Chuỗi fourier và ứng dụng trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

CẤN THỊ LAN HƢƠNG

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2017

1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

CẤN THỊ LAN HƢƠNG

CHUỖI FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: TS.Nguyễn Huy Thảo

HÀ NỘI – 2017
2


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.Nguỹen Huy
Thảo, thầy đã định hƣớng cho tôi có những tƣ duy khoa học đúng đắn, tận tình chỉ bảo và
tạo rất nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình xây dựng và hoàn thiện đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trƣờng ĐHSPHN2 đã

giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong thời gian hoàn thành khoá luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Cấn Thị Lan Hƣơng

3


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng:

Khoa luận đề tài “Chuỗi Fourier và ứng dụng trong Vật lý” dƣới sự hƣớng dẫn của
TS.Nguyễn Huy Thảo có các nội dung và kết quả nghiên cứu hoàn toàn trung thực.
Mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện khoá luận đã đƣợc cảm ơn, các tài liệu tham
khảo đƣợc sử dụng đều đƣợc ghi rõ trong khoá luận.

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Cấn Thị Lan Hƣơng

4

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
NỘI DUNG
CHƯƠNGI: LÝ THUYẾT CHUỖI
1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi........................................................................................................... 9
1.1.1: Các định nghĩa................................................................................................................................. 9
1.1.2: Tính chất. ........................................................................................................................................ 9
1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ. ........................................................................................................................ 10
1.1.4: Chuỗi số dương. ............................................................................................................................ 10
1.2: Chuỗi lượng giác. ................................................................................................................................. 12
1.2.1: Định nghĩa. .................................................................................................................................... 12
1.2.2: Định lý. .......................................................................................................................................... 13

1.3: Chuỗi Fourier....................................................................................................................................... 14
1.3.1: Định nghĩa. .................................................................................................................................... 14
1.3.2: Định lý. .......................................................................................................................................... 15
1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier..................................................................................................... 16
1.3.4: Tính hội tụ Fourier. ....................................................................................................................... 17
1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier. ....................................................................................................... 17
1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. ............................................................................ 19
CHUỖI II: ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER
2.1: Ứng dụng trong Vật lý .......................................................................................................................... 28
2.1.1: Phương trình truyền nhiệt. ........................................................................................................... 28
2.1.2: Phương trình dao động của dây. .................................................................................................. 36
2.2: Ứng dụng của huỗi Fourier trong một số lĩnh vực khác. ..................................................................... 48

2.2.1: Tích chập và biến đổi Fourier ........................................................................................................ 48
2.2.2: Tuyến tính, tính bất biến............................................................................................................... 54
2.2.3: Xác định xung phản hồi và hàm chuyển của một hệ thống .......................................................... 58
2.2.4: Ứng dụng của tích chập- xử lý tín hiệu và bộ lọc .......................................................................... 63
2.2.5: Ứng dụng của tích chập- điều chỉnh biên độ và ghép tần số........................................................ 66
2.2.6: Ứng dụng của chuỗi Fourier trong âm nhạc. ................................................................................ 69
KẾT LUẬN
5


TÀI LIỆU THAM KHẢO

6


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Trong những năm đầu của thế kỷ thứ 19, nhà toán học ngƣời Pháp
Joseph Fourier trong nghiên cứu về sự dẫn nhiệt kết hợp với việc nghiên
cứu chuỗi lƣợng giác theo các công trình trƣớc đó của Euler, d’Alambert và
Bernoulli; ông đã phát hiện ra điều đáng chú ý của chuỗi lƣợng giác và đƣa
ra chuỗi đặc biệt mà hiện nay mang tên ông gọi là chuỗi Fourier. Chuỗi
Fourier ra đời tạo nền tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo ra
bƣớc tiến mới cho cả lý thuyết khoa học và ứng dụng thực tế.

Ngày nay, những nghiên cứu về chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng
trong các ngành khoa học nhƣ số học, xử lý tín hiệu, xác suất, hình học….
và đặc biệt trong vật lý với các bài toán về sự dao động và sự truyền nhiệt.
Việc ứng dụng chuỗi Fourier giúp giải quyết nhiều vấn đề mà trƣớc đây ta
chƣa làm đƣợc và giúp các ngành khoa học phát triển hơn.
Với mục đích tìm hiểu về ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng để làm
quen với nghiên cứu khoa học, chúng tôi đã chọn đề tài “chuỗi Fourier và
ứng dụng" để làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier.
Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học.
Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trƣờng sƣ

phạm Hà Nội II.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ, tính chất của các hệ số
Fourier.
Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier. Nghiên cứu
sâu hơn và chuỗi fourier.
Tìm hiểu và nghiên cứu của các ứng dụng của chuỗi Fourier.
4. Phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu về chuỗi Fourier và các ứng dụng nổi bật của chuỗi.
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phƣơng pháp nghiên cứu chủ yếu là:
-Sƣu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.

7


-Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hƣớng dẫn, qua đó tổng hợp
kiến thức và trình bày theo đề cƣơng nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và
hoàn thành khóa luận.
6. Đóng góp của đề tài.
Khóa luận trình bày đƣợc hệ thống kiến thức cơ sở đến mở rộng của
chuỗi Fourier. Cung cấp và làm sáng tỏ các ứng dụng của chuỗi Fourier.
7. Cấu trúc
Chương I: Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi và các kiến thức quan
trọng cần thiết về chuỗi Fourier.

Chương II: Trình bày về ứng dụng của chuỗi Fourier trong giải bài toán vật lý và
một vài ứng dụng trong các lĩnh vực khác.

8


NOI DUNG
CHƯỞNG I: LÝ THUÝE T CHUO I
1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi.
1.1.1: Các định nghĩa
 Định nghĩa 1:
Cho dãy số

Biểu thức:

(1.1)

đƣợc gọi là chuỗi số và đƣợc kí hiệu là ∑
của chuỗi số.

.Các số

là các số hạng

 Định nghĩa 2:

∑

Ta gọi

là tổng riêng thứ

ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết
Trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu không tồn tại
(1.1) đƣợc gọi là chuỗi phân kì.

của chuỗi số (1.1). Nếu

∑
hoặc

thì chuỗi số

 Định nghĩa 3:
Ta gọi
Nếu

là phần dƣ thứ
của chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì
khi

không dần tới một giới hạn hữu hạn khi
, thì chuỗi số phân kì.

1.1.2: Tính chất.
 Tính chất 1:
Nếu chuỗi số ∑
hội tụ và có tổng S thì chuỗi số ∑
cũng hội tụ và có tổng
 Tính chất 2:
9

trong đó

là hằng số


∑
Nếu các chuỗi số ∑
hội tụ và có tổng tƣơng ứng là I, J thì chuỗi số
∑
cũng hôi tụ và có tổng I+J.
 Tính chất 3:
Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng
đầu tiên.

1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ.
 Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy).
Chuỗi số ∑
hội tụ khi và chỉ khi mỗi số
|
dƣơng N sao cho:

cho trƣớc, tìm đƣợc số nguyên
|

 Tính chất:
Điều kiện cần để chuỗi ∑

hội tụ là

1.1.4: Chuỗi số dương.
 Định nghĩa 1:
Chuỗi số ∑

có các số hạng

với mọi

đƣợc gọi là chuỗi số dƣơng.

Các dấu hiệu hội tụ
 Định nghĩa 2:
Chuỗi số dƣơng ∑

hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của chuỗi bị chặn trên

 Định lý 1: (Dấu hiệu so sánh 1).
Cho hai chuỗi số dƣơng ∑
và ∑
chuỗi số ∑
hội tụ thì chuỗi số ∑

chuỗi số ∑
phân kì.

. Giả sử
,
hội tụ, nếu chuỗi số ∑

 Định lý 2: (Dấu hệu so sánh 2).
Cho hai chuỗi số dƣơng ∑

và ∑

. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hay phân kì.
10

. Khi đó nếu
phân kì thì


 Định lý 3: (Dấu hiệu tích phân Cauchy).
Giả sử là một hàm số liên tục trên khoảng [
với đủ lớn. Đặt

khi đó chuỗi số ∑

[

và

giảm

hội tụ nếu và chỉ nếu
∫

là hữu hạn.
1.1.5: Chuỗi đan dấu.
 Định nghĩa: Chuỗi số có dạng.
∑
hoặc
∑
gọi là chuỗi số đan dấu.

với

 Định lý: ( Định lý Leibniz)
Nếu chuỗi số đan dấu ∑

thoả mãn các điều kiện sau:

(i)
(ii)
thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng

.

1.1.6: Chuỗi số bất kì.
 Định nghĩa:
Chuỗi số ∑

đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∑
∑
hội tụ nhƣng ∑ | | phân kì.
11

|

| hội tụ, là bán hội tụ nếu


 Định lý 1:
hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó hội tụ và

Nếu chuỗi số ∑

|∑

|

∑|

|

 Định lý 2: ( Dấu hiệu D’Alembert)

Cho chuỗi số ∑

|

có

|
|

Khi đó

|

(i)
Nếu
thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
(ii)
Nếu
thì chuỗi phân kì.
(iii) Nếu
thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi.
 Định lý 3: (Dấu hiệu Cauchy)
Giả sử chuỗi số ∑
(i)

Nếu
(ii)
Nếu
(iii) Nếu
 Định lý 4:
Giả sử ∑

√|

Khi đó

|

thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
thì chuỗi phân kì.
thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi.

√|

là một chuỗi số với

(i)
Nếu
(ii)

Nếu
(iii) Nếu
 Định lý 5 :
Giả sử ∑

|

Khi đó

thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.
thì chuỗi phân kì.
thì chƣa thể nói gì về tính chất của chuỗi số.

là một dãy số thực

(i)

Nếu

(ii)

Nếu

|

|

thì chuỗi số đã cho hội tụ tuyệt đối.

|

thì chuỗi số đã cho phân kì.

|

|
|

|

|

1.2: Chuỗi lượng giác.
1.2.1: Định nghĩa.
 Định nghĩa 1: Chuỗi lƣợng giác là chuỗi hàm có dạng.
12


∑

(1.2)

Trong đó {

}{

} là hai dãy số thực.

Số hạng tổng quát

là một hàm số tuần hoàn chu kỳ

liên tục và khả vi mọi cấp.
1.2.2: Định lý.
 Định lý 1: Nếu các chuỗi số ∑
giác:

∑

hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lƣợng

∑
hội tụ đều trên R và tổng của chuỗi là một hàm liên tục trên R.

 Định lý 2:
Giả sử dãy {

}

} là hai dãy số giảm đến 0 khi

{

Khi đó, chuỗi lƣợng giác:

∑

hội tụ tại mọi điểm

và hội tụ đều trên mỗi đoạn

[

Do đó tổng chuỗi là một hàm số liên tục trên

],
 Định lý 4:

Nếu ∑

|

|

|

|

thì tổng

∑

của chuỗi lƣợng giác

(1.3)
nhận đƣợc bằng cách lấy đạo hàm từng

là một hàm số khả vi liên tục trên R và
hạng tử của chuỗi (1.3), tức là
∑
 Định lý 5:
13

Nếu chuỗi số ∑

∑

đều hội tụ tuyệt đối thì tổng

∑

của chuỗi lƣợng giác:
(1.5)

liên tục trên R và tổng của chuỗi lƣợng giác
∑(

)

nhận đƣợc nhờ lấy nguyên hàm từng hạng tử của chuỗi (1.5) là một nguyên hàm của
trên R.
1.3: Chuỗi Fourier
1.3.1: Định nghĩa.
 Định nghĩa 1:
Hàm số
hoạch

xác định trên đoạn [

của đoạn [

] gọi là liên tục từng khúc nếu tồn tại một phép phân

] có tính chất:Với mỗi , hàm số

liên tục trên khoảng

,

có giới hạn phải hữu hạn tại điểm
và giới hạn trái tại điểm
Nói cách
] nếu chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn
khác, là liên tục từng khúc trên đoạn [
loại I và liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn..
 Định nghĩa 2:
Giả sử là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ
mỗi đoạn bị chặn . Chuỗi lƣợng giác:
∑
trong đó các hệ số đƣợc cho bởi công thức:

∫
∫
14

, liên tục từng khúc trên


gọi là chuỗi Fouriercủa hàm số
đƣợc gọi là các hệ số Fourier của . Các
công thức tính
đƣợc gọi là công thức Euler.
Vì

nên nhờ một phép biến đổi biến số, dễ dàng

là một hàm số tuần hoàn chu kỳ

chứng minh đƣợc:

∫
∫

Đặc biệt ta có:
∫

nếu là một hàm số chẵn thì
hàm số lẻ. Do đó:

là những hàm số chẵn và

là những

∫
Vì thế chuỗi Fourier của

có dạng:

∑

Tƣơng tự, nếu là một hàm số lẻ thì
những hàm số chẵn. Do đó.

là những hàm số lẻ và

∫
Khi đó chuỗi Fourier của

có dạng:
∑

1.3.2: Định lý.
Giả sử là một hàm số tuần hoàn với chu kì
15

Giả sử chuỗi lƣợng giác:

là


∑
Hội tụ đều trên đoạn [

] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là

. Khi đó ta có:

∫

∫

∫
1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier.
 Định lý 1:

Cho
Nếu

là hàm số với bình phƣơng khả tích trên đoạn [
là tổng Fourier bậc

của

∫ [

]

thì:

]

∫ [

]

trong đó minium ở vế phải lấy theo mọi đa thức lƣợng giác
Nếu
đây:

là các hệ số Fourier của

∑

có bậc không quá

thì ta có bất đẳng thức Bessel sau

∫

 Định lý 2:
Nếu là hàm liên tục trên đoạn [

thì các hệ số Fourier

] và nhận cùng một giá trị ở hai đầu mút của đoạn
của thoả mãn đẳng thức sau:

∫

∑

(đẳng thức Parseval)
16

1.3.4: Tính hội tụ Fourier.
Không phải khi nào chuỗi Fourier của hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, nên ta dùng
biểu thức:
∑
để biểu thị rằng hàm

có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải.

 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier
Cho hàm tuần hoàn với chu kì , bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì. Khi
đó chuỗi Fourier của hàm hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng

tại mọi điểm mà
hàm liên tục. Tại những điểm mà hàm không liên tục, tổng chuỗi Fourier hội tụ về
giá trị

[

]

trong đó:

1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier.
Sử dụng công thức biểu diễn hàm lƣợng giác thông qua số phức:

và

Ta có thể viết lại khai triển Fourier dƣới dạng:
∑[

]

Đặt

ta có:

17


∑
Lƣu ý rằng

, ta có
∫

∫

∫

∫
Do vậy công thức trên có thể viết lại thành:
∑

∫

Công thức này đƣợc gọi là dạng phức của chuỗi Fourier.
 Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì
Với

khả tích trên đoạn [

]. Đối với hàm này ta lập đƣợc chuỗi Fourier
∑

trong đó
∫

{

.

∫

Ta sử dụng đẳng thức Euler liên hệ các hàm lƣợng giác với hàm mũ

18


Suy ra
Ta có thể viết

Thay vào (1.9) ta đƣợc
∑(

)

Nếu đặt
tổng riêng thứ

(1.11)
của chuỗi (1.10), tức là của cả chuỗi (1.9), có thể viết là:
∑

∑

Ta có cách viết.

∑
Dạng phức của chuỗi Fourier của hàm
1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.
 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số.
Cho chuỗi lƣợng giác:
∑
] Nếu chuỗi (1.12) hội tụ và hội tụ đến tổng
là chuỗi Fourier của
trên đoạn [
] Đồng thời
chính là
thì ta nói rằng

khai triển thành Fourier trên đoạn [
viết

19


∑
 Khai triển Fourier tổng quát
Khai triển một hàm tuần hoàn trong khoảng[
Hàm
đƣợc gọi hàm liên tục từng khúc trong [
]

số hữu hạn các khoảng con [

sao cho hàm liên tục trên mỗi khoảng mở
giới hạn một phía:

].
] nếu [

] có thể chia thành một

và tồn tại các giá trị hữu hạn của các

tại các đầu khoảng con.
Nói cách khác, khi đó trong mỗi khoảng con
hàm có thể thác triển liên tục đƣợc
]
lên các đầu
của khoảng thành hàm liên tục trong mỗi khoảng con đóng [
đó. Nếu các đầu khoảng
đó là các điểm gián đoạn của hàm
thì chúng chỉ có
thể là các điểm gián đoạn loại một. Ta không quan tâm tới giá trị của hàm tại chính các
đầu khoảng con
Chúng có thể xác định với giá trị tuỳ ý hoặc không xác định, và điều

đó không ảnh hƣởng gì đến các giá trị của các hệ số Fourier của
 Định nghĩa:
Hàm
đƣợc gọi là hàm khả vi từng khúc trên đoạn [
] và trong mỗi khoảng con mở
từng khúc trong [
tồn tại các giá trị giới hạn hữu hạn:

] nếu
hàm

là hàm liên tục

khả vi, đồng thời

Nói cách khác, hàm
sau khi đã thác triển liên tục trong khoảng
khoảng thì hàm đã thác triển này là hàm khả vi trong khoảng đóng [

lên hai đầu

Ta có định lý khai triển sau:
 Định lý Dirichlet.
20

]


là hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu kì
]

Giả sử hàm
khúc trong [

Khi đó, chuỗi Fourier của hàm hội tụ trong toàn khoảng [

với mọi

[

, khả vi từng

] và tổng bằng

].

Ta thừa nhận định lý trên
Nếu

là điểm liên tục của hàm

thì:

Do đó

Nhƣ vậy chuỗi Fourier của hàm khả vi từng khúc tại những điểm liên tục của hàm, hội tụ
về chính giá trị của hàm ấy. Còn tại những điểm gián đoạn của hàm thì hội tụ về giá trị
trung bình cộng của các giá trị giới hạn bên phải và bên trái của hàm.
Chú ý: Nếu
là hàm lẻ, nghĩa là
những từ gồm toàn các hàm

, vì khi đó
đều bằng 0.

thì chuỗi Fourier của hàm chứa
là một hàm lẻ và mọi hệ số

∫
Khai triển một hàm không tuần hoàn trong [
Xét hàm
khúc.

].

không tuần hoàn và giả thiết rằng trong khoảng [

Ta thành lập một cách hình thức chuỗi

trong đó các hệ số

đƣợc tính theo công thức Euler.

21

] hàm khả vi từng

∫

∫
Chuỗi (1.13) vẫn đƣợc gọi là chuỗi Fourier của hàm
Để xét xem chuỗi có hội tụ về

hay không, ta xây dựng hàm

trong khoảng [

sao cho

] trùng với hàm
[

Còn ngoài khoảng trên thì lặp lại một cách tuần hoàn với chu kì
cũng là chuỗi Fourier của hàm
Theo kết quả đã xét ở trên, thì tại mọi
chỉ khi

[

chuỗi (1.13) hội tụ về

[

].

của

Vậy nếu
là hàm không lặp lại tuần hoàn với chu kì
[
] thì chuỗi Fourier của hàm:

hội tụ về
hội tụ về
hội tụ về

Do

] nên ta có
khi

Do tính tuần hoàn với chu kì

Vậy chuỗi (1.13)

[

].

Khai triển một hàm xác định trong khoảng [

22

]

, khả vi từng khúc trong

] Nếu [
] [
] thì theo định lý khai
Giả sử
là hàm khả vi từng khúc [
triển hàm
khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier và chuỗi đó là duy nhất vì các hệ số
của hàm hoàn toàn đƣợc xác định bởi công thức Euler.
Ta xét hai trƣờng hợp [
a, Trƣờng hợp [

]

[

]

] thực sự nằm trong [

]

] [

]
Trƣờng hợp này là trƣờng hợp [
Xét hàm
tuần
] sao cho trong [
] thì trùng với
hoàn với chu kỳ
, khả vi từng khúc trong [
] thì hoàn toàn tuỳ ý.
hàm
còn trong [
Ta khai triển

Trong [

] vì

thành chuỗi Fourier thì chuỗi này có tổng là:

nên ta có:

] (x) có thể chọn tuỳ ý, mỗi cách chọn cho ta một chuỗi Fourier (1.14)
Vì ngoài [
khác nhau, nên ta có vô số chuỗi nhƣ vậy. Vậy nếu hàm

khả vi từng khúc trong
[
] sao cho [
] [
]
thì có vô số chuỗi Fourier dạng:

hội tụ về
[
Trong đó, các hệ số

đƣợc tính bởi công thức:

∫

∫
23

]


Ở đây,
[
]

là một hàm bất kì, khả vi từng khúc trong [

b, Trƣờng hợp [
Đây là trƣờng hợp [

] thực sự nằm trong [
]

[

] và trùng với

trong

]

]

] thì chuỗi này cũng là chuỗi Fourier của
Xét chuỗi Fourier của hàm
trong [
] trùng với
hàm
tuần hoàn với chu kì

và trong [
Ngoài khoảng [

] nếu

thì chuỗi hội tụ về

chứ không

hội tụ về
Do vậy, trong trƣờng hợp
Fourier dạng

hội tụ trong toàn khoảng [

không lặp lại tuần hoàn với chu kì

] tới

mà ta tìm chuỗi

thì bài toán vô nghiệm.

Khai triển chẵn, lẻ của một hàm.

] Theo mục ở trên, ta có thể khai
Giả sử
là hàm khả vi từng khúc trong đoạn [
] thành hàm
triển
ra toàn khoảng [
và có vô số cách khai triển nhƣ vậy.
Trong đó, có hai cách khai triển đặc biệt đƣợc gọi là khai triển chẵn và khai triển lẻ.
-

Khai triển chẵn là khai triển sao cho hàm

thu đƣợc là hàm chẵn.

Khi đó trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng cosin, tức là:
[

∑
trong đó
∫

∫

∫

24

]


-

thu đƣợc là một hàm lẻ.

Khai triển lẻ là cách khai triển sao cho hàm

Khi đó, trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng sin, tức là:
[

∑

]

trong đó:
∫

∫

∫

Dạng khai triển Fourier trong [

]

khả vi từng khúc trong [
]
ra ngoài khoảng [

Giả sử
với chu kì

] ta khai triển một cách tuần hoàn hàm

Ta có
Ta biến đổi với biến mới

Khi đó, với

[

]

sao cho

[

] và
(

Hàm

có chu kỳ

nên hàm

)

có chu kì

] nên có thể khai triển đƣợc thành chuỗi

Hàm
khả vi từng khúc trong [
]
Fourier trong [
∑

Khi đó, ta có khai triển của

trong [

.

]

25