Một số bài toán về mạch cầu wheatstone và ứng dụng

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
-------------------

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ MẠCH CẦU WHEATSTONE VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Vật lý Đại cƣơng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. Lê Khắc Quynh

HÀ NỘI – 2017


LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn giáo viên Thạc sĩ Lê Khắc Quynh – người thầy đã hướng
dẫn ân cần, nhiệt tình, tạo mọi điều kiện tốt nhất, truyền đạt kiến thức và
kinhnghiệm quý báu cho em và giúp em hoàn thiện khóa luận này.
Cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban Chủ
nhiệm khoa Vật lý và các thầy, cô giáo trong khoa Vật lý đã tạo điều kiện
giúp em được làm khóa luận.
Cuối cùng em xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên em
trong suốt quá trình làm khóa luận.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu
sót mong quý thầy cô và các bạn nhận xét, đóng góp ý kiến để bài khóa luận
của em được hoàn thiện hơn.
Khóa luận được thực hiện bởi sự hỗ trợ của Quỹ KHCN Trường ĐHSP

Hà Nội 2, đề tài mã số C.2017-18-01.
Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của khóa luận là hoàn toàn
chính xác và trung thực. Kết quả nghiên cứu chưa từng được nghiên công bố
ở bất cứ nơi nào. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn một cách rõ ràng.
Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Tâm


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục tiêu khóa luận ........................................................................................ 1
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu .............................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2
Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẠCH CẦUWHEATSTONE ............. 3
1.1. Lý thuyết về mạch cầu Wheatstone ........................................................... 3
1.2. Phương pháp giải và một số bài toán mạch cầu Wheastone ...................... 4
1.2.1. Mạch cầu cân bằng và mạch cầu khuyết ................................................. 4
1.2.2. Mạch cầu không cân bằng tổng quát....................................................... 4

1.2.2.1. Phương pháp chuyển mạch .................................................................. 4
1.2.2.2. Dùng định luật Omh ............................................................................. 7
1.2.2.3. Chọn gốc điện thế................................................................................. 7
1.2.2.4. Áp dụng định luật Kirchoff .................................................................. 7
1.2.3. Áp dụng giải một số bài toán .................................................................. 8
1.3. Bài toán cầu dây ....................................................................................... 14
1.3.1. Lý thuyết ............................................................................................... 14
1.3.2. Phương pháp giải bài toán cầu dây ....................................................... 15
Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MẠCH CẦU WHEATSTONE..... 17
2.1. Xác định điện trở sử dụng mạch cầu cân bằng ........................................ 17
2.1.1. Cơ sở lý thuyết để đo điện trở bằng mạch cầu Wheatstone .................. 17
2.1.2. Thực nghiệm xác định điện trở ............................................................. 20
2.2.1.1. Hiệu ứng từ trở khổng lồ .................................................................. 21


2.2.1.2. Hiệu ứng từ điện trở dị hướng............................................................ 22
2.2.2. Cảm biến đo từ trường dạng trên mạch cầu Wheastone dựa trên hiệu
ứng từ điện trở ................................................................................................. 23
2.2.2.1. Mô tả về cảm biến .............................................................................. 23
2.2.2.2. Mô tả đặc trưng tín hiệu cảm biến theo từ trường ............................. 25
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 28


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập môn Vật lý, mục tiêu chính của người học là
việc nắm chắc kiến thức lý thuyết, hiểu và vận dụng lý thuyết vào những lĩnh
vực cụ thể, một trong những lĩnh vực đó là giải được bài tập và ứng dụng vào
thực tiễn.

Bài tập Vật lý có vai trò quan trọng trong quá trình nhận thức và phát
triển năng lực tư duy của người học, giúp người học ôn tập, đào sâu, mở rộng
kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng vật lý vào thực tiễn và phát
triển tư duy sáng tạo.
Bài tập về mạch cầu là một nội dung rất rộng và khó. Để giải quyết
được bài tập mạch cầu cần phải vận dụng lượng kiến thức tổng hợp và nâng
cao. Để học sinh có thể hiểu một cách sâu sắc và hệ thống về từng loại bài tập
thì nhất thiết trong quá trình giảng dạy giáo viên phải phân loại các dạng bài
tập và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài giúp học sinh có được hệ
thống phương pháp giải bài toán mạch cầu và nắm được bản chất vật lý và các
mối quan hệ giữa các đại lương U, I, R trong mạch cầu điện trở. Hiểu được
một số ứng dụng của mạch cầu điện trở Wheatstone. Đó là lý do mà em chọn
đề tài: “Một số bài toán về mạch cầu Wheatstone và ứng dụng”.
2. Mục tiêu khóa luận
- Giải một số bài toán về mạch cầu Wheatstone.
- Trình bày một số ứng dụng của mạch cầu Wheatstone.
3. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Lý thuyết về mạch cầu.
- Một số bài toán và ứng dụng về mạch cầu Wheatstone.
- Phạm vi: Một số bài toán và ứng dụng của mạch cầu Wheatstone.

1


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu lý thuyết về mạch cầu và mạch cầu Wheatstone.
- Sưu tầm các bài tập liên quan đến mạch cầu.
- Đưa ra phương pháp giải chung và giải một số bài tập.
- Tìm hiểu một số ứng dụng của mạch cầu.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Tìm hiểu tài liệu có liên quan đến đề tài.
- Trao đổi ý kiến với giáo viên hướng dẫn.
6. Cấu trúc khóa luận
CHƢƠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẠCH CẦU WHEATSTONE
1.1. Lý thuyết về mạch cầu Wheatstone.
1.2. Phương pháp giải và một số bài toán về mạch cầu điện trở
1.3. Bài toán cầu dây.
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG MẠCH CẦU WHEATSTONE
2.1. Sử dụng mạch cầu cân bằng để đo giá trị của điện trở.
2.2. Cảm biến đo từ trường dựa trên hiệu ứng từ điện trở

2


Chƣơng 1
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẠCH CẦUWHEATSTONE
1.1. Lý thuyết về mạch cầu Wheatstone
Mạch cầu điện trở Wheatstone được mô tả lần đầu vào năm 1833 bởi
Samuel Hunter Christie (1784-1865). Tuy nhiên sau đó Sir Charles
Wheatstone(1802-1875) đã đưa mạch này vào ứng dụng trong thực tế nên
mạch này có tên là mạch cầu Wheatstone. Cho đến ngày nay, sử dụng mạch
cầu Wheatstone vẫn là phương pháp hiệu nghiệm chính xác khi đo lường giá
trị thay đổi của trở kháng. Mạch cầu Wheatstone là mạch điện được sử dụng
để đo một điện trở chưa xác định bằng cách so sánh hai nhánh của một mạch
cầu, trong đó một nhánh chứa thành phần điện trở chưa xác định. Cấu trúc của
một mạch cầu Wheastone bao gồm bốn điện trở R1, R2, R3, Rx được mắc với
một điện kế rất nhạy G như hình vẽ. Nguồn điện một chiều được sử dụng cấp
vào 2 điểm A, C tạo ra dòng điện trong mạch và điện kế G đo chênh lệch điện
thế lối ra giữa hai điểm B, D của cầu.

Hình 1.1: Cấu trúc của mạch cầu Wheastone

3


1.2. Phƣơng pháp giải và một số bài toán mạch cầu Wheastone
1.2.1. Mạch cầu cân bằng và mạch cầu khuyết
- Chuyển mạch cầu đó thành mạch điện quen thuộc gồm những mạch điện
mắc nối tiếp và những mạch điện mắc song song. Ta sử dụng định luật ôm để
tính điện trở tương đương.
1.2.2. Mạch cầu không cân bằng tổng quát
- Với mạch cầu không cân bằng tổng quát ta tìm điện trở tương đương bằng
các phương pháp đặc biệt.
1.2.2.1.Phương pháp chuyển mạch
- Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tương đương. Mà với
mạch điện này ta có thể sử dụng các công thức tính điện trở của đoạn mạch
nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tương đương.
- Muốn sử dụng được phương pháp này ta phải nắm được công thức chuyển
mạch.
(Y) R1’, R2’, R3’

Chuyển từ mạch () R1, R2, R3

( Ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3)
R1

B

R2’
A

•

R3’

R3
R1’
C

R2
Hình 1.2c

- Xét dòng điện đi vào nút A và đi ra nút B:
Rmới = R2’+R3’
Rcũ =

𝑅1 (𝑅2 +𝑅3 )
𝑅1 +𝑅2 +𝑅3

4

•
D


Mà

Rmới = Rcũ
𝑅1 (𝑅2 +𝑅3 )

Suy ra

𝑅1 +𝑅2 +𝑅3

= R2’+ R3’

(1.1’)

Tương tự như vậy ta có:
- Xét dòng điện đi vào nút A và đi ra nút C:
𝑅2 (𝑅1 +𝑅3 )
𝑅1 +𝑅2 +𝑅3

= R3’ + R1’

(1.2’)

- Xét dòng điện đi vào nút B và đi ra nút C:
𝑅3 (𝑅1 +𝑅2 )
𝑅1 +𝑅2 +𝑅3

= R1’ + R2’

(1.3’)

Giải hệ phương trình (1.1’), (1.2’), (1.3’) ta được:
R2’=

𝑅1 𝑅3

R1’=
R3’=

(1.1)

𝑅1 +𝑅2 +𝑅3
𝑅2 𝑅3

(1.2)

𝑅1 +𝑅2 +𝑅3
𝑅1 𝑅2

(1.3)

𝑅1 +𝑅2 +𝑅3

Chuyển từ mạch (Y) R1’, R2’, R3’

(  ) R1, R2, R3
R1

R3’
•
A

B

R2’
R3

R1’

•
D

C

R2

Từ hệ 3 phương trình (1.1’), (1.2’), (1.3’) ta rút được:
R1=
R2=
R3=

𝑅′ 1 𝑅′ 2 +𝑅′ 2 𝑅′ 3 +𝑅′ 1 𝑅′ 3
𝑅′ 1
𝑅′ 1 𝑅′ 2 +𝑅′ 2 𝑅′ 3 +𝑅′ 1 𝑅′ 3
𝑅′ 2
𝑅′ 1 𝑅′ 2 +𝑅′ 2 𝑅′ 3 +𝑅′ 1 𝑅′ 3
𝑅′ 3

5

(1.4)
(1.5)
(1.6)


Áp dụng vào bài toán tính điện trở tương đương của mạch cầu ta có 2
cách chuyển mạch như sau:

Cách 1:
- Từ mạch cầu sơ đồ tổng quát ta chuyển mạch cầu tam giác R1, R3, R5
thành mạch sao R1’, R3’, R5’. Sơ đồ mạch điện tương đương hình 1.3
R1
R2
R3’
‫ە‬

R5’

‫ە‬

R5
R1’
R4

R3
Hình 1.3

- Các điện trở R1’, R3’, R5’ được xác định theo các công thức (1.1), (1.2),
(1.3). Áp dụng các công thức tính điện trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn
mạch song song ta tính được điện trở tương đương của mạch AB là:
RAB  R5 '

( R3 ' R2 )( R1 ' R4 )
( R3 ' R2 )  ( R1 ' R4 )

(1.7)

Cách 2:

- Chuyển mạch sao R1, R2 , R5 thành mạch tam giác R’1, R’2 , R’5. Sơ đồ
mạch điện tương đương (H1.4)

‫ە‬

A

R5’
R1’

R2’

R3

‫ە‬

B

R4
Hình 1.4
- Trong đó các điện trở R’1, R’2, R’5 được xác định theo công thức (1.4),
(1.5) và(1.6).
- Điện trở tương đương của mạch là:

6


R3 R2 '
R 'R
 1 4 )

R3  R2 ' R1 ' R4

RR'
R 'R
R5 '( 3 2  1 4 )
R3  R2 ' R1 ' R4
R5 ' (

RAB

(1.8)

Các bước tiến hành giải như sau:
Bước 1: Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Bước 2: Tính các giá trị điện trở mới.
Bước 3: Tính điện trở tương đương của mạch điện.
Bước 4: Tính các đại lượng đề bài yêu cầu.
1.2.2.2. Dùng định luật Ohm
- Từ biểu thức: I=

U
U
ta suy ra được : R=
R
I

(1.9)

Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch.
I là dòng điện chạy qua mạch chính.

- Như vậy muốn tính được điện trở tương đương ta tính I theo U rồi thay vào
công thức (1.9)
1.2.2.3. Chọn gốc điện thế
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trong mạch.
Bước 2: Lập phương trình cường độ dòng điện tại các nút.
Bước 3: Dùng định luật Omh, biến đổi các phương trình Vc, VD theo VA,
VB.
Bước 4: Chọn VB = 0=>VA= UAB.
Bước 5 : Giải hệ phương trình để tìm VC, VD theo VA rồi suy ra các U1,
U2, U3, U4, U5.
Bước 6 : Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã
chọn.
1.2.2.4. Áp dụng định luật Kirchoff
Định luật về nút mạng

7


- Từ công thức : I= I1+ I2+ I3+….+In (đối với mạch mắc song song)
- Ta có thể phát biểu: “Ở mỗi điểm nút, tổng các dòng điện đi đến điểm
nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút”.
Trong mỗi mạch vòng hay mắt mạch
- Công thức U=U1+U2+U3+….+Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp)
- Vậy ta có thể phát biểu như sau: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng
(mắt mạch) bằng tổng đại số độ giảm thế trên mạch vòng đó”.
- Trong đó độ giảm thế: UK= IK.RK (với K=1, 2, 3…)
Chú ý:
- Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch.
- Dòng điện IK mang dấu (-) nếu ngược chiều đi trên mạch.
- Các bước tiến hành:

Bước 1: Chọn chiều dòng điện đi trong mạch
Bước 2: Viết tất cả các phương trình cho các nút mạng
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng dòng
điện và hiệu điện thế trong mạch.
Bước 4: Biện luận kết quả. Nếu dòng điện tìm được là:
IK > 0: ta giữnguyên chiều đã chọn.
IK < 0: ta đảo chiều đã chọn.
1.2.3. Áp dụng giải một số bài toán
Bài 1:
R1

R2
B

A
‫ە‬

‫ە‬

R5
R3

R4
Hình 1.5

8


Cho mạch điện như hình H1.5.
Biết R1 = R3 = R5 = 3 , R2 = 2 ; R4 = 5 

a. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB.
b. Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không
đổi U = 3 (V). Hãy tính cường độ dòng điện qua
các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.
Bài giải
R1

‫ە‬

R2
R3’

R5’

R1’

R5

R3

‫ە‬

R4

Hình 1.6
Phương pháp 1: Chuyển mạch.

Cách 1:Chuyển mạch tam giác R1; R3 ; R5 thành mạch sao R’1 ;R’3 ;R’5 (H1.6)
Ta có:
R 5' 

R1. .R 3
3.3

 1()
R1  R 3  R 5 3  3  3

R 3' 

R1.R 5
 1()
R1  R 3  R 5

R1' 

R 3 .R 5
 1()
R1  R 3  R 5

Suy ra điện trở tương đương của đoạn mạch AB là :
R AB  R 5' 

(R 3'  R 2 )(R1'  R 4 )
(1  2)(1  5)
 1
 3
'
'
(R 3  R 2 )  (R1  R 4 )
(1  2)  (1  5)

Cách 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác R1' ; R '2 ; R 5' (hình 1.7)

9


R1 ’
R5 ’

A‫ە‬

R2’

‫ە‬

B

R4

R3
Hình 1.7
Ta có:
R1' 

R1.R 2  R 2 .R 5  R1.R 5 3.2  2.3  3.3

 7
R1
3

R’2 =

𝑅1 𝑅2 +𝑅2 𝑅5 +𝑅1 𝑅5
= 10,5 (Ω)
𝑅2

R '2 .R3
R1' .R 4
R ( '

)
R 2  R 3 R1'  R 4

 3()
R '2 .R 3
R1' .R 4
'
R5  '

R 2  R 3 R1'  R 4
'
5

Suy ra: R AB

Phương pháp 2: Dùng công thức định luật Ohm.
Từ công thức: IAB =

𝑈𝐴𝐵
𝑅𝐴𝐵

=> 𝑅 =

𝑈𝐴𝐵

(*)

𝐼𝐴𝐵

 Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB.
I là cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB.
 Biểu diễn I theo U.
Giả sử dòng điện trong mạch có chiều từ C đến D.
Ta lần lượt có:
U1 = R1I1= 3 I1

(1.10)

U2 = U – U1= U – 3 I1

(1.11)

I2 =

𝑈2
𝑅2

=

𝑈−3𝐼1

I5= I1- I2 =
U5 = I.R5 =

(1.12)

2
5𝐼1 −𝑈

(1.13)

2
15𝐼1 −3𝑈

U3 = U1 +U5 =

2
21𝐼1 −3𝑈
2

10

(1.14)
(1.15)


I3 =

𝑈

=

𝑅3

21𝐼1 −3𝑈

U4 = U- U3 =
I4 =

𝑈4

=

𝑅4

(1.16)

6
5𝑈−21𝐼1
2

(1.17)

5𝑈−21𝐼1

(1.18)

10

Tại nút D, ta có: I4 = I3+ I5

=>

5𝑈−21𝐼1
10

=> I1 =

=

21𝐼1 −3𝑈
6

+

5𝐼1 −𝑈

(1.19)

2

5𝑈

(1.20)

27

Thay (1.20) vào (1.16) ta được: I3 = 4 U
27

Suy ra cường độ dòng điện mạch chính: I  I1  I3 

5U 4U 1

 U
27 27 3

(1.21)

Thay (1.21) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 ()
5
9

b. Thay U = 3(V) vào phương trình (11) ta được: I1  (A)
Thay U = 3(V) và I1 =

5
(A) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết
9

quả:
2
I2  (A)
3
U1  U 4 

I3 =

4
(A)

9

5
V
3

1
I 4  (A)
3

U 2  U3 

Bài 2:

I5 

4
V
3

U5 = U X =

R1
‫ە‬

A

1
1
có chiều từ C đến D)

(A) ( I5 
9
9

C

1
V 
3

R2
B‫ە‬

R5

R3

D
Hình 1.8

11

R4


Cho mạch điện có sơ đồ như hình vẽ (H1.8):
Biết R1 = R5 = 1  , R2 = R3 = 2 
R4 = 3  , U = 6V.
Tìm cường độ dòng điện qua các điện trở trong mạch.
Bài giải

Phương pháp 1: Chọn gốc điện thế (VB = 0)
- Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ:
Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có:

𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼5
𝐼4 = 𝐼3 + 𝐼5

 VA  VC VC  VB VC  VD



R
R
R5

1
2

Áp dụng định luật Ohm, ta có: V  V
VA  VD VC  VD
B
 D



R3
R5
 R4

(1.22)

(1.23)

 Chọn VB = 0 thì VA = UAB = 6 (V).
=>Hệ phương trình thành:
6−𝑉𝐶
1
𝑉𝐷
3

=

=

𝑉𝐶

+

2
6−𝑉𝐷

+

2

𝑉𝐶 −𝑉𝐷
1
𝑉𝑐 −𝑉𝐷
1

 Giải hệ phương trình (1.24) ta được:

VC =

168
(V);
43

VD =

162
(V)
43

Suy ra:
U2 = VC – VB =

168
(V)
43

U4 = VD– VB =

162
(V)
43

U1 = U – U2 =

90
(V)
43

12

(1.24)


U3 = VA - VD =

96
(V)
43

U5 = VC – VD =

6
(V)
43

Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường độ dòng
điện :
I1 =

U1
= 2,09A
R1

I2 =

U2
= 1,95A

R2

I3 =

U3
= 1,11A
R3

I4 =

U4
= 1,25A
R4

I5 =

U5
= 0,14A
R5

Phương pháp 2: Áp dụng định luật Kirchoff
Chọn chiều dòng điện đi trong mạch như hình vẽ:
 Tại nút C và D ta có:

𝐼1 = 𝐼2 + 𝐼5
𝐼4 = 𝐼3 + 𝐼5

 Phương trình cho các mạch vòng:

(1.26)

(1.27)

Mạch ACB: U = I1.R1 + I2.R2

(1.28)

Mạch vòng ACDA: I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0

(1.29)

Mạch vòng BCDB: I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0

(1.30)

- Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên rồi
rút gọn, ta được các phương trình:
I1 = I2+I5

(1.31)

I4 = I3 + I5

(1.32)

I1 + 2I2 = 6

(1.33)

13

I1 +I5 = 2I3

(1.34)

3I4 +I5 = 2I1

(1.35)

Thay (1.32) vào (1.35) ta được: 3I3 + 3I5 + I5 = 2I2 3I3 + 4I5 = 2I2

(1.36)

Từ (1.34) ta có I 3 

I1  I 5
thay vào (1.36) ta được phương trình:
2

3I1+ 11I5 = 4I2

(1.37)

Từ (1.31) ta có I5 = I1 –I2 thay vào (1.37) ta được: 14I1 = 15I2

(1.38)

Giải hệ hai phương trình (1.33) và (1.38) ta được: I2 = 1,95A, I1 = 2,09A
=> I3= 1,11A

I4= 1,25A, I5= 0,14A

Các kết quả dòng điện đều dương do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng.
- Chú ý:
Các phương pháp giải trên đều có thể áp dụng vào giải các bài tập tính
điện trở tương đương của mạch điện bất kỳ. Mỗi phương pháp giải đều
có ưu nhược điểm của nó. Tùy thuộc vào từng bài mà ta chọn phương
pháp giải cho hợp lý.
1.3. Bài toán cầu dây
1.3.1. Lý thuyết

R1

R2

G

•
A

•
C B

Hình 1.9
- Mạch cầu dây là mạch điện có dạng như hình vẽ H1.9. Trong đó hai điện trở
R3 và R4 có giá trị thay đổi khi con chạy C dịch chuyển dọc theo chiều dài của
biến trở (R3 = RAC; R4 = RCB). Mạch cầu dây được ứng dụng để đo điện trở của
1 vật dẫn.

14

1.3.2 Phương pháp giải bài toán cầu dây
•
R1

•
D

R2

A
C B

A

Hình 1.10
Bài toán 1: Cho mạch điện như hình vẽ (H1.10)
Điện trở của ampe kế và dây nối không đáng kể, điện trở toàn phần của
biến trở.
a, Tìm vị trí của con chạy C khi biết chỉ số của ampe kế (IA).
b, Biết vị trí của con chạy C, tìm chỉ số ampe kế.
 Phương pháp giải
Vì điện trở của ampe kế không đáng kể
 Mạch điện (R1 //RAC) nt (R2 //RCB)
a, Đặt x = RAC (0 ≤ x ≤ R)
TH1: Nếu bài toán cho biết chỉ số ampe kế IA = 0 thì mạch cầu cần bằng,
lúc đó ta có điều kiện cân bằng:
𝑅1
𝑥

=

𝑅2
𝑅−𝑥

(1.39)

Giải (1.39) ta tìm được RAC = x
TH2: Ampe kế chỉ giá trị IA ≠ 0
Viết phương trình dòng điện cho 2 nút C và D. Rồi áp dụng định luật Ohm để
chuyển 2 phương trình đó về dạng ẩn số là U1 và x.
+ Nút C cho biết:
15


IA= 𝐼𝐶𝐵 − 𝐼𝑥 =
Hay

IA =

𝑈−𝑈1
𝑅−𝑥

−

𝑈−𝑈𝑥
𝑅−𝑥

−

𝑈𝑥
𝑥

𝑈1
𝑥

(1.40)

+ Nút D cho biết:
IA= 𝐼1 − 𝐼2
IA =

𝑈1
𝑅1

−

𝑈−𝑈1
𝑅2

(1.41)

(Trong đó các giá trị U, I1, R, R1, R2 đầu bài cho trước).
Xét chiều dòng điện qua ampe kế (nếu đầu bài không cho trước) để giải
phương trình (1.41) tìm giá trị U1, rồi thay vào (1.40) để tìm x.
- Từ giá trị của x ta tìm được RAC và RCB rồi suy ra được vị trí của con
chạy C.
b, Đầu bài cho biết vị trí con chạy C nên ta xác định được điện trở RAC và RCB
Mạch điện: (R // RAC) nt(R2 // RCB)

Áp dụng định luật ôm ta tìm được giá trị I1, I2.
 Chỉ số ampe kế IA= 𝐼1 − 𝐼2
Kết luận chƣơng 1 :
Trong chương 1 đã trình bày :
- Lý thuyết về mạch cầu Wheatstone.
- Một số bài toán của mạch cầu cân bằng.
- Bài toán về cầu dây.

16


Chƣơng 2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA MẠCH CẦU WHEATSTONE
2.1. Xác định điện trở sử dụng mạch cầu cân bằng
2.1.1. Cơ sở lý thuyết để đo điện trở bằng mạch cầu Wheatstone
Mạch cầu Wheatstone là một mạch điện gồm 4 nhánh XBYZX, trong đó
có 2 mạch mắc song song là XBY (tạo bởi hai mạch điện Rx và R1 mắc nối
tiếp) và XZY (tạo bởi hai điện trở r1 và r2 thuộc hai nửa của cầu dây XY,
phân chia bởi con chạy Z). Cầu được cung cấp bởi nguồn điện một chiều E
nối vào hai điểm X, Y. Các điểm giữa B, Z của cầu được nối với nhau bằng
đoạn BGZ có chưa điện kế G, còn gọi là đường chéo của cầu.
Đoạn mạch XYZ có cấu tạo gồm một sợi dây điện đồng chất tiết diện đều,
dài l = 1000 mm, căng trên thước milimet, hai đầu nối với hai cọc đấu dây
X,Y. Trong khoảng giữa X, Y có con chạy Z, có điểm tiếp xúc với dây và có
thể dịch chuyển dọc theo chiều dài của dây điện trở.
Khi đóng khóa K, trong mạch có dòng điện chạy qua. Nếu điện thế VB tại
B khác điện thế VZ tại Z, trong đoạn mạch BZ sẽ có dòng điện IG bị lệch đi.
Tuy nhiên có thể điều chỉnh thay đổi các giá trị điện trở (ví dụ thay R1 bằng
một hộp điện trở thập phân 0-9999 Ω, có thể chọn giá trị tùy ý trong phạm vi
của nó) hoặc dịch chuyển con chạy Z để thay đổi tỷ lệ giữa r1 và r2, ta có thể

thiết lập được trạng thái mạch điện sao cho :
VB =VZ

(2.1)

Khi đó dòng điện chạy qua điện kế G bằng 0, ta nói: mạch cầu
Wheatstone ở trạng thái cân bằng.

17


B
i
G

G

Rx

R1

Thô C Tinh

i1
X

r1
i

P

i2
Z

r2

Y

+

A

K

E
Hình 2.1: Sơ đồ mạch cầu Wheatstone
Áp dụng các định luật Kirchoff cho mạch điện khi thỏa mãn điều kiện (2.1) ta
dễ dàng rút ra:
Vx - VB = Vx - Vz
=>I1 Rx = I2 r1

(2.2)

VB - VY = Vz - VY
=>I1R1 = I2R2

(2.3)

Chia đẳng thức (2.2) cho (2.3), ta được:
𝑅𝑥 𝑟1

=
𝑅1 𝑟2

(2.4)

Vì dây trở XYZ đồng chất tiết diện đều nên các điện trở r1 tỉ lệ thuận với độ
dài l1 của đoạn dây XZ và điện trở r2 tỉ lệ với độ dài l2 của đoạn dây YZ. Nếu
đặt l là độ dài của dây điện trở XY thì l2 = l - l1 và đẳng thức (2.4) viết thành:

𝑅𝑥
𝑙1
=
𝑅1 𝑙 − 𝑙1
Hay Rx = R1.

𝑙1
𝑙−𝑙 1

(2.5)

Như vậy nếu biết trước giá trị của điện trở mẫu R1 và đo các độ dài l và l1,
ta sẽ xác định được điện trở Rx theo (2.5).
Phép đo điện trở dùng mạch cầu Wheatstone rất dễ dàng, đơn giản, không phụ
18


thuộc độ ổn định của nguồn điện E, có thể đạt độ chính xác cao (tùy thuộc cấp
chính xác của điện trở mẫu R1, độ chính xác và độ phân giải của cầu dây, độ
nhạy điện kế G).
Từ (2.5) cũng cho thấy sai số của phép đo điện trở Rx trên cùng một thiết

bị đo sẽ là cực tiểu nếu con trượt Z được thiết lập ở chính giữa cầu dây trở
XY.
Thật vậy theo (2.5), ta tính được sai số tỉ đối của phép đo điện trở Rx:
𝜀=

∆𝑅𝑥 ∆𝑅1 ∆𝑙1 ∆𝑙 − ∆𝑙1
∆𝑅1 𝑙1 + 𝑅1 ∆𝑙1 𝑙 − 𝑙1 + 𝑅1 𝑙1 (∆𝑙 + ∆𝑙1 )
=
+
+
=
𝑅𝑥
𝑅1
𝑙1
𝑙 − 𝑙1
𝑅1 𝑙1 (𝑙 − 𝑙1 )

Rõ ràng sai số tỉ đối này sẽ cực tiểu khi mẫu số R1l1(l – l1) của nó đạt giá
trị cực đại. Dựa vào phép tính đạo hàm, ta tìm điều kiện cực đại của hàm số
f(l1)= R1l1(l-l1):
𝑑𝑓 (𝑙 1 )
𝑑𝑙 1

Suy ra : l1 =

= R1 - 2R1R2=0

𝑙
2

(2.6)

Như vậy, sai số tỉ đối của phép đo điện trở Rxsẽ cực tiểu khi mạch cầu
XYBZX cân bằng (iG = 0) và con trượt Z nằm tại vị trí chính giữa của đoạn
dây điện trở XY ứng với giá trị l1 = l2 =

𝑙
2

. Trong trường hợp này, công thức

(2.6) có dạng:
Rx = R1

(2.7)
Rx

R0
•

•

G
A

C

B

Hình 2.2 : Mạch lý thuyết

19


2.1.2. Thực nghiệm xác định điện trở

Hình 2.3. Thí nghiệm đo điện trở bằng mạch cầu cân bằng, dụng cụ thí
nghiệm sử dụng tại phòng thí nghiệm Vật lý, Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Dụng cụ thí nghiệm :
1. Cầu dây dài 1000mm.
2. Con trượt cầu dây nối qua hộp C có công tắc ‘ tinh- thô’, và nút nhấn P.
3. Điện kế số 0 (5.10-6A).
4. Đồng hồ đo điện hiện số DT 9205A.
5. Nguồn một chiều ổn áp 0‚6V/ 50‚ 200mA.
6. Dây nối mạch điện có hai đầu phích, cốt.
7. Hộp điện trở thập phân R0 = 0‚9999Ω.
8. Điện trở cần đo Rx.
9. Hộp lắp ráp mạch điện cho Rx.

20