Bảng biến thiên của y’

3
1
Từ bảng biến thiên ta thấy min y '  y '      tiếp tuyến tại U có hệ số góc nhỏ nhất.
2
2

3
3

B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là    : y   x 
2
4

Bài mẫu 3: Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d (C). CMR: trong số các tiếp tuyến của (C) thì
tiếp tuyến tại điểm uốn khi a > 0 có hệ số góc nhỏ nhất.
B1: TXĐ:
B2: Tính y '  3ax2  2bx  c, y ''  6ax  2b  a  0 
y ''  0  6ax  2b  0  x  

b
3a

 b

b2
 U   ;   c  là điểm uốn của đồ thị.
 3a 3a

Vì a  0 nên ta có bảng biến thiên của y’ như sau:

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

b2
 b 
 b 
Từ bảng biến thiên ta thấy y '  y '       c  min y '  y '   

¡
3a
 3a 
 3a 
B3:  Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là nhỏ nhất.

1 

Bài mẫu 4: Cho  Cm  : y  mx 4   3m   x 2  2 . Gọi A và B lần lượt là các điểm có
24 

hoành độ bằng 1 và 2 của  Cm  . Tìm m để các tiếp tuyến của  Cm  tại A và B vuông
góc với nhau.
B1: TXĐ:
1
1
1

B2: Tính y '  x   4mx3   6m   x  y '  1  10m 
và y '  2   44m  lần lượt
12
6
12 


là hệ số góc của các tiếp tuyến tại A và B của  Cm  .
B3: Các tiếp tuyến của  Cm  tại A và B vuông góc với nhau
1 
1


 y '  1  y '  2   1   10m   44m    1
12 
6


1

m

16
71
24
 440m2  m 
0  
3
72
 m   71

1320

B4: Vậy m  

71
1
và m 
thỏa mãn đề bài.
1320
24

1

5

Bài mẫu 5: Cho hàm số y  (2m  1) x 4   m   x 2  m  . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị
4
4

hàm số tại điểm có hoành độ x  1 vuông góc với đường thẳng  d  : y  2 x  3 .

B1: TXĐ:
1
1
9


B2: Tính y '  4(2m  1) x3  2  m   x  y '(1)  4(2m  1)  2  m    6m 
4
4
2



y  1  0  Phương trình tiếp tuyến tại  1;0  là:

   : y   6m 


9
9 
9


 ( x  1)     : y   6m   x   6m  
2
2 
2


Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

9
5

B3: Theo đề bài  d        6m   .2  1  6m  5  m 
2
6


B4: Vậy m 

5
thỏa mãn đề bài.
6

Bài mẫu 6: Cho hàm số  Cm  : y 

 3m  1 x  m2  m . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm

xm

số tại giao điểm với trục Ox song song với đường thẳng  d  : y  x  1

B1: TXĐ:

\ m

B2: Cho y  0   3m  1 x  m2  m  0  x 

m2  m 
1
 ĐK : m   
3m  1 
3

 m2  m 
;0  .
Suy ra  C   Ox  M 
 3m  1 
B3: Tính y ' 

 3m  1 m  m2  m  4m2
2
2
 x  m
 x  m

4m2  3m  1
 m2  m 
 3m  1
4m 2

 y '



2
2
4m 2
 3m  1   m  m  1
4m 2 



 3m  1 
2

 Phương trình tiếp tuyến tại M là   

 3m  1
:y
4m 2

2

2


m2  m 
x




3m  1 


  m  1
  3m  12

1

2
m   1
4
m
1

B4:    / /  d   

m

5

2
2
5
  3m  1   m  m   0

1


2

 4m
m  1, m   , m  0
 3m  1 

3


B5: Vậy m  

1
thỏa mãn đề bài.
5

2x
. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M
x 1
1
cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB bằng . Viết phương trình tiếp tuyến tại M.
4

Bài mẫu 7: Cho (C): y 

B1: TXĐ:

\ 1

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

B2: Tính y ' 

2

 x  1

2

. Giả sử M  x0 ; y0   y0 

 tiếp tuyến của (C) tại M là:  d  : y 

2 x0
2
; y '( x0 ) 
x0  1
( x0  1)2

2 x0
2
x  x0  
 2 x  ( x0  1)2 y  2 x0 2  0
2 
( x0  1)
x0  1

 A( x0 2 ;0)
 xA   x0 2
2

2

2
x

(
x

1)
.0

2
x

0
d

Ox

A


 A

0
0
B3: 


2 x0 2   

2 x0 2 
2
2
d

Oy

B
y

B
0;
2.0

(
x

1)
.
y

2
x

0


 B ( x  1) 2
  ( x  1) 2 
0

B
0

0

0

 
1
1
Nhận xét VABO vuông tại  SVABO  OA.OB 
2
4
 x0  1  y0  1
 2 x0 2  x0  1  0
2 x0 2
1
2
4
2
 x0
  4 x0  ( x0  1)  0   2

2
 x0   1  y0  2
( x0  1)
2
 2 x0  x0  1  0

2

 1



Vậy M1   ; 2  và M 2 1;1 thỏa mãn đề bài.
 2

 1



 1



1

B4: M1   ; 2  , y '     8   1  : y  8  x    2 là tiếp tuyến tại M1
2
 2
  2

1
1
1
1
   2  : y   x  1  1    2  : y  x  là tiếp tuyến tại M 2 .
2
2
2

2
1
 1


B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là  1  : y  8  x    2 tại M1   ; 2  và
2
 2


1
1
 2  : y  x  tại M 2 1;1
2
2
M 2 1;1 , y ' 1 

Bài mẫu 8: Cho hàm số  C  : y  x3   m  1 x 2   m  1 x  1 . Tìm tất cả các giá trị của m để
đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt A(1;0) ,B,C sao cho tiếp tuyến tại B,C song
song với nhau
B1: TXĐ: . Tính y '  3x 2  2  m  1 x   m  1
B2: x3   m  1 x2   m  1 x  1  0   x  1  x2  mx  1  0

 A 1;0  , B  x1;0  , C  x2 ;0  với x1 , x2 là nghiệm của phương trình x2  mx  1  0    0m 
Áp dụng định lý Vi-ét ta có x1  x2  m
B3: Xét tại B: y '  x1   3  x1   2  m  1 x1   m  1
2

 Phương trình tiếp tuyến tại B là:  1  : y  y '( x1 )  x  x1 

Xét tại C: y '  x2   3  x2   2  m  1 x2   m  1
2

 Phương trình tiếp tuyến tại C là:  2  : y  y '( x2 )  x  x2 

B4:  1  / /   2 

2
2

3x1  2  m  1 x1   m  1  3x2  2  m  1 x2   m  1


 x1  x2  1   2 

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

3  x1  x2  x1  x2   2  m  1 x1  x2   0

 x1  x2
  x1  x2

  3  x1  x2   2m  2  0  3m  2m  2  0  m  2

 x1  x2
B5: Vậy m=2 thỏa mãn đề bài.
 x 1

Bài mẫu 9: Cho đồ thị (C): y 
. Tìm trên đồ thị hai điểm A và B sao cho AB= 8 và
x2
tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A và B song song với nhau .

\ 2 . Tính y ' 

B1: TXĐ:

1

 x  2

2


x 1  
x2  1 
B2: Giả sử hai điểm cần tìm là A  x1 ;  1
 , B  x2 ; 
 , x1  x2
x

2
x

2

1
 

2


x  1 x1  1 
 AB  x2  x1;  2


x2  2 x1  2 

B3: Tính y '  x1  

1

 x1  2 

2

, y '  x2  

1

 x2  2 

2

Để tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau thì y '  x1   y '  x2 



1

 x1  2 

2



1

 x2  2 

2

 x1  x2  l 
 x1  2  x2  2
2
2
  x1  2    x2  2   

 x1  2   x2  2
 x1   x2  4


x  1  x2  4  1  
x2  1 x2  3  
2 
 AB  x2  x2  4;  2


   2 x2  4; 

   2  x2  2  ;

x2  2  x2  4  2  
x2  2 x2  2  
x2  2 

 AB  AB  2

 x2  2 

2



1

 x2  2 

2

2 2

B4: Ta có AB  8  2 2   x2  2  
2

 x2  2 

1

 x2  2

2

.

1

 x2  2 

2

2 2

  x2  2   1
4

2

 x2  2  1
 x2  1  x1  3, y1  2, y2  0  A  3; 2  , B  1;0 



 x2  2  1  x2  3  x1  1, y1  0, y2  2  A  1;0  , B  3; 2 

B5: Vậy điểm cần tìm là A  3; 2  , B  1;0  hoặc A  1;0  , B  3; 2 
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

Loại 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
1. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
B1: TXĐ
B2: Tính y ' và giải phương trình y '  k  x0
B3: Thay giá trị x0 vào hàm số để tìm y0  y  x0    x0 ; y0  là tiếp điểm.
 tiếp tuyến tại  x0 ; y0  là: y  k  x  x0   y0

B4: Kết luận
Bài mẫu: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

2x 1
biết tiếp tuyến có hệ số
x 1

góc bằng -1.
B1: TXĐ:

\ 1

B2: Tính y ' 

2.  1   1 .1

 x  1

2



1

 x  1

2

Giải phương trình
y '  1 

1

 x  1

2

 x 1  1
 x  2  y  3  M (2;3)
2
 1   x  1  1  

 x  1  1  x  0  y  1  N (0;1)

B3: Tiếp tuyến tại M  2;3 là  d1  : y  1( x  2)  3  y   x  5
Tiếp tuyến tại N  0;1 là  d2  : y  1( x  0)  1  y   x  1
B4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d1  : y   x  5 và  d2  : y   x  1
2. Tiếp tuyến song song, vuông góc... với đường thẳng  d  : y  ax  b
B1: TXĐ
B2: Gọi    : y  kx  t là tiếp tuyến của  C  tại điểm  x0 ; y0 
k  a
TH1: Tiếp tuyến    / /  d   

k
t  b

TH1: Tiếp tuyến      d   k.a  1  k
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

k  a
TH3: Tiếp tuyến      d   
k
t  b

TH4: Tiếp tuyến    tạo với  d  góc    0o;90o  

k a
 tan   k
1  ka

Đặc biệt, nếu a  0 thì    tạo với  d  góc   k  tan  .
B3: Tính y ' và giải phương trình y '  x0   k  x0
B4: Thay giá trị x0 vào hàm số để tìm y0  y  x0 
 tiếp tuyến tại  x0 ; y0  là: y  k  x  x0   y0

B4: Kết luận
Bài mẫu 1: Cho  C  : y   x4  x2  6 . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng d : y 

1

x  1 của  C  .
6

B1: TXĐ:
B2: Gọi    : y  k  x  x0   y0 là tiếp tuyến của  C  tại điểm  x0 ; y0 
1
Theo đề bài      d   k  1  k  6     : y  6  x  x0   y0
6

B3: Tính y '  4 x3  2 x
Giải phương trình k  y '  x0   6  4 x03  2 x0  6  x0  1  y 1  4

    : y  6  x  1  4  y  6 x  10
B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là    : y  6 x  10
1 2x
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song
2x 1
song với đường thẳng  d  : 4 x  y  1  0 .

Bài mẫu 2: Cho  C  : y 

B1: TXĐ:

 1
\  
 2

B2: Ta có  d  : y  4 x  1
Gọi    : y  k  x  x0   y0 là tiếp tuyến của  C  tại điểm  x0 ; y0 
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn

Thầy Hoàng Hải-0966405831

k  4
Theo đề bài    / /  d   
kx0  y0  1
B3: Tính y ' 

2.1  2.1

 2 x  1

2



4

 2 x  1

2

Giải phương trình

k  y '  x0   4  

 2 x0  1  1
 x0  0  y0  1
4

2


4

(2
x

1)

1


0
 2 x  1  1  x  1  y  3
(2 x0  1)2
0
 0
 0

   : y  4  x  0   1  y  4 x  1

   : y  4  x  1  3  y  4 x  7

B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  4 x  1 và y  4 x  7
1 3 1 2
x  x  2 x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp
2
2
tuyến tạo với đường thẳng  d  : x  3 y  1  0 góc 45o .

Bài mẫu 3: Cho  C  : y 

B1: TXĐ:
x 1
B2: Ta có  d  : y   
3 3

Gọi    : y  k  x  x0   y0 là tiếp tuyến của  C  tại điểm  x0 ; y0 
Theo đề bài góc giữa    và  d  bằng 45o

1
1

3k  1
k
3k  1  3  k
 4k  2

3


 tan 45 
1 


2
1

3 k

3k  1  k  3  2k  4
1 k
 k  2
3
k

B3: Tính y ' 

3 2
x  x2
2

 x0  1  y0  0
1
1
3 2
1
TH1: k   y '  x0    x0  x0  2   
 x0   5  y0  92
2
2
2
2

3
27
1
1
1



:
y

x

1

0

x






2
2
2

  : y  1  x  5   92  1 x  229


 
2
3  27 2
54
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn

Thầy Hoàng Hải-0966405831

 x0  0  y0  1
1
3 2
TH2: k  2  y '  x0    x0  x0  2  2  
 x0   2  y0  65
2
2

3
27

   : y  2  x  0   1  2 x  1


2  65
29

  : y  2  x   
 2 x 


3  27
27

B5: Vậy tiếp tuyến cần tìm là y 

1

1
1
229
29
x ;y  x
; y  2 x  1 và y  2 x  .
2
2
2
54
27

Bài mẫu 4: Cho  C  : y  2 x3  4 x2  x . Viết phương trình các tiếp tuyến của  C  biết tiếp
tuyến tạo với Ox góc 45o .
B1: TXĐ:
B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến    của  C  tại điểm  x0 ; y0  là: y  k ( x  x0 )  y0

k  1
Theo bài ra  , Ox   45o  k  tan 45o  
.
 k  1
B3: Tính y '  6 x2  8x  1

 x0  0  y (0)  0     : y  x

TH1: k  1  6 x  8x0  1  1  
4
28
64 .
4

x0   y         : y  x 

3
27
27
3
2
0

 x0  1  y (1)  1     : y   x

TH2: k  1  6 x  8x0  1  1  
1
1
8 .
1
x0   y         : y   x 

3
27
27
3
2
0

B4: Các tiếp tuyến cần tìm là  C  là: y  x , y  x 

64
8
, y  x , y   x 

.
27
27

1
m
1
Bài mẫu 5: Cho  Cm  : y  x3  x 2  . Gọi M là điểm thuộc  Cm  có hoành độ bằng
3
2
3
1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của  Cm  song song với đường thẳng  d  : 5x  y  0 .
B1: TXĐ:
B2: Tính y '  x2  mx  y '  1  m  1
1 m 1
m
m

y  1        M  1;  
3 2 3
2
2

 Phương trình tiếp tuyến tại M của  Cm  là
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

   : y  y '  1 x  1  y 1  y   m  1 x  1 

m
m
 y   m  1 x   1 .
2
2

m  1  5
m  4

B3: Ta có  d  : y  5x . Do đó    P d    m

 m  4.
m


2

1

0


2
B4: Vậy m  4 thỏa mãn đề bài.
Bài mẫu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của  C  : y 

3x  1
biết tiếp tuyến tạo với tiệm cận
x 1

đứng góc 45 .
B1: TXĐ:

\ 1 . Tính y ' 

4

 x  1

2

B2: Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng  d  : x  1
Giả sử    : y  k  x  x0   y0 là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại  x0 ; y0  .
Vì  d   Ox  ·
 d  , Ox   90  ·
   , Ox   ·
   , Ox   90  45  45

 tan     , Ox   k  tan 45  k  1
 4
 1 l 
2

x

1


 x0  1  2

 x0  3  y0  5
k  1
2
0


  x0  1  4  

 k  1  4  1
 x0  1  2
 x0  1  y0  1

2
  x0  1
 y  1( x  3)  5  x  2
Phương trình tiếp tuyến là 
 y  1( x  1)  1   x
B3: Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  x  2 hoặc y   x
mx 2  (m  1) x  m2  m
. Tìm điểm x0 để với mọi m  0 ,
xm
tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm x0 song song với một đường thẳng cố định. Tìm hệ
số góc của đường thẳng đó.
mx02  2m 2 x0  2m
mx 2  2m 2 x  2m
B1: TXĐ: \ m . Tính y' 

y
'
(

x
)

0
( x  m) 2
( x0  m) 2
B2 : Yêu cầu bài toán là tìm x0 để y’(x0) = k ( hằng số) m  0
mx 2  2m 2 x0  2m
 0
 k , m
( x0  m) 2

Bài mẫu 7: Cho hàm số: (C ) : y 

 (2 x0  2  k )m 2  (2kx0  x02 )m  kx02  0, m  0
2 x0  2  k  0

 2kx0  x02  0
 2
kx0  0
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

TH1:
2 x0  2  k  0
 x0  1



2
2kx0  x0  0   x0  0 (vô lý)
k  0
k  0



TH2:
2 x0  2  k  0
k  2
k  2


2

2kx0  x0  0  k
 x0  0
k  0
x  0
0



B3: Vậy x0 = 0 và k = -2 thì thì tiếp tuyến của (C) tại x0 song song với một đường thẳng cố
định.
3. Tiếp tuyến có hệ số góc thỏa mãn một điều kiện nào đó.
Bài mẫu 1: Cho  C  : y  x3  3x 2  12 x  5 . Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất của  C  .
B1: TXĐ:
B2: Tính y '  3x2  6 x  12

Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của  C  là:

k  y '  x0   3x02  6 x0  12  3  x0 2  2 x0  1  5  3  x0  1  15  15  k  15
2

 min k  15   x0  1  0  x0  1
2

Do đó hệ số góc nhỏ nhất của  C  bằng 15 , đạt được khi và chỉ khi x0  1 .
B4: Ta đi viết phương trình tiếp tuyến của  C  khi hệ số góc k  15
Tính y 1  9  tiếp tuyến của  C  tại 1; 9  là:    : y  15  x  1  9  y  15x  6 .
B5: Tiếp tuyến cần tìm là:    : y  15x  6
1
Bài mẫu 2: Cho y  x3  mx 2  x  m  1  C  . Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
3
của đồ thị là 10 . Viết phương trình các tiếp tuyến đó.
B1: TXĐ:
B2: Tính y '  x2  2mx  1, y ''  2 x  2m  0  x  m .
Bảng biến thiêm của y’

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

Ta thấy min y '  y '( m)  m 2 1  hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến của đồ thị là m2  1
 m2 1  10  m2  9  m  3
B4: Giả sử  x0 ; y0  là tiếp điểm.

TH1: m  3  x0  3, y0  y  3  19

 Phương trình tiếp tuyến là: y  10( x  3) 19  y  10 x  11

TH2: m  3  x0  3, y0  y  3  17
 Phương trình tiếp tuyến là: y  10( x  3)  17  y  10 x  13

B5: Vậy m  3 và phương trình tiếp tuyến cần tìm là y  10 x  11 và y  10 x  13 .
2x
biết tiếp tuyến cắt Ox,
x2
Oy lần lượt tại A và B mà tam giác OAB thỏa mãn AB  2OA .
B1: TXĐ: \ 2

Bài mẫu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

B2: Tính y ' 

4

 x  2

2

.

Giả sử tiếp tuyến cần tìm có dạng  d  : y  k  x  x0   yo với M  x0 ; y0  là tiếp điểm.
Vì VABO vuông tại O, lại có AB  2OA VABO vuông cân tại O
k  1
 góc giữa tiếp tuyến (d) với trục Ox: y = 0 là 45  k  tan 45  1  
 k  1
4

B3: TH1: k  1  
 1  ( x0  2)2  4 (vô nghiệm)
2
( x0  2)

TH2: k  1  

 x0  0  y0  0  M  0;0   O  l 
4
 1  ( x0  2) 2  4  
2
( x0  2)
 x0  4  y0  4  M  4; 4 

 Phương trình tiếp tuyến tại M là  d  : y  1( x  4)  4  y   x  8

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là  d  : y   x  8 .
1 x
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến cách
2x 1
3
một khoảng bằng
.
10

Bài mẫu 4: Cho y 
 1 1
I  ; 
 2 2

B1: TXĐ:
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

B2: Tính y ' 

3

 2 x  1

2

Giả sử M  x0 ; y0    C  , x0 

1  x0
1
3
 y '( x0 ) 
, y0 
2
2
2 x0  1
 2 x0  1

 tiếp tuyến của (C) tại M là    : y  y '( x0 )  x  x0   yo

  : y 

3

 2 x0  1

B3: d  I ;   

2

3

10

 x  x0  

1  x0
2
  : 3x   2 x0  1 y  2 x02  4 x0  1  0
2 x0  1

3 1
2
   2 x0  1  2 x02  4 x0  1
2 2
9   2 x0  1

4



3 2 x0  1

3
3
.


4
10
10
9   2 x0  1

 2 x0  1  1
 x0
 2 x  1  1  x
 2 x0  1  1
4
2
0
 0
  2 x0  1  10  2 x0  1  9  0  


2


2 x0  1  3
x0
 2 x0  1  9




 2 x0  1  3  x0
2



 y '  0   3
    : y  3x  1.
x0  0  
 y  0   1



 y '  1  3
  : y  3  x  1  2     : y  3x  5 .
x0  1  
 y  1  2



1

1
1
1
 y ' 1  
3   : y    x  1     : y   x  .
x0  1  
3
3
3

 y 1  0




1

1
1
5
 y '  2   
3   : y    x  2 1     : y   x  .
x0  2  
3
3
3
 y  2   1


0
 1
1
 2

1
1
1
5
B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y  3x  1 , y  3x  5 , y   x  , y   x  .
3

3
3
3

3  2x
.Viết phương trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến cách
x 1
đều các điểm A  7;6  và B  3;10  .
Bài mẫu 5: Cho  C  : y 

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

B1: TXĐ:

\ 1

B2: Tính y ' 

5

 x  1

2

Giả sử M  x0 ; y0    C   y '( x0 ) 

3

 x0  1

2

, y0 

3  2 x0
x0  1

 tiếp tuyến của (C) tại M là    : y  y '( x0 )  x  x0   yo

  : y 

5

 x0  1

2

 x  x0  

3  2 x0
2
  : 5x   x0  1 y  2 x02  6 x0  3  0
x0  1

B3:  cách đều các điểm A và B khi và chỉ khi:

35  6  x0  1  2 x02  6 x0  3

2

d  A;    d  B;   

25   x0  1

4

15  10  x0  1  2 x02  6 x0  3
2



25   x0  1

4

 8x02  6 x0  32  12 x02  14 x0  8  4 x02  3x0  16  6 x02  7 x0  4
 4 x02  3x0  16  6 x02  7 x0  4
 x02  2 x0  6  0
 x0  1


