50 bai tap ve bat dang thuc co dap an

Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
50 BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho a  3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 

1 8a a 1
24
a 1 10
 (  )
2 . 
a 9
9 a
9
9 a 3

Giải: S  a 

Bài 2: Cho a  2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 
Giải: S  a 

1
a

1
a2

1 6a a a 1
12
a a 1 12 3 9


 (   2 )   33 . . 2   
2
a
8
8 8 a
8
8 8 a
8 4 4

Bài 3: Cho a, b > 0 và a  b  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  ab 
Giải: S  ab 

1
1
15
1
 (ab 
)
 2 ab

ab
16ab 16ab
16ab

15
 ab 
16 

 2 

Bài 4: Cho a, b, c> 0 và a  b  c 

3
2

Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a 2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2
b
c
a

2

1
ab



17
4

Giải:
Cách 1:

Cách 2:

S  a2 

1
1
1
 b2  2  c 2  2
2
b
c
a

(12  42 )(a 2 

1
1
1
1
4
)  (1.a  4. ) 2 a 2  2 
(a  )
2
b
b
b
b
17

Tương tự
b2 

1
1
4
1
1
4

(b  ); c 2  2 
(c  )
2
c
c
a
a
17
17

Do đó:
1

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
1
4 4 4
1
36

(a  b  c    ) 
(a  b  c 
)
a b c
abc
17
17

S

 3 17
1 
9
135
(a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   2
17 




Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x  y  z  1 . Chứng minh rằng:
x2 

1
1
1
 y 2  2  z 2  2  82
2
y
z

x

Giải:

1
1
1
1
9
(1.x  9. ) 2  (12  92 )( x 2  2 )  x 2  2 
(x  )
y
y
y
y
82
1
1
9
1
1
9

( y  ); z 2  2 
(z  )
2
z
z
x
x

82
82
1
9 9 9
1
81
S
(x  y  z    ) 
(x  y  z 
)
x y z
x yz
82
82

TT : y 2 



1
82


1
80 
( x  y  z  x  y  z )  x  y  z   82



Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a  2b  3c  20

Tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  b  c 

3 9 4


a 2b c

Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4
12 18 16
12  
18   16 

   a  2b  3c   3a     2b     c   
a b c
a 
b 
c 

20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13
4 S  4a  4b  4c 

Bài 7: Cho x, y, z > 0 và

1 1 1
  4
x y z

Tìm giá trị lớn nhất của P 

1

1
1


2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Giải:
Ta có
1 1
4 1 1
4
1 1 1 1
4
4
16
1
1 1 2 1
 
;  
    



    
x y x y y z yz
x y y z x  y y  z x  2y  z
x  2 y  z 16  x y z 
TT :
1
1  2 1 1

1
1  1 1 2
    ;
    
2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z 
S

1  4 4 4
    1
16  x y z 

Bài 8:
2

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>x

x

x

 12   15   20 
Chứng minh rằng với mọi x  R , ta có          3x  4 x  5 x
 5 4  3 

Giải:

x

x

 12   15 
 12 
     2  
 5 4
 5

x

x

x

x

x

x

 15 
 20   15 
 20   12 
.    2.3x ;       2.5 x ;       2.4 x
 4
 3   4
 3  5

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8 x  8 y  8 z  4 x 1  4 y 1  4 z 1
Giải:
Dự đoán x=y=z = 2 và

3

8x.8x  3 64 x  4 x nên:

8 x  8x  82  3 3 8x.8x.82  12.4 x ;
8 y  8 y  82  3 3 8 y.8 y.82  12.4 y ;
8 z  8 z  82  3 3 8z.8z.82  12.4 z
8 x  8 y  8z  3 3 8 x.8 y.8z  3 3 82.82.82  192

Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:
Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng

1  x3  y 3
1  y3  z3
1  z 3  x3


3 3
xy
yz
zx

Giải:

x3  y 3  xy  x  y   1  x3  y 3  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3xy 3 xyz  3xy
1  x3  y 3
3xy


xy
xy

3 yz
3 1  y3  z 3
;


xy
yz
yz

 1
1
1 
S  3


3 3
 xy
yz
zx 


1

2

x y2 z2

3 1  z 3  x3
3 zx
;


yz
zx
zx

3
zx

3 3

Bài 11:
Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 x  y 1  xy 
P
2
2
1  x  1  y 
Giải:
2

 x  y  1  xy 


 x  y 1  xy    x  y 1  xy   
2
  1  1  P  1
P 
2
2
2
2
2
4
1  x  1  y  1  x  1  y   x  y  1  xy  4 4
Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
3

