LÝ THUYẾT NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 11

Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

I NGUYÊN HÀM.

① Khái niệm nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K Û F’(x)= f(x), " x Î K Û ò f ( x )dx = F ( x) + C , C Î R .
▪ ( ò f ( x )dx) ' = f ( x);

▪

ò( f ( x) ± g ( x)) dx = ò f ( x)dx ± ò g ( x)dx .

▪ ò k . f ( x)dx = k ò f ( x)dx (k ¹ 0)
② Bảng các nguyên hàm:
Cho k, b là các số thực ( k ¹ 0)
▪

ò dx = x + C

▪

xα +1
+ C (α ¹ - 1)
▪ ò x dx =
α +1
dx

▪ ò = ln | x | +C
x

α +1

α

▪
▪

ò sin xdx =- cos x + C
▪ ò cos xdx = sin x + C
▪

▪

1
2
ò cos2 x dx ( = ò (1 + tan x)dx) = tan x + C
1
▪ ò 2 dx ( = ò (1 + cot 2 x)dx) =- cot x + C
sin x

▪

▪

▪
▪

òe

x

òa

dx = e x + C

x

▪
▪
▪

x

dx =

ò kdx = kx + C

a
+ C (0 < a ¹ 1)
ln a

▪

1 ( kx + b)
ò (kx + b)dx = k α +1 + C (α ¹ - 1)
dx
1

ò kx + b = k ln kx + b + C
1
ò sin(kx + b)dx =- k cos(kx + b) + C
1
ò cos(kx + b)dx = k sin(kx + b) + C
1
1
ò cos2 (kx + b) dx = k tan(kx + b) + C
1
1
ò sin 2 (kx + b) dx =- k cot(kx + b) + C
1 kx+b
kx+b
ò e dx = k e + C
1 a kx+b
kx+b
ò a dx = k ln a + C (0 < a ¹ 1)

③ Một số phương pháp tìm nguyên hàm:
ⓐ Phương pháp phân tích và sử dụng bảng nguyên hàm:
 Ta phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu các hàm số mà
ta đã biết nguyên hàm.
 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
2 x 4 + 3x - 5
I1 = ò
dx
x2

x
I 2 = ò 2sin 2 dx

2
1
I 4 = ò cos 4 xdx
I5 = ò 2
dx
sin x.cos 2 x
ⓑ Phương pháp đổi biến số: Nếu f ( x) = g [ u ( x) ].u '( x) mà

I 3 = ò tan 2 xdx
I 6 = ò sin 5 x.cos xdx

ò g (t )dt dễ tìm thì ta

thực hiện các bước sau:
+ Đặt t = u ( x ) .
+ Tìm dt = u '( x)dx .
Trang 1

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

ò f ( x)dx = ò g êëu ( x)úû.u '( x)dx = ò g (t )dt .
+ Tìm ò g (t )dt = G (t ) + C = G [ u ( x) ] + C .
+

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
I1 = ò sin 4 x cos xdx
I4 = ò x

3

2

x +1dx

I 2 = ò x x 2 + 3dx

dx

I5 = ò

(

x 1+ x

)

I3 = ò

I6 = ò

2

x
dx

x +1
2

dx
cos 4 x

I 7 = ò cos3 xdx .

ⓒ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:


ò udv = uv - ò vdu

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
I 2 = ò( 2 x - 1) cos xdx

I1 = ò x sin xdx
I 4 = ò x.ln xdx

I 5 = ò e x sin xdx

I 7 = ò sin xdx

I8 = ò x 2 +1dx

n Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau:
2
( ln x)
B1 = ò
dx

x

B7 = ò ln 2 xdx

I6 = ò

æ
ö
e- x ÷
÷
B2 = ò e x ç
2
+
dx
ç
2 ÷
ç
ç
è cos x ÷
ø
B5 = ò

B4 = ò x sin xdx

B8 = ò

I 3 = ò x.e x dx

x3
1+ x2

e tan x
dx
cos 2 x

æ πö
÷
sin ç
÷
ç
÷
çx - 4 ø
è
B10 = ò
dx
sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x)

dx

ln ( ln x )
dx
x

B3 = ò sin 5 xdx
B6 = ò

dx
e +1
x

B9 = ò( cos3 x - 1) cos 2 xdx
B11 = ò

ln x
dx
x

④ Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
Ⓐ Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ: f ( x) =

P( x)
Q( x)

▪ Nếu bậc của P(x) > bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức P(x) cho
Q(x).
▪ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) ta phân tích Q(x) thành nhân tử sau đó ta phân
tích f(x) thành tổng nhiều phân thức bẳng phương pháp hệ số bất định hoặc phương
pháp giá trị riêng. Ví dụ như:
cx + d
A
B
=
+
( x - a)( x - b) x - a x - b

(1)

mx 2 + nx + k
A
Bx + C

=
+ 2
2
( x - d )(ax + bx + c) x - d ax + bx + c
Trang 2

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

a4 x 4 + a3 x3 + a2 x 2 + a1 x + a0
A
B
C
D
E
=
+
+
+
+
3
2
2
3
x - a ( x - a)

x - b ( x - b) 2
( x - a ) ( x - b)
( x - a)
Bx + C
dx ta chia ba trường hợp:
 Đối với ò 2
ax + bx + c
i) Nếu tam thức ax 2 + bx + c có hai nghiệm x1; x2 thì
ax 2 + bx + c = a ( x - x1 )( x - x2 ) ta sử dụng công thức (1) ở trên để phân tích.
ii) Nếu tam thức ax 2 + bx + c có nghiệm kép x = x0 thì ax 2 + bx + c = a( x - x0 ) 2
æB
Bb ö
÷
ç
(2ax + b) + C ÷
ç
÷
Bx + C
ç
2
a
2
a
÷
ç
dx
=
dx
÷
ò ax 2 + bx + c

òçç
2
÷
a
(
x
x
)
÷
0
ç
÷
÷
ç
è
ø

Chú ý rằng 2ax+ b là đạo hàm của ax2+bx+c
éæ b ö2
ù
2ú
ê
÷
ç
ax
+
bx
+
c
=

a
x
+
+
k
ax
+
bx
+
c
÷
iii) Nếu tam thức
vô nghiệm thì
êç
ú
÷
ç
êè 2a ø
ú
ë
û
æ
ö
÷
ç
÷
ç
B
Bb
÷

ç
÷
(2
ax
+
b
)
+
C
ç
÷
Bx + C
ç
÷
2
a
2
a
÷
dx = òç
dx sau đó sử dụng PP đổi
chọn k > 0 thì ò 2
ç
÷
2
é
ù
÷
ç
ax + bx + c

æ
ö
b
÷
ç
êx + ÷
÷
ç
+k2ú
÷
ç
ç a êç
ú ÷
÷
ç
÷
è
ø
2
a
÷
ç
è
ê
ú ø
ë
û
æπ
b
πö

- ÷
biến số với x + = k .tan t ç
ç
ç
è 2
ø
2a
2÷
æπ
πö
dx
- ÷
Với ò 2
→ đặt x = tan t ç
ç
2
÷
ç
è 2
2ø
x +k
2

2

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
dx
x( x +1)

dx
I4 = ò 3
x + 6x +9

dx
2
x +5x - 6
x.dx
I5 = ò 3
x - 1
Ⓑ Nguyên hàm của hàm số vô tỉ: ò f ( x)dx

I1 = ò

▪

ò

▪

ò

▪

ò

dx

I2 = ò

ò (x -

dx
2)2 ( x - 3)

æπ
ö
π÷
£
t
£
÷
→ x = sin t ç
▪ g ( n u ( x) ) u '( x)dx → đặt t = n u ( x)
ç
÷
ç
è
ø ò

2
2
1- x 2
æ
ö
1
÷
ç
÷
dx

▪ ògç
÷
ç
÷ → đặt t = x + a + x + b
ç
è ( x + a)( x + b) ø
æ ax + b ÷
ö
dx
ax + b
ç
n
÷
g
x
,
dx → đặt t = n
ç
▪ ò ç
▪
→ đặt t = x + x 2 ± a 2
ò
÷
ç cx + d ÷
cx + d
è
ø
x2 ± a2
x 2 ± kdx → dùng pp tích phân từng phần.
dx

x2 - a2

→ đặt x =

1
cos t
Trang 3

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
I1 = ò

dx
1 + x +1
dx
x +4 x

I4 = ò

I3 = ò

I 2 = ò x 3 . x 2 + 3dx
I5 = ò

1 - x dx
1+ x x

I6 = ò

dx
2

x - 5x + 4
dx
x2 + 4

n Bài tập: Tìm các nguyên hàm sau:
2x +3
dx
x - 3x + 2
x
B4 = ò
dx
( x - 1)(2 x +1)

B1 = ò x15 1 + x8 dx

B2 = ò

B3 = ò x x ( x 2 - 1) dx
B5 = ò
B7 = ò

dx
3

2

( 2 x +1) -

2 x +1

dx
x + 4x +8
2

2

B6 = ò

dx
1 + x +1

B8 = ò

dx
x + 4 x + 5x + 2

3

3

2

Ⓒ Nguyên hàm của hàm số lượng giác: ò f ( x )dx trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Ta dùng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Như:
▪ Các công thức hạ bậc nâng cung, công thức nhân đôi, công thức biến đổi, …
1
sin( a - b)
1
sin [( x + a) - ( x + b)]
=
=
.
▪
sin( x + a )sin( x + b) sin( a - b)sin( x + a)sin( x + b) sin( a - b) sin( x + a)sin( x + b)
▪

1
sin( a - b)
1
sin [( x + a) - ( x + b)]
=
=
.
cos( x + a ) cos( x + b) sin(a - b) cos( x + a) cos( x + b) sin( a - b) cos( x + a) cos( x + b)

1
cos( a - b)
1
cos[( x + a) - ( x + b)]
=

=
sin( x + a) cos( x + b) cos( a - b)sin( x + a) cos( x + b) cos( a - b) sin( x + a )cos( x + b)
● Khi f ( x ) = g (sin x,cos x)
+ g (- sin x,cos x) =- g (sin x,cos x) (hàm lẻ đ/v sinx)  t = cos x
+ g (sin x, - cos x) =- g (sin x,cos x) (hàm lẻ đ/v cosx)  t = sin x
+ g (- sin x, - cos x) = g (sin x,cos x) (hàm chẵn theo sinx và cosx)  t = tan x hoặc
t = cot x .
▪

● Ngoài ra ta có thể đưa tích phân hàm số lượng giác về tích phân hàm số hữu tỉ
x
2dt
2t
1- t 2
; sin x =
; cos x =
bằng phép đặt t = tan , khi đó dx =
2
1+t 2
1+t 2
1+t 2

 Ví dụ: Tìm các nguyên hàm sau:
I1 = ò sin 3 xdx

I4 = ò

dx
sin x

I 2 = ò cos 4 xdx

I5 = ò

dx
sin 3 x

Trang 4

dx
cos x
dx
I6 = ò 4
cos x
I3 = ò

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

dx
I7 = ò
1 + cos x
dx
I10 = ò
4

sin 3 x.cos5 x

I8 = ò

sin 2 x
dx
(2 + sin x)2

sin x - sin 3 x
I9 = ò
dx
cos 2 x

II TÍCH PHÂN.
Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên K và a, b thuộc K. Nếu F(x) là một
b

nguyên hàm của f(x) trên K thì

ò f ( x)dx = F (b) -

F (a )

a

b

Các phương pháp tính tích phân: Ta cần tính I = ò f ( x)dx
a

Để tính tích phân ta có thể phân tích f(x) thành tổng (hiệu) các hàm số có mặt trong
bảng nguyên hàm sau đó dùng định nghĩa để tính.
ⓐ Đổi biến số:
• Dạng 1: Nếu f ( x) = g [ u ( x)].u '( x) mà hàm số g (t ) có nguyên hàm là G(t) dễ tìm
hơn hàm số f (t ) thì ta thực hiện theo các bước sau:
o Đặt t = u ( x ) , tính dt = u '( x)dx
o Đổi cận x = a Þ t = u (a ); x = b Þ t = u (b )
u (b)

o Khi đó I =

u (b)

ò g (t )dt = G (t ) u ( a ) = G ( u (b)) -

G ( u (a ) )

u (a)

● Dạng 2: * Đặt x = x (t ) Þ dx = x '(t )dt
* Đổi cận x = a Þ x (t ) = a giải PT tìm t = α ; x = b Þ x(t ) = b Þ t = β
β

β

α

α

β

* I = ò f ( x(t )) x '(t )dt =ò g (t )dt = G (t ) α trong đó g (t ) = f ( x (t )) .x '(t )
Dạng 2 thường gặp các trường hợp sau:
f(x) có chứa

a2 - x2
1
x2 + a2

Cách đổi biến
π
π
x =| a | sin t , - £ t £
2
2
x =| a | cos t , 0 £ t £ π
hoặc
π
π
x =| a | tan t , - < t <
2
2
b

b

ⓑ Tích phân từng phần: Sử dụng công thức I = ò udv = ( uv ) a a

b

ò vdu
a

 Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau:
2

3x + 2
I1 = ò 2 dx
x
1

5

I2 = ò
2

dx
x +2 + x - 2

Trang 5

π
2

I3 = ò
0

dx
1 + sin x

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

e

e

I 4 = ò ln ( x 2 - x ) dx

I5 = ò

1
1

x2

I7 = ò

4 - x2

0

I10 = ò

1

4

1

π
2

dx

I6 = ò
0

2

π
2

1

(4 x +11)
I11 = ò 2
dx
0 x + 5x + 6
2 3

dx
I13 = ò 4
π sin x cos x

I14 =

ò
5

6

1- x
I16 = ò
dx
4
1
+
x
1

I17 = ò
π
4

I12 = ò
0

sin 2 x.cos x
dx
1 + cos x

1

dx

I15 = ò 1 + x 2 dx

x x2 - 1

π
3

2

x2 - 1
dx
x3

1

0

dx
x 2 (1 + x)

cos x.sin 3 x
1 + sin 2 x

I9 = ò

2

I8 = ò ( x + sin x) cos xdx

π
3

2

π
2

1 + ln x
dx
x

0

1

tan x
cos x 1 + cos 2 x

ò

dx

0

dx
x 2 + 2010

Một số bài toán tích phân đặc biệt:
a

① Nếu f ( x ) là hàm số lẻ và liên tục trên [ - a; a] (a > 0) thì:

ò f ( x)dx = 0 .

- a
a

② Nếu f ( x ) là hàm chẵn và liên tục trên [ - a; a] (a > 0) thì:

- a

③ Nếu f ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [0;1] thì:
ⓐ

π
2

π
2

0

0

a

ò f ( x)dx = 2ò f ( x)dx .
0

π

π π
ⓑ ò xf (sin x)dx = ò f (sin x)dx .
2 0
0

ò f (sin x)dx = ò f (cos x)dx .

④ Nếu f ( x ) là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ thì
α

α

f ( x)
+
ò a x +1 dx = ò f ( x)dx (α Î ¡ , a > 0, a ¹ 1)
-α
0
▪ Ngoài ra ta còn có thể dùng tích phân liên kết để giải các bài toán về tích phân.
 Ví dụ và bài tập: Tính các tích phân sau:
π
2

cos n x
J1 = ò
dx (n Î ¢ + )
n
n
0 cos x + sin x

π

J 2 = ò x sin 5 xdx
0

π

1

x4
dx
x
2
+
1
- 1

J3 = ò

J4 = ò
0

x sin x
dx
4 - cos 2 x

III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN.
Ⓐ Tính diện tích hình phẳng:
● Công thức:

Trang 6

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

+ Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = f ( x); y = g ( x); x = a; x = b
b

(a < b) với các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên [a; b] là: S = ò| f ( x) - g ( x ) | dx
a

+ Diện tích hình phẳng gới hạn bởi các đường x = g ( y ); x = h( y ) ; y = a, y = b
b

(a < b) với các hàm số x = g ( y ), x = h( y ) liên tục trên [a; b] là: S = ò| g ( y ) - h ( y ) | dy
a

 Để tính diện tích hình (H) cần xác định đủ phương trình 4 đường trong đó có 2 đương
y=… và hai đường x =…
b

S = ò| f ( x) - g ( x ) | dx
a

b

c

S = ò| g ( x ) - h( x ) | dx + ò| f ( x ) - h( x ) | dx
a

b

b

S = ò| h( y ) - g ( y ) | dy
a

Ⓑ Tính thể tích
● Công thức:
▪ Vật thể
bởi hai mặt phẳng
= b; có diện tích
diện cắt bởi mặt
vuông góc với Ox
x (a < x < b) là
thể tích được tính theo công thức:

vật thể:
giới hạn
x = a, x
thiết
phẳng
tại điểm
S(x) có

b

V = ò S ( x)dx
a

▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi
hình (H) giới hạn bởi các đường y = f ( x ) ,
trục hoành, x = a, x =b quay quanh trục Ox là:

Trang 7

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

b

2

V = π ò[ f ( x)] dx
a

▪ Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi hình (H) giới hạn bởi các đường x = g ( y ) ,
trục hoành, y = a, y =b quay quanh trục Oy là:
b

2

V = π ò[ g ( y )] dy
a

 Ví dụ và bài tập:
① Tính diện tích của các hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau:
1) y = x.e x , trôchoµnh, x =- 1, x = 2 .
π
2) y = tan x, y = 0, x = , x = 0
3
π
3) y = sin 2 x.cos 3 x; y = 0; x = 0; x =
2
1
1
π
π
; x= ; x=
4) y = 2 ; y =
2
6
3
sin x
cos x
- 3x - 1
; Ox; Oy
6) y =

x- 1
8) y = x 2 - 2 x; y =- x 2 + 4 x

7) x = y ; x + y + 2 = 0; y = 0
9) y = - x 2 + 2 x; y =- 3x

x2
8
vµ y =
8
x
2
13) y =| x - 4 x + 3 |; y = x + 3 (ĐH k.A − 2002)

10) y 2 + x - 5 = 0; x + y - 3 = 0
12) x =- 2 y 2 ; x = 1- 3 y 2

5) y = x 1 + x 2 ; Ox; x = 1

11) y = x 2 ; y =

14) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x 2 - 4 x + 5 và hai tiếp tuyến của
(P) tại các điểm A(1; 2), B(4;5).
15) Cho parabol (P): y = x 2 và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm A, B sao
cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
② Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0, x = 3, biết rằng thiết
diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x < 3) là một
hình chữ nhật có chiều rộng và chiều dài là x và 2 9 - x 2 .
③ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox mỗi hình phẳng giới hạn
bởi các đường sau:

π
a) y = ln x; y = 0; x = 1; x = 2.
b) y = 1 + sin 4 x + cos 4 x , y = 0; x = 0; x = .
2
2
3
c) y = cos x; y =0; x = 0; x = π .
d) y = x ; y = 0; x = 1.
e) y = sin 2 x, y = 0, x = 0, x = π .

f) x 2 + y - 5 = 0; x + y - 3 = 0 .

g) y = 2 x 2 ; y = 2 x + 4.
④ Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Oy mỗi hình phẳng giới hạn
bởi các đường sau:
2y
, y = 0, y = 1, Oy.
a) x = 2
b) y = 3 - x 2 , Oy , y = 1
y +1
Trang 8

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC

−−−−−−−−
▪ Khối B − 2002: Tính diện tích hình (H) giới hạn bởi các đường: y = 4 2 3

▪ Khối A−2003: I =

ò
5
2

òx

▪ Khối D − 2003: I=

0
e

▪ Khối B − 2004: I =

▪ Khối A − 2005: I = ò

x x2 + 4
2

0

1 - 2sin 2 x
dx
1 + sin 2 x

2

- x dx

▪ Khối A − 2004: I =

ò1 +
1

ò (e

sin x

x
dx
x- 1

3

2
▪ Khối D − 2004: I = ò ln( x - x) dx
2
π /2

sin 2 x + sin x
dx
1 + 3cos x

0

π /2

▪ Khối D − 2005: I =

▪ Khối B − 2003: I = ò

1 + 3ln x .ln x
dx
x

ò

1
π /2

π /4

dx

x2
x2
, y=
4
4 2

▪ Khối B − 2005: I =

ò
0

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x

+ cos x) cos x dx ▪ Khối A − 2006: I =

0

π /2

ò
0

sin 2 x
2

2

cos x + 4sin x

dx
ln 5

dx
▪ Khối B − 2006: I = ò x
▪ Khối D − 2006: I =
- x
e
+
2

e
3
ln 3
▪ Khối A − 2007: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
y = (e +1) x, y = ( 1 + e x ) x

1

ò(x -

2)e 2 x dx

0

▪ Khối B − 2007: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x ln x, y = 0, x = e . Tính
của thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
e

3

π
6

4
▪ Khối A − 2008: I = tan x dx
ò cos 2 x
0

2

▪ Khối D − 2007: I = ò x ln x dx
1

æ π÷
ö
sin ç
x
dx
÷
ç
ç
è 4÷
ø
▪ Khối B − 2008: I =
.
ò sin 2 x + 2(1 + sin x + cos x)
0
π
4

π
2

▪ Khối A − 2009: Tính tích phân: I = ( cos3 x - 1) cos 2 x dx
ò
0
3

▪ Khối B − 2009: Tính tích phân: I = ò
1

1

▪ CĐ 2009:

∫( e
0

−2 x

3 + ln x

( x +1)

dx
2

3

▪ Khối D − 2009: I = ò
1

dx
.
e - 1
x

)

+ x e x dx

Trang 9

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Tài liệu Luyện Thi: GIẢI TÍCH 12A6
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−-

e

1

x 2 +e x + 2 x 2e x
dx
A2010 ò
x
1
+
2
e
0

B2010

1

e

D2010

æ 3ö
÷
òçççè2 x - x ø÷
÷ln xdx
1

A2011 I =

π
4

x sin x + ( x +1)cos x
dx
x sin x + cos x

ò
0

4

D2011 I = ò
0
3

4x - 1
dx
2 x +1 + 2

1 + ln( x +1)
dx
A 2012 I = ò
2
x
1

ò
1

CĐ2010

ò
0

ln x
x ( 2 +ln x )

π
3

B2011 I = 1 + x sin x dx
ò
2
2

CĐ2011 I = ò1

A 2013

I =

D 2013 I =

1

∫
0

x −1
∫1 x2 ln xdx
2

( x + 1)
x2

2 x +1
dx
x( x +1)

1

x3
dx.
B 2012 I = ò 4
2
x
+
3

x
+
2
0
CĐ 2012 I =

0

2

cos x

0

3

ò x(1 + sin 2 x )dx

dx

2x- 1
dx
x +1

π /4

D 2012 I =

2

ò
0

x
dx .
x +1

1

∫

2
B 2013 I = x 2 − x dx
0

2

dx

A 2014 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 − x + 3 và đường thẳng

y = 2x + 1

π
4

2

x2 + 3x + 1
dx

B 2014 I = ∫
x2 + x
1

∫

D 2014 I = (x + 1) sin 2xdx
0

Trang 10

GV: ĐỖ TRUNG LAI