 2

 x  2
2
2
 4 x0  3x0  16    6 x0  7 x0  4 
 x0  x0  2  0

 0



5

 y ' 1   4
5
5
7
1
x0  1  
  : y    x  1      : y   x  .
4
4
4
2
 y 1  1

2



 y '  2   5
  : y  5  x  2   7     : y  5x  17 .
x0  2  
 y  2   7

5
7

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là y   x  , y  5x  17 .
4
4
2x 1
 C  . Tìm tọa độ điểm M   C  sao cho khoảng cách từ điểm
x 1
I 1; 2 tới tiếp tuyến của  C  tại M đạt giá trị lớn nhất.

Bài mẫu 6: Cho y 

B1: TXĐ:

\ 1

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

B2: Tính y ' 

3

 x  1

2

Giả sử M  x0 ; y0    C   y '( x0 ) 

3

 x0  1

, y0 

2

2 x0  1
x0  1

 tiếp tuyến của (C) tại M là    : y  y '( x0 )  x  x0   yo

  : y  

3

 x0  1

2

 x  x0   2 

3
x0  1

 3x   x0  1 y  2 x02  x0  5  0
2

3  2  x0  1  2 x02  2 x0  1
2

B3: d  I ;   

9   x0  1

4

6 x0  1



9   x0  1

4

6



9

 x0  1

2

  x0  1

2

.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

9

 x0  1

  x0  1  2

9

2

2

 x0  1

.  x0  1  2 9  6
2

2

6
 6.
6

 d  I ,  

B4: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

9

 x0  1

Vậy khoảng cách d  I ;   lớn nhất bằng



M 1  3; 2  3







hoặc M 1  3;2  3





  x0  1 
2

2

 x0  1

2

 3  x0  1  3 .

6 , đạt được khi và chỉ khi x0  1  3 





B5: Vậy M 1  3; 2  3 hoặc M 1  3; 2  3 .
Loại 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm.

C  : y 

f ( x)

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

Có 2 cách làm:
Cách 1
B1: TXĐ
B2: M  x0 ; y0  là tiếp điểm. Tính y '  y '( x0 )
 phương trình tiếp tuyến tại M là  d  : y  y '( x0 )( x  x0 )  y0

1

B3: Vì tiếp tuyến đi qua A  xA ; y A   y A  y '( x0 )( xA  x0 )  y0  x0
Thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

B4: Kết luận.
Cách 2
B1: TXĐ
B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua A có hệ số góc k là    : y  k ( x  xA )  y A

 f ( x)  k ( x  x A )  y A
B3:    tiếp xúc (C)  

 f '( x)  k

1
 2

có nghiệm.

Thay k từ (2) vào (1)  x  k  
B4: Kết luận.
1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.
Bài mẫu 1: Cho  C  : y  4 x3  6 x 2  1. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A  1; 9 
của  C  .
Cách 1
B1: TXĐ:
B2: Tính y '  12 x2  12 x
Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

Giả sử M  x0 ; y0   y '( x0 )  12 x02  12 x0 , y0  4 x03  6 x0 2  1
 tiếp tuyến của (C) tại M là    : y  y '( x0 )  x  x0   yo

    : y  12 x02  12 x0   x  x0   4 x03  6 x02  1 .

B3: Vì    đi qua A  1; 9  nên
5

x0 

9  12 x  12 x0   1  x0   4 x  6 x  1  8x  6 x  12 x0  10  0 
4 .

 x0  1
2
0

3
0

3
0

2
0

2
0



15


y '  x0  

15
5
21
15 
5 9

4
 : y  x 
 : y  x .
x0   
4
4
4
4
4  16
yx    9
0

16



 y '  x0   24
  : y  24  x  1  9   : y  24 x  15 .
x0  1  
 y  x0   9

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là    : y 

15
21
và    : y  24 x  15 .
x
4
4

Cách 2
B1: TXĐ:
B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua A  1; 9  có hệ số góc k là    : y  k ( x  1)  9
3
2

4 x  6 x  1  k ( x  1)  9
B3: (d) tiếp xúc (C)   2

12 x  12 x  k

1
 2

có nghiệm

Thay (2) vào (1) ta có
5

x

1  4 x  6 x  1  12 x  12 x  ( x  1)  9  8 x  6 x  12 x  10  0   4

 x  1
3



2

2

3

2

  5  15
 y ' 4   4
15
21
5
15 
5 9
  
  : y   x   
  : y  x  .
x  
4
4
4
4
4  16
y 5    9



  4 
16

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831



 y '  1  24
    : y  24  x  1  9     : y  24 x  15 .
x  1  
 y  1  9

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là    : y 

15
21
và    : y  24 x  15 .
x
4
4

Bài mẫu 2: Cho hàm số  C  : y  3x  4 x3 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3).
B1: TXĐ:
B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua A 1;3 có hệ số góc k là    : y  k ( x  1)  3
3


3x  4 x  k ( x  1)  3
B3:    tiếp xúc (C)  
2

3  12 x  k

1
có nghiệm.
 2

Thay (2) vào (1) ta có
3x  4 x3  (3  12 x 2 )( x  1)  3  3x  4 x3  3x  3  12 x 3  12 x 2  3
x  0
 8 x  12 x  0  
x  3

2

k  y '  0   3
    : y  3  x  0   0     : y  3x .
x0  

 y  0  0
3





2


3
k  y '  2   24
3
3

 

  : y  24  x    9     : y  24 x  27 .
x  
2
2

 y  3   9


  2 

B4: Vậy tiếp tuyến cần tìm là    : y  3x và    : y  24 x  27 .

x2  x  1
Bài mẫu 3: Cho hàm số: (C ) : y 
. CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0)
x 1
và vuông góc với nhau.
B1: TXĐ:
B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua A 1;0  có hệ số góc k là    : y  k ( x  1)
Ta có: y 

x2  x  1
1
 x 1
x 1
x 1

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn


Thầy Hoàng Hải-0966405831

B3:   

1

 x  1  x  1  k ( x  1) (1)
tiếp xúc (C)  
có nghiệm.
1  1 2  k
(2)
 ( x  1)

Thay (2) vào (1) ta có
x 1


1
1 
1

x 1
1
x 1
 1 
( x  1)  x  1 
 x 1


20
2 
2
x  1  ( x  1) 
x 1
( x  1)
x  1 ( x  1) 2


3  5
x

x  1  x  1  2( x  2 x  1)
2

 0  2x2  6 x  2  0  
2
( x  1)

3  5
x 


2
2

 x1 

 x2 









  1 

1 5 3  5
3  5
1
4
1 5
1 5
 k1  1 

1





2
2
4
2
62 5 3 5
 3  5 

1


2


3  5
1
4
1 5
 k2  1 
 1


2
2
6 2 5 3 5
 3  5 
 1

2



B4: Ta có k1.k2  



5 1 3  5
4

5

2

1  5 1  5
5 1
.

 1
2
2
2

 Hai tiếp tuyến tại A vuông góc với nhau.

Bài mẫu 4: Cho  C  : y  2 x3  3x 2  12 x  1. Tìm những điểm thuộc  C  mà tiếp tuyến tại
đó đi qua gốc tọa độ.
B1: TXĐ:
B2: Giả sử phương trình tiếp tuyến qua O  0;0  có hệ số góc k là    : y  kx
3
2


2 x  3x  12 x  1  kx
B3:    tiếp xúc (C)   2

6 x  6 x  12  k

1
 2

có nghiệm.

Thay (2) vào (1) ta có
2 x3  3x2  12 x  1   6 x 2  6 x  12  x  4 x3  3x 2  1  0  x  1

Dạy kèm trực tuyến,dạy kèm offline,dạy nhóm tại lớp- Live.edu.vn