Dạy học nội dung xác suất, thống kê ở bậc trung học phổ thông với phương pháp trực quan (tt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM MINH CHÂU

DẠY HỌC NỘI DUNG XÁC SUẤT, THỐNG KÊ Ở BẬC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỚI PHƢƠNG PHÁP TRỰC QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

PHẠM MINH CHÂU

DẠY HỌC NỘI DUNG XÁC SUẤT, THỐNG KÊ Ở BẬC
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VỚI PHƢƠNG PHÁP TRỰC QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Trần Mạnh Cƣờng

HÀ NỘI – 2016

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ........................................................... Error! Bookmark not defined.
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮTError!

Bookmark

not

defined.
MỤC LỤC ................................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ, BẢNG.......................... Error! Bookmark not defined.
DANH MỤC CÁC HÌNH, BIỂU ĐỒ ....................... Error! Bookmark not defined.
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.........................................................7
1.1. Phƣơng pháp dạy học ........................................................................................... 7
1.2. Phƣơng pháp dạy học trực quan ........................................................................... 7
1.2.1. Các khái niệm .................................................................................................... 7
1.2.2. Mục đích của phƣơng pháp dạy học trực quan ................................................. 7
1.2.3. Bản chất của phƣơng pháp dạy học trực quan .................................................. 7
1.2.4. Phân nhóm phƣơng pháp dạy học trực quan ..................................................... 8
1.2.5. Ƣu điểm và hạn chế của phƣơng pháp dạy học trực quan ................................ 9
1.2.6. Quy trình thực hiện phƣơng pháp dạy học trực quan ..................................... 10
1.3. Cơ sở khoa học của PPDH trực quan trong dạy học XS - TK ở phổ thông....... 11
1.3.1. Cơ sở triết học ................................................................................................. 11
1.3.2. Cơ sở tâm – sinh lí học .................................................................................... 11
1.3.3. Cơ sở thực tiễn ................................................................................................ 12
1.4. Kết luận của chƣơng 1 ....................................................................................... 13
Chƣơng 2 VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC TRỰC QUAN TRONG

DẠY HỌC NỘI DUNG XÁC SUẤT, THỐNG KÊ Ở BẬC PHỔ THÔNG ... Error!
Bookmark not defined.
2.1. Một số vấn đề về sử dụng phƣơng tiện trực quan trong dạy học ở trƣờng trung
học phổ thông ............................................................ Error! Bookmark not defined.
2.1.1. Trực quan và ý nghĩa của trực quan trong việc sử dụng thiết bị dạy học để đổi
mới phƣơng pháp giảng dạy...................................... Error! Bookmark not defined.

2.1.2. Vai trò và chức năng của phƣơng tiện trực quan trong quá trình dạy họcError! Bookmar

i


2.1.3. Những yêu cầu đối với các phƣơng tiện trực quanError! Bookmark not defined.

2.2. Sử dụng phƣơng tiện trực quan trong dạy học ở trƣờng Trung học phổ thôngError! Bookm

2.2.1. Những phƣơng tiện trực quan thƣờng dùng trong dạy học XS - TKError! Bookmark not
2.2.2. Thực trạng của việc sử dụng trợ cụ trong giảng dạy XS - TK ở trƣờng phổ
thông .......................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2.3. Phần mềm dạy học. ......................................... Error! Bookmark not defined.
2.3. Chất lƣợng dạy học ............................................ Error! Bookmark not defined.
2.3.1. Chất lƣợng ....................................................... Error! Bookmark not defined.
2.3.2. Chất lƣợng dạy học ......................................... Error! Bookmark not defined.
2.4. Khái niệm về giáo án.......................................... Error! Bookmark not defined.
2.5. Kiểm tra đánh giá ............................................... Error! Bookmark not defined.
2.6. Đề xuất các mức độ, phạm vi và khả năng sử dụng phƣơng tiện trực quan trong
dạy học xác suất, thống kê ở bậc phổ thông. ............ Error! Bookmark not defined.

2.6.1. Mức độ sử dụng phƣơng tiện trực quan trong dạy học XS - TK ở phổ thôngError! Bookm
2.6.2. Phạm vi - khả năng sử dụng phƣơng pháp dạy học trực quan trong dạy học

xác suất, thống kê ở bậc phổ thông ........................... Error! Bookmark not defined.

2.6.3. Một số giáo án vận dụng chƣơng trình Đại Số và Giải tích 11 nâng caoError! Bookmark
2.7. Kết luận chƣơng 2 .............................................. Error! Bookmark not defined.
Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................... Error! Bookmark not defined.
3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạmError! Bookmark not defined.
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm ............... Error! Bookmark not defined.
3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm............... Error! Bookmark not defined.
3.2. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm ................... Error! Bookmark not defined.
3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sƣ phạm ..... Error! Bookmark not defined.
3.3.1. Kế hoạch và đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm Error! Bookmark not defined.
3.3.2. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...................... Error! Bookmark not defined.
3.4. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm............................ Error! Bookmark not defined.
3.4.1. Phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra ......... Error! Bookmark not defined.

3.4.2. Ý kiến đánh giá của các GV và HS tham dự các giờ thực nghiệm sƣ phạmError! Bookm
3.5. Kết luận chƣơng 3 .............................................. Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ........................... Error! Bookmark not defined.

ii


TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................15
PHỤ LỤC .................................................................. Error! Bookmark not defined.

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Thực hiện chủ trƣơng của Đảng, của Bộ giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu
phát triển mới của xã hội, quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng đã
có nhiều sự thay đổi. Nghị quyết TW2, khoá VIII đã khẳng định: “Phải đổi mới
phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến
và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học”.
Chất lƣợng dạy học phụ thuộc vào nhiều thành tố trong một hệ thống bao
gồm: Mục tiêu đào tạo, nội dung đào tạo, PPDH, thầy và hoạt động của thầy, trò và
hoạt động của trò, môi trƣờng giáo dục… trong đó PPDH là thành tố trung tâm.
Theo Thứ trƣởng Bộ GD-ĐT Nguyễn Vinh Hiển: “Đổi mới PPDH phù hợp với mục
tiêu, nội dung dạy học là yếu tố có thể coi là xương sống của đổi mới giáo dục phổ
thông”. Nhƣ vậy, để thực hiện chiến lƣợc phát triển giáo dục thì đổi mới giáo dục
phổ thông, trong đó đổi mới phƣơng pháp là một yêu cầu tất yếu đang đặt ra với tất
cả các cấp học của hệ thống giáo dục phổ thông ở nƣớc ta hiện nay. Cùng với đổi
mới nội dung, chƣơng trình, sách giáo khoa, PPDH tất yếu phải đổi mới phƣơng
tiện, đồ dùng dạy học. Nghi quyết 40/2000/QH10 đã khẳng định: “Đổi mới nội
dung, chương trình, sách giáo khoa, PPDH phải được thực hiện đồng bộ với việc
nâng cấp và đổi mới trang thiết bị dạy học”. Với phƣơng pháp dạy học phù hợp sẽ
hỗ trợ tốt cho việc vận dụng các PPDH tích cực của ngƣời GV, nhất là đối với
phƣơng pháp trực quan.
“Thống kê toán và Lí thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hết các ngành
khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kĩ thuật, vào quản lí kinh tế và tổ chức nền sản
xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao động: kĩ sư, bác sĩ, giáo viên,
công nhân, nông dân, . . .” [8, tr. 29]. Xác suất, thống kê là một ngành của Toán học,
lý thuyết xác suất là bộ môn Toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật chi phối và
đƣa ra các phƣơng pháp tính toán xác suất của các hiện tƣợng biến cố ngẫu nhiên.
Năm 1812, nhà toán học Pháp La- pla - xơ đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu
từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tƣợng quan
trọng nhất của tri thức loài ngƣời” [13, tr. 69]. Gần gũi với xác suất là bộ môn thống

1


kê. Thống kê giúp ta phân tích các số liệu một cách khách quan và rút ra các tri
thức, thông tin chứa đựng bên trong các số liệu đó. Trên cơ sở này, chúng ta mới có
thể đƣa ra đƣợc những dự báo và quyết định đúng đắn cho một hiện tƣợng cụ thể.
Đầu thế kỉ XX, nhà triết học ngƣời Anh Well đã dự đoán: “Trong một tƣơng lai
không xa, kiến thức thống kê và tƣ duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể
thiếu đƣợc trong học vấn phổ thông của mỗi công dân giống nhƣ khả năng biết đọc
và biết viết”. Ngày nay xác suất, thống kê đã trở thành một ngành toán học quan
trọng cả về phƣơng diện lý thuyết và ứng dụng. UNESCO - Tổ chức Giáo dục và
Văn hóa của Liên hợp quốc đã khẳng định: xác suất, thống kê là một trong các quan
điểm chủ chốt để xây dựng học vấn trong thời đại ngày nay. Vì vậy việc sử dụng
phƣơng pháp trực quan vào giảng dạy nội dung toán xác suất, thống kê là rất cần
thiết. Từ đó sẽ làm tăng hứng thú học tập và nâng cao chất lƣợng học tập môn Toán
nói chung và nội dung xác suất, thống kê nói riêng.
Xuất phát từ những lí do trên mà tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Dạy học nội
dung xác suất, thống kê ở bậc trung học phổ thông với phương pháp trực quan” để
nghiên cứu nhằm nhấn mạnh vai trò của PPDH trực quan, phát hiện ra những thực
trạng về việc vận dụng PPDH trực quan trong giảng dạy nội dung xác suất, thống kê
ở trƣờng THPT và phát hiện ra những hạn chế. Trên cơ sở đó tôi muốn đƣa ra một
số biện pháp khắc phục mang tính chất gợi mở giúp GV và HS phần nào trong việc
nâng cao chất lƣợng dạy và học nội dung xác suất, thống kê.
2. Lịch sử nghiên cứu
2.1. Nền tảng lịch sử
Trƣớc nhu cầu cấp thiết về đổi mới giáo dục toàn diện đã làm nảy sinh và thúc
đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục đào tạo
mà đặc biệt là sự xuất hiện nhiều công trình nghiên cứu cũng nhƣ tài liệu viết về
PPDH, đổi mới PPDH theo hƣớng tích cực nhƣ các tác giả: Thái Duy Tuyên, PPDH
truyền thống và đổi mới, Nxb Giáo dục. Nguyễn Văn Cƣờng, Bernd Meier, Một số

vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT, Hà Nội, 2008. Bộ Giáo dục
Đào tạo, dự án đào tạo GV Trung học cơ sở, Đổi mới PPDH dạy học trong các
trường đại học, cao đẳng đào tạo GV trung học cơ sở, Hà Nội, 8/2003. Hầu hết các
tác giả đã làm rõ các khái niệm cơ bản về PPDH, PPDH tích cực, đề xuất một số

2


biện pháp đổi mới PPDH. Tuy nhiên các tác giả chƣa nghiên cứu chi tiết về phƣơng
pháp trực quan và việc vận dụng vào dạy học nội dung XS – TK ở trƣờng THPT.
Cùng với nhóm nghiên trên còn có nhóm nghiên cứu về phƣơng pháp trực
quan, phƣơng tiện trực quan nhƣ các tác giả: Nguyễn Hữu Châu (chủ biên), Phương
pháp, phương tiện, kỹ thuật và hình thức tổ chức dạy học trong nhà trường, Nxb
Giáo dục Đại học sƣ phạm, Hà Nội, 2005. Lê Tràng Định (2003), Phân loại và sử
dụng phương tiện trực quan trong dạy học, Giáo dục, số 54. Tô Xuân Giáp, Phương
tiện dạy học, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1998. Các tác giả đã thể hiện khá chi tiết về
khái niệm, phân loại phƣơng tiện trực quan, tầm quan trọng của việc vận dụng
phƣơng tiện trực quan. Thế nhƣng việc vận dụng phƣơng pháp trực quan, phƣơng
tiện trực quan trong dạy học một môn học cụ thể chẳng hạn nhƣ nội dung xác suất,
thống kê lớp 11 THPT nhƣ thế nào thì chƣa đƣợc đề cập đến.
Xác suất, thống kê là hai mảng kiến thức mới đƣợc đƣa vào chƣơng trình phổ
thông. Ở Việt Nam, mảng kiến thức xác suất, thống kê bắt đầu đƣợc đƣa vào
chƣơng trình dạy học trong đợt thay sách giáo khoa THPT mới đây nên chƣa có
nhiều đề tài nghiên cứu giáo dục về nó. Các đề tài liên quan đến xác suất, thống kê
chủ yếu về nội dung phục vụ cho đại học.
Trong phần này chúng tôi sẽ xác định và làm rõ vấn đề nghiên cứu; tổng quan
nền tảng lịch sử của vấn đề cần nghiên cứu; xác định, nhận biết các mâu thuẫn, kẽ
hở trong các tài liệu; tóm tắt sơ lƣợc các nghiên cứu trƣớc đây có liên quan đến đề
tài và khẳng định rằng nghiên cứu này sẽ là bƣớc đi hợp lôgíc tiếp theo trong việc
tìm ra một lời giải tối ƣu cho vấn đề cần nghiên cứu.

2.2. Các kết quả nghiên cứu có liên quan
Phần này bao gồm giới thiệu một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề
tài ở trong cũng nhƣ ngoài nƣớc. Các kết quả này đƣợc tìm thấy trong các khóa
luận, tiểu luận, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ, các thông tin trên internet, các bài
báo.
Trong dự án “Xác suất được liên kết” (Connected Probability) thực hiện ở các
năm 1993, 1994, Uri Wilensky và các cộng sự của mình đã kết luận rằng, công nghệ
máy tính đóng một vai trò quan trọng trong việc cho phép ngƣời học xây dựng các
khái niệm trực giác của xác suất. Thông qua việc xây dựng các mô hình tính toán

3


hằng ngày và các hiện tƣợng khoa học, ngƣời học có thể tạo nên các mô hình tích
cực dựa trên xác suất và thống kê.
Trong bài báo “Học xác suất thông qua xây dựng các mô hình tính toán”
(Learning probability through building computation models), Wilensky (1993) và
các cộng sự của mình muốn ngƣời học tự mình tạo nên các mô hình và thiết kế các
khảo sát cho chính họ. Khi phân tích những mô hình mà ngƣời học tạo đƣợc cũng
nhƣ quan sát công việc khảo sát của họ, Wilensky nhận ra rằng thông qua việc tự
xây dựng các mô hình cho chính bản thân mình, ngƣời học tự đƣa ra đƣợc những
câu hỏi, tự hình thành nên lý thuyết, thử nghiệm lý thuyết và nắm đƣợc một cách
sâu sắc những khái niệm.
Ở Việt Nam, một số đề tài liên quan đến XS - TK nhƣ: “Dạy học toán gắn với
thực tiễn thông qua nội dung xác suất và thống kê ở trường THPT” của Đỗ Thi
Thanh Xuân; “Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua dạy học chương
“Tổ hợp và xác suất” lớp 11 THPT” của Vƣơng Thùy Dƣơng; hay “Một số biện
pháp tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh trong dạy học giải bài tập toán
phần tổ hợp và xác suất lớp 11 THPT” của Bùi Văn Tài… Nhìn chung mỗi đề tài
mới chỉ khai thác ở một khía cạnh riêng lẻ.

Thông qua tìm hiểu một số nghiên cứu trong và ngoài nƣớc ở trên, tôi thấy
rằng các nghiên cứu, do tính lịch sử của mình, đã chƣa tận dụng hết sức mạnh của
công nghệ thông tin – phần mềm máy tính trong dạy học. Các mô hình về phép thử
ngẫu nhiên với số lần thử lớn chƣa đƣợc nghiên cứu xây dựng, việc vận dụng
phƣơng pháp trực quan trong dạy học xác suất, thống kê đang còn ít. Do đó, cần
phải có một nghiên cứu về xác suất, thống kê để giúp cho HS chiếm lĩnh tri thức,
đặc biệt thông qua việc xây dựng các bài giảng theo hƣớng tích hợp nội dung xác
suất, thống kê tạo nên tƣơng tác tích cực cho HS lớp 11 THPT ở Việt Nam.
3. Mục đích nghiên cứu
3.1. Tìm hiểu về phương pháp giảng dạy trực quan.
3.2. Đánh giá thực trạng việc giảng dạy trực quan trong toán học, đặc biệt là
trong xác suất, thống kê ở Việt Nam.
3.3. Thiết kế ba bài giảng có sử dụng phương pháp giảng dạy trực quan.

4


4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Hoạt động học tập và nghiên cứu của giáo viên và học sinh trong giờ học với
việc sử dụng phƣơng tiện trực quan.
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy và học nội dung xác suất, thống kê ở phổ thông với phƣơng
pháp dạy học trực quan, bao gồm:
- Nội dung dạy học xác suất, thống kê ở phổ thông.
- Các phƣơng tiện trực quan thƣờng dùng trong dạy học nội dung xác suất,
thống kê ở phổ thông.
5. Phạm vi nghiên cứu
Chƣơng II: “Tổ hợp và xác suất” phần B, Sách giáo khoa Đại số và Giải tích
11 nâng cao.

6. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng dạy học trực quan trong dạy học nội dung xác suất, thống kê ở
phổ thông thì sẽ phát huy đƣợc tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, qua
đó nâng cao chất lƣợng dạy và học ở trƣờng phổ thông.
7. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sơ lí luận và thực tiễn của việc vận dụng PPDH trực quan trong
dạy học nội dung xác suất, thống kê ở phổ thông.
- Vận dụng PPDH trực quan trong dạy học nội dung XS - TK ở phổ thông.
- Tổ chức thực nghiệm và đánh giá kết quả.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lí luận và tổng kết kinh nghiệm
Thực chất của phƣơng pháp lí luận và tổng kết kinh nghiệm này là phân tích
và tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa ... để định hƣớng về mục đích và cơ sở lí
luận cho đề tài.
8.2. Phương pháp điều tra quan sát
Thông qua dự giờ, trao đổi, thảo luận, nghiên cứu lịch trình, giáo án, sổ điểm,
nhất là các phƣơng tiện trực quan và cách sử dụng chúng … nhằm tìm hiểu việc dạy
và học để có thể đánh giá sơ bộ kết quả dạy và học bộ môn.

5


8.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
+ Tiến hành giảng dạy theo tiến trình đã soạn thảo.
+ Tiến hành giảng dạy theo tiến trình bình thƣờng (đối chứng).
+ Dùng thống kê toán học để xử lí kết quả thu đƣợc, từ đó rút ra những kết
luận của đề tài.
9. Dự kiến đóng góp của đề tài
Qua việc nghiên cứu và vận dụng luận văn này ở trƣờng THPT Hồng Đức sẽ
góp phần thúc đẩy việc đổi mới PPDH ở trƣờng THPT đặc biệt qua những giải pháp

vận dụng PPDH trực quan vào dạy học nội dung xác suất, thống kê nhằm phát huy
tính tích cực, chủ động, hứng thú đối với môn học để nâng cao hiệu quả, chất lƣợng
dạy học bộ môn.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, thì nội dung chính
của luận văn đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2 Vận dụng phƣơng pháp dạy học trực quan trong dạy học nội dung
xác suất, thống kê ở bậc phổ thông
Chƣơng 3 Thực nghiệm sƣ phạm

6


Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phƣơng pháp dạy học
PPDH là khái niệm có nhiều định nghĩa khác nhau: Phƣơng pháp thƣờng đƣợc
hiểu là con đƣờng, là cách thức để đạt những mục tiêu nhất định. [19, tr. 43]
PPDH là cách thức hoạt động và giao lƣu của thầy gây nên những hoạt động
và giao lƣu cần thiết của trò nhằm đạt đƣợc các mục tiêu dạy học. [10, tr. 85]
Theo tác giả Thái Duy Tuyên trích dẫn: PPDH là một hệ thống những hành
động có mục đích của giáo viên nhằm tổ chức hoạt động nhận thức và thực hành
của HS, đảm bảo HS lĩnh hội nội dung học vấn (I. Ia. Lecne. 1981). [21, tr. 38]
1.2. Phƣơng pháp dạy học trực quan
1.2.1. Các khái niệm
1.2.1.1. Trực quan
Trực quan là quá trình quan sát, nhận biết sự vật hiện tƣợng bằng các giác
quan của con ngƣời.
1.2.1.2. Phương pháp dạy học trực quan
Theo tác giả Thái Duy Tuyên cho rằng: Phƣơng pháp trực quan “là một loại

PPDH có đặc điểm là học sinh tiếp thu kiến thức nhờ các giác quan tri giác trực tiếp
các sự vật và hiện tƣợng trong thực tiễn”. [21, tr. 41]
1.2.2. Mục đích của phương pháp dạy học trực quan
Sử dụng phƣơng tiện trực quan trong dạy học giúp học sinh quan sát với các
mục đích sau:
- Tiếp thu các kiến thức mới thông qua các hình ảnh và mô hình mà giáo viên
đƣa ra.
- Vận dụng các kiến thức đã học, kiến thức vừa tiếp thu để giải quyết bài toán.
- Quan sát để khắc sâu kiến thức.
1.2.3. Bản chất của phương pháp dạy học trực quan
1.2.3.1. Khái niệm
Là cách thức hệ thống các cách sử dụng các phƣơng tiện trực quan để học sinh
trực tiếp cảm giác, tri giác chúng, trên cơ sở đó phát hiện, khai thác và lĩnh hội kiến
thức.

7


1.2.3.2. Phương tiện trực quan
Phƣơng tiện trực quan là các phƣơng tiện để nhận thức, có chức năng làm cho
đối tƣợng nhận thức đƣợc bộc lộ một cách trực quan. Trƣớc đây phƣơng tiện trực
quan đƣợc hiểu là những sự vật, hiện tƣợng cụ thể hoặc hình ảnh của chúng đƣợc sử
dụng trong dạy học. Ngày nay, các phƣơng tiện trực quan đƣợc mở rộng: bên cạnh
các phƣơng tiện trực quan truyền thống còn có cả các phƣơng tiện trực quan có tính
hiện đại, các phƣơng tiện nghe nhìn, “phƣơng tiện đa năng” (Mutimedla)….. [33,
tr.28]
1.2.4. Phân nhóm phương pháp dạy học trực quan
PPDH trực quan bao gồm: phƣơng pháp trình bày trực quan (của giáo viên) và
phƣơng pháp quan sát (của học sinh).
1.2.4.1. Phương pháp trình bày trực quan.

Là phƣơng pháp sử dụng những phƣơng tiện trực quan, phƣơng tiện kỹ thuật
dạy học trƣớc, trong và sau khi nắm tài liệu mới trong khi ôn tập, củng cố, hệ thống
hóa và kiểm tra tri thức, kỹ năng, kỹ xảo.
Phƣơng pháp trình bày trực quan thể hiện dƣới hai hình thức minh hoạ và trình
bày:
- Minh hoạ thƣờng trƣng bày những đồ dùng trực quan có tính chất minh hoạ
nhƣ bản mẫu, biểu đồ, bức tranh, tranh chân dung các nhà khoa học, hình vẽ trên
bảng…
- Trình bày thƣờng gắn liền với việc trình bày những thí nghiệm, những thiết
bị kỹ thuật, chiếu phim đèn chiếu, phim điện ảnh, băng video. Trình bày thí nghiệm
là trình bày mô hình đại diện cho hiện thực khách quan đƣợc lựa chọn cẩn thận về
mặt sƣ phạm. Nó là cơ sở, điểm xuất phát trong quá trình nhận thức – học tập của
HS, là cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn. Thông qua sự trình bày thí nghiệm của
GV mà HS không chỉ lĩnh hội dễ dàng tri thức mà còn giúp họ học tập đƣợc những
động tác mẫu của GV, từ đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo, …. .[1, tr.86]
1.2.4.2. Phương pháp quan sát
Quan sát là sự tri giác có chủ đích, có kế hoạch tạo khả năng theo dõi tiến trình
và sự biến đổi diễn ra trong đối tƣợng quan sát. Quan sát là hình thức cảm tính tích
cực nhằm thu thập những sự kiện, hình thành những biểu tƣợng ban đầu về đối

8


tƣợng của thế giới xung quanh. Quan sát gắn chặt với tƣ duy. Quan sát đƣợc học
sinh sử dụng khi GV trình bày phƣơng tiện trực quan, phƣơng tiện dạy học hoặc khi
chính HS tiến hành làm việc trong phòng thí nghiệm.
1.2.5. Ưu điểm và hạn chế của phương pháp dạy học trực quan
1.2.5.1. Ưu điểm
- Trực quan là một trong những nguyên tắc cơ bản của lí luận dạy học nhằm
tạo cho học sinh những biểu tƣợng và hình thành các khái niệm trên cơ sở trực tiếp

quan sát hiện vật đang học hay đồ dùng trực quan minh họa sự vật. Đồ dùng trực
quan là chỗ dựa để hiểu sâu sắc bản chất kiến thức, là phƣơng tiện có hiệu lực để
hình thành các khái niệm, giúp học sinh nắm vững các quy luật của sự phát triển xã
hội. Ví dụ, khi nghiên cứu bức tranh “Hình vẽ trên vách hang”, HS không chỉ có
biểu tƣợng về săn bắn là công việc thƣờng xuyên và hàng đầu của thị tộc mà còn
hiểu: nhờ chế tạo cung tên, con ngƣời đã chuyển hẳn từ hình thức săn bắt sang săn
bắn, có hiệu quả kinh tế cao hơn. Điều đó giúp HS biết sự thay đổi trong đời sống
vật chất của con ngƣời thời nguyên thủy luôn gắn chặt với tiến bộ trong kĩ thuật chế
tác công cụ của họ.
- Đồ dùng trực quan có vai trò rất lớn trong việc giúp học sinh nhớ kĩ, hiểu sâu
những hình ảnh, những kiến thức lịch sử. Hình ảnh đƣợc giữ lại đặc biệt vững chắc
trong trí nhớ là hình ảnh chúng ta thu nhận đƣợc bằng trực quan. Vì vậy, cùng với
việc góp phần tạo biểu tƣợng và hình thành khái niệm lịch sử, đồ dùng trực quan
còn phát triển khả năng quan sát, trí tƣởng tƣợng, tƣ duy và ngôn ngữ của HS. [1,
tr.86-87]
1.2.5.2. Hạn chế
Phƣơng pháp này đòi hỏi nhiều thời gian, giáo viên cần tính toán kĩ để phù
hợp với thời lƣợng đã quy định.
Nếu sử dụng đồ dùng trực quan không khéo sẽ làm phân tán chú ý của HS,
dẫn đến HS không lĩnh hội đƣợc những nội dung chính của bài học.
Khi sử dụng đồ dùng trực quan, đặc biệt là khi quan sát tranh ảnh, các phim
điện ảnh, phim video, nếu GV không định hƣớng cho HS quan sát sẽ dễ dẫn đến
tình trạng học sinh sa đà vào những chi tiết nhỏ lẻ, không quan trọng. [1, tr. 87]

9


1.2.5.3. Một số chú ý
Khi sử dụng đồ dùng trực quan trong dạy học cần chú ý các nguyên tắc sau:
- Phải căn cứ vào nội dung, yêu cầu giáo dục của bài học để lựa chọn đồ dùng

trực quan tƣơng ứng thích hợp. Vì vậy, cần xây dựng một hệ thống đồ dùng trực
quan phong phú, phù hợp với từng bài học.
- Có phƣơng pháp thích hợp đối với việc sử dụng mỗi loại đồ dùng trực quan.
- Phải đảm bảo đƣợc sự quan sát đầy đủ đồ dùng trực quan của HS.
- Phát huy tính tích cực của học sinh khi sử dụng đồ dùng trực quan.
- Đảm bảo kết hợp lời nói với việc trình bày các đồ dùng trực quan, đồng thời
rèn luyện khả năng thực hành của HS khi xây dựng và sử dụng đồ dùng trực quan
(đắp sa bàn, vẽ bản đồ, tƣờng thuật trên bản đồ, miêu tả hiện vật...).
- Tùy theo yêu cầu của bài học và loại hình đồ dùng trực quan mà có các cách
sử dụng khác nhau. Loại đồ dùng trực quan treo tƣờng đƣợc sử dụng nhiều nhất
trong dạy học hiện nay là vật mẫu, bản đồ, sơ đồ, đồ thị, bảng niên biểu, ... Trƣớc
khi sử dụng chúng cần chuẩn bị thật kĩ (nắm chắc nội dung, ý nghĩa của từng loại
phục vụ bài học,...). Trong khi giảng cần xác định đúng thời điểm sử dụng đồ dùng
trực quan.
- Loại đồ dùng trực quan cỡ nhỏ đƣợc sử dụng riêng cho từng học sinh trong
giờ học, trong việc tự học ở nhà, GV phải hƣớng dẫn HS sử dụng tốt loại đồ dùng
trực quan này: quan sát kĩ, tìm hiểu sâu sắc nội dung, hoàn thành các bài tập, tập vẽ
bản đồ, chứ không phải “can” theo sách.
Sử dụng các đồ dùng trực quan cần theo một quy trình hợp lý để có thể khai
thác tối đa kiến thức từ các đồ dùng trực quan. Cần chuẩn bị câu hỏi hoặc hệ thống
câu hỏi dẫn dắt học sinh quan sát và tự khai thác kiến thức. [1, tr. 87-88]
1.2.6. Quy trình thực hiện phương pháp dạy học trực quan
Có thể tóm tắt quy trình thực hiện PPDH trực quan nhƣ sau:
- GV treo đồ dung trực quan có tính chất minh họa hoặc giới thiệu về các vật
dụng thí nghiệm, các thiết bị kĩ thuật,… và nêu yêu cầu hƣớng cho sự quan sát của
HS.
- GV trình bày các nội dung trong lƣợc đồ, sơ đồ, bản đồ,… tiến hành làm thí
nghiệm, trình chiếu các thiết bị kĩ thuật, phim đèn chiếu, phim điện ảnh, …

10

- GV yêu cầu một hoặc một số HS trình bày lại, giải thích nội dung sơ đồ, biểu
đồ, trình bày những gì thu nhận đƣợc qua thí nghiệm hoặc qua những phƣơng tiện
kĩ thuật, phim đèn chiếu, phim điện ảnh, …
- Từ những chi tiết, thông tin HS thu đƣợc từ phƣơng tiện trực quan, GV nêu
câu hỏi yêu cầu HS rút ra kết luận khái quát về vấn đề mà phƣơng tiện trực quan
cần chuyển tải. [1, tr. 86]
1.3. Cơ sở khoa học của PPDH trực quan trong dạy học XS - TK ở phổ thông
1.3.1. Cơ sở triết học
Bản chất của quá trình dạy học là tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh
nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học. Con đƣờng nhận thức đã đƣợc Lênin chỉ rõ: “Từ
trực quan sinh động đến tƣ duy trừu tƣợng và từ tƣ duy trừu tƣợng đến thực tiễn, đó
là con đƣờng biện chứng của sự nhận thức chân lý, nhận thức thực tại khách quan”.
Theo quan điểm này, trực quan là xuất phát điểm của nhận thức.Trực quan sinh
động đƣợc đặc trƣng bởi quá trình tâm lý: cảm giác, tri giác, biểu tƣợng. Sự nhận
thức này chỉ mới phản ánh thuộc tính bên ngoài của sự vật hiện tƣợng, để nhận thức
bên trong thì cần xử lý trong óc những hình tƣợng cảm tính, loại bỏ những khía
cạnh ngẫu nhiên, biến đổi, giữ lại những dấu hiệu cơ bản. Bản chất của sự vật, hiện
tƣợng đƣợc nắm vững nhờ tƣ duy.
Nhƣ vậy trực quan sinh động – nhận thức cảm tính và tƣ duy – nhận thức lý
tính là những bộ phận hữu cơ của quá trình lĩnh hội tri thức.
Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lý. Bản chất và quy luật cần đƣợc kiểm tra và
đánh giá qua thực tiễn. Thực tiễn “cao hơn” này lại trở thành trực quan sinh động
cao hơn cho quá trình nhận thức.
Quá trình nhận thức là sự thống nhất giữa trực quan sinh động và tƣ duy trừu
tƣợng với sự xâm nhập của thực tiễn vào cả hai. [16, tr. 1]
1.3.2. Cơ sở tâm – sinh lí học
Quá trình nhận thức đƣợc phân chia thành 3 giai đoạn: giai đoạn nhận thức
cảm tính, giai đoạn nhận thức lý tính và giai đoạn tái sinh cái cụ thể trong tƣ duy.

- Nhận thức cảm tính nảy sinh do kết quả tác động trực tiếp của sự vật hiện
tƣợng lên các giác quan của con ngƣời.
- Nhận thức lý tính là giai đoạn phản ánh trừu tƣợng, khái quát hóa dƣới dạng

11


những khái niệm, định luật, học thuyết...
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng vì nó tạo chất liệu cho quá trình tƣ
duy. Không có nhận thức cảm tính thì sẽ không có nhận thức tƣ duy trừu tƣợng.
- Giai đoạn tái sinh cái cụ thể trong tƣ duy là giai đoạn kiểm tra và vận dụng
tri thức mới vào tình huống mới. Trong dạy học, để quá trình này đƣợc tổ chức
thuận lợi, ngƣời ta sử dụng rộng rãi các phƣơng tiện trực quan. Ở giai đoạn này cần
tạo điều kiện cho học sinh thu nhận đƣợc nhiều tƣ liệu cảm tính làm phong phú sự
trừu tƣợng hóa. Sử dụng phƣơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh quan sát là tiếp
nhận thông tin về những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ của những cái cụ
thể trong hiện thực. Giáo viên vừa giảng vừa hƣớng dẫn học sinh xem xét các tranh
vẽ, mô hình.
Qua những nghiên cứu về tâm sinh lý, ngƣời ta đã chỉ ra rằng mỗi giác quan
của con ngƣời có khả năng tri giác một khối lƣợng thông tin khác nhau trong cùng
một thời gian. Để đánh giá nhận xét đó, ngƣời ta đƣa ra khái niệm năng lực dẫn
thông của đƣờng tiếp thu thông tin. Năng lực dẫn thông là khả năng tiếp nhận thông
tin trong một đơn vị thời gian. Cụ thể:
Thị giác: 3.000.000 (Bít/giây);

Thích giác: 30.000-50.000 (Bít/giây);

Xúc giác: 2-10 (Bít/giây);

Khứu giác: 10 -100 (Bít/giây).

Nhƣ thế năng lực dẫn thông của đƣờng tiếp thu thông tin bằng thị giác lớn gấp
100 lần đƣờng thính giác. Điều này nói lên ƣu điểm của phƣơng pháp trình bày trực
quan so với phƣơng pháp dùng ngôn ngữ. Tuy nhiên không thể coi việc truyền đạt
thông tin bằng con đƣờng thị giác là vạn năng vì nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố
khác, phải phối hợp với các giác quan trong quá trình nhận thức. Usinxki nhà giáo
dục học nổi tiến của Liên Xô trƣớc đây đã khẳng định: “trong ý thức học sinh chỉ để
lại dấu ấn sâu nhất khi GV tác động cùng một lúc đến nhiều giác quan của học
sinh”. [16, tr. 2]
1.3.3. Cơ sở thực tiễn
Trong suốt nhiều năm tham gia giảng dạy, tôi nhận thấy rằng học sinh thƣờng
phải vật lộn với toán học và kết quả là mất hứng thú học tập môn toán. Họ tự coi
mình nhƣ chỉ đơn giản là “không giỏi toán” và do đó đã không kiên nhẫn học hỏi.
Điều này đã cho tôi một lý do để suy nghĩ về những gì có thể đƣợc thực hiện để

12


giúp các học sinh trở nên quan tâm hơn và thành công hơn trong toán học. Theo
Traver Holder (1993) nói rằng việc sử dụng các trợ cụ đã đƣợc chứng minh bởi nhà
nghiên cứu là một phƣơng pháp dạy toán hiệu quả cao. Theo Dennis (2011) “Các
nhà giáo dục toán học trên toàn thế giới tin rằng HS học tốt hơn khi họ có cơ hội
trải qua việc sử dụng các trợ cụ” [28, tr.7]. Crystal Allen, đã tiến hành một nghiên
cứu về trực cụ và thấy rằng: “Trực cụ đã được chứng minh có khả năng hỗ trợ
trong việc giúp đỡ các HS loại bỏ sự thất vọng và tạo ra sự hứng thú đối với toán
học”. [22, tr. 7]. McIntosh xác nhận: “Rõ ràng là ngay cả với tiếp xúc tối thiểu, học
sinh ở tất cả các cấp độ thông minh có thể đƣợc hƣởng lợi rất nhiều từ việc sử dụng
các trợ cụ”. [26, tr. 6].
Theo Dennis: “Một cách tiếp cận sáng tạo để hỗ trợ HS nắm bắt những ý
tƣởng mới là việc sử dụng các trợ cụ”. Sử dụng trợ cụ khi giải quyết các vấn đề toán

học có thể nâng cao khả năng của HS để xác định các hoạt động để giải quyết vấn
đề một cách đúng đắn. [23, tr.18]. Đặc biệt: “Trực cụ ảo có khả năng làm những
điều mà bình thƣờng không thể làm nhƣ với các trực cụ hữu hình, bút chì và giấy,
hoặc các công cụ khác”. Ngoài ra, trực cụ ảo có lợi ích: “cung cấp cho HS phản hồi
sửa sai tức thời”. Hơn nữa, “trực cụ ảo có thể hữu ích cho HS khuyết tật” và khẳng
định: “Một số tác giả cho rằng trực cụ ảo tăng động lực và sự chú tâm của cả HS
cũng nhƣ GV”. [30, tr. 2]
Young kết luận trong nghiên cứu của mình rằng: “Trực cụ ảo cung cấp một
công cụ hấp dẫn và đầy hứa hẹn cho việc dạy và học toán. Các tài liệu hiện có trên
trực cụ ảo đã chỉ ra một cách hiệu quả nhiều lợi ích mà chúng mang tới, trong đó
thừa nhận rằng hiệu quả của chúng chủ yếu phụ thuộc vào GV và việc thiết kế bài
giảng”. [44, tr. 8]
1.4. Kết luận của chƣơng 1
Qua nghiên cứu, phân tích cơ sơ lí luận và thực tiễn của đề tài có thể rút ra kết
luận sau:
Thực trạng dạy học xác suất, thống kê ở phổ thông hiện nay còn nhiều vấn đề
tồn tại, đặc biệt là vấn đề thiếu các phƣơng tiện dạy học, PPDH còn chậm đổi mới,
chƣa đáp ứng đƣợc nhu cầu của thực tiễn hiện nay.
Trực quan là một bộ phận của quá trình nhận thức, PPDH trực quan đã đƣợc

13


nghiên cứu từ lâu và có cơ sở khoa học đã đƣợc xác định. PPDH này khá phù hợp
với yêu cầu và đặc điểm nội dung môn toán, do đó sử dụng PPDH trực quan có thể
nâng cao chất lƣợng dạy học bộ môn nói chung và nội dung Toán xác suất, thống kê
nói riêng. Vận dụng cơ sở lí luận trên, chƣơng 2 của khoá luận sẽ trình bày việc
nghiên cứu sử dụng PPDH trực quan trong dạy học xác suất, thống kê ở phổ thông.

14

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Đình Châu, Đặng Thu Thủy, Phan Thị Luyến, Tài liệu bồi dưỡng
thường xuyên cho giáo viên khối THPT. Module 18.
2. Nguyễn Huy Đoan (Chủ Biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh,
Đoàn Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lƣu Xuân Tình (2013), Bài
tập đại số và giải tích 11nâng cao, Nxb.
3. Tô Xuân Giáp (1998), Phương tiện dạy học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
4. Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê
Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2007), Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục.
5. Trần Diên Hiển (Chủ biên), Vũ Viết Yên (2009), Nhập môn Lý thuyết xác suất
và thống kê toán, Bộ giáo dục và đào tạo.
6. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học
môn toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
7. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thắng (1997), Tâm lý học lứa tuổi
và tâm lý học sư phạm, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
8. Đỗ Mạnh Hùng (1993), Nội dung và phương pháp dạy học “Một số yếu tố của Lý
thuyết Xác suất” cho học sinh chuyên Toán bậc PTTH Việt Nam, Luận án PTS Khoa
học Sƣ phạm - Tâm lý.
9. Nguyễn Thƣ Nhƣ Hƣơng (2005), Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở
trường THPT, Luận văn Thạc sĩ.
10. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dƣơng Thụy (2001), Phương pháp dạy học
môn toán đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục.
11. Lê Bá Long (2006), Lý thuyết xác suất và thồng kê toán, Học viện bƣu chính
viễn thông.
12. Nguyễn Ngọc Quang (1986), Lý luận dạy học đại cương (tập 1), Trƣờng Cán
bộ quản lý giáo dục Trung ƣơng.
13. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân
Liêm, Nguyễn Khắc Minh và Đặng Hùng Thắng (2007), Đại số và giải tích 11

nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục.
14. Ngô Quang Sơn, Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên khối THPT.
Module 20.

15


15. Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác xuất và
thống kê, Trung tâm toán tài chính và công nghiệp Hà Nội.
16. Trần Thể (2006), Phương pháp dạy học kỹ thuật công nghiệp ở trường phổ
thông, Khoa Sƣ phạm.
17. Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy logic và sử
dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong
dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ.
18. Hoàng Văn Trọng (2013), Hướng dẫn giải bài tập Xác suất - Thống kê, Đại
học Quốc Gia Hà Nội.
19. Lê Xuân Trƣờng (2013), Phương pháp dạy học Toán, Bộ Giáo dục và đào tạo.
20. Thái Duy Tuyên (1999), Những vấn đề cơ bản giáo dục học hiện đại, Nxb
Giáo dục, Hà Nội.
21. Thái Duy Tuyên (2010), Phương pháp dạy học truyền thống và đổi mới, Nxb
Giáo dục.
22. Allen, C. (2007). An action based research study on how using manipulatives
will increase students' achievement in mathematics. ().
Retrieved from: />23. Dennis, C. (2011). The effects of the use of manipulatives on the comprehension
of math concepts among fifth-grade students. (Order No. 3492172, Northcentral
University). ProQuest Dissertations and Theses, 115.
Retrieved from />24. Key Curriculum Press (2005), Teaching Mathematics with FathomTM Dynamic
DataTM Software, Key College Publishing, USA.
25. Key Curriculum Press (2005), FathomTM Dynamic DataTM

Software -

Learning Guide, Key College Publishing.
26. McIntosh, G. V. (2012). Testing instrumentation validity for measuring
teachers' attitudes toward manipulative use in the elementary classroom. ().
Retrieved from />27. Pestalosi I.G. (1963), Tuyển tập, tập 3, Nxb Viện hàn lâm khoa học giáo dục
Nga
28. Son Pham (2015, April), Teachers’ Perceptions on the Use of Math

16


Manipulatives in Elementary Classrooms, Ontario Institute for Studies in Education
of the University of Toronto.
29. Usinxki K. Đ. (1945), Tuyển tập, tập 6, NXB Viện hàn lâm khoa học giáo dục
Nga.
30. Young, D. (2006, April). Virtual manipulatives in mathematics education
Retrieved from />31. Bộ Giáo dục và đào tạo(2014), “Dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập
theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh môn Toán cấp THPT”, Hà Nội.
32. Cổng thông tin điện tử tỉnh Bắc Giang (22/1/2016), “Đảng Cộng sản Việt
Nam qua cá kỳ Đại hội”.
33. Lê Tràng Định (2003), “Phân loa ̣i và sƣ̉ du ̣ng phƣơng tiê ̣n trƣ̣c quan trong da ̣y
học”, Tạp chí Giáo dục (54), tr. 28.
34. Tổ hợp giáo dục Topica, “Bài 1: Biến cố và xác suất”, trung tâm đào tạo từ xa
trường Đại học Kinh tế quốc dân.
35. Tổ hợp giáo dục Topica, “Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc”, trung tâm đào tạo
từ xa trường Đại học Kinh tế quốc dân
36. Trần Phƣơng, Hoàng Minh Tuệ, “12 sự thật hay tranh cãi trong toán học”,
VnExpress, www.businessinsider.com

17