Bài tập nhị thức Newton

Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton.

Tài liệu dành cho học sinh lóp 11

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NHỊ THỨC NEWTON

§ Bài Nhò thức Newton được học trong lớp với một thời lượng khá khiêm tốn và lượng kiến
thức học sinh cần nắm là không nhiều. Tuy nhiên, nếu ta nghiên cứu kó thì nó có thể ứng dụng để giải
rất nhiều loại bài toán khác nhau.
Mặc dù yêu cầu của Sách giáo khoa thì rất nhẹ nhưng nếu ta để ý đến các bài toán trong các đề
thi Đại học gần đây thì không nhẹ tí nào. Vậy ta học như thế nào cho đủ. Thật không đơn giản
phải không các em?.
Để giúp các em phần nào tháo gỡ những khó khăn trên, tôi viết ít trang tài liệu này gởi đến các
em. Rất mong các em học tốt.
§ Kiến thức cần nắm:
© Cơng thức khai triển nhị thức:

( a + b)

n

n

= ∑ Cnk a n −k b k = Cn0 a n + Cn1a n −1b + Cn2 a n− 2b 2 + ... + Cnk a n− k b k + ... + Cnnb n ( * ).
k =0

Tuy nhiên trong thực tế ta hay sử dụng dạng khai triển sau:

(1 + x )

n

n

= ∑ Cnk x k = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n ( ** ).
k =0

© Một vài tính chất đơn giản:
1/ Trong khai triển ( * ) thì số các số hạng là n + 1. Trong mỗi số hạng thì tổng số
mũ của a và b bằng n .
2/ Vì Cnk = Cnn −k nên trong khai triển ( * ) thì các hệ số cách đều số hạng đầu và
cuối thì bằng nhau.
3/ Trong khai triển ( * ) thì số hạng thứ k + 1 là Tk +1 = Cnk a n − k b k được gọi là số
hạng tổng qt và hệ số của nó là Cnk .
4/ Trong ( ** ) ta cho x = 1 thì ta có: Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n .
5/ Trong ( ** ) ta cho x = −1 thì ta có: Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... + ( −1) Cnn = 0 .
n

§ Các dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm hệ số của một số hạng trong khai triển.
n

1

Ví dụ 1: Trong khai triển nhị thức:  a a + 4  có hiệu số giữa hệ số của số hạng
a 

thứ ba và thứ hai là 44. Tìm hệ số của số hạng thứ bảy.
Giải
Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An

http:// www.toanthpt.net

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version


Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton.

Tài liệu dành cho học sinh lóp 11

n ( n − 1)
− n = 44 ⇔ n = 11 .
2
Vậy hệ số của số hạng thứ bảy bằng C116 = 462 .
Ta có: Cn2 − Cn1 = 44 ⇔

n

2

Ví dụ 2: Trong khai triển  x 2 −  biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu bằng 37.
x

4
Hỏi số hạng thứ mấy là 1120x ?
Giải
Theo đề bài ta có:
Cn0 + Cn1 + Cn2 = 37 ⇔ 1 + n +

( n − 1) n = 37 ⇔ n = 8 .
2

Số hạng thứ k + 1 là: Tk +1 = C ( x
k
8

)

2 8− k

ta phải có: 16 − 3k = 4 ⇔ k = 4 .
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ năm.

k

k
 2
k 16 − 3 k
. Vì Tk +1 chứa x 4 nên
 −  = ( −2 ) C8 x
 x

40

1

Ví dụ 3: Cho khai triển  x + 2  . Tìm hệ số của x 31 .
x 

Giải
k

1
Xét số hạng tổng qt Tk +1 = C x  2  = C40k x 40−3 k .
x 
31
Vì Tk +1 chứa x nên ta phải có 40 − 3k = 31 ⇔ k = 3 . Vậy hệ số cần tìm là
C403 = 9880 .
k
40

40 − k

Các bài tốn tự giải:
n

x
− 
 x−21
3
Bài 1: Cho khai triển  2 + 2  và biết rằng Cn3 = 5Cn1 và số hạng thứ tư bằng



35. Tìm x và n .
4
5
6
7
Bài 2: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) + (1 + x ) .

Bài 3: Khai triển (1 − 2 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . Tìm a5 biết a0 + a1 + a2 = 71
n

Bài 4: Tìm hệ số của x10 trong khai triển ( 2 + x ) biết rằng:
n

3n Cn0 − 3n −1 Cn1 + 3n −2 Cn2 − 3n−3 Cn3 + ... + ( −1) Cnn = 2048 .
n

Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An

http:// www.toanthpt.net

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version


Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton.

Tài liệu dành cho học sinh lóp 11

Dạng 2: Tính tốn.
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: M = 4C101 + 42 C102 + ... + 49 C109 .
Giải
Trong khai triển ( ** ) cho x = 4 và n = 10 được :
510 = C100 + 4C101 + 42 C102 + ... + 49 C109 + 410 C1010
Suy ra:
M = 510 − C100 − 410 C1010 = 8717048 .
Ví dụ 2: Tính N = C201 + C203 + C205 + ... + C2019
Giải
Cách 1:

Trong khai triển ( ** ) cho x = −1, n = 20 ta được:
0 = C200 − C201 + C202 − ... + C2018 − C2019 + C2020
Suy ra:
C200 + C202 + ... + C2018 + C2020 = C201 + C203 + ... + C2019 .
Ta lại có :
220 = C200 + C201 + C202 + ... + C2020 = 2 N ⇒ N = 219 .
Cách 2:
Ta có cơng thức: Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 . Vận dụng vào biểu thứ của N :
N = C190 + C191 + C192 + C193 + ... + C1918 + C1919 = 219 .
Các bài tốn tự giải.
Bài 1: Tính K = 910 C100 + 99 C101 + ... + 90 C1010 .
Bài 2: Tính M = C44 + C54 + ... + C104
1
2
3
2007
Bài 3: Tính L = 1.C2007
+ 2.C2007
+ 3.C2007
+ ... + 2007C2007
.

Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An

http:// www.toanthpt.net

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version


Các dạng toán áp dụng nhò thức Newton.

Dạng 3: Chứng minh.

Tài liệu dành cho học sinh lóp 11

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ... + ( Cnn ) = C2nn .
2

2

2

Giải
Ta xét khai triển:

(1 + x )

2n

2n

= ∑ C2kn x k .
k =0

Suy ra hệ số của x n trong khai triển trên là C2nn .
Mặt khác: (1 + x ) = (1 + x ) ( x + 1)
2n

n

n

= (1 + x ) ( x + 1) = ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n )( Cn0 x n + Cn1 x n −1 + Cn2 x n− 2 + ... + Cnn )
n

n

Hệ số của x n trong tích trên là ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ... + ( Cnn ) .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài trên còn có thể giải bằng cách khác, nhưng cách giải này còn có thể áp dụng cho
việc giải nhiều bài tập tương tự.
2

2

2

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Cn0 + n.Cn1 + n 2 .Cn2 + ... + n n .Cnn ≥ 2n.n!
Giải
Trước hết ta dễ dàng chứng minh được hai điều sau đây:
n ( n + 1)
§ 1 + 2 + 3 + ... + n =
.
2
§ 1 + 2 + 3 + ... + n ≥ n n n! .
Từ đó ta sẽ có:
n
2n.n! ≤ (1 + n ) = Cn0 + n.Cn1 + n 2 .Cn2 + ... + n n .Cnn .
Các bài tốn tự giải.
Bài 1: Chứng minh rằng: ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + ... + ( Cnn ) ≥
2

2

2

2

n +1

4n
; n∈ N,n ≥ 2.
n +1

 4n 
*
Bài 2: Chứng minh rằng: C .C ...C ≤ 
 ; ∀n ∈ N .
 2 ( n + 1) 
Bài 3: Chứng minh rằng: Cn0Cmp + Cn1Cmp −1 + Cn2Cmp −2 + ... + CnnCm0 = Cmp+ n .
0
2n

1
2n

Giáo viên: Trần Thanh Tùng _ Long An

2n
2n

http:// www.toanthpt.net

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version