Phương trình vi phân cao cấp và ứng dụng trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ LINH

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ LINH

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: T.S HÀ THANH HÙNG

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy giáo và cô giáo Khoa Vật lí
trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian theo học tại trƣờng và đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến thầy Hà Thanh Hùng ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn tôi đã tận tình chỉ bảo
giúp đỡ tôi hoàn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhƣng do lần đầu làm công tác nghiên
cứu khoa học cũng nhƣ hạn chế về kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh
khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn
đọc để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Linh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dƣới sự hƣớng dẫn của thầy giáo Hà Thanh Hùng
khóa luận của tôi đƣợc hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác. Các
dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và trích dẫn
rõ ràng.
Tôi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về lời cam đoan này.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Linh


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1

1.

Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1

2.

Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 1

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 1

4.

Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 1

5.

Phƣơng pháp nghiên cứu ...................................................................... 2

6.

Bố cục của khóa luận ............................................................................ 2

PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 3
CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO................................... 3
1.1.

Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số. ...................... 6

1.1.1. Hàm bù yc  x  ................................................................................ 6
1.1.2. Nghiệm riêng y p  x  . ................................................................... 10
1.1.3. Cấu trúc nghiệm tổng quát ........................................................... 13
1.2.

Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số. ..................... 14

1.2.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính Legendre và Euler. .................... 15
1.2.2. Phƣơng trình vi phân chính xác ................................................... 18
1.3.

Phƣơng trình vi phân cấp cao thuần nhất ........................................ 20

1.3.1 Phƣơng trình thuần nhất đẳng cấp ................................................. 20
1.3.2 Phƣơng trình thuần nhất chỉ với x hoặc chỉ với y .......................... 22
1.4.

Phƣơng trình vi phân có nghiệm là hàm luỹ thừa ........................... 24

1.5.

Phƣơng trình vi phân tổng quát ....................................................... 24

1.5.1. Phƣơng trình vi phân không có biến phụ thuộc. ........................... 25
1.5.2. Phƣơng trình vi phân không có biến độc lập. ............................... 26
CHƢƠNG 2.

NG D NG C

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO

TRONG V T L ........................................................................................... 29


2.1. Phép biến đổi Laplace .......................................................................... 29
2.2. Hàm Green ........................................................................................... 32
2.3. Phƣơng trình vi phân thuần nhất chỉ với x hoặc y................................ 34
2.4. Phƣơng trình vi phân có hệ số là hằng số ............................................ 35
KẾT LU N ..................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 39


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học vốn là một ngành khoa học tự nhiên tìm hiểu về cấu trúc và
các quy luật vận động của thế giới vật chất trong tự nhiên và là một ngành
khoa học thực nghiệm. Trong thực tiễn, Vật lý và Toán học luôn luôn có mối
quan hệ mật thiết với nhau, Vật lý sử dụng những công cụ của Toán học có
sẵn đồng thời sẽ đặt ra những yêu cầu mới đối với Toán học.
Phƣơng trình vi phân trong Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng
trong Vật lý. Tuy nhiên kiến thức về phƣơng trình vi phân cấp cao còn chƣa
rõ ràng và khá khó hiểu đối với ngƣời học. Để giúp ngƣời học hiểu rõ hơn
những kiến thức về phƣơng trình vi phân cấp cao cũng nhƣ vai trò của
phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý tôi đã quyết định chọn đề tài:
“PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG TRONG
VẬT LÝ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Khóa luận bao gồm 2 chƣơng: chƣơng 1 của khóa luận tôi sẽ trình bày
tổng quát về phƣơng trình vi phân cấp cao phân dạng và đƣa ra lời giải tổng
quát cho một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt, còn chƣơng 2 sẽ trình

bày về ứng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Giới thiệu tổng quát về phƣơng trình vi phân cấp cao.
2. Phân loại và đƣa ra phƣơng pháp giải các dạng phƣơng trình vi phân
cấp cao.
3.

ng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong vật lý.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đề tài này chủ yếu nghiên cứu về một số dạng phƣơng trình vi phân
cấp cao và ứng dụng của nó trong Vật lý.

1


5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc sách và tham khảo tài liệu.
- Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp.
- Phƣơng pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên.
6. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần Mở đầu, Tài liệu tham khảo, phần Nội dung của khóa luận
bao gồm:
Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân cấp cao
Chƣơng 2: ng dụng của phƣơng trình vi phân cấp cao trong Vật lý

2


PHẦN NỘI DUNG

CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO
Phƣơng trình vi phân cấp cao là phần đƣợc mở rộng nghiên cứu tiếp
theo của các phƣơng trình vi phân thông thƣờng cấp một, việc giải các
phƣơng trình vi phân cấp cao đƣợc dựa chủ yếu trên cơ sở từ các phƣơng
trình vi phân cấp một.
Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao đƣợc tập trung với ba khía
cạnh chính:
i) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số.
ii) Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số.
iii) Một số phƣơng pháp giải tổng quát các phƣơng trình vi phân tuyến
tính và không tuyến tính.
Sau đây, chúng ta bắt đầu với một số các khái niệm cơ bản của phƣơng
trình vi phân tuyến tính cấp cao. Các phƣơng trình vi phân thông thƣờng là
các phƣơng trình có chứa các đạo hàm toàn phần của hàm cần tìm y theo biến
số x, mà không chứa các đạo hàm riêng phần. Phƣơng trình vi phân cấp cao là
các phƣơng trình vi phân thông thƣờng có chứa các đạo hàm từ cấp hai trở lên
của hàm y(x).
Trong thực tế, để mô tả các hệ vật lý bằng ngôn ngữ toán học, chúng ta
thƣờng gặp các phƣơng trình vi phân cấp cao một cách rất tự nhiên, đặc biệt
là các phƣơng trình vi phân cấp hai.
Do vậy, trƣớc tiên chúng ta quan tâm đến các phƣơng trình vi phân cấp
hai trƣớc, trên cơ sở đó chúng ta sẽ tiếp tục mở rộng với các phƣơng trình vi
phân cấp n (n>2).
Một phƣơng trình vi phân thông thƣờng cấp cao, đƣợc đƣa ra dƣới
dạng tổng quát:

3


dny

d n1 y
an  x  n  an1  x  n1 
dx
dx

 a1  x 

dy
 a0  x  y  f  x  .
dx

(1)

Nếu f ( x)  0 , thì phƣơng trình vi phân trên gọi là thuần nhất, ngƣợc lại
thì phƣơng trình vi phân đƣợc gọi là không thuần nhất. Tƣơng tự với các
phƣơng trình vi phân cấp một, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1) sẽ chứa
n tham số tùy ý và để xác định cụ thể n tham số này, chúng ta cần n điều kiện
biên.
Để giải phƣơng trình (1), chúng ta cần tìm nghiệm tổng quát của
phƣơng trình thuần nhất tƣơng ứng, còn gọi là phƣơng trình bổ sung, tức là
tìm nghiệm của phƣơng trình:

an  x 

dny
d n1 y

a
x


n 1  
dx n
dx n1

 a1  x 

dy
 a0  x  y  0 .
dx

(2)

Nghiệm của phƣơng trình (2), đƣợc đƣa ra trên cơ sở chúng ta biết
đƣợc n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2).
Giả sử, chúng ta có n nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2), ký hiệu
là:
y1 ( x); y2 ( x);...; yn ( x),

thì nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2) đƣợc viết nhƣ là tổ hợp tuyến tính
của các nghiệm riêng.
yc ( x)  c1 y1 (x)  c2 y2 (x)  ...  cn yn (x) ,

(3)

Trong đó, ci , i  1, n là các hệ số
Từ điều kiện các nghiệm riêng là độc lập tuyến tính nên hệ quả tất yếu
là nếu:
c1 y1 (x)  c2 y2 (x)  ...  cn yn (x)  0

(4)

Thì kéo theo tất cả các hệ số bằng không, tức là:
c1  c2  ...  cn  0

4

(5)


Đây là điều kiện để ràng buộc (2) không có nghiệm tầm thƣờng.Sử
dụng điều kiện này và thay (2) vào (3), chúng ta có hệ phƣơng trình sau:
c1 y1 (x)  c 2 y2 (x)  ...  c n yn (x)  0
c y ' (x)  c y ' (x)  ...  c y ' (x)  0
 1 1
2
2
n
n

...
c y ( n1) (x)  c y ( n1) (x)  ...  c y ( n1) (x)  0
2 2
n n
 1 1

(6)

Từ hệ phƣơng trình (6), ta thấy điều kiện để phƣơng trình (2) có
nghiệm không tầm thƣờng, liên quan đến một định thức sau, gọi là
Wronskian, kí hiệu là Ws (y1, y2 ,..., yn ) :

 y1
Ws (y1 , y 2 ,..., y n )  
 y (n 1)
 1

yn 


(n 1) 
yn 

(7)

Điều kiện để phƣơng trình (2) có nghiệm không tầm thƣờng thì
Wronskian phải khác 0.
Ws (y1, y2 ,..., yn )  0

(8)

Trở lại với phƣơng trình vi phân cấp cao có vế phải khác 0, tức là
phƣơng trình vi phân cấp cao không thuần nhất, khi đó nghiệm của tổng quát
của phƣơng trình sẽ bao gồm hai phần: phần thứ nhất là nghiệm yc (x) xác
định từ (3), phần thứ hai là y p (x) , gọi là nghiệm riêng của phƣơng trình (1).
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1) bây giờ có dạng.

y(x)  yc (x)  y p (x) ,

(9)

Phƣơng trình (9), chính là nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1), đây
cũng là phƣơng pháp chung để sử dụng tìm nghiệm cho các phƣơng trình vi
phân tuyến tính cấp cao. Tuy nhiên, với các phƣơng trình vi phân phi tuyến
tính cấp cao thì không thể áp dụng phƣơng pháp trên để tìm nghiệm tổng

5


quát, việc tìm nghiệm còn phức tạp hơn nhiều và thông thƣờng, chúng ta phải
dựa vào đặc điểm từng phƣơng trình cụ thể để tìm nghiệm tƣơng ứng.
1.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là hằng số.
Phƣơng trình vi phân tuyến tính có hệ số là hằng số có dạng:

dny
d n1 y
an n  an1 n1 
dx
dx

 a1

dy
 a0 y  f  x  .
dx

(1.1)

Với các hệ số a0 , a1,..., an là các hằng số thực. Phƣơng trình dạng này là
rất phổ biến trong các ngành khoa học vật lý và kỹ thuật, và nghiệm của nó
rơi vào hai phần nhƣ đã thảo luận trong phần trƣớc, nghĩa là hàm bù yc  x  và

tích phân riêng y p  x  . Nếu trong (1.1) f  x   0 thì chúng ta không cần phải
tìm tích phân riêng, và hàm bù là một nghiệm tổng quát.
1.1.1. Hàm bù yc  x 
Hàm bù phải thỏa mãn

dny
d n1 y
an  x  n  an1  x  n1 
dx
dx

 a1  x 

dy
 a0  x  y  0
dx

(1.2)

và chứa n hằng số tuỳ ý (3). Phƣơng pháp chuẩn để tìm hàm bù yc  x  là thế

y  Ae x vào (1.2).
Sau khi chia phƣơng trình kết quả cho Ae x , ta thu đƣợc phƣơng trình
đại số cấp n của λ; đây gọi là phƣơng trình đặc trƣng tƣơng ứng với (1.2)
ann  an1n1  ...  a1  a0  0 .

(1.3)

Các phƣơng trình đặc trƣng có n nghiệm là 1, 2 ,..., n có thể chia ra
thành ba trƣờng hợp chính nhƣ sau:

i. Toàn bộ nghiệm thực khác nhau.
Trong trƣờng hợp này, n nghiệm riêng của (1.2) là exp m x với m  1, n .
Bằng cách tính Wronskian ta dễ dàng chứng minh đƣợc nếu tất cả các m là

6


khác biệt thì nghiệm này là độc lập tuyến tính do đó lập nên hệ nghiệm cơ bản
của phƣơng trình (1.2).
Nhƣ vậy nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng:
yc  x   c1e1x  c2e2 x  ...  cnen x .

(1.4)

Ví dụ: Xét phƣơng trình

d3y d2y
dy


4
 4 y  0.
dx3 dx 2
dx
Phƣơng trình đặc trƣng tƣơng ứng là:

 3   2  4  4  0

   1   2  4   0

Hay

   1   2   2  0
Do đó phƣơng trình đặc trƣng có các nghiệm thực khác nhau:

  1,   2,   2.
Phƣơng trình vi phân đang xét có hệ nghiệm cơ bản là:

y1  e x , y2  e2 x , y3  e2 x .
Vì vậy nghiệm tổng quát có dạng:
y  y1  y2  y3  y  c1e x  c2e2 x  c3e2 x .

ii. Toàn bộ nghiệm khác nhau nhƣng có một số nghiệm phức.
Nếu một trong những nghiệm của phƣơng trình đặc trƣng (1.3) là

  i , thì liên hợp phức   i  của nó cũng là một nghiệm. Nhƣ vậy ứng
với mỗi cặp nghiệm phức liên hợp này ta xây dựng đƣợc hai nghiệm thực độc
lập tuyến tính của phƣơng trình (1.2) là e x cos  x, e x sin  x . Trong trƣờng
hợp này, ta có thể viết đƣợc hệ nghiệm cơ bản của (1.2) nhƣ sau:
c1e

 i   x

 c2e

 i   x

sin 
 e x  d1 cos  x  d 2 sin  x   Ae x     x   
cos 

7

(1.5)


Ví dụ: Xét phƣơng trình
d3y
d2y
dy
 3 2  9  13 y  0.
3
dx
dx
dx

Phƣơng trình đặc trƣng có dạng:

 3  3 2  9  13  0
Hay

   1   2  4  13  0
Do đó phƣơng trình đặc trƣng có các nghiệm là:

1  1, 2  2  3i, 3  2  3i.
Theo lý luận trên ta đƣợc ba nghiệm thực độc lập tuyến tính của
phƣơng trình đang xét là:

y1  c1e x , y2  c2e2 x cos3x, y3  c3e2 x sin3x
Do đó nghiệm tổng quát có dạng:

y  y1  y2  y3  y  c1e x  c2e2 x cos3x  c3e2 x sin3x.

iii. Phƣơng trình có một số nghiệm bội.
Nếu nghiệm nào đó của phƣơng trình đặc trƣng có bội  2 thì bằng cách
xây dựng nghiệm nhƣ các phần i và ii ta không thể xây dựng đủ n nghiệm độc
lập tuyến tính của (1.2). Cụ thể, chẳng hạn nghiệm 1 bội k , còn các nghiệm
còn lại là đơn thì bằng cách xây dựng nhƣ trên ta chỉ đƣợc n  k  1 nghiệm
độc lập tuyến tính của (1.2). Do đó chúng ta phải tìm thêm k  1 nghiệm là
độc lập tuyến tính nữa. Thế trực tiếp vào ( 1.2) ta nhận thấy các hàm

xe1x , x 2e1x ,...., x k 1e1x cũng là nghiệm, và bằng cách tính Wronskian dễ dàng
thấy các nghiệm cùng một họ, và nó bổ sung vào k  1 nghiệm độc lập tuyến
tính thiếu ở trên. Do đó hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy
yc  x    c1  c2 x 

 ck x k 1  e1x  ck 1ek 1x  ck 2ek  2 x 

8

 cnen x .

(1.6)


Nếu 1 là nghiệm phức bội k của phƣơng trình đặc trƣng và, 2 là
nghiệm phức bội l ( k  1, l  1 ) thì từ lập luận bên trên, ta có hàm bù

c  c x 
y  x 
1

c

2

 ck x k 1  e1x   ck 1  ck 2 x 

 ck l x l 1  e 2 x

ck l 1ek l 1x  ck l  2e k l  2 x 

 cnen x

.

(1.7)

Ví dụ: Xét phƣơng trình

d3y
d2y
dy
 3 2  3  y  0.
3
dx
dx
dx
Phƣơng trình đặc trƣng có dạng:

 3  3 2  3  1  0

Hay

   1

3

0

Suy ra nghiệm   1 bội 3.
Các hàm

e x , xe x , x 2e x
lập nên hệ nghiệm cơ bản. Vậy nghiệm tổng quát có dạng:

y  c1e x  c2 xe x  c3 x 2e x .
Ví dụ: Tìm hàm bù của phƣơng trình

d2y
dy
 2  y  ex.
2
dx
dx
Lời giải
Đặt vế phải bằng 0, thế

y  Ae x
Sau đó rút gọn phƣơng trình cho: Ae x
Ta thu đƣợc phƣơng trình đặc trƣng:

 2  2  1  0

9

(1.8)


Hay

   1

2

0

Nghiệm λ = 1 bội 2.
Cho nên mặc dù e x là nghiệm của (1.8), chúng ta phải tìm một nghiệm
nữa để cho phƣơng trình là độc lập tuyến tính với e x .
Suy ra xe x cũng là một nghiệm.
Các hàm e x , xe x lập nên hệ nghiệm cơ bản của phƣơng trình.
Hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính của hệ nghiệm
yc  x    c1  c2 x  e x .

Phƣơng pháp giải: Đặt vế phải của phƣơng trình vi phân bằng 0 (nếu
vế phải chƣa bằng 0), và thế y  Ae x . Sau khi rút gọn phƣơng trình bằng
cách chia cho Ae x , ta đƣợc một phƣơng trình cấp n của λ (phƣơng trình đặc
trƣng (1.3)). Giải các phƣơng trình đặc trƣng ta tìm đƣợc n nghiệm của
phƣơng trình này là:

1, 2 ,..., n .

Nếu tất cả các nghiệm này là các nghiệm thực khác nhau thì yc  x 
đƣợc cho bởi (1.4).
Tuy nhiên, nếu một số là nghiệm phức hoặc nghiệm bội thì yc  x  đƣợc
cho bởi (1.5) hoặc (1.6), hoặc phần mở rộng (1.7).
1.1.2. Nghiệm riêng y p  x  .
Không có phƣơng pháp nào nói chung để tìm nghiệm riêng y p  x 
nhƣng khi cho phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số và vế phải
đơn giản, y p  x  có thể đƣợc tìm thấy qua kiểm tra hay là bằng giả thiết dạng
tham số hóa tƣơng tự với f  x  . Phƣơng pháp đó gọi là phƣơng pháp hệ số
bất định.

10


Phƣơng pháp hệ số bất định: Nếu f  x  có dạng đặc biệt (chỉ chứa đa
thức, số mũ, hay là số hạng sin và cosin) ta giả thiết hàm cơ sở cho y p  x 
trong từng dạng của f  x  tuy nhiên trong y p  x  có chứa một số tham số bất
định. Sau đó thế hàm cơ sở này vào (1.2), từ đây có thể tìm đƣợc tham số và
suy ra y p  x  . Hàm f  x  có những dạng đặc biệt (khá thông dụng) nhƣ sau.
i. Nếu f  x   aerx thì
y p  x   berx .

ii. Nếu f  x   a1 sin rx  a2 cos rx ( a1 hoặc a2 có thể bằng 0) thì
y p  x   b1 sin rx  b2 cos rx.

iii. Nếu f  x   a0  a1 x 

 aN x N ( một vài am có thể bằng 0) thì

y p  x   b0  b1x 

 bN x N .

iv. Nếu f  x  không có dạng đặc biệt nhƣ trên nhƣng có thể viết

f  x   f1  x   f 2  x 
hoặc

f  x   f1  x   f 2  x 
với f1  x  , f 2  x  là các dạng đặc biệt trên thì y p  x  đƣợc tính nhƣ tổng hay là
tích số của hàm cơ sở tƣơng ứng.
Cần lƣu ý rằng phƣơng pháp này không thể thành công nếu số hạng bất
kỳ trong hàm cơ sở cũng chứa trong hàm bù. Trong trƣờng hợp nhƣ vậy ta
cần phải nhân hàm cơ sở với bội số nguyên bé nhất của x thì lúc này hàm cơ
sở sẽ không chứa số hạng đã xuất hiện trong hàm bù. Hệ số bất định trong
hàm cơ sở có thể đƣợc thay thế vào (1.1).

11


Ba phƣơng pháp hữu ích hơn trong tìm nghiệm riêng y p  x  là sử dụng
hàm Green, biến thiên hằng số, và thay đổi biến phụ thuộc dùng kiến thức về
hàm bù.
Tuy nhiên, vì phƣơng pháp này cũng đƣợc áp dụng cho các phƣơng
trình với hệ số là biến số, ta sẽ thảo luận về chúng trong phần 1.2.
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình

d2y
dy


2
 y  ex.
2
dx
dx
Lời giải
Ta thấy:
f  x  ex

Suy ra nghiệm riêng sẽ có dạng:
y p  x   be x .

Tuy nhiên, phƣơng trình này có hàm bù là:
yc  x    c1  c2 x  e x

Trong hàm bù có chứa e x , xe x .
Ta cần nhân be x với bội số nguyên nhỏ nhất của x sao cho kết quả
không xuất hiện trong yc  x  .
Do đó ta có:
y p  x   bx 2e x .

Thế vào phƣơng trình vi phân, ta đƣợc:
b 1 2

Vậy nên nghiệm riêng có dạng:
x 2e x
yp  x 
.
2

12


Phƣơng pháp giải: Nếu vế phải của phƣơng trình vi phân chỉ chứa các
hàm f  x  có dạng đặc biệt đã đề cập ở phần đầu của tiểu mục này thì thay thế
các hàm cơ sở thích hợp cho y p  x  , từ đó cố định tham số bất định .
Tuy nhiên, nếu vế phải của phƣơng trình không theo các dạng đặc biệt
này thì một trong các phƣơng pháp tổng quát là phƣơng pháp biến thiên tham
số.
1.1.3. Cấu trúc nghiệm tổng quát
Nhƣ đã nói ở phần trƣớc, các nghiệm tổng quát của phƣơng trình vi
phân (1.1) đƣợc tìm thấy bằng cách lấy tổng hàm bù và bất kỳ nghiệm riêng
nào.
Để minh hoạ thêm các tài liệu thảo luận trong hai phần 1.1.1 và 1.1.2,
ta sẽ bắt đầu từ việc tìm nghiệm tổng quát cho ví dụ mới.
Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình

d2y
 4 y  x 2 sin 2 x.
2
dx

(1.9)

Lời giải
Đặt vế phải bằng 0 và đặt y  Ae x .
Thay vào (1.9) ta đƣợc phƣơng trình đặc trƣng

 2  4  0    2i

(1.10)

Do đó hàm bù đƣợc tính bằng cách lấy

y  c1e2ix  c2e2ix  d1 cos2 x  d2 sin 2 x.
Bây giờ ta đi tính nghiệm riêng y p  x  .
Do f  x   x 2 sin 2 x  f1  x  . f 2  x  trong đó

f1  x   x 2
f 2  x   sin 2 x

13

(1.11)


Theo cách phân loại những dạng đặc biệt của hàm cơ sở trong phần
1.1.2 thì ta có:
y1  x   b0  b1 x  b2 x 2 ,

y2  x   a1 sin 2 x  a2 cos2 x.
Nhƣ vậy n riêng sẽ có dạng:

 ax

2

 bx  c  sin 2 x   dx 2  ex  f  cos 2 x.

(1.12)

Tuy nhiên, ta thấy hàm cơ sở này chứa đựng số hạng sin2x và cos2x, cả
hai số hạng này đều đã xuất hiện trong hàm bù (1.11).
Do đó chúng ta phải nhân (1.12) với bội số nguyên nhỏ nhất của x để
bảo đảm rằng không một số hạng nào xuất hiện trong yc  x  .
Vậy nên ta nhân (1.12) với x, từ đó rút ra hàm cơ sở

 ax

3

 bx 2  cx  sin 2 x   dx3  ex 2  fx  cos 2 x.

(1.13)

Thay vào (1.9) để cố định các hằng số xuất hiện trong (1.13), ta tìm
đƣợc nghiệm riêng
x3
x2
x
y p  x    cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x.
12
16
32

(1.14)

Vậy nghiệm tổng quát của (1.9) là
y  x   yc  x   y p  x 

x3
x2
x
 y  x   d1 cos 2 x  d 2 sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x .
12
16
32
1.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính với hệ số là biến số.
Không có phƣơng pháp tổng quát để giải phƣơng trình có hệ số là biến
số. Tuy nhiên, có một số trƣờng hợp phƣơng trình có nghiệm duy nhất là có
thể.

14


Một số phƣơng pháp thảo luận trong phần này cũng rất hữu ích trong
việc tìm ra nghiệm tổng quát hoặc nghiệm riêng cho các phƣơng trình có hệ
số là hằng số đã đƣợc chứng minh không thể giải bằng các phƣơng pháp đã
thảo luận ở trên.
1.2.1. Phƣơng trình vi phân tuyến tính Legendre và Euler.
Phƣơng trình tuyến tính của Legendre có dạng

an  x   

n

dny
dy
 ...  a1  x     a0 y  f  x  .
n

dx
dx

(1.2.1)

Trong đó  ,  và an không đổi và có thể giải bằng phƣơng pháp thế

 x    et .
Ta có:

 dy
 dy dt dy


 dx dx dt  x   dt

 2
 d 2 y dy 
2
 d y  d dy 

 dx 2 dx dx  x   2  dt 2 dt 

Bởi vậy phƣơng trình cho đạo hàm cao hơn.
Ta có thể viết (1.2.1) nhƣ sau
dy
dy


x





,



dx
dt

2
  x   2 d y   2 d  d  1 y,
 2



dx
dt  dt 



n
n d y
 d


n d  d
 x    dx n   dt  dt  1 ... dt  n  1 y.


(1.2.2)

Thế (1.2.2) vào (1.2.1), phƣơng trình trở thành phƣơng trình vi phân
cấp cao với hệ số là hằng số
an n

dd

  1
dt  dt 

d

  n  1 y 
 dt


15

 a1

dy
 a0 y 
dt

 et  
f
 


,



phƣơng trình này có thể giải đƣợc bằng phƣơng pháp của 1.1.
Trƣờng hợp đặc biệt của phƣơng trình tuyến tính Legendre, với   1
và   0 là phƣơng trình Euler :

an x n

dny

dx n

 a1 x

dy
 a0 y  f  x  ,
dx

(1.2.3)

Phƣơng trình này có thể giải bằng cách tƣơng tự nhƣ trên bằng cách thế

x  et
Nếu trong (1.2.3) có:

f  x   0.
Thế y  x thì ta thu đƣợc phƣơng trình đặc trƣng.

Phƣơng trình đặc trƣng này có thể giải đƣợc.
Giả sử phƣơng trình đặc trƣng có n nghiệm thực khác nhau:

1, 2 ,..., n .
thì phƣơng trình Euler có n nghiệm độc lập tuyến tính:
ym  x m , m  1, n.

do đó nghiệm tổng quát có dạng:

y  c1x1  c2 x2 

 cn xn

Nếu phƣơng trình đặc trƣng có nghiệm bội, giả sử nghiệm 1 bội k (k >
1) thì khi đó k nghiệm độc lập tuyến tính tƣơng ứng với nghiệm này là
x 1 , x 1 ln x,..., x 1  ln x 

k 1

.

Ví dụ: Giải phƣơng trình

d2y
dy
x

x
 4 y  0.
dx 2

dx
2

bằng cả 2 phƣơng pháp trên.
Lời giải

16

(1.2.4)


Cách 1
Thế: x  et rồi rút gọn phƣơng trình cho et .
Ta thu đƣợc phƣơng trình với hệ số là hằng số nhƣ sau:

dd
dy

 4y  0
  1 y 
dt  dt 
dt



d2y
 4y  0
dt 2

(1.2.5)

Dùng các phƣơng pháp của phần 1.1 ta tìm đƣợc nghiệm tổng quát của
(1.2.5).
Do đó nghiệm của (1.2.4) tìm đƣợc là:

y  c1e2t  c2e2t  c1x 2  c2 x 2 .
Cách 2:
Ta có vế phải của (1.2.4) bằng 0.
Thay y  x vào (1.2.4) ta đƣợc:

    1   2  4  x  0
   2  4  x  0.

Phƣơng trình trên có 2 nghiệm:

  2,
Vậy nên nghiệm tổng quát là:

y  c1x2  c2 x 2 .
Phƣơng pháp giải: Nếu phƣơng trình vi phân cấp cao dạng Legendre
(1.2.1) thì thế  x    et . Sau đó ta thu đƣợc phƣơng trình tƣơng tự với hệ
số là hằng số có thể giải bằng phƣơng pháp của 1.1.
Nếu phƣơng trình vi phân bậc cao dạng Euler (1.2.3) có vế phải khác 0
thì ta thế x  et từ đó thu đƣợc phƣơng trình tƣơng tự với hệ số là hằng số.

17


Tuy nhiên, nếu f  x   0 trong (1.2.3) thì ta có thể giải phƣơng trình
bằng cách thế y  x . Từ đó suy ra phƣơng trình đại số có nghiệm trong giá

trị cho phép của  , nghiệm tổng quát là đồng chất tuyến tính của hàm này.
1.2.2. Phƣơng trình vi phân chính xác
Đôi khi một phƣơng trình vi phân có thể chỉ là đạo hàm đơn giản của
phƣơng trình vi phân cấp thấp hơn. Nếu phƣơng trình thuộc trƣờng hợp này
thì đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân chính xác.
Phƣơng trình vi phân tuyến tính bậc n có dạng
dny
an  x  n 
dx

 a1  x 

dy
 a0  x  y  f  x  .
dx

(1.2.6)

là phƣơng trình vi phân chính xác nếu vế trái có thể viết nhƣ đạo hàm đơn
giản:
an  x 

dny

dx n

 a1  x 

dy
d 

d n1 y
 a0  x  y  bn1  x  n1 
dx
dx 
dx


 b0  x  y  . (1.2.7)


Ta thấy để thỏa mãn (1.2.7) thì
a0  x   a1  x   a2  x  

  1 an
n

n

 x   0.

(1.2.8)

Trong đó dấu phẩy chỉ phép lấy vi phân với x .Nếu (1.2.8) thỏa mãn thì
phép lấy tích phân dẫn đến phƣơng trình vi phân bậc thấp hơn.
Nếu phƣơng trình này có thể giải thì ta có thể giải đƣợc phƣơng trình
ban đầu.
Nếu quá trình trên dẫn đến phƣơng trình chính xác thì việc phân tích có
thể lặp đi lặp lại để hạ bậc phƣơng trình đó.
Ví dụ: Giải phƣơng trình

1  x2 

d2y
dy

3
x
 y  1.
dx 2
dx

Lời giải

18

(1.2.9)


So sánh với (1.2.6) ta có

a2  1  x2 , a1  3x, a0  1
Dễ thấy:

a0  a1  a2  0.

Bởi vậy (1.2.9) có thể viết dƣới dạng:

d 
dy


b
x
 b0  x  y   1.


1

dx 
dx


(1.2.10)

Mở rộng vế trái của (1.2.10) ta tìm đƣợc
d  dy
d2y
dy

 b0 y   b1 2   b1  b0   b0 y.
 b1
dx  dx
dx
dx


(1.2.11)

b1  1  x2

Từ (1.2.10) và (1.2.11) ta có:

b1  b0  3x

b0  1

Lấy tích phân ta đƣợc:

b1  1  x2
b0   x

Nhƣ vậy (1.2.9) có thể viết nhƣ sau:

d 
dy

1  x 2   xy   1


dx 
dx


(1.2.12)

Lấy tích phân (1.2.12) ta đƣợc phƣơng trình tuyến tính cấp một

dy  x 
x  c1

y


,

dx  1  x 2 
1  x2
Phƣơng trình này có thể giải và nghiệm thu đƣợc có dạng:
y

c1 sin x1  c2
1  x2

 1.

Phƣơng pháp giải: Đối với phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp cao
dạng (1.2.6) để kiểm tra xem nó có chính xác hay không ta sử dụng phƣơng
trình (1.2.8). Nếu phƣơng trình chƣa chính xác thì nhân thêm một hàm bất kì

19