Hệ thống các sai lầm phổ biến của học sinh lớp 4,5 khi giải toán có lời văn trong chương trình toán 4,5

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán ở trờng Tiểu học bên cạnh mục tiêu trang bị kiến
thức toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho học sinh các năng
lực toán học. Trong đó, hoạt động giải toán đợc xem là hình
thức chủ yếu để hình thành phẩm chất và năng lực toán
học cho học sinh vì thông qua hoạt động giải toán, học sinh
nắm vững tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo và phát triển t
duy sáng tạo. Bản thân dạy học giải toán mang trong mình các
chức năng: chức năng giáo dỡng, chức năng giáo dục, chức năng
phát triển và kiểm tra. Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện
để thực hiện tốt các mục tiêu dạy học toán và tổ chức có hiệu
quả việc dạy học giải toán có vai trò quyết định đối với chất lợng
dạy học toán.
Kết quả khảo sát trong nhiều năm qua cho thấy, chất lợng
dạy học toán ở trờng tiểu học cha đạt kết quả nh mong muốn,
biểu hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn nhiều hạn chế do
học sinh còn mắc nhiều sai lầm về kiến thức và kĩ năng trong
khi nhiều giáo viên còn thiếu hụt kinh nghiệm trong việc phát
hiện các sai lầm, tìm nguyên nhân sai lầm và đa ra các biện
pháp để sửa chữa các sai lầm.
Xung quanh vấn đề sai lầm trong giải toán, trên thế giới đÃ
có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến vấn đề này.
I.A.Komensky đà khẳng định: "Bất kỳ một sai lầm nào cũng có
thể làm cho học sinh học kém đi nếu nh giáo viên không chú ý
ngay tới sai lầm đó bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và
sửa chữa, khắc phục sai lầm". A.A. Stoliar còn nhấn mạnh:
"Không đợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm
1

của học sinh". G.Pôlya thì cho rằng: "Con ngời phải biết học từ
những sai lầm và những thiếu sót của mình".
Từ những suy nghĩ trên tôi chọn sáng kiến: "Hệ thống các
sai lầm phổ biến của học sinh lớp 4,5 khi giải toán có lời văn trong
chơng trình toán 4,5".

Nội dung
I. giải toán có lời văn
Toán có lời văn là một trong 6 mạch kiến thức toán cơ bản ở
tiểu học và đợc phân bố từ lớp 1 đến lớp 5. Trong chơng trình lớp
4,5 toán có lời văn có trong 8 dạng toán sau :
* Tìm số trung bình cộng
* Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó
* Tìm hai số khi biết tổng và tØ sè cđa hai sè
* T×m hai sè khi biÕt hiệu và tỉ số của hai số
* Giải toán về tỉ số phần trăm
* Giải toán về đại lợng tỉ lệ (thuận, nghịch)
* Giải toán có liên quan đến chu vi, diện tích, thể tích các
hình
* Giải toán về chuyển động đều.
Hoạt động giải toán có lời văn góp phần quan trọng trong
việc thực hiện các mục tiêu của dạy học toán. Thông qua giải toán
có lời văn, HS biết cách vận dụng những kiến thức toán học và rèn
luyện kĩ năng thực hành với những yêu cầu đợc thể hiện một
cách đa dạng, phong phú. Nhờ việc dạy học giải toán mà HS có
điều kiện phát triển năng lực t duy, rèn luyện phơng pháp suy
luận và hình thành những phẩm chất cần thiết của ngời lao
động mới.
Các bài toán có lời văn trong chơng trình lớp 4,5 chủ yÕu lµ
2

các bài toán hợp. Một lời giải đầy đủ cho bài toán có lời văn phải
đảm bảo các yêu cầu sau:
- Xác lập đợc mối liên hệ giữa cái đà cho và cái phải tìm
trong điều kiện cụ thể của bài toán.
- Đặt đợc các câu trả lời cùng các phép tính đúng cho mỗi
câu trả lời.
- Tìm đợc đáp số của bài toán.
Theo Pôlya thì quá trình giải một bài toán gồm 4 bớc:
Trớc hết, phải hiểu bài toán (thấy rõ phải tìm gì ?)
Thứ hai, phải nắm đợc mối quan hệ giữa các yếu tố khác
nhau của bài toán, giữa cái cha biết với những cái đà biết để
tìm thấy cái ý của cách giải, để vạch ra đợc chơng trình (dự
kiến).
Thứ ba, là thực hiện chơng trình đó.
Thứ t, là nhìn lại cách giải một lần nữa, nghiên cứu và phân
tích nó.
Cũng theo Pôlya, HS có thể tránh đợc những sai lầm bằng
cách thử lại từng bớc khi thực hiện chơng trình.
II. tìm hiểu thực trạng về những sai lầm phổ biến của học sinh
lớp 4,5 khi giải toán có lời văn
Chúng tôi hiểu và sử dụng thuật ngữ sai lầm phổ biến
của HS khi giải toán với ý nghĩa là: điều trái với yêu cầu khách
quan (yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm, định nghĩa,
tính chất, quy tắc, phơng pháp suy luận ), dẫn tới không đạt
đợc yêu cầu của việc giải toán mà những điều này xuất hiện với
tần số cao trong lời giải của nhiều HS.
Với cách hiểu trên, chúng tôi đà nghiên cứu các sai lầm phổ
biến của HS lớp 4, 5 khi giải toán có lời văn.

