Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong chương hình học lớp 10 cơ bản

Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

I . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Khi dạy bài “ Phương trình đường thẳng” trong chương trình hình học lớp
10 cơ bản, tôi thấy cách chứng minh “Công thức tính khoảng từ một điểm
đến một đường thẳng” ớ sách cơ bản hay hơn sách nâng cao.Trong quá trình
chứng minh công thức sách giáo khoa đã đưa ra một số kết quả quan trọng
không kém gì công thức tính khoảng cách, nhưng rất ít người nghĩ đến việc
sử dụng các kết quả này.Tôi đã và xem các kết quả đó như các công thức để
giải toán, khai thác các công thức, nhờ đó giúp cho học sinh có thêm các
phương pháp giải toán đơn giản và dễ hiểu.
II . NỘI DUNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình
ax + by + c = 0 và điểm M0(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường ∆ ,
kí hiệu là d(M0, ∆ ), được tính bởi công thức d(M0, ∆ ) =

ax 0 + by0 + c
a 2 + b2

.

A/ Tóm tắt chứng minh công thức của SGK:
Sách giáo khoa đã viết rất đầy đủ theo lược đồ sau:
1. Ký hiệu d(M0, ∆ ).
2. Chỉ ra d(M0, ∆ ) = M0H, với H là hình chiếu của điểm M0 trên ∆ .
3. Cách tìm hình chiếu H = ∆ ∩ d ,với d là đường thẳng đi qua M0 và
vuông góc với ∆ .
r
 x = x0 + at
, với n(a; b) là vtpt của ∆ .

 y = y0 + bt

+ Viết ptts của đường thằng d: 

+ Tọa độ giao điểm H ứng với giá trị tH của pt:
a ( x0 + at H ) + b( y0 + bt H ) + c = 0

.

ax 0 + by0 + c
.
a2 + b2
+ Điểm H = ( x0 + atH ; y0 + bt H )

+ Được t H = −

4. d(M0, ∆ ) = M0H = (a 2 + b 2 )tH2 =
5. Kết luận: d(M0, ∆ ) =

ax 0 + by0 + c
a 2 + b2

ax 0 + by0 + c
a 2 + b2

.

.

B/ Các kết quả cần được chốt lại thành công thức

Dựa trên các kết quả đã đưa ra, tôi chốt lại bốn công thức để áp dụng:
ax 0 + by0 + c (1)
.
a 2 + b2
. H = ( x0 + atH ; y0 + bt H )
uuuuur
r
. M 0 H = t H n (3).

. tH = −

(2)

.

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
1


Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

. d(M0, ∆ ) =

ax 0 + by0 + c
a +b
2

(4)

2

.

Các công thức trên sẽ giúp cho học sinh giái quyết một loạt các bài toán
phức tạp trở thành rất đơn giản và dễ hiểu.
C/ Cách áp dụng các công thức trên trong việc giải toán
Bài toán 1: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng bằng cách
áp dụng công thức.
 x = 3t
,và điểm M(1;-2).
 y = 5 + 4t

VD 1: Trong mp tọa độ Oxy,cho đường thẳng ∆ : 

1) Tính d(M, ∆ )? Tính d(O, ∆ )?
2) Tính d(M,Ox)? Tính d(M,Oy)?
3) Chứng tỏ rằng đường thẳng ∆ // ∆ ’: 8x – 6y + 2 = 0. Tính d( ∆, ∆ ' )?
Giải: PTTQ của đường thẳng ∆ : 4 x − 3 y − 15 = 0 .
1) Áp dụng công thức (4) ta có:d(M, ∆ ) =
4.0 − 3.o − 15

Và d(O, ∆ ) =

42 + (−3) 2

=

4.1 − 3 ( −2 ) − 15

42 + (−3) 2

= 1.

−15
=3.
5

Vậy d(M, ∆ ) = 1 và d(MO, ∆ ) = 3.
2) .Ta có PTTQ của trục Ox là : y = 0.Áp dụng công thức (4) ta có:
d(M,Ox) = −2 = 2 .
. Ta có PTTQ của trục Oy là: x = 0. Áp dụng công thức (4) ta có:
d(M,Oy) = 1 = 1 .
Vậy d(M,Ox) = 2 và d(M,Oy) = 1.
4 −3 −15
=
≠
. Và điểm A(0;5) ∈ ∆ .
8 −6
2
8.0 − 6.5 + 2 −28 28
=
=
Do đó d( ∆, ∆ ' )= d(A, ∆ ' )=
10
10
82 + (−6) 2

3) Nhận thấy ∆ / / ∆ ' vì

Nhận xét:
a) Các trường hợp đặc biệt của công thức (4):
* d(O, ∆ ) =

c

a 2 + b2
* d(M0,Ox) = y0 .

.

*

d(M0,Oy) = x0 .
b) Nếu ∆ / / ∆ ' thì d( ∆, ∆ ' )= d(A, ∆ ' )= d(B, ∆ ), với A∈ ∆ và B ∈ ∆ ' .

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
2


Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

Bài toán 2: Xét vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng.
Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và điểm
A(x1r;y1). Nếu A’ là hình chiếu của
uuuur
A trên ∆ , áp dụng công thức (3) ta có: AA ' = t A ' .n .
Áp dụng công thức (1) lại có: t A ' = −

ax1 + by1 + c
.
a 2 + b2

Tương tự nếu có điểm B(x2;y2) với B’ là hình chiếu của B trên ∆ , ta cũng có:
ax 2 + by2 + c
.
a 2 + b2
Nhận thấy: - Nếu t A ' .t B ' p 0 thì A và B nằm khác phía nhau đối với ∆ .
- Nếu t A ' .t B ' f 0 thì A và B nằm cùng phía đối với ∆ .
Suy ra: - Nếu (ax1 + by1 + c) (ax 2 + by2 + c) < 0 thì A và B nằm khác phía nhau
tB ' = −

đối với ∆ .
- Nếu (ax1 + by1 + c) (ax 2 + by2 + c) > 0 thì A và B nằm cùng phía đối với ∆ .
Nhận xét: Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và hai điểm A(x1;y1), B(x2;y2).
-Nếu (ax1 + by1 + c) (ax 2 + by2 + c) < 0 thì A và B nằm khác phía nhau đối với ∆ .
-Nếu (ax1 + by1 + c) (ax 2 + by2 + c) > 0 thì A và B nằm cùng phía đối với ∆ .
VD 2:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : 3x + 4 y − 5 = 0 và hai
điểm A(-1;5), B(1;-3).
a) Chứng tỏ rằng 2 điểm A,B nằm về hai phía của đường thẳng ∆ .
b) Chứng tỏ rằng 2 điểm O, B nằm về cùng một phía của đường thẳng ∆ .
Giải: a) Nhận thấy 3 ( −1) + 4.5 − 5  3.1 + 4 ( −3) − 5  < 0 , do đó A và B nằm về
hai phía của đường thẳng ∆ .
b) Nhận thấy ( 3.0 + 4.0 − 5 ) 3.1 + 4 ( −3) − 5 > 0 , do đó O và B nằm về cùng
một phía của đường thẳng ∆ .
Bài toán 3: Tìm hình chiếu của một điểm M(x0;y0) trên một đường thẳng
∆ : ax + by + c = 0 và tìm điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ .
1/ Cách tìm hình chiếu:

Ngoài cách tìm như SGK đã trình bày còn cách tìm khác bằng cách áp
dụng các công thức (1) và (2) ở trên.
Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆ . Áp dụng công thức
(2) ta có tọa độ điểm H = ( x0 + atH ; y0 + bt H ) .
Áp dụng công thức (1) ta có t H = −

ax 0 + by0 + c
.
a 2 + b2

2/ Cách tìm điểm đối xứng: Gọi M’là điểm đối xứng của M qua ∆ .
Cách 1: - Tìm hình chiếu H.
- H là trung điểm MM’.
uuuuur
uuuur
r
r
Cách 2: Áp dụng công thức (3) ta có: MM ' = 2MH = 2tH n , với n(a; b) .
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
3


Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

Áp dụng công thức (1) ta có t H = −

ax 0 + by0 + c
.

a 2 + b2

VD 3:Trong mp tọa độ Oxy cho điểm M(-2;1) và đường thẳng

∆ : 3x - 4y − 5 = 0 .

a) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆ .
b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng ∆ .
Giải:
a) Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆ . Áp dụng công (2)
ta có tọa độ điểm H = ( −2 + 3t H ;1 − 4tH ) .
3(-2) - 4.1- 5

3

Mặt khác theo công thức (1) ta có t H = − 32 + (−4)2 = 5
3
3

 1 7
Do đó tọa độ điểm H =  −2 + 3. ;1 − 4. ÷⇒ H  − ; − ÷


5

5

 5

5

b)Cách 1: Theo trên ta có H là trung điểm của MM’, suy ra tọa độ điểm M’:
8

x
=
2
x
−
x
=
M
'
H
M

8 19
5
⇒ M '( ; − ) .

5 5
 y = 2 x − y = − 19
H
M
 M '
5
uuuuur
uuuur
r
r

Cách 2: Theo công thức (3) ta có MM ' = 2MH = 2tH n , với n = (3; −4) .
3(-2) - 4.1- 5 3
Và theo công thức (1) ta có t H = − 32 + (−4)2 = 5
uuuuur  18 24 
Do đó ta có MM ' =  ; − ÷. Suy ra tọa độ điểm M’:
5 
5
18
18
8

 xM ' = 5 + xM = 5 − 2 = 5

 y = − 24 + y = − 24 + 1 = − 19
M
 M '
5
5
5
8 19
Vậy điểm M '( ; − ) .
5 5

Bài toán 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cho trước.
1/ Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường song song
∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : ax + by + c ' = 0 , ( c ≠ c ' )
Phương pháp giải:
Gọi điểm M(x;y) cách đều hai đường thẳng. Áp dụng công thức (4) ta có:
d(M, ∆ )= d(M, ∆ ' ) ⇔

ax + by + c
a 2 + b2

=

ax + by + c '
a 2 + b2

⇔ ax + by + c = ±(ax + by + c ') ⇔ ax + by +

c +c'
=0
2

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
4


Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đường song song ∆ : ax + by + c = 0
và ∆ ' : ax + by + c ' = 0 ( c ≠ c ' ) là một đường thẳng song song với hai đường
thẳng cho trước có phương trình là: ax + by +

c+c'
=0.
2

2/ Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau
Ta có tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng cắt nhau là đường thẳng
phân giác của các góc tạo bởi hai đường thằng đó.
Bài toán: Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
thẳng cắt nhau ∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : a'x + b ' y + c ' = 0 .
Phương pháp giải: Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi
hai đường thẳng ∆ và ∆ ’ ⇔ d(M, ∆ )= d(M, ∆ ' )
⇔

ax + by + c

⇔

a +b
ax + by + c
2

2

a 2 + b2

=

a'x + b ' y + c '

=±

a '2 + b '2
a'x +b' y +c'
a '2 + b '2

.

Vậy phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là:
ax + by + c
a +b
2

2

=±

a'x +b' y +c'
a '2 + b '2

.

Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng cắt nhau
∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ' : a'x + b ' y + c ' = 0 . Vậy phương trình các đường phân
giác của góc tạo bởi hai đường thẳng là:

ax + by + c
a 2 + b2

=±

a'x +b' y +c'
a '2 + b '2

.

VD 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:
∆ : 3x + 4 y − 1 = 0 ; ∆ ' : 4x + 3 y − 5 = 0 và ∆ ": −8 x − 6 y + 4 = 0 .
1) Chứng tỏ ∆ '/ / ∆ " . Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng ∆ ', ∆ " .
2) Chứng tỏ ∆ cắt ∆ ' .Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường thẳng ∆, ∆ ' .
Giải: 1) Ta có phương trình của ∆ ": 4 x + 3 y − 2 = 0 .Nhận thấy ∆ '/ / ∆ " vì

4 3 −5
= ≠
. Do đó tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng ∆ ', ∆ " là đường
4 3 −2
7
thẳng (d): 4x + 3y − = 0
2

2) Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
∆ và ∆ ’ ⇔ d(M, ∆ )= d(M, ∆ ' )
⇔

3x + 4 y − 1
32 + 42

=

4x + 3 y − 5
42 + 3

2

x − y − 4 = 0
⇔ 3x + 4y -1 = ± (4x + 3y - 5) ⇔ 
7 x + 7 y − 4 = 0
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
5


Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

Vậy có hai đường phân giác cần tìm: x – y - 4 = 0 và 7x – 7y – 4 = 0.
C/ BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Trên cơ sở các bài toán cơ bản, học sinh giải các bài toán lớn phức tạp hơn.
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) vả B(0; -1) và
x = t
.
 y = 2t + 1

đường thẳng (d): 

a) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm A trên dường thẳng (d).
b) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (d).
c) Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho: MA + MB nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải: PTTQ của (d): 2x – y + 1 = 0.

a) Áp dụng công thức (1) và (2) tìm được hình chiếu H  ;

3 11 
÷.

5 5 


b)Theo kết quả câu a): H  ;

3 11 
 1 12 
÷ là trung điểm của AA’. Suy ra A’  ; ÷.
5 5 
5 5 

c)+ Nhận xét vị trí của A và B đối với (d).
Nhận thấy A và B nằm cùng phía đối với (d).

+ Theo trên ta có điểm A’  ;

1 12 
÷ đối xứng với A qua (d).
5 5 

Với ∀ điểm M ∈ (d) ta có MA = MA’.Do đó MA + MB = MA’+MB ≥ A ' B .
Dấu đẳng thức xảy ra khi A’,M, B thẳng hàng ⇒ Min (MA + MB) =AB’ ⇔
M = A ' B ∩ (d ) .
+ Viết phương trình đường thẳng A’B:
uuuur


Ta có A ' B =  − ; −

17 

÷ ⇒ Đường thẳng A’B có một véc tơ chỉ phương
5 
uuur
x = t
u A ' B = (1;17) . Do đó ptts của A’B là: 
 y = −1 + 17t
1
 5

2

x=

 x = t ; y = −1 + 17t

15
⇔
+ Tìm giao điểm M: Giải hệ pt: 
2 x − y + 1 = 0
 y = 19

15
 2 19 
Vậy điểm M  ; ÷.
 15 15 

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định phương trình đường thẳng
(d’) đối xứng với đường thẳng (d) qua đường thẳng (d”):
a) (d): 4x – y + 3 = 0 và (d”): x – y = 0.
b) (d): 6x – 3y + 4 = 0 và (d”): 4x – 2y +3 = 0.

Giải:
a) Nhận thấy hai đường thẳng (d) ∩ (d”) = M(-1;-1).
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
6


Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

+Lấy điểm A(0;3) ∈ (d).Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (d”), được
A’(3;0).
+ Viết pt đường thẳng (d’) đi qua hai điểm M, A’:
(d’): x – 4y – 3 = 0.
b) Ta có pt của hai đường thẳng (d):2x – y +

4
3
= 0 và (d”): 2x – y + = 0
3
2

Nhận thấy hai đường thẳng (d) // (d”). Do đó đường thẳng (d’)cần tìm
song song với hai đường thẳng (d) và (d”), và (d”) cách đều (d) và(d’).
5
3

Suy ra pt (d’): 2x – y + = 0.
Nhận xét: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d)
qua đường thẳng (d1).

Trường hợp 1: (d) ∩ (d1)= M.
+ Tìm tọa độ điểm M.
+ Lấy điểm A ∈ (d). Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (d1).
+ Viết pt đường thẳng (d’) đi qua hai điểm M và A’.
Trường hợp 2: (d) // (d1).
+ Viết pt (d) và (d1) về dạng: (d): ax + by + c = 0; (d1): ax + by + c1= 0.
+ Pt (d’) : ax + by + c’ = 0, với c’ = 2c1- c.
Bài 3:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng (d’) đối
xứng với đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0 qua điểm M(1;1).
Giải: Đường thẳng (d’)//(d). Suy ra phương trình của (d’): x – 2y + c = 0,
c = 2
c ≠ 2 . Và d(M,(d)) = d(M,(d’)) ⇔ c − 1 = 1 ⇔ 
.
c = 0

Loại c = 2, nhận c = 0. Vậy phương trình (d’): x – 2y = 0.
Nhận xét: viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng (d)
qua điểm M(x0;y0) có rất nhiều cách viết, ở ví dụ này tôi hướng dẫn học sinh
cách giải sử dụng công thức tính khoảng cách.
Bài 4: Viết phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc
A của tam giác ABC, có ba cạnh có phương trình là:
AB: 3x – 4y = 0; AC: 4x – 3y = 0; BC: 5x + 12y – 101 = 0.
Hướng dẫn giải: - Viết pt các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường
thẳng AB và AC.
- Tìm tọa độ hai điểm B và C; B = AB ∩ BC , C = AC ∩ BC .
- Lấy một đường phân giác và xét vị trí của hai điểm B và C đối với
đường thẳng đó.
- KL:+ nếu B,C nằm cùng phía đối với đường thẳng thì đó là phân
giác ngoài, suy ra đường còn lại là đường phân giác trong.

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
7


Suy nghĩ khi dạy ‘’Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong
chương hình học lớp 10 cơ bản

+ nếu B,C nằm khác phía nhau đối với đường thẳng thì đó là
phân giác trong, suy ra đường còn lại là đường phân giác ngoài.
III. KẾT QUẢ THỰC HIỆN.
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10C1 trường PTTH Tô Hiến Thành thành
phố Thanh Hóa,tôi đã dạy và sử dụng các công thức (1),(2), (3),(4) vào việc
giải toán như trên.Kết quả là học sinh thấy dễ hiểu và làm rất tốt.
Ví dụ để tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng thì học sinh chỉ
cần nhớ hai công thức (1),(2),nó dễ hơn cách mà SGK đã trình bày rất nhiều.
Khi đã có bốn công thức trong tay thì việc giải các dạng toán như đã đưa ra
ở trên đối với học sinh lớp 10C1 trở thành đơn giản.
Và theo tôi bằng phép tương tự khi chứng minh “công thức tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng” trong hình học không gian lớp 12 ta có bốn
công thức tương tự:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) có phương trình
Ax + By +Cz + D= 0 và điểm M0(x0;y0).Gọi H là hình chiếu của điểm M0
trên mp (α ) , ta có:
Ax 0 + By0 + Cz + D (1)
.
A2 + B 2 + C 2
. H = ( x0 + At H ; y0 + Bt H ; z0 + Ct H ) (2).
uuuuur
r

r
. M 0 H = t H n (3), với n( A; B; C )
Ax 0 + By0 + Cz0 + D
. d(M0, (α ) ) =
A2 + B 2 + C 2

. tH = −

(4)

.

Từ các công thức này ta cũng giải quyết một loạt các bài toán tương tự trong
không gian rất đơn giản và dễ hiểu.
Đó là suy nghĩ và cách dạy của tôi khi dạy phần “công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một đường thẳng” trong chương trình hình học lớp 10
cơ bản. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.
Tôi chân thành cảm ơn.
Thanh hóa, tháng 5 năm 2011.

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán năm học 2010-2011.
Trịnh Thị Thủy giáo viên trường THPