tối ưu hóa điều độ phát điện sử dụng phương pháp nhân tử lagrange

CHUYÊN ĐỀ
TỐI ƯU HÓA ĐIỀU ĐỘ PHÁT ĐIỆN
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE


1. MỞ ĐẦU

Cần phải xác định sự phân bố tối ưu công suất phát giữa các nhà máy điện trong
hệ thống điện (giữa các tổ máy phát trong cùng một nhà máy nhiệt điện, giữa các nhà
máy nhiệt điện hoặc giữa các nhà máy nhiệt điện và các nhà máy thủy điện) đủ đáp ứng
một giá trị phụ tải cho trước (bao gồm cả tổn thất) nhằm nâng cao tính vận hành kinh tế
của hệ thống điện.
Phương pháp nhân tử Lagrange là phương pháp được sử dụng rộng rãi trong các
bài toán tìm nghiệm tối ưu, bởi vì:
Đơn giản
Dễ thực hiện, đặc biệt là với các bài toán có các biến giống nhau, có thể hoán đổi
cho nhau.
+ Có ưu điểm đối với những bài toán có số biến lớn.
2. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE
Bài toán:
+
+

Cần phải xác định các ẩn số

sao cho đạt cực trị hàm mục tiêu
(2.1)

Và thỏa mãn m điều kiện ràng buộc

(2.2)

Trong đó
Thành lập hàm Lagrange:

(2.3)


Trong đó:

là những hằng số

Nghiệm tối ưu
của hàm mục tiêu F cũng chính là nghiệm tối ưu của hàm
Lagrange L(X) và ngược lại.
Vì vậy, cần tìm nghiệm tối ưu cho hàm
Giải thích hình học của phương pháp nhân tử Lagrange
Định nghĩa Gradient

Hàm

có các đạo hàm riêng

gọi là Gradient của

tại

Xét ví dụ với hàm
Ràng buộc

thì vec tơ

. Kí hiệu:

với điều kiện ràng buộc
xác định một đường cong như hình vẽ.


Lấy vi phân của phương trình

với ẩn x, ta có:

(*)
Tiếp tuyến của đường cong là

Và gradient của đường cong là

Vì vậy, phương trình (*) có nghĩa là
đường cong

. Nói cách khác, tiếp tuyến của

phải vuông góc với gradient tại mọi điểm.


Ta chồng lên đường cong
hợp các đường cong

họ các đường mức của hàm

, đó là tập

, trong đó c là số thực bất kì trong khoảng biến thiên của

.
Trong hình vẽ trên, ta có

, nếu di chuyển dọc theo đường cong

sẽ cho kết quả tăng hoặc giảm giá trị của hàm

Hàm

sẽ đạt cực tiểu địa phương tại

gradient
sao cho

, điều đó có nghĩa là

Điểm cực trị

Đặt hàm

Suy ra

của hàm

.

, tại đó chuyển động trực giao với cả
phải song song với nhau. Do đó tồn tại

thỏa mãn hệ phương trình

gọi là hàm Lagrange,

cũng là cực trị của hàm

Giải bài toán
Hãy xác định

và

sao cho

gọi là nhân tử Lagrange.


với

(2.4)

Và thỏa mãn các điều kiện ràng buộc:
với

(2.5)

Từ (2.4) ta có n phương trình và từ (2.5) ta có m phương trình nên sẽ giải được
(n+m) ẩn số

và

Để xác định hàm
hai của

đạt cực đại hay cực tiểu ta cần phải xét thêm đạo hàm cấp

tại các điểm dừng đã giải ra được ở trên.

+

Nếu

thì hàm mục tiêu sẽ đạt cực tiểu.

+

Nếu
thì hàm mục tiêu sẽ đạt cực đại.
Ví dụ áp dụng
Tìm các nghiệm

sao cho:

Với ràng buộc:

Giải:
Thành lập hàm Lagrange:


Xác định các điểm dừng bằng cách giải các phương trình:

Giải hệ 3 phương trình trên ta được

và
Và khi đó giá trị hàm mục tiêu là


3. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE TRONG HỆ THỐNG

ĐIỆN
Phương pháp nhân tử Lagrange được ứng dụng trong việc tính toán phân bố tối ưu
công suất trong hệ thống điện.
Xét bài toán:
Một nhà máy nhiệt điện có n tổ máy phát cung cấp cho phụ tải P pt cố định. Biết
những số liệu về đặc tính tiêu hao nhiên liệu của từng tổ máy. Cần phải xác định công
suất phát tối ưu của mỗi tổ máy Pj với j = [1…n], sao cho chi phí nhiên liệu tổng trong
nhà máy đạt cực tiểu với ràng buộc về điều kiện cân bằng công suất.
Mô tả dạng toán học

Cần xác định bộ nghiệm tối ưu
nhiên liệu tổng đạt cực tiểu:

sao cho hàm mục tiêu về chi phí

(2.6)
Thỏa mãn điều kiện ràng buộc về cân bằng công suất:
(2.7)

Với
Do các tổ máy trong cùng một nhà máy cách nhau không xa nên ta có thể bỏ qua

tổn thất
Khi đó ta có điều kiện ràng buộc:
(2.8)
Ta giải bằng phương pháp Lagrange


Thành lập hàm Lagrange:

Điều kiện để hàm số

đạt cực trị:

(2.9)
Cùng với điều kiện ràng buộc

Giải hệ (n+1) phương trình ta được công suất phát tối ưu của các tổ máy trong nhà
máy nhiệt điện là

và

.


4. VÍ DỤ ỨNG DỤNG.

Hãy phân bố tối ưu công suất cho các tổ máy của nhà máy nhiệt điện gồm hai tổ
máy với hàm chi phí sản xuất tương ứng là:

(103 đ/h)

(103 đ/h)
Phụ tải của hệ thống điện là
Không xét đến tổn thất
Giải:
Áp dụng phương pháp Lagrange
Hàm mục tiêu:
Hàm ràng buộc:
Hàm Lagrange:

Lấy đạo hàm của L(P) ta được:

Kết hợp với điều kiện ràng buộc:


Từ đó
Biết

dễ dàng tính được công suất phát của các tổ máy:

Thay các giá trị

tìm các giá trị của hàm chi phí săn xuất:

đ/h

đ/h
đ/h


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. PGS. TS Trần Bách, Tối ưu hóa chế độ của hệ thống điện, Hà Nội, 1999.
[2]. TS. Trần Quang Khánh, Vận hành hệ thống điện, NXB KH & KT, Hà Nội, 2006.
[3]. PGS. TS Nguyễn Lân Tráng, Quy hoạch phát triển hệ thống điện, NXB KH & KT,

Hà Nội, 2007.
[4]. Phạm Phúc Long, Về nguyên lý nhân tử Lagrange, Luận văn thạc sỹ toán học,
Người hướng dẫn khoa học – PGS. TS Trương Xuân Đức Hà, Trường đại học sư
phạm Thái Nguyên, Thái Nguyên, 2010.