Tìm hiểu từ giáo viên: Tìm hiểu mức độ sai lầm, nguyên
nhân sai lầm của HS lớp 4,5 khi giải toán có lời văn biểu hiện qua
năng lực giải toán có lời văn mà giáo viên quan sát đợc trong quá
trình dạy học toán. Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy: HS còn
phạm nhiều sai lầm khi giải toán và mọi đối tợng HS đều
có thể mắc sai lầm khi giải toán. Cụ thể nh sau:
3


- 100% ý kiến đồng ý với nhận định cho rằng HS còn mắc
các sai lầm khi giải toán.
- 91% ý kiÕn cho r»ng sai lÇm cđa HS xt hiƯn khá phổ
biến; 8% cho rằng sai lầm ít phổ biến; 1% cho rằng hiếm khi
xuất hiện sai lầm.
Về nguyên nhân của các sai lầm, các giáo viên đợc hỏi đà cho
biết:
Nguyên nhân sai lầm của HS
1. Không hiểu khái niệm, kí hiệu
2. Không nắm vững quy tắc, công thức, tính

% ý kiến
đồng ý
38,0
67,0

chất toán học

3. Không lôgíc trong suy luận
4. Không nắm vững PP giải các bài toán điển

52,0
55,0

hình
5. Không thấy đợc mối quan hệ giữa các yếu tố

73,0

toán học

6. Tính toán nhầm lẫn
7. Diễn đạt, trình bày kém

41,0
65,0

Tìm hiểu từ học sinh
- HS còn mắc nhiều sai lầm khi giải toán có lời văn, kể cả HS
khá, giỏi.
- Việc lĩnh hội tri thức toán học của HS, đặc biệt là các khái
niệm mới đợc đa vào chơng trình tiểu học còn gặp nhiều khó
khăn mà đôi khi lại xuất phát từ sự lúng túng về phơng pháp dạy
học của GV.
- NhiỊu GV cha lu ý cho HS nh÷ng sai lầm có thể mắc phải
khi giải toán.
- Sự cần thiết phải có một nghiên cứu khoa học về các sai
lầm của HS khi giải toán có lời văn trên các phơng diện: thể hiện,
nguyên nhân, ngăn ngừa, khắc phục để nâng cao hiệu quả dạy
học toán.
III. Hệ thống những sai lầm phổ biến của học sinh lớp 4, 5 khi

giải toán có lời văn.
Trong sáng kiến này, chúng tôi không đặt nhiệm vụ thống kê
mọi sai lầm của HS tiểu học khi giải toán có lời văn, mà chỉ nêu
4


lên những sai lầm phổ biến của HS, kể cả HS khá giỏi. Đó là các
sai lầm chủ yếu có nguyên nhân từ kiến thức của HS. Đây là
những sai lầm mà qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy có tần số
cao trong các lời giải toán của HS. Những sai lầm này có khi khá
tinh vi, mà nhiều khi khó phát hiện kịp thời. Việc hệ thống các
sai lầm của HS khi giải toán cũng là một công việc không dễ
dàng. Để thuận lợi cho việc theo dõi, chúng tôi xin trình bày 28
thí dụ phân theo 5 dạng toán có lời văn thờng gặp ở chơng
trình toán lớp 4,5. Trong mỗi dạng toán, chúng tôi có đa ra các
nhận định khái quát về các sai lầm phổ biến mà HS thờng mắc
phải đối với dạng toán đó kèm theo các thí dụ minh hoạ. Các thí
dụ (hay các tình huống sai lầm) trong mỗi dạng toán đợc sắp
xếp theo mức độ sai lầm từ dễ phát hiện tới khó phát hiện. ở mỗi
thí dụ đều có phần trình bày lời giải sai của HS và phần phân
tích sai lầm. Ngoài ra, ở một số thí dụ cần nhấn mạnh, chúng tôi
còn dẫn ra lời giải đúng cho các thí dụ.
1. Sai lầm khi giải toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu
của hai số đó
Sai lầm thờng gặp của HS khi giải dạng toán này là:
* Tính sai tổng
* Tính sai hiệu
* áp dụng sai công thức tìm số thứ hai sau khi đà tìm đợc số
thứ nhất.
Sau đây là một vài thí dụ:

Thí dụ 1. Cả hai lớp 4A và 4B trồng đợc 600 cây. Lớp 4A trồng
đợc ít hơn lớp 4B 50 cây. Hỏi mỗi lớp trồng đợc bao nhiêu cây ?
(Toán 4, tr. 47).
? Số cây lớp 4A trồng đợc là:
(600 50) : 2 = 275 (cây)
Số cây lớp 4B trồng đợc là:
5


275 50 = 225 (cây)
! ở thí dụ trên, khái niệm số lớn, số bé đợc thay bằng số
cây trồng đợc của 4B, 4A. hiệu đợc diễn đạt bằng từ ít hơn.
Học sinh đà có sự nhầm lẫn công thức tìm số lớn (khi đà tìm đợc
số bé) do quan niệm ít hơn thì phải thực hiện phép trừ.
Sai lầm cũng có thể diễn ra theo hớng ngợc lại khi tìm số bé
bằng cách lấy số lớn cộng với hiệu số.
Thí dụ 2. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi bằng
140m, chiều dài hơn chiều rộng 10m. TÝnh diƯn tÝch thưa
rng.
? ChiỊu réng thưa rng lµ:
(140 – 10) : 2 = 65 (m)
ChiỊu dµi thưa rng lµ:
65 + 10 = 75 (m)
Diện tích thửa ruộng là:
75 ì 65 = 4 875 (m2).
! Sai lầm này khá phổ biến vì học sinh đà nhầm lẫn chu vi
hình chữ nhËt chÝnh lµ tỉng cđa chiỊu dµi vµ chiỊu réng hình
chữ nhật.
Thí dụ 3. Anh hơn em 6 tuổi. Sau 4 năm nữa tổng của
tuổi anh và tuổi em là 26. Tính tuổi của mỗi ngời hiện nay.

? Sau 4 năm, anh hơn em là:
6 + 4 = 10 (tuổi)
Tuổi em sau nµy lµ:
(26 – 10) : 2 = 8 (ti)
Ti anh sau nµy lµ:
26 – 8 = 18 (ti)
Ti em hiƯn nay nµy lµ:
8 – 4 = 4 (ti)
Ti anh hiƯn nay lµ:
6


18 4 = 14 (tuổi).
! Học sinh đà mắc sai lầm ngay từ phép tính đầu tiên (tìm
hiệu).
Lời giải đúng nh sau:
Sau 4 năm thì anh vẫn hơn em 6 ti.
Ti em sau nµy lµ:
(26 – 6) : 2 = 10 (ti)
Ti anh sau nµy lµ:
10 + 6 = 16 (ti)
Ti em hiƯn nay lµ:
10 – 4 = 6 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
16 4 = 12 (tuổi)
Đáp sè: Anh 12 ti, em 6 ti.
ThÝ dơ 4. Hai xe ô tô chở 212 bao xi măng. Nếu chuyển 6
bao ë xe thø nhÊt sang xe thø hai th× số bao ở hai xe bằng nhau.
Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu tấn biết mỗi bao xi năng nặng 50kg ?
? Khi chuyÓn 6 bao ë xe thø nhÊt sang xe thø hai th× sè bao ë

2 xe b»ng nhau. Vậy xe thứ nhất hơn xe thứ hai là 6 bao. Sè bao xe
thø nhÊt chë lµ:
(212 – 6) : 2 = 103 (bao)
Sè bao xe thø hai chë lµ:
212 – 103 = 109 (bao)
Xe thø nhÊt chë sè tÊn là:
50 ì 103 = 5 150 (kg)
5 150kg = 5,15 tấn
Xe thứ hai chở số tấn là:
50 ì 109 = 5 450 (kg)
5 450kg = 5,45 tÊn.

7


! ở thí dụ trên, học sinh đà nhầm lẫn hiệu. Hiệu đúng phải
là:
6 + 6 = 12 (bao)
2. Sai lầm khi giải toán trung bình cộng
Các sai lầm của HS khi giải toán trung bình cộng chủ yếu
bị lầm lẫn giữa giá trị với đại lợng; không thiết lập đợc sự tơng
ứng giữa giá trị với đại lợng.
Sau đây là một số thí dụ:
Thí dụ 1. Một bao gạo cân nặng 50kg, một bao ngô cân
nặng 60kg. Một xe ô tô chở 30 bao gạo và 40 bao ngô. Hỏi xe ô tô
đó chở tất cả bao nhiêu ki - lô - gam gạo và ngô ? (Toán 4, tr. 62)
? Tổng số bao xe ô tô chở là:
30 + 40 = 70 (bao)
Trung bình một bao nặng là:
(50 + 60) : 2 = 55 (kg)

Số gạo và ngô ô tô đó chở là:
55 ì 70 = 3 850 (kg).
! Trong lời giải trên, số bao gạo khác số bao ngô do vậy không
thể cộng khối lợng gạo và ngô để tính khối lợng trung bình cho
mỗi bao.
Thí dụ 2. Một đội sản xuất có 25 ngời. Tháng Giêng đội
làm đợc 855 sản phẩm, tháng Hai đội làm đợc 945 sản phẩm,
tháng Ba đội làm đợc 1350 sản phẩm. Hỏi trong cả ba tháng đó
trung bình mỗi ngời làm đợc bao nhiêu sản phẩm ?
? Số sản phẩm trung bình mỗi ngời làm đợc là:
(855 + 945 + 1350) : 3 = 1 050 (sản phẩm).
! Trong trờng hợp này học sinh bị nhầm lẫn số sản phẩm
trung bình mỗi ngời làm đợc trong ba tháng với số sản phẩm
trung bình trong ba tháng của cả đội sản xuất.

8


Thí dụ 3. Có hai cửa hàng, mỗi cửa hàng đều nhận về
7128m vải. Trung bình mỗi ngày cửa hàng thứ nhất bán đợc 264m
vải, cửa hàng thứ hai bán đợc 297m vải. Hỏi cửa hàng nào bán hết
số vải đó sớm hơn và sớm hơn mấy ngày ? (Toán 4, tr. 86).
? Số vải hai cửa hàng nhận về nh nhau mà cửa hàng thứ hai
mỗi ngày bán nhiều hơn cửa hàng thứ nhất nên cửa hàng thứ hai
sẽ bán hết sớm hơn. Số ngày cửa hàng thứ hai bán hết sớm hơn
cửa hàng thứ nhất là:
7128 : (297 264) = 216 (ngày).
! ở đây, học sinh đà có sự nhầm lẫn với dạng toán tìm 2 số
khi biết 2 hiệu. 7128m vải bị hiểu lầm thành số vải mà cửa hàng
thứ hai bán đợc nhiều hơn cửa hàng thứ nhất.

Thí dụ 4. Một ngời đi bộ từ A đến B, nửa chặng đờng
đầu đi với vận tốc 6 km/giờ và nửa chặng đờng sau đi với vận
tốc 4 km/giê. BiÕt thêi gian ®i tõ A ®Õn B là 2 giờ, tính quÃng đờng AB.
? Trung bình mỗi giờ ngời đó đi đợc:
(6 + 4) : 2 = 5 (km/giờ)
QuÃng đờng AB dài là:
5 ì 2 = 10 (km)
Đáp số: 10 km.
! Để tính vận tốc trung bình của một chuyển động thì
điều quan trọng là thời gian đi trên mỗi chặng đờng phải bằng
nhau. ở thí dụ trên, học sinh đà bị lầm điều kiện thời gian với
điều kiện quÃng đờng do đó đà mắc sai lầm khi t×m vËn tèc
trung b×nh.
ThÝ dơ 5. ë mét World cup, có một đội bóng mà tuổi của
đội trởng nhiều hơn tuổi trung bình của 11 cầu thủ trên sân
là 10 ti. TÝnh ti cđa ®éi trëng biÕt ti trung bình của 10
cầu thủ (không tính đội trởng) là 20.
9


? Tuổi của đội trởng là:
20 + 10 = 30 (tuổi).
! Tuổi trung bình của 11 cầu thủ (kể cả đội trởng) thì
không thể là tuổi trung bình của 10 cầu thủ (không kể đội trởng) do vậy phép cộng ở trên là sai.
3. Sai lầm khi giải toán liên quan đến tỉ số
Các bài toán trong chơng trình lớp 4,5 có liên quan đến tỉ
số là các bài toán có dạng:
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số
Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
Toán về đại lợng tỉ lệ thuận

Toán về đại lợng tỉ lệ nghịch.
Các sai lầm phổ biến của HS khi giải các dạng toán trên là:
* Tính sai tổng (hoặc hiệu, tỉ)
* Lầm lẫn giữa đại lợng tỉ lệ thuận với đại lợng tỉ lệ nghịch
* Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo.
Sau đây là một số thí dụ tiêu biểu:
Thí dụ 1. Một hình chữ nhật có chu vi là 350m, chiều rộng
bằng

3
chiều dài. Tìm chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật
4

đó (Toán 4, tr. 148).
? Tổng số phần bằng nhau là:
3 + 4 = 7 (phần)
Chiều dài hình chữa nhật là:
350 : 7 ì 4 = 200 (m)
Chiều rộng hình chữ nhật là:
350 200 = 150 (m)
Đáp số:

Chiều dài: 200m
Chiều réng: 150m.

10


! ở trờng hợp này học sinh đà tính nhầm tổng do không
phân tích kỹ đề bài và do biểu tợng chu vi, nửa chu vi còn

mờ nhạt do vậy đà nhầm lẫn nửa chu vi (tổng ) thành chu vi (2
lần tổng).
Thí dụ 2. Một ngời đà bán đợc 280 quả cam và quýt trong
đó số cam bằng 0,4 lần số quýt. Tìm số cam, số quýt đà bán.
? Số cam ngời đó đà bán là:
280 ì 0,4 = 112 (quả)
Số quýt ngời đó bán là:
280 112 = 168 (quả).
! Lời giải đà mắc sai lầm do hiểu không đúng về tỉ số
giữa cam và quýt, bị lúng túng bởi khái niệm 0,4 lần do vậy đÃ
giải sai mà kết quả lời giải này là số cam bằng 0,4 lần tổng số
cam và quýt.
Lời giải đúng nh sau:
Số cam bằng 0,4 lần số quýt nghĩa là tỉ số cam và quýt là:
0,4 =

4 2
=
10 5

Tổng số phần bằng nhau là:
2 + 5 = 7 (phần )
Số cam là:
280 : 7 ì 2 = 80 (quả)
Số quýt là:
280 80 = 200 (quả)
Đáp số:

Cam: 80 quả
Quýt: 200 quả.

Thí dụ 3. Mẹ hơn con 27 tuổi. Sau 3 năm nữa sè ti mĐ
sÏ gÊp 4 lÇn sè ti con. TÝnh tuổi của mỗi ngời hiện nay (Toán
4, tr. 176).
? Nếu coi tuổi con là một phần thì tuổi mẹ là bèn phÇn b»ng
nhau nh thÕ.
11


Hiệu số phần bằng nhau là:
4 1 = 3 (phần).
Tuổi con là:
27 : 3 = 9 (tuổi).
Tuổi mẹ là:
9 × 4 = 36 (ti).
! Häc sinh vËn dơng mét cách máy móc công thức giải bài
toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó mà không
phân tích kỹ đề bài do vậy đà nhầm lẫn tuổi mẹ và con 3 năm
sau với tuổi mẹ và con hiện nay.
(Sai lầm cho rằng tỉ số tuổi mẹ và con không đổi theo
thời gian).
? Sau 3 năm nữa mẹ hơn con số tuổi là:
27 + 3 = 30 (tuổi)
Nếu coi tuổi con là một phần thì tuổi mẹ là bốn phần bằng
nhau nh thế.
Hiệu số phần bằng nhau là:
4 1 = 3 (phần).
Tuổi con sau này lµ:
30 : 3 = 10 (ti).
Ti mĐ sau nµy lµ:

10 × 4 = 40 (ti).
Ti con hiƯn nay lµ:
10 – 3 = 7 (ti).
Ti mĐ hiƯn nay lµ:
40 – 3 = 37 (tuổi).
! Học sinh đà mắc sai lầm khi tính hiệu (cho rằng hiệu tuổi
mẹ và con thay đổi theo thời gian).
? Sau 3 năm nữa thì mẹ vẫn h¬n con 27 ti.

12


Nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi mẹ là 4 phần bằng
nhau nh thế.
Tuổi con sau 3 năm lµ:
27 : (4 – 1) = 9 (ti).
Ti con hiƯn nay lµ:
9 – 3 = 6 (ti).
Ti mĐ hiƯn nay là:
6 ì 4 = 24 (tuổi).
! Học sinh đà tính ®óng ti con hiƯn nay nhng l¹i tÝnh sai
ti mĐ hiện nay do mắc sai lầm khi cho rằng tỉ sè ti mĐ vµ
con hiƯn nay cịng lµ 4.
ThÝ dơ 4. Một sân trờng hình chữ nhật trên bản vẽ đợc vẽ
theo tỉ lệ xích

1
, có số đo chiều dài là 12cm và chiều rộng là
100

8cm. Tính diện tích sân trờng trên thực tế.
? Diện tích sân trờng trên bản vẽ là: 12 ì 8 = 96 (cm2)
Diện tích sân trờng trên thực tế là: 96 ì 100 = 9 600 (cm2).
! Lời giải trên đà hiểu sai về tỉ lệ xích nên tính diện tích
thực tế là 96 ì 100 = 9600 (cm2). NÕu hiĨu ®óng vỊ tØ lƯ xích
thì kích thớc thực tế của sân trờng phải có chiều dài gấp 100
lần và chiều rộng cũng gấp 100 lần, do đó diện tích phải gấp
lên là : 100 ì 100 = 10 000 (lần). Vậy diện tích sân trờng thực
tế là: 96 ì 10 000 = 960 000 (cm2).
Thí dụ 5. Một đội công nhân trồng rừng, bình quân trong
3 ngày trồng đợc 1000 cây. Hỏi với mức trồng nh vậy, trong 12
ngày đội công nhân đó trồng đợc bao nhiêu cây thông? (Toán 5
- tài liệu thử nghiệm, tập 1, tr. 20).
? Trung bình một ngày đội công nhân trồng đợc là:
1000 : 3 = 333 (d 1) cây.
Trong 12 ngày, đội công nhân trồng đợc:
13


333 ì 12 + 1 = 3 997 (cây).
! ở thí dụ trên, học sinh đà phạm phải sai lầm sau:
- áp dụng máy móc phơng pháp rút về đơn vị.
- Sử dụng thơng gần đúng để tính toán trong c¸c phÐp
tÝnh tiÕp theo dÉn tíi mÊt chÝnh x¸c.
4. Sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm
Khi giải các bài toán về tỉ số phần trăm, HS thờng bộc lộ các hạn
chế sau:
* Lúng túng khi chọn đại lợng làm đơn vị quy ớc (100%)
* Biểu thị sai các đại lợng còn lại sau khi đà chọn đại lợng làm
đơn vị quy ớc.

* Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo.
Sau đây là một số thí dơ:
ThÝ dơ 1. Mét ngêi bá ra 42 000 ®ång tiền vốn mua trái
cây. Sau khi bán hết số trái cây ngời đó thu đợc 52 500 đồng.
Hỏi ngời đó lÃi bao nhiêu phần trăm ? (Toán 5 - tài liệu thử
nghiệm, tập 1, tr. 81).
? Số phần trăm tiền lÃi thu đợc là:
42 000 : 52 500 = 0,8 = 80%.
! Khi mới học về tỉ số phần trăm, học sinh thờng mắc sai
lầm khi tìm tỉ số phần trăm của 2 số bằng cách lấy số bé chia
cho số lớn mà ít quan tâm đến tỉ lệ của các đại lợng (A so với B
hay B so với A?). Cách giải trên đà nhầm lẫn với tìm tỉ số phần
trăm của tiền vốn so với tiền thu về.
? Số phần trăm tiền lÃi thu đợc là:
52 500 : 42 000 = 1,25 = 125%.
! Lời giải này có sự nhầm lẫn giữa tỉ lệ phần trăm tiền lÃi với
tỉ lệ phần trăm tiền thu về (so với tiền vèn).
? Sè tiÒn thu vÒ b»ng tiÒn vèn céng tiÒn lÃi. Tỉ số phần
trăm giữa tiền vốn và tiền thu vỊ lµ:
14


42000 : 52500 = 0,8 = 80%
Vậy số phần trăm tiền lÃi là:
100% 80% = 20%
Đáp số: 20%.
! ở trờng hợp này, học sinh đà có sự ngộ nhận về tiền lÃi.
Phần trăm tiền lÃi phải đợc tính bằng tỉ số giữa tiền lÃi và tiền
vốn chứ không phải tÝnh b»ng tØ sè gi÷a tiỊn l·i víi tiỊn thu về.
Thí dụ 2. Năm vừa qua, một nhà máy đà chế tạo đợc 1 590

xe máy. Tính ra nhà máy đà đạt 120% kế hoạch. Hỏi theo kế
hoạch nhà máy dự tính sản xuất bao nhiêu xe máy ?
? Số xe máy nhà máy dự định sản xuất là:
1590 ì 120 :100 = 1 908 (xe máy).
! Học sinh đà nhầm lẫn với dạng bài tìm tỉ số phần trăm của
một số cho trớc. Mặt khác do không nắm vững các khái niệm kế
hoạch, dự định và yếu về trực giác toán học nên đà không
phát hiện ra mâu thuẫn giữa kết quả và đầu bài. Theo đầu bài,
nhà máy đà vợt kế hoạch (đạt 120% kế hoạch), nhng kết quả lại là
không đạt kế hoạch (1590 < 1908).
Thí dụ 3. Năm 2000 số dân của một phờng là 15 625 ngời.
Năm 2001 số dân của phờng đó là 15 875 ngời.
a) Hỏi từ năm 2000 đến năm 2001, số dân của phờng đó
tăng thêm bao nhiêu phần trăm ?
b) Nếu từ năm 2001 đến năm 2002 số dân của phờng đó
cũng tăng thêm bấy nhiêu phần trăm thì số dân phờng đó năm
2002 là bao nhiêu ngời ? (Toán 5 - tµi liƯu thư nghiƯm, tËp 2, tr.
84).
? a) Tỉ số phần trăm của dân số năm 2001 so với năm 2000
của phờng đó là:
15 875 : 15 625 = 1,016 = 101,6%
Số phần trăm dân số tăng lên sau một năm là:
15


101,6% 100% = 1,6%
b) Sau 2 năm, số phần trăm dân số tăng lên là:
1,6% ì 2 = 3,2%
Dân số của phờng năm 2002 là:
15 625 + 15 625 ì 3,2% = 16 125 (ngời )

Đáp số: 16 125 ngời.
! Học sinh mắc sai lầm khi cho rằng mức tăng dân số qua
mỗi năm đều là 1,6% thì có thể cộng hoặc nhân các tỉ số này
để tính toán. Thực tế, 1,6% số dân của năm 2002 khác 1,6% số
dân của năm 2001 do vậy phép nhân 1,6% ì 2 không có ý
nghĩa.
Thí dụ 4. Một cửa hàng nhân ngày quốc tế phụ nữ mồng 8
tháng 3 đà giảm giá 10%. Tính ra cửa hàng vẫn lÃi 8%. Hỏi ngày
thờng cửa hàng lÃi bao nhiêu phần trăm ?
? Gọi vốn là 100%, giá bán trong ngày 8/3 bằng: 100% + 8%
= 108%.
Giá bán ngày thờng là:
108% + 10% = 118%.
! 108% là tỉ số giữa giá bán trong ngày 8 tháng 3 so với vốn
(coi vốn là đơn vị) còn 10% là phân số chỉ mức giảm của giá
bán ngày 8 tháng 3 so với ngày thờng (coi giá bán ngày thờng là
đơn vị). Hai đơn vị đo khác nhau kh«ng thĨ céng cho nhau.
Häc sinh thùc hiƯn phÐp cộng vì đà đồng nhất 2 đơn vị đó với
nhau.
Dới đây là một cách giải đúng:
Gọi vốn là 100% thì giá bán trong ngày 8 tháng 3 bằng
100% + 8% = 108%. Ngày 8 tháng 3 hạ giá 10% (so với ngày thờng), vậy giá bán trong ngày 8 tháng 3 bằng 100% 10% = 90%
(giá ngày thờng)
90% giá ngµy thêng b»ng 108% vèn.
16


Vậy ngày thờng giá bán là:
108% :

90
= 120% (so với vốn)
100

Số phần trăm lÃi ngày thờng là:
120% 100% = 20%
Đáp số: 20%.
Thí dụ 5. Lợng nớc trong hạt tơi là 15%, trong hạt khô là 5%. Hỏi
200kg hạt tơi sau khi phơi cho bao nhiêu ki - lô - gam hạt khô ? (Tạp
chí Toán tuổi thơ, số 27).
? Sau khi phơi hạt tơi, tỉ số phần trăm nớc giảm đi là:
15% 5% = 10%
Sau khi phơi 200kg hạt tơi thì lợng nớc giảm đi là:
200 ì 10% = 20 (kg)
Khối lợng hạt khô thu đợc là:
200 20 = 180 (kg)
Đáp số: 180kg hạt khô.
! Do đồng nhất khối lợng hạt tơi với hạt khô nên học sinh đà sai
lầm ngay từ phép tính đầu tiên. ở bài toán này khối lợng hạt tơi
khác khối lợng hạt khô, do vậy không thể lấy 15% của hạt tơi trừ đi
5% của hạt khô.
Lời giải đúng nh sau:
Khi phơi chỉ có lợng nớc bị giảm còn lợng hạt không bị giảm.
Lợng hạt có trong 200kg hạt tơi là:
200 ì (100 15)% = 170 (kg)
Số phần trăm chỉ 170 kg trong hạt khô là:
100% 5% = 95%
Khối lợng hạt khô thu đợc sau khi phơi là:
170 : 95 ì 100 = 178

18
(kg).
19

ThÝ dơ 6. Ba ngêi thỵ chia nhau mét sè tiỊn c«ng nh sau:

17


Ngời thứ nhất hơn ngời thứ hai 20% và hơn ngời thứ ba là
25%. Ngời thứ hai đà nhận 360 000đ. Hỏi hai nguời kia mỗi ngời
nhận đợc bao nhiêu tiỊn ?
? Ta cã 20% =

1
;
5

25% =

1
4

Sè tiỊn c«ng ngêi thứ nhất hơn ngời thứ hai là:
1
= 27 000 (đồng)
5

360 000 ì

Số tiền công ngời thứ nhất là:
360 000 + 72 000 = 432 000 (đồng)
Số tiền công ngời thứ ba kém ngời thứ nhất là:
432 000 ì

1
= 108 000 (đồng)
4

Số tiền công ngời thứ ba là:
432 000 108 000 = 324 000 (đồng)
Đáp số:

Ngời thứ nhất: 432 000 ®ång
Ngêi thø ba: 324 000 ®ång.

! Häc sinh ®· sai ở phép toán thứ hai khi cho rằng 72 000
đồng
(360 000 ì

1
) là số tiền công ngời thứ nhất hơn ngời thứ
5

hai. Theo cách trình bày trên học sinh đà cho r»ng ngêi thø nhÊt
h¬n ngêi thø hai 20% tiỊn công của ngời thứ hai trong khi đề bài
phải hiểu là 20% của ngời thứ nhất. Do sai lầm từ phép toán thứ
hai nên các phép toán sau dù đúng về ý nghĩa nhng lại sai về kết
quả.
Lời giải đúng nh sau:

Ta cã : 20% =

1
;
5

25% =

1
4

Ph©n sè chØ sè tiỊn cđa ngêi thø hai so víi ngêi thø nhÊt lµ:
1–

1
4
=
5
5

18


Số tiền công của ngời thứ nhất là:
360 000 :

4
= 450 000 (đồng)
5

Phân số chỉ số tiền của ngời thứ ba so víi ngêi thø nhÊt lµ:
1–

1 3
=
4 4

Sè tiỊn công của ngời thứ ba là:
450 000 ì

3
= 337 500 (đồng)
4

Đáp số:

Ngời thứ nhất: 450 000 đồng
Ngời thứ ba: 337 500 đồng.

Thí dụ 7. 80% số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam là 20%.
Hỏi số bạn nữ chiếm bao nhiêu phần trăm tổng số cả nam và
nữ ? (Đề thi OLYMPIC toán tiểu học Singapore năm 2001).
? Do 80% số bạn nữ nhiều hơn số bạn nam là 20% nên 100%
số bạn nữ sẽ nhiều hơn số bạn nam là 25% (cùng tăng thêm

1
)
4

Nếu ta coi số bạn nam là 100 phần thì số bạn nữ sẽ là 125

phần, tổng số bạn nam và nữ là 225 phần .
Số bạn nữ chiếm: 125 : 225 = 56% tổng số nam và nữ.
! Bài giải đà sai ngay từ bớc lập luận Do 80% số bạn nữ
nhiều hơn số bạn nam là 20% nên 100% số bạn nữ sẽ nhiều hơn
số bạn nam là 25%. Con số 25% là sai (nếu làm theo cách này
thì phải là 40%), do vậy đà dẫn đến những chỗ sai tiếp theo.
5. Sai lầm khi giải toán có nội dung hình học
Khi giải các bài toán có nội dung hình học, HS thờng mắc
phải các sai lầm:
* Sai lầm khi áp dụng công thức tính chu vi, diện tích, thể
tích các hình.
* Sai lầm khi vận dụng công thức một cách máy móc vào các
tình huống biến đổi của thực tế đời sống.
* Không đa số đo về cùng một đơn vị khi tính to¸n.
19


Sau đây là một số thí dụ:
Thí dụ 1. Một hình thang có diện tích là 22,5m 2, đáy lớn
2,5m và đáy nhỏ 2m. Tính chiều cao hình thang (Toán 5 - tµi liƯu
thư nghiƯm, tËp 1, tr. 102).
? ChiỊu cao hình thang đó là:
22,5 : (2,5 + 2) = 5 (m)
Đáp số: 5m.
! Học sinh thờng quen thuộc với dạng toán tìm diện tích
hình thang khi biết trớc số ®o ®¸y lín, ®¸y nhá, chiỊu cao. Khi
®ã chØ viƯc áp dụng công thức đà biết là tính đợc diện tích. ở
trờng hợp này, đòi hỏi phải có năng lực biến đổi công thức S =
( a + b) ì h
thành h = S ì 2 : (a + b) và với học sinh yếu về năng lực

2

biến đổi công thức thì dễ mắc sai lầm nh đà trình bày.
Thí dụ 2. Một ngời thợ gò một cái thùng tôn đựng nớc không
có nắp có dạng hình hộp chữ nhật dài 6dm, rộng 4dm và cao
9dm. Tính diện tích tôn dùng để làm thùng (không tính mép
hàn). (Toán 5 - tµi liƯu thư nghiƯm, tËp 2, tr. 16).
? Chu vi mặt đáy của thùng là:
(6 + 4) ì 2 = 20 (dm)
Diện tích tôn dùng để làm thùng là:
20 ì 9 =180 (dm2).
! Về lý thuyết, học sinh đợc học công thức tính diện tích
xung quanh và công thức tính diện tích toàn phần. Khai giải bài
tập trong tình huống cụ thể, học sinh thờng sàng lọc để lựa
chọn một trong hai công thức. Đề bài nói thùng không có nắp, do
vậy, học sinh đà lựa chọn công thức tính diện tích xung quanh
và dẫn tới sai lầm là tính diện tích của thùng không có nắp,
không có đáy.

20


Thí dụ 3. Một cái bể không nắp dạng hình hộp chữ nhật
có chiều dài 1,5m, chiều rộng 0,6m và chiều cao 8dm. Ngời ta
sơn mặt ngoài của bể. Hỏi diện tích quét sơn là bao nhiêu mét
vuông? (Toán 5 - tµi liƯu thư nghiƯm, tËp 2, tr. 16).
? DiƯn tích quét sơn chính là diện tích xung quanh của bể
và bằng:
(1,5 + 0,6) ì 2 ì 8 = 33,6 (m2).
? Đổi 8dm = 0,8m

Diện tích đáy bể là:
1,5 ì 0,6 = 0,9 (m2)
DiƯn tÝch xung quanh cđa bĨ lµ:
(1,5 + 0,6) × 2 × 0,8 = 3,36 (m2)
DiƯn tÝch quét sơn là:
0,9 + 3,36 = 4,26 (m2).
! Lời giải thứ nhất đà mắc sai lầm khi không đa các số đo
về cùng đơn vị đo. Lời giải thứ hai sai thực tế vì một cái bể thì
không thể sơn đáy.
Thí dụ 4. Ngời ta xếp những hộp hình lập phơng có thể
tích 8dm3 vào trong một hộp hình hộp chữ nhật bằng tôn có
chiều dài 1m, chiều rộng 0,8m và chiều cao 0,5m. Hỏi có thể
xếp đợc nhiều nhất bao nhiêu hình lập phơng ?
? Đổi

1m = 10dm

0,8m = 8dm
0,5m = 5dm.
Thể tích hình hộp chữ nhật là:
10 ì 8 ì 5 = 400 (dm3 )
Số hình lập phơng xếp trong hộp là:
400 : 8 = 50 (hình).
! Học sinh đà vận dụng máy móc công thức toán học vào một
tình huống thực tế. ở bài toán này số hình lập phơng xếp đợc
21


phụ thuộc vào số đo các cạnh của hình hộp chữ nhật và số đo
cạnh hình lập phơng. Không thế lấy thể tích hình hộp chữ

nhật chia cho thể tích hình lập phơng để tính số hình lập phơng xếp trong hình hộp chữ nhật.
Lời giải đúng nh sau:
Đổi 1m = 10dm
0,8m = 8dm
0,5m = 5dm
Hình lập phơng có thể tích 8dm3 thì có cạnh là 2dm
Chiều dài hình hộp chữ nhật có thể xếp:
10 : 2 = 5 (hình)
Chiều rộng hình hộp chữa nhật có thể xếp:
8 : 2 = 4 (h×nh)
Víi chiỊu cao 5dm th× chØ cã thĨ xếp đợc 2 hình lập phơng
có cạnh 2dm.
Số hình lập phơng có thể xếp đợc là:
5 ì 4 ì 2 = 40 (hình)
Đáp số: 40 hình lập phơng.
Thí dụ 5. Có hai hình hộp chữ nhật. Hình hộp A có chiều
dài, chiều rộng, chiều cao đều gấp đôi chiều dài, chiỊu réng,
chiỊu cao cđa h×nh hép B. BiÕt thĨ tÝch cđa h×nh B b»ng 6dm3,
hái thĨ tÝch cđa h×nh A là bao nhiêu ?
? Vì các cạnh của hình hộp A gấp đôi các cạnh của hình
hộp B nên thể tích hình hộp A cũng gấp đôi thể tích hình hộp
B.
Thể tích hình A là:
6 ì 2 = 12 (dm3).
! Lời giải mắc ở sai lầm khi cho sự thay ®ỉi thĨ tÝch cđa
h×nh cịng gièng nh sù thay ®ỉi ®é dµi cđa vËt.

22

Thí dụ 6. Có 11 mẩu que thẳng, trong đó có 1 mẩu que
dài 2cm, 3 mẩu que, mỗi mẩu dài 3cm; 4 mẩu que, mỗi mẩu dài
4cm; 3 mẩu que, mỗi mẩu dài 5cm.
Dùng một số mẩu que đó ghép thành một hình vuông thì
cạnh hình vuông lớn nhất có thể ghép đợc có độ dài là bao nhiêu
?
? Tổng độ dài của 11 mẩu que đó là:
2 + 3 × 3 + 4 × 4 + 5 × 3 = 42 (cm )
Chu vi hình vuông là một số chia hết cho 4. Vì tổng độ
dài của 11 que trên là 42cm nên số đo chu vi hình vuông cần
ghép không vợt quá 42. Số lớn nhất không vợt quá 42 và chia hết
cho 4 là 40. Bỏ một mẩu que dài 2cm thì với các mẩu que còn lại
ta ghép đợc hình vuông có độ dài mỗi cạnh là:
40 : 4 = 10 (cm).
! Lời giải trên đà mắc sai lầm khi đa ra quy tắc suy luận:
Nếu ghép đợc hình vuông thì số đo chu vi hình vuông phải
chia hết cho 4.
Số 40 chia hết cho 4 vậy có thể ghép đợc hình vuông.
Thực tế từ 10 mẩu que còn lại (3 mẩu que 3cm, 4 mẩu que
4cm, 3 mẩu que 5cm) không thể ghép thành một hình vuông có
độ dài cạnh 10cm đợc.
Có thể xét chu vi hình vuông 36cm. Khi đó cạnh hình
vuông là:
36 : 4 = 9 (cm).
Ta xÕp nh sau:
C¸ch 1: 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 3 + 3 + 3 (bá 1 mÈu que 2cm và
1 mẩu que 4cm)
Cách 2: 5 + 4 = 5 + 4 = 5 + 4 = 4 + 3 + 2 (bá 2 mÈu que
3cm).

23


Do đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất có thể ghép đợc là
9cm.
Thí dụ 7. Ngời ta lát gạch một lối đi rộng 2m xung quanh
sân trờng hình chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 35m. Hỏi
phải chuẩn bị bao nhiêu viên gạch, biết mỗi mét vuông cần 16
viên ?
? Diện tích lối đi cần lát gạch đúng bằng diện tích hình
chữ nhật có chiều dài bằng chu vi sân trờng và chiều rộng bằng
chiều rộng lối đi.
Chu vi sân trờng là: (50 + 35) ì 2 = 170 (m)
Diện tích phần lát gạch là: 170 ì 2 = 340 (m2)
Số gạch lát lối đi là: 16 ì 340 = 5 440 (viên).
! Lời giải sai lầm ngay từ lập luận đầu tiên khi cho rằng diện
tích lối đi cần lát gạch đúng bằng diện tích hình chữ nhật
có chiều dài bằng chu vi sân trờng và chiều réng b»ng chiỊu
réng lèi ®i. Tõ ®ã dÉn tíi tÝnh toán sai và đáp số sai.
Dới đây là một cách giải đúng:
50m
2m

35 m
35m

Từ hình vẽ, ta nhận thấy diện tích phần lát gạch là tổng
diện tích của 4 hình chữ nhật viền quanh sân trờng. 2 hình
chữ nhật lớn có chiều dài 50m, chiều rộng 2m và 2 hình chữ
nhật nhá cã chiỊu réng 2m, chiỊu dµi b»ng:

35 – (2 + 2) = 31 (m).
24


Diện tích phần lát gạch là:
50 ì 2 ì 2 + 31 ì 2 ì 2 = 324 (m2)
Số gạch cần lát là: 16 ì 324 = 5 184 (viên).

Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đà làm sáng tỏ nội dung: Các sai
lầm của học sinh Tiểu học khi giải toán là hiện tợng phổ biến. Các
sai lầm này có thể hệ thống lại, chẳng hạn theo từng dạng toán để
giáo viên dễ phát hiện và sửa chữa cho học sinh.
Qua quá trình nghiên cứu và thực hiện sáng kiến, chúng tôi
xin đề xuất một số nội dung sau:
Thứ nhất, Những sai lầm của HS khi giải toán cần đợc xem là
một trong những nội dung cần thiết mà giáo viên tiểu học phải
nắm bắt đợc. Giáo viên Tiểu học cần nắm bắt đợc nội dung
này để nâng cao năng lực giải toán cho học sinh.
Thứ hai, cần bổ sung vào hệ thống bài tập những dạng bài
thử thách năng lực tránh các bẫy sai lầm của HS; các dạng bài
ngụy biện để HS tập phát hiện các sai lầm.
Cuối cùng, việc phát hiện và sửa chữa các sai lầm của HS khi
giải toán cần đợc mọi GV quan tâm theo dõi và tiến hành thờng
xuyên, kiên trì, có biện pháp phù hợp với từng đối tợng, có nh vậy
mới có thể đạt đợc kết quả nh mong đợi.

25