kien thuc co ban va bai tap

Nông Văn Đàm
Tài liệu tham khảo
Hàm số lợng giác của một số cung đặc biệt
Góc sin Cos tan cot
0(0
o
) 0 1 0
P
( )
0
6
30

1
2
3
2
3
3
3
( )
0
4
45

2
2
2
2
1 1
( )

0
3
60

3
2
1
2
3
3
3
( )
0
2
90

1 0
P
0
( )
0
2
3
120

3
2
1
2

3
3
3

( )
0
3
4
135

2
2
-
2
2
-1 -1
( )
0
5
6
150

1
2
-
3
2
-
3
3

3
( )
0
180

0 -1 0
P
Công thức lợng giác
I- Công thức lợng giác
1. Công thức cộng


= +
+ =
=
+ = +

=
+
+
+ =



. cos(a b) cosa.cosb sina.sin b (1)
. cos(a b) cosa.cosb sina.sin b (2)
. sin(a b) sin a.cosb cosa.sin b (3)
. sin(a b) sin a.cosb cosa.sin b (4)
tana tan b
. tan(a b) (5)

1 tana.tanb
tana tan b
. tan(a b) (6)
1 tana.tanb
a,b
2


+ + +
ữ

k ; a b k
2
1
N«ng V¨n §µm
2 . C«ng thøc nh©n ®«i
. C«ng thøc nh©n ®«i
=
= −
= −
= −
π π π
 
= ± + π ≠ +
 ÷
−
 
2 2
2
a

2
b
2
. sin2a 2sin a.cosa (7)
. cos2a cos a sin a (8)
2cos a 1 (8 )
1 2sin a (8 )
2tana
. tan2a (9) a k ,a k
1 tan a 2 4 2
. C «ng thøc h¹ bËc
III. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng, tæng thµnh tÝch.
1. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng.
[ ]
1
cosa.cosb cos(a b) cos(a b) (13)
2
= − + +
[ ]
1
sina.sin b cos(a b) cos(a b) (14)
2
= − − +
[ ]
= − + +
1
sina.cosb sin(a b) sin(a b) (15)
2
2. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch.
*) C«ng thøc:

.cos cos 2cos .cos (16)
2 2
.cos cos 2sin .sin (17)
2 2
. sin sin 2sin .cos (18)
2 2
. sin sin 2cos .sin (19)
2 2
α +β α −β
α + β =
α +β α −β
α − β = −
α + β α −β
α + β =
α + β α − β
α − β =
+
2
1 cos2a
cos a (10)
2
+
=
+
2
1 cos2a
sin a (11)
2
−
=

2
2
2
sin a 1 cos2a
tan a (12)
cos a 1 cos2a
−
= =
+
§K:
a k
2
π
≠ + π
2
Nông Văn Đàm
*) Các hệ thức cơ bản
a.
2
2
1
1 tan , k ,k
cos 2

+ = +

Z
.
b.
2

2
1
1 cot , k ,k
sin
+ =

Z
.
c.
tan .cot 1, k ,k
2

= Z
.
3. Giá trị LG của cung có liên quan đặc biệt.
3.1- Cung đối nhau:
&
.
.
cos( ) cos

=
.
= tan( ) tan
.
sin( ) sin

=
.
= cot( ) cot

3.2- Hai cung bù nhau
&
.
.
sin( ) sin =
.
tan( ) tan =
.
cos( ) cos =
.
cot( ) cot =
3.3-Cung hơn kém

:
& +
.
sin( ) sin + =
.
tan( ) tan + =
.
cos( ) cos + =
.
cot( ) cot + =
3.4- Cung phụ nhau:
&
2



ữ

.
sin cos
2


=
ữ

.
cos sin
2


=
ữ

.
tan cot
2


=
ữ

.
cot tan
2

=
ữ

I- Các công nghiệm phơng trình lợng giác cơ bản thức
1) sinu = sinv
2
( )
2
u v k
k
u v k


= +



= +

Â
2) cosu = cosv
2
( )
2
u v k
k
u v k

= +



= +

Â
3) tanu =tanv
u v k

= +
(
k

Â
) 4) cotu =cotv
( )u v k k

= + Â

*) chú ý: các trờng đặc biệt
a. sinu = 0
( )u k k

= Â
b. sinu =1
2 ( )
2
u k k

= + Â
c. sinu =-1
2 ( )
2
u k k


= + Â
d. cosu = 0
( )
2
u k k


= + Â
e. cosu =1
2 ( )u k k

= Â
f. cosu =-1
2 ( )u k k

= + Â
g. tanu = 1
( )
4
u k k

= + Â
h. tanu = 0
( )u k k

= Â
i. tanu = -1
( )
4
u k k


= + Â
k. cotu =1
( )
4
u k k


= + Â
3
Nông Văn Đàm
II-phơng pháp giải một số phơng trình lợng giác thờng gặp
1. Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác
*)Dạng1 : cos
2
u + b cos u +c = 0 ; asin
2
u +bsinu + c = 0 (a

0 ; u là biểu thức theo x )

Đặt t= cosu ( hoặc t= sinu ) với điều kiện t
[ ]
1;1
ta đợc phơng trình : at
2
+ bt +c = 0 . Giải phơng trình này và chọn nghiệm
thích hợp và ta có phơng trình t
o
= cosu ( hoặc t
o
= sinu)

*)Dạng2 : a tan
2
u + b tanu + c = 0 ; a cot
2
u + b cotu + c = 0 (a

0 ; u là biểu thức theo x )
Đặt t=tan u (a) ( hoặc t= cot u ) (b)
ta đợc phơng trình : at
2
+ bt +c = 0 Giải phơng trình này sau đó thay vào (a) hoặc (b) ta đ-
ợc phơng trình lợng giác cơ bản từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình đã cho.
2. Phơng trình bậc nhất đối với sinu và cosu (u là biểu thức theo x)
Dạng tổng quát : asinu + bcosu = c (1) (a
2
+b
2

0)
+) Điều kiện để phơng trình có nghiệm : a
2
+b
2


c
2
+)Điều kiện để phơng trình vô nghiệm : a
2
+b
2

p
c
2
Cách giải : chia cả hai vế phơng trình (1) cho
2 2
a b+

Ta đợc :
2 2
a b
a
+
sinu +
2 2
b

a b+
cos u =
2 2
c
a b+
Đặt cos

=
2 2
a b
a
+
; sin

=
2 2
b
a b+
Khi đó ta có : cos

sinu + sin

cos u =
2 2
c
a b+


sin(
u

+
) =
2 2
c
a b+
3. Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinu và cosu ( u là biểu thức theo x)
Dang tổng quát : asin
2
u +bsinu.cosu + ccos
2
u = d (a,b,c
Ă
) (1)
Cách giải 1 : chia cả hai vế của phơng trình cho cos
2
u

0 ta đợc phơng trình bậc hai :
(a-d)tan
2
u + b tanu + c d = 0 sau đó thử u=
2
k


+
xem có nghiệm không .
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc :

+
=
2
1 cos2a
cos a
2
;

=
2
1 cos2a
sin a
2
; sin2x = 2sinxcosx
Thay vào phơng trình (1) ta đợc : Asin2x + Bcos2x = C (với A= b, B = c- a, C= 2da - c)
4) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx.
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (2)
Cách giải :
Đặt t = sinx + cosx =
2
sin(x +
4

)

t
2
= 1+2sinxcosx,
t
2

(2)

At
2
+ Bt + C = 0 ( với A = b ; b =2a ; C = -b- 2c)
Giải ra t, suy ra phơng trình cơ bản.
Chú ý: Trờng hợp a(sinx cosx )+ bsinxcosx = c
Ta đặt t=sinx cosx và giải tơng tự
4
Nông Văn Đàm
III-Các bài tập cơ bản.
A. Phơng trình lợng giác cơ bản
Bài 1: Giải các phơng trình sau đây :
a. cos(x+
4

) = 0 b. tan(
3

- 2x) = 0
c. Cot(4x +
3

) = 1 d. sin(2x -
4

) = 0
e.
( )

sin sin 2 1x

=
f.
2
cos cos( )
2 4 2
x


=


Bài 2. Giải các phơng trình sau đây :
a. 2cos(3x-
3

) =
3
b. 3tan(x-
3

) -
3
= 0
c. sin(2x +
4

) + sinx = 0 d. cos(3x-
3

) + cosx = 0
Bài 3. Giải các phơng trình sau đây :
a. tan( 4x +
3

) + cot(2x +
4

) = 0 b. sin
2
(3x-
3

) = cos
2
(
4

- x)
c. sin(3x +
3

) + sin(
3
2

- 3x) =
3
d. cos(3x +

3

) + sin(3x +
6
5

) = 2
Bài 4. Giải các phơng trình sau:
a.
sin 5 cos5
0
sin cos
x x
x x
=
b.
tan( )
tan 2
3
tan 2
tan( )
3
x
x
x
x



=

c. cos6x.cos2x = sin7x.sin3x d. cos
2
x + cos
2
3x + cos4x = 2
B. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 5: Giải các phơng trình sau ;
a. Sin2x +
3
cos2x = 1 b. 2sin
2
x +
3
Sin2x = 3
c. sinx +
3
cosx + 2sin(
6

- x) =
2
( x

[ ]

3;0
);
C. phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác

Bài 6 : Giải phơng trình
a. sin
2
2x + 3sin2x 4 = 0 b. 4 cos
2
2x -2(cos
2
x -
2
)cos2x -
6
= 0
c.
2
cos
2
(3x -
3

) sin (3x -
3

) = 0 d. 3tan
2
(3x -
3

) - 4
3
tan(3x -

3

) = 0
D . Phơng trình đẳn cấp đối với sinx và cosx.
Bài 7: Giải các phơng trình sau:
a. 4sin
2
x +
3
Sin2x + 2 cos
2
x = 4
b. 3sin
2
x -
3
cosxsinx +2cos
2
x 2 = 0
c.
2 3
cos
2
x + 6sinx.cosx = 3 +
3

5