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
KL: Khi dấu = xảy ra.
Bài 12:
a 3 b3 c 3
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
   ab  bc  ca
b c a
Giải:
2

a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4 (a 2  b 2  c 2 ) 2  ab  bc  ac 
Cách 1:
  
  

 ab  bc  ac
b c a ab bc ca
ab  bc  ac
ab  bc  ac
Cách 2:

a3
b3
c3
 ab  2a 2 ;  bc  2b 2 ;  ca  2a 2
b
c
a

a 3 b3 c3
   2(a 2  b 2  c 2 )  ab  bc  ac  ab  bc  ac
b c a
Bài 13:
Cho x,y > 0 và x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 

3x 2  4 2  y 3

4x
y2

Giải: Dự đoán x = y = 2
A

3x 2  4 2  y 3 3x 1 2
1 x  2 y y  x y 9


  2  y     2   

2
4x
y
4 x y
4 4  2  2
 x 4  y

Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P 

1
1

 42 3
3
x y
xy
3

Giải: Ta có

 x  y

P=

3

 x3  y 3  3xy(x+y)  x 3  y 3  3xy=1

x3  y 3  3xy x3  y 3  3xy
3xy
x3  y 3


4


 42 3
x3  y 3
xy
x3  y3
xy

Bài 15: Cho x, y, z > 0 và

1
1
1
1


 2 . Chứng minh rằng xyz 
8

1 x 1 y 1 z

Giải:
1
1
1
1
1
y
z
 2

 1
1


2
1 x
1 y 1 z
1 y
1 z 1 y 1 z
TT :

1
2
1 y

xz
1
;

2
1  x 1  z  1  z

yz
1  y 1  z 

xy
1  x 1  y 

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm
Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S 

x
y
z


x 1 y 1 z 1

Giải:

4

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

S

/>
 1
x
y
z
1
1 
9
9 3


 3


 3 
  3
x 1 y 1 z 1
x y z 3
4 4
 x 1 y 1 z 1

Bài 17:
Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:

4a 2 5b 2 3c 2


 48
a 1 b 1 c 1

Giải:
2
4a 2 4  a  1  4
4
4

 4  a  1 
 4  a  1 
 8  8  8  16
a 1
a 1
a 1
a 1
5b 2
5
3c 2
3
 5  b  1 
 10  20;
 3  c  1 
 6  12 dpcm
b 1
b 1
c 1
c 1

Bài 18:
Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:
1 1 1
1

1 
 1
   3



a b c
 a  2b b  2c c  2a 

Giải:
1 1 1
9
1 1 1
9
1 1 1
9
  
;   
;   
cộng ba bất đẳng thức =>đpcm
a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a

Bài 19:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:
1 4 9
36
  
a b c abc

Giải:

2

1 4 9 1  2  3
36
  

a b c
abc
abc
Bài 20:
Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:
1 1 4 16
64
   
a b c d abcd

Giải:
1 1 4
16
16
16
64
  
;
 
a b c abc abc d abcd

Cần nhớ:

a2 b2 c 2  a  b  c 

  
x
y z
x yz

5

2

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
Bài 21:
Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

4 5 3
2
1 
 3
   4



a b c
 ab bc ca 

Giải:

1 1
4
3 3
3 1 1
4
2 2
8 1 1
4
 
  
;  
  
;  
a b ab
a b ab b c bc
b c bc c a ca

Bài 22:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.
Chứng minh rằng

1
1
1
1 1 1


 2   
p a p b p c
a b c

Giải:
1
1
1
2
2
2





p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c


1
1
1
1
1
1
1 1 1





 2   
a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c

a b c

Bài 23:

x2
y2
z2


Cho x, y, z> 0 và x  y  x  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
yz zx x y
Giải:
2

 x  y  z   x  y  z  4  2.
x2
y2
z2



Cách1: P 
y  z z  x x  y 2 x  y  z
2
2
Cách 2:
x2
yz
y2
zx

z2
x y

 x;

 y;

z
yz
4
zx
4
x y
4
x y z x y z 4
 P  x y x

  2.
2
2
2

Bài 24:
Cho các số thực dương x, y, z
2 y  3z  5 3 z  x  5 x  2 y  5 51



1 x
1 2 y

1  3z
7

thỏa

mãn

x+2y+3z

Giải:
2 y  3z  5 3 z  x  5 x  2 y  5


1 x
1 2y
1  3z
2 y  3z  5
3z  x  5
x  2y  5

1
1
1 3
1 x
1 2 y
1  3z
 1
1
1 
9

  x  2 y  3z  6  


3
  3  24.
x  2 y  3z  3
 1  x 1  2 y 1  3z 
9
51
 24.  3 
21
7
6

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

=18.

Chứng

minh

rằng


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
Bài 25:
Chứng minh bất đẳng thức:

a 2  b 2  1  ab  a  b

Giải:
Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
p  a  p b  p  c  3p
Giải:
Bu- nhi -a ta có:
p  a  p  b  p  c  (12  12  12 )( p  a  p  b  p  c)  3(3 p  2 p )  3 p

Bài 27:
Cho hai số a, b thỏa mãn: a  1; b  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A  a 
Giải: a 

1
1
b
a
b

1
1 15b  b 1  15.4
1 17
21
 2; b  
   
 2.   A 
a
b 16  16 b  16

4 4
4

Bài 28:
Chứng minh rằng a 4  b 4  a 3b  ab3
Giải:
 a 2 2   b 2 2  (12  12 )   a 2  b 2 2   a 2  b 2  a 2  b 2   2ab  a 2  b 2   a 4  b 4  a 3b  ab3



Bài 29:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( x  y  1) 2 xy  y  x

(Với x; y là các số thực dương).
xy  y  x ( x  y  1)2

A
Giải:

( x  y  1) 2
1
 a; a  0  A  a 
xy  y  x
a

Đặt
Aa

1 8a a 1 8
a 1 8 2 10
10

 (  )  .3  2. .     A 
a 9
9 a 9
9 a 3 3 3
3

Bài 30:
Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt.
Chứng minh

a2
b2
c2


2
(b  c)2 (c  a ) 2 (a  b) 2

Giải:

7

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư

Có

Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
a
b
b
c
c
a
.

.

.
 1
(b  c) (c  a ) (c  a ) (a  b) (a  b) (b  c)
2

 a
b
c 
VT  


 0
(
b

c

)
(
c

a
)
(
a

b
)


(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)
Bài 31:
Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c  3 . Chứng ming rằng
1
2009

 670
2
2
a b c
ab  bc  ca
2

Giải:
1
2009


2
2
a  b  c ab  bc  ca
1
1
1
2007
9
2007
Bài 32:
 2





 670
2
2
2
2
a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c 
a  b  c
3
2

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P  a2  b2  c2 

ab  bc  ca
a 2b  b 2 c  c 2 a

Giải:

3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

ab  bc  ca
9  (a 2  b 2  c 2 )
2
2
2
Pa b c 
Suy ra P  a  b  c  2
2(a 2  b 2  c 2 )
a  b2  c2
2

2

2

t = a2 + b2 + c2, với t  3.
Suy ra P  t 

9t t 9 t 1
3 1
    3   4  P  4

2t
2 2t 2 2
2 2

a=b=c=1

Bài 33:
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=

1
1 1


16 x 4 y z

Giải:

8

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

P=

/>
 1
1

1 1
1 1  y
x   z

   x  y  z

 



16x 4 y z
 16x 4 y z   16 x 4 y   16 x

x   z y  21
 

z   4 y z  16

z
x 1
y
x 1
z y
  khi z=4x;

 có =khi y=2x;
  1 khi z=2y
16 x z 2
16 x 4 y 4
4y z

=>P  49/16

Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

Bài 34:
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

4 5
  23
x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  8x 

6
7
 18y 
x
y

Giải:

B  8x 

6
7 
2 
2 4 5
 18y    8x    18y        8  12  23  43
x

y 
x 
y x y

1 1
 2 3

1 1
 2 3

Dấu bằng xảy ra khi  x; y    ;  .Vậy Min B là 43 khi  x; y    ; 
Bài 35
Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng x2 + y2 +
z2  9
Giải:
1  x  2  x  1  0 và x  2  0  ( x  1)( x  2)  0

 x 2  3x  2

Tương tự y 2  3y  2 và z 2  3z  2
2

2

2

 x + y + z  3( x + y +z) – 6  3. 5 – 6 = 9
Bài 36:
Cho a, b, c là các số thuộc  1; 2 thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng
abc  0.

Giải:

 a  1 a  2   0  a 2  a  2  0; b2  b  2  0; c 2  c  2  0
 a  b  c  a 2  b2  c 2  6  0
Bài 37:
9

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2 . Chứng minh rằng:

a2 

1
1
1
97
 b2  2  c2  2 
2
b
c
a
2

Giải:

2

9 1   2 81  2 1 
1
4 
9 

2
1.a  .   1   a  2   a  2 
 a  ;
4 b 
16 
b 
b
4b 
97 


cộng các vế lại

1
4 
9 
1
4 
9 
2
b  2 
b  ; c  2 
c  

c
4c 
a
4a 
97 
97 
2

Bài 38:
Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng
p
p
p


9
p a p b p c
Giải:
p
p
p
1
1
1
9
9


 9 hay





p a p b p c
p a p b p c p a  pb p c p
Bài 39:
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
3(a 2  b 2  c 2 )  2abc  52
Giải:
abc  ( a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (6  2a)  6  2b  6  2c   abc  24 
 2abc  48 
2

8
 ab  bc  ac 
3

16  36  (a 2  b 2  c 2 ) 
8
 (a 2  b 2  c 2 )  2abc  48 (1)


3 
2
3

2

 a  2  b  2   c  2

2

0

a2  b2  c2
 4 (2)
3

(1)and(2)  dpcm

Có chứng minh được 3(a 2  b 2  c 2 )  2abc  18 hay không?
Bài 40:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  4( a 3  b3  c3 )  15abc .
Giải:
2
2
2
2
2
2
Có a  a  (b  c)  (a  b  c)(a  b  c) (1) , b  b  (c  a )  (b  c  a )(b  c  a) (2)

c 2  c 2  (a  b)2  (c  a  b)(c  a  b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra  a  b  c
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có: abc  (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b) (*)
Từ a  b  c  2 nên (*)  abc  (2  2a)(2  2b)(2  2c)  8  8(a  b  c)  8(ab  bc  ca)  9abc  0
 8  9abc  8(ab  bc  ca)  0  9abc  8(ab  bc  ca)  8 (*)

10

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
3
3
3
3
Ta có a  b  c  (a  b  c)  3(a  b  c)(ab  bc  ca)  3abc  8  6(ab  bc  ca)  3abc
3
3
3
Từ đó 4(a  b  c )  15abc  27abc  24(ab  bc  ca)  32  39abc  8(ab  bc  ca)  32 (**)

3
3
3
Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a  b  c )  15abc  3.(8)  32  8

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 

2
.
3

Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a  b  c 

2
3

Bài 41:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng
2
1
 a 3  b3  c3  3abc  .
9
4
Giải:
*P  a3  b3  c3  3abc
Ta có a 3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac)
 a 3  b3  c3  3abc  (a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac) (1)
có abc  ( a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c) 
2 8
1  4(ab  bc  ca)  8abc  6abc 
  ab  bc  ca  (2)
3 3
2 5
(1)and(2)  a 3  b3  c3  3abc  a 2  b2  c 2    ab  bc  ca 
3 3



1  a2  b2  c2
mà ab  bc  ca 
2

2

2

P1

a
6

2



 b2  c2 

1
6

2

1 
1  1
1
1 1 1 2

2
2
2
a    b    c    0  a  b  c   P  .  
3 
3 
3

3
6 3 6 9

*P  a3  b3  c3  3abc
abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca)  8abc  0
 ab  bc  ca)  2abc 

1
4

(3)

P  a 3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac)  6abc
2

 a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc
1 1
 1  3  ab  bc  ca  2abc   1  3. 
4 4

