Đại số tuyến tính ma trận tích phân Chương 3 Tích phân Mặt

Chương 3:
TÍCH PHÂN MẶT


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

-

LOẠI I

TP MẶT

-

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

-

Tính chất
Phương pháp tính
Các ví dụ

Khái niệm

LOẠI II

Định nghĩa

Mặt trơn
Mặt định hướng

Tích phân mặt loại 2
Phương pháp tính
Ví dụ


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
 

3.1. Định nghĩa:

-

Xét hàm

-

Chia S thành n mặt con không chồng lên nhau.

-

Gọi diện tích và đường kính của mặt thứ i lần lượt là di và , với

-

Lấy tùy ý

-

Lập tổng tích phân :

 

xác định trên mặt cong S

 

 

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
 

3.1. Định nghĩa:

-

nếu giới hạn :

tồn tại hữu hạn,

không phụ thuộc vào cách chia S và cách chọn Mi

thì I được gọi là tích phân loại I của f(x,y,z) trên S. Kí hiệu :

I = ∫ ∫f ( x, y, z )dS
S

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
3.2. Tính chất: (tương tự tích phân đường)

-

Nếu f, g khả tích trên S thì kf+g cũng khả tích trên S:
 

 

-

Nếu S được chia thành 2 phần S = S1 + S2 thì:

 

Diện tích mặt S:

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
3.3. Cách tính:
theo nguyên tắc:

dựa vào pt của mặt cong lấy tích phân

z = z ( x, y )

a/ Trường hợp S có pt

(chiếu S lên Oxy)

Dxy

Giả sử S có hình chiếu lên mp Oxy là

Khi đó

I=

∫

Dxy

0

2
2
f
[
x
,
y
,
z
(
x

,
y
)]
1
+
(
z
'
)
+
(
z
'
)
dxdy
x
y
∫

x = x( y, z )

b/ Trường hợp S có pt
tương tự, ta có:

và diện tích của Dxy là khác

(chiếu S lên Oyz)

I = ∫ ∫f [ x( y, z ), y, z )] 1 + ( x' y ) 2 + ( x' z ) 2 dydz
D yz

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
3.3. Cách tính:

y = y ( x, z )

c/ Trường hợp S có pt

(chiếu S lên Oxz)

Ta có

I = ∫ ∫f [ x, y ( x, z ), z ] 1 + ( y ' x ) 2 + ( y ' z ) 2 dxdz
Dxz

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
3.4. Ví dụ:
a. Vd 1: Tính

I = ∫ ∫zdS

z = x2 + y 2

với S là phần mặt nón

S

z=2

nằm dưới mp
Hình chiếu của S xuống mp Oxy là

Dxy = prjOxy S : x 2 + y 2 = 4
z'x =

Và đồng thời

và

z' y =

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

2x
2 x +y
2

2

2y
2 x2 + y2

=

=

x
x2 + y2

y
x2 + y2


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

⇒I=

∫∫

x2 + y 2 ≤4

x +y
2

2

2

2

x
y
1+ 2
+ 2

dxdy
2
2
x +y
x +y
=

∫∫

x 2 + y 2 ( 2 )dxdy

x 2 + y 2 ≤4

=

2π

2

0

0

2 ∫ dϕ ∫ r 2 dr

8
= ⋅ 2 2π
3

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
b. Vd 2: tính

I = ∫∫ xyzds
S

S là các mặt hình lập phương

0 ≤ x ≤1 0 ≤ y ≤1 0 ≤ z ≤1
Do S là 6 mặt của hình lập phương, nhưng xyz = 0 trên 3 mặt nằm trên
3 mặt phẳng tọa độ (xy, yz, xz) nên ta chỉ cần tích phân trên các mặt (a),
(b), (c) trên hình :

∫∫ xyzds = ∫∫ xyzds + ∫∫ xyzds + ∫∫ xyzds
S

a

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

b

c


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
Mặt (a) z=1; D: hình vuông

0 ≤ x, y ≤ 1

Trong mặt xy, nên
1 1

1
xydxdy = ∫ ∫ xydxdy =
∫∫a xyzds = ∫∫
4
D
0 0

1
= ∫∫ =
∫∫
4
b
c

Tương tự ta có:

Vậy

3
I=
4

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
c. Vd 3:

Tính

I =∫

S

x
∫x 2 + y 2 dS

, với S là 1/8 mặt cầu

x2 + y2 + z 2 = 4

x≤0

trong góc

y≤0
Hình chiếu của mặt cầu lên mp Oxy là
1/4 hình tròn

Dxy = prjOxy S

Pt của S lúc này là

z = − 4 − x2 − y2

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

z≤0


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
Suy ra

x

z'x =

4− x − y
2

z' y =

và

2

x
⇒I= ∫ ∫ 2
2
x
+
y
x 2 + y 2 ≤4
3π / 2

r cos ϕ
= ∫ dϕ ∫
2
r
π
0

=

3π / 2

2

2

∫π cos ϕdϕ 2∫
0

1
4 − r2

đặt

dr = −

∫
0

4 − x2 − y2

4
dxdy
2
2
4− x − y

4
rdr
2
4−r
π /2

y

2 cos tdt
1 − sin2 t

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

r = 2 sin t
π /2

= −2 ∫ dt = −π
0


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT
TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2

I.

 

Khái niệm

1. Mặt trơn.
Xem mặt cong S là tập hợp các điểm M(x,y,z) thỏa phương trình F(x,y,z)=0.
Mặt S gọi là mặt trơn khi và chỉ khi hàm F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục và
không đồng thời bằng 0, hay vector Gradien F(x,y,z)=(F’x ,F’y ,F’z) liên tục
khác 0 trên mặt S.

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

I.

Khái niệm

2.

Mặt hai phía.
Cho mặt cong S có biên là đường cong kín C.
Di chuyển pháp vector của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong tùy ý
không cắt biên C. Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, pháp vector không đổi chiều thì
mặt cong S được gọi là mặt hai phía.
Trong trường hợp ngược lại ,pháp vector đổi chiều thì mặt cong S được gọi là
mặt một phía.

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

I.

Khái niệm

2.

Mặt hai phía.
Ví dụ: Mặt tờ giấy,mặt quả cầu,mặt bàn ,mặt nón …là những mặt 2 phía

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

I.

Khái niệm

2.

Mặt hai phía.
Ví dụ: Mặt sau đây là mặt một phía.

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

I.

Khái niệm

2.

Mặt hai phía.

2

2

2

2

Ví dụ: Xét mặt cầu: x + y + z = a

(a>0)

 

Xét các điểm M thuộc phía ngoài của mặt cầu:

-

Đối với nửa mặt cầu trên: Hướng chứa (M) là hướng
dương.

-

Ngược lại là hướng âm.

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

I.

Khái niệm

3.

Mặt định hướng.
Nếu trên mặt S ta quy ước một phía là dương, phía còn lại là âm thì
mặt S được gọi là mặt định hướng.

CHÚ Ý: pháp vector của mặt định hướng luôn được chọn theo quy
tắc sau:
Khi đứng lên phía dương của mặt định hướng thì pháp vector đi từ chân
lên đầu.

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II.
 

Tích phân mặt loại hai.
Cho các hàm P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định trên mặt định hướng S với vector pháp đơn
vị =(). Tích phân:

Được gọi là tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R trên mặt định hướng S. Tích phân trên
được kí hiệu:

Tính chất: Tính phân đổi dấu khi ta đổi hướng của mặt Oxy

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II.
 

Tích phân mặt loại hai.
Phương pháp tính: Việc tính tích phân mặt loại hai được đưa về tính tích phân kép
theo biến số phụ thuộc vào phương trình mặt cong lấy tích phân và hướng mặt cong.

Khi z=z(x, y)

D: Hình chiếu của S xuống mặt phẳng

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II.
 

Tích phân mặt loại hai.
Khi y=y(x, z)

D: Hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxz.
Khi x=x(y, z)

D: Hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oyz

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II.
 

Tích phân mặt loại hai.
Ví dụ 1: Tính trong các trường hợp:

Hướng
x 2 +“+”y 2 + z 2 = a 2

z ≥ 0

TH1: S là nửa mặt cầu:

 

Ta có pt của S là

x2 + y 2 ≤ a2
Dxy : 
z = 0

Do vậy, hình chiếu của S xuống mp Oxy là

⇒I =

∫ ∫

a 2 − x 2 − y 2 dxdy

D xy

=

2π

a

0

0

∫ dϕ ∫

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

a 2 − r 2 rdr


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II.

Tích phân mặt loại hai.

2

2

2

TH2: S là mặt cầu: x + y + z = a

S1
Lúc này, ta gọi

Do vậy,

S2
S1 có pt
S2 có pt

2

(a>0) lấy theo phía ngoài.

là nửa mặt cầu trên, ứng với z > 0
là nửa mặt cầu dưới, ứng với z < 0

z=

a2 − x2 − y2

z = − a2 − x2 − y2

 có hướng “+”
 có hướng “-”

Đồng thời, hình chiếu của S1 và S2 xuống mp Oxy đều là hình tròn

Dxy

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM

x2 + y 2 ≤ a2
=
z = 0


CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT

II.

Tích phân mặt loại hai.

Suy ra,

I =∫

S1

=∫

Dxy

∫ +∫ ∫
S2

∫

= 2∫

Dxy

a 2 − x 2 − y 2 dxdy − ∫ ∫− a 2 − x 2 − y 2 dxdy
Dxy

∫

a 2 − x 2 − y 2 dxdy

2π

a

0

0

= 2 ∫ dϕ ∫ a 2 − r 2 rdr

Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM