Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
----

NGUYỄN THỊ HIỀN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI – 2017


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1.

Lí do chọn đề tài........................................................................................... 1

2.

Mục đích nghiên cứu.................................................................................... 1

3.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu................................................................ 2

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu. .................................................................................. 2

5.

Phương pháp nghiên cứu. ............................................................................ 2

6.

Cấu trúc của đề tài. ....................................................................................... 2

NỘI DUNG ............................................................................................................ 3
Chương I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến........................................................ 3
I.1

Định nghĩa hàm số nhiều biến số. ................................................................ 3

I.1.1

Định ngĩa hàm số nhiều biến. ................................................................ 3

I.1.2

Một số hệ tọa độ cơ bản. ....................................................................... 4

I.1.3

Giới hạn của hàm nhiều biến số. ........................................................... 7

I.2

Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số ..................................................... 8

I.3

Sự liên tục của hàm số nhiều biến số. ........................................................ 12

I.3.1
I.4

Tính chất. ............................................................................................. 12
Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số. ................................................. 13

I.4.1

Đạo hàm riêng cấp 1. .......................................................................... 13

I.4.2

Đạo hàm riêng cấp cao. ....................................................................... 14

I.5

Vi phân toàn phần. ..................................................................................... 15

I.5.1

Định nghĩa vi phân toàn phần. ............................................................ 15

I.5.2

Vi phân cấp cao. .................................................................................. 16

I.6

Đạo hàm hàm số ẩn. ................................................................................... 17

I.6.1

Hàm ẩn một biến. ................................................................................ 17

I.6.2

Hàm ẩn hai biến................................................................................... 18

I.7

Đạo hàm theo hướng. ................................................................................. 19


I.7.1

Định nghĩa. .......................................................................................... 19

I.7.2

Công thức tính. .................................................................................... 20

I.7.3

Gradien. ............................................................................................... 21

I.8

Công thức Taylo với hàm số 2 biến số. ..................................................... 22

I.9

Cực trị của hàm số nhiều biến số. .............................................................. 23

I.9.1

Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị. ............................................. 23

I.9.2

Điều kiện đủ của cực trị. ..................................................................... 24

I.10

Cực trị có điều kiện. ............................................................................... 25

I.10.1

Định nghĩa và điều kiện cần. ........................................................... 25

I.10.2

. Điều kiện đủ. .................................................................................. 26

Chương II. Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến. ............. 28
II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng. ..... 28
II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có
điều kiện. .............................................................................................................. 32
II.2.1. Cực trị. ....................................................................................................... 33
II.2.2. Cực trị có điều kiện. ................................................................................ 41
II.2.2.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị
chặn. ..................................................................................................................... 41
II.2.2.2. Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số. .......................................... 45
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 52


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn đến TS.Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tình
hướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu đề tài
khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật Lý Lí thuyết và Ban
chủ nhiệm khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều
kiện cho em trong quá trình hoàn thành đề tài khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất. Song
do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về
kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản
thân chưa thấy được. Em rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô giáo và các bạn
sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích
dẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời điểm
lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỉ XX, do sự phát
triển của ngành Giải tích toán học.
Sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là ngành Giải tích hàm giúp
cho những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật,…được giải
quyết nhanh gọn và chính xác. Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực
như: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, ….Mỗi lĩnh vực đều
có tầm quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng. Trong đó, phép tính vi phân
là một phần cơ bản của Giải tích.
Phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những lĩnh vực nghiên cứu

quan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất giai đoạn thế kỷ XVII của Isaac
Newton và Gottfried Wihelm Leibniz. Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa
học, công nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có rất nhiều ứng dụng
quan trọng trong thực tế cuộc sống và trong nghiên cứu khoa học. Đặc biệt phép
tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những cơ sở quan trọng trong học tập
cũng như nghiên cứu vật lý.
Engels đã viết: “Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên
khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả những quá trình”.
Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này,
em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều
biến” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tổng hợp lại kiến thức về phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ đó tìm ra
những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thức
của bản thân.

1


3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
 Đối tượng:
- Phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
- Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
 Phạm vi: Hàm số nhiều biến.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
 Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm
số nhiều biến và đưa ra một số bài toán về phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
 Nghiên cứu những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến để
tìm cực trị, tính gần đúng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.

 Phương pháp nghiên cứu lí luận.
 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.
6. Cấu trúc của đề tài.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần:
Chương I. Phép tính vi phân hàm số nhiều biến.
I.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến.
I.2. Biểu diễn hình học của hàm số hai biến số.
I.3. Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.
I.4. Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số.
I.5. Vi phân toàn phần.
I.6. Đạo hàm của hàm số ẩn.
I.7. Đạo hàm theo hướng.
I.8. Công thức Taylor với hàm số hai biến.
I.9. Cực trị của hàm số nhiều biến số.
I.10. Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số.
Chương II. Một số ứng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến số.
II.1. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng.
II.2. Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực
trị có điều kiện.

2


NỘI DUNG
Chƣơng I. Phép tính vi phân hàm nhiều biến.
Định nghĩa hàm số nhiều biến số.

I.1

I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến.
 Xét không gian Euclid
một bộ

số thực

chiều

. Gọi một phần tử

là một tập hợp trong

là

.

 Khi đó ánh xạ:
xác định bởi:
(1.1)
được gọi là một hàm số của

biến số xác định trên

được gọi là miền xác định

;

được gọi là các biến số độc lập. Nếu xem

của hàm số

là các tọa độ của một điểm

trong hệ tọa độ nào đó thì cũng có thế viết

.

)

a.

Với

3


b. Với
Hình 1.1
Hình 1.1: Hình vẽ của hàm

trong không gian

chiều.

I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản.
 Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vuông góc với nhau
từng đôi một

, mà trên đó đã chọn ba vector đơn vị

sao

cho độ dài ba vector này bằng đơn vị. Vị trí của một điểm M trong không gian hoàn
toàn xác định nếu ta biết được các thành phần toạ độ

.
⃗.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑧

𝑐
𝑀 𝑎𝑏𝑐

𝑘⃗
𝑗

𝑖

𝑂

𝑏

𝑦

Hình 1.2

4

𝑎

 Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó
mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng hai thành phần:
+ Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc
+ Góc

tạo bởi đường thẳng

(gốc cực) gọi là bán kính.

với hướng gốc cho trước (trục cực).
𝑀
𝑟
𝜑

𝑂

Hình 1. 3
 Hệ tọa độ trụ: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc
của điểm


là khoảng cách từ gốc tọa độ




được xác định như sau:

trong không gian là bộ ba

xuống mặt phẳng

. Tọa độ trụ

đến hình chiếu vuông góc

của

.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

là góc
là độ cao của điểm

.

Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc bởi biểu thức sau:
{
𝑂𝐴

𝑂𝑀 𝑠𝑖𝑛 𝜑

𝑦

M

𝑂𝐵
𝑧

𝑂
𝐴

𝑟

𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑

𝑀𝑀

𝑧

𝐵

𝜑
𝑀
Hình 1.4

 Hệ tọa độ cầu: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc
của điểm

𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜑

. Tọa độ cầu

được xác định như sau:

trong không gian là bộ ba số

5



là khoảng cách từ điểm



̅̅̅̅̅ .

là góc



là góc

xuống mặt phẳng

đến gốc tọa độ .

, với

là hình chiếu vuông góc của

.

Tọa độ cầu liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc như sau:
{
er

z

D
θ

𝑟

eθ

𝑦

𝑐𝑜𝑠𝜃
O
B

𝜑

A

φ

𝑧

/

𝑦

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦/
𝑂𝐶 𝑐𝑜𝑠𝜑

C
eφ

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑦

𝑂𝐵

𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑧

𝑂𝐷

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

⬚
⬚

y

Hình 1.5
Mối liên hệ giữa các hệ toạ độ:
Từ
Đề

các

(Cartesian)

S

ang

Trụ
(Cylindrical)

Cart

esian

6

𝑧

Cầu
(Spherical)


Cyli
ndrical

Sph
erical

I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số.
 Gọi
giữa

và

. Khi đó khoảng cách

và

, kí hiệu là

, được tính theo công thức:
(1.2)

 Ta nói dãy điểm

dần đến điểm

nếu

hay là {

 Cho hàm

xác định lân cận

khi

nói hàm

có giới hạn là

có thể trừ điểm

dần đến

khi

thuộc lân cận dần đến

, ký hiệu

nếu mọi dãy điểm

ta đều có:
.

Ký hiệu:

hay
(1.3)

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn:
a.

b.

Lời giải:

7

. Ta


a
a |

|

|

.

|

Do

| |
|

|

| ||

|

Trị tuyệt đối của một số
nhỏ hơn hoặc bằng không
thì số đó phải bẳng không.

theo đường thẳng

b. Giả sử

với là hằng số.

khi đó
Như vậy với mỗi giá trị

khác nhau thì

có kết quả khác nhau. Do

giới hạn của hàm số nếu có phải là duy nhất nên không tồn tại giới hạn
.
I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số
đồ thị của hàm hai biến

Trong không gian ba chiều

với

thường là một mặt cong. Sau đây là một số mặt cong đặc biệt có
nhiều ứng dụng trong vật lý:
 Mặt phẳng
Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, phương trình mặt phẳng có
trong đó

dạng:

.
𝑧

𝑂

𝑦

Hình 1.6
 Ellipsoid
Ellipsoid là mặt cong, phương trình chính tắc của nó có dạng:

8


Hình 1.7
 Paraboloid elliptic
Phương trình chính tắc của paraboloid elliptic có dạng:

Hình 1.8
 Mặt trụ bậc hai
o Mặt trụ elliptic có phương trình chính tắc là:

9


𝑧

𝑂
𝑦

Hình 1.9
o Mặt trụ hyperbolic có phương trình chính tắc là:

Hình 1.10
o Mặt trụ parabolic có phương trình chính tắc là:

10


Hình 1.11
 Mặt nón bậc hai
Phương tình chính tắc của mặt nón có dạng:

Hình 1.12

11


I.3

Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.

 Hàm số

xác định trên miền

liên tục tại

nếu

xác định trên miền

khi nó liên tục tại mọi điểm

 Hàm số

. Ta nói rằng hàm số

.

 Nếu hàm số
trên miền

và điểm

thì ta nói rằng hàm số đó liên tục
.

liên tục trên miền đóng

liên tục tại mọi điểm

nếu nó liên tục trên miền

theo nghĩa

và

.

 Nếu đặt

là số gia toàn

phần của hàm số tại

thì hàm số

khi {

liên tục tại

nếu

.

Ví dụ 2: Khảo sát sự liên tục của hàm số sau:
{

(

)

(

)

Lời giải:
{
Ta có
|

|

|

(

)|

Do đó khi
tại

và hàm số

liên tục

.
Ta thấy
Vậy

liên tục tại mọi
liên tục trên

.

I.3.1 Tính chất.
 Nếu

liên tục trong miền đóng

và giá trị bé nhất trong miền

giới nội thì nó đạt giá trị lớn nhất
để có bất đẳng thức kép:

tức là:

12


(1.4)
 Nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng bị chặn thì nó bị
chặn trong miền đó và nó đạt giá trị lớn nhất, bé nhất trong miền ấy, đồng thời liên
tục đều trong miền đó.
I.4

Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số.

I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1.
 Cho hàm số

xác định trong miền

, ta được hàm số một biến

cho

và

. Nếu

có đạo hàm tại

Khi đó đạo hàm này được gọi là đạo riêng của

đối với

.
và được ký

tại

hiệu:
hay

hay

(1.5)

 Tương tự ta có định nghĩa đạo hàm riêng của hàm số

đối với

và ký hiệu:
hay

hay

(1.6)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm riêng sau:
a.
b.
Lời giải:
Lấy đạo hàm theo biến , coi

a.

là hằng số
Lấy đạo hàm theo biến , coi
là hằng số
Lấy đạo hàm theo biến

b.

coi

là hằng số

Lấy đạo hàm theo biến
coi

13

thì ta

là hằng số

thì ta

tại


Lấy đạo hàm theo biến
coi

(

thì ta

là hằng số

)

I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao.
 Cho hàm số hai biến số

. Các đạo hàm riêng của các đạo hàm

riêng cấp một của hàm số nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp hai.
 Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau:
o

( )

o

( )

o

( )

o

( )

.

 Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số, nếu tồn tại
được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba,….
 Định lý 1.1 (Schwarz). Nếu trong một lân cận
có đạo hàm riêng

hàm số
liên tục tại

và nếu các đạo hàm ấy

thì:
tại

.

(1.7)

Ví dụ 4: Tính đạo hàm riêng cấp hai của hàm:
Lời giải:

14

nào đó của điểm

.

Các đạo hàm riêng cấp 1:
Lấy đạo hàm theo biến

thì ta coi

là

thì ta coi

là

hằng số
Lấy đạo hàm theo biến
hằng số

Các đạo hàm riêng cấp 2:

Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng
cấp 1 theo biến
Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng
cấp 1 theo biến
Lấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêng
cấp 1 theo biến

I.5

Vi phân toàn phần.

I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần.
 Cho hàm

xác định trong miền . Lấy các điểm
.

 Biểu thức:

(1.8)

được gọi là số gia toàn phần của
Trong đó

tại

là những số chỉ phụ thuộc vào

. Tức là khi

, còn

thì ta nói rằng hàm số

dần đến

hay

khi

khả vi tại

được gọi là vi phân toàn phần của hàm số tại

, còn biểu thức
kí hiệu là

.

và

.

 Vậy ta có biểu thức:
(1.9)
Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng

15

giới hạn bởi {

.


Lời giải:
𝑦

{

Ta có:

{

𝑃
𝑆

{

{

∫ (√

{

)

(

√

)|

√

𝑂
𝑃
(đvdt)

I.5.2 Vi phân cấp cao.
 Nếu

cũng là một hàm số của

, thì

có thể xét vi phân của nó.
 Khi

khả vi thì vi phân của nó gọi là vi phân cấp hai của hàm số
(

và ký hiệu:
hai tại

). Ta nói rằng

khả vi đến cấp

.
 Công thức vi phân cấp hai:
(
(

)

(

)

(

)

)

 Giả sử các đạo hàm riêng hỗn hợp liên tục, theo định lý Schwarz ta có:

 Dùng ký hiệu lũy thừa để viết gọn như sau:
(
Ví dụ 6: Tính vi phân

)

của hàm ẩn

16

được cho bởi phương trình:


Lời giải:
Ta coi phương trình đã cho là một đồng nhất thức:

Lấy vi phân vế trái và vế
phải của phương trình đã
cho
Lấy vi phân toàn phần của
với
Hay:

là hằng số,

là vi phâ của hàm.

Lấy biểu thức

(

thế vào
đầu tiên.

biểu thức
)
Đạo hàm hàm số ẩn.

I.6

I.6.1 Hàm ẩn một biến.
 Cho một hệ thức giữa hai biến

dạng:
(1.10)

trong đó

là hàm hai biến xác định trong miền mở

sao cho (

. Giả sử
(

)

Hàm số

chứa

và
)

và

gọi là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình

(1.10).
 Định lý 1.2. Nếu
o

liên tục trong lân cận

o Các đạo hàm riêng

thỏa mãn các điều kiện:
và
liên tục và

thì phương trình (2.10) xác định bởi hàm
.
Khi đó ta có:

17

.

trong lân cận
và khả vi liên tục trong khoảng


(1.11)
Ví dụ 7: Tính

biết

Lời giải:
Ta có:
Lấy đạo hàm toàn phần hai vế, coi

Lấy đạo hàm toàn phần của đạo hàm
(

toàn phần cấp 1

)

.

I.6.2 Hàm ẩn hai biến.
 Định lý 1.3. Cho phương trình hàm ẩn

và

thỏa

mãn các điều kiện:

o

liên tục trong hình cầu mở

o Các đạo hàm riêng

và

liên tục và

trong hình cầu

.
Khi đó phương trình hàm ẩn xác định một hàm ẩn
riêng liên tục trong lân cận

có đạo hàm

đồng thời:
(1.12)

Ví dụ 8: Cho

. Coi

Lời giải:

18

là hàm số ẩn, hãy tính

.


Ta có:
Lấy vi phân toàn phần phương
trình hàm ẩn

Ta có:
[
]

Lấy đạo hàm riêng theo biến

,

coi

là hằng số.

Lấy đạo hàm riêng theo biến

.

coi

,

,

là hằng số.

Đạo hàm theo hƣớng.

I.7

I.7.1 Định nghĩa.
 Cho

xác định trên miền

và

hướng được đặc trưng bởi véc tơ có véc tơ đơn vị ⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

)

(⃗⃗⃗⃗⃗

). Người ta gọi

sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ , lập tỉ số:

)

, một
, tức là:
là các

chỉ phương của . Rõ ràng
 Lấy

 Nếu tỉ số trên có giới hạn hữu hạn khi
đạo hàm của hàm
⃗⃗⃗

theo hướng tại

thì giới hạn ấy được gọi là

và kí hiệu là

tức là:
⃗⃗

19


z

γ

α

β

O

Hình 1.13
I.7.2 Công thức tính.
 Định lý 1.4: Nếu hàm số
các cosin chỉ phương

khả vi tại

và bất kỳ có

thì:

(1.13)
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm
của véc tơ

, trong đó

tại điểm

là điểm với tọa độ

theo hướng

.

Lời giải:
Ta có:

|

|

Vector đơn vị

√

đã cho.

̅̅̅̅̅̅̅̅
|
√

|

có hướng là hướng

√

là các vector đơn vị của các

√

trục tọa độ.

.
√

√

Có:
Lấy đạo hàm riêng cấp 1 theo biến
tại điêm
Dựa vào công thức:

20