Bài 42:
Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:
11

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>

x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  xyz  8
Giải:
Chứng minh được
xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z 
 (6  2 x)(6  2 y )(6  2 z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz
8
 xyz  24  ( xy  yz  zx) (1)
3
2

mà  x  y  z   9  x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz  9
 x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz

(2)

8
Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz
3
1
2
 xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx)
3
2

1 x  y  z
36
 xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   12  .
 12 
8
3

3
9

Bài 43:
Cho a  1342; b  1342 . Chứng minh rằng a 2  b 2  ab  2013  a  b  . Dấu đẳng thức xảy ra khi
nào?
Giải:
Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:
2

2

2

2

 a  1342    b  1342 

 0;  a  1342  b  1342   0; a  1342  b  1342  0

Thật vậy:
(1)
 a  1342    b  1342   0  a 2  b 2  2.1342.  a  b   2.13422  0
(2)
 a  1342  b  1342   0  ab  1342a  1342b  13422  0
 a 2  b 2  2.1342.  a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  1342 2  0
 a 2  b 2  ab  3.1342.  a  b   3.13422  2.2013.  a  b   3.1342 2
 2013.  a  b   2013.  a  b   2.2013.1342  2013.  a  b   2013.  a  b  1342  1342   2013.  a  b 

Bài 44:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

4

2

A   x  1   x  3  6  x  1  x  3

2

Giải:
Cách 1:

12

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
Cách 2:
4

4

2

A   x  1   x  3  6  x  1  x  3

2

2

2
2
2
2
A   x  1   x  3   4  x  1  x  3 


2

A   2x 2  8x  10   4  x 2  4x  3
2

A   2( x  2) 2  2   4  ( x  2)2  1

2

2

A  4( x  2) 4  8( x  2) 2  4  4( x  2)4  8( x  2)2  4
A  8( x  2) 4  8  8

Bài 45:
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
ab
bc

ca
1



c 1 a 1 b 1 4
Giải:

Bài 46
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:
1
1
1


1
3
3
3
3
1  x  y 1  y  z 1  z 3  x3
Giải:

13

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư


Sách Giải – Người Thầy của bạn

/>
x 2  y 2  2xy   x  y   x 2  y 2   2xy  x  y   x 3  y 3  xy  x  y 
 1  x 3  y 3  xy  x  y  z  


1
3

3



1
3

1 x  y

3



1
xy  x  y  z 

z
1
x
1
y
;


;

 dpcm
3
3
3
3
x  y  z 1 y  z
x  y  z 1 z  x
x yz

1 x  y
Bài 47
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:
ab
2
 2a b  2b a
a  b 
2
Giải:
ab
1

1 
1 
2

  a  b   a  b     a  b    a     b     2 ab  a  b   2a b  2b a Bà
a  b 

2
2
4 
4 


i 48
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:
1
1
1


1
3
3
1  8a
1  8b
1  8c3
Giải:
1
1
1
2
1


 2
 2
2

3
2
1  8a
 2a  1  4a  2a  1 2a  1  4a  2a  1 4a  2 2a  1
2
1
1
1
1
;
 2 ;
 2
3
3
2b  1 1  8c
2c  1
1  8b

 VT 

1
2



1
2



1
2

2a  1 2b  1 2c  1



9
2

2a  1  2b 2  1  2c 2  1

1

Bài 49
Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:

a 3 b3 c 3
   a2  b2  c2
b c a

Giải:
Cách 1:
2

2
2
2
a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2 


a 3 b3 c3 a 4 b 4 c 4  a  b  c 
  
  

 a 2  b2  c2
b c a ab bc ca
ab  bc  ca
ab  bc  ca
Cách 2
3
3
a3
2 b
2 c
 ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2c 2  VT  2  a 2  b 2  c 2   (ab  bc  ca)  a 2  b 2  c 2 Bài
b
c
a
50
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
x2
y2
z2
3



y 1 z 1 x 1 2
Giải:
x2

y 1
y2
z 1
z2
x 1
3
3 3
3 3

 x;

 y;

 z  VT   x  y  z    .3  
y 1
4
z 1
4
x 1
4
4
4 4
4 2

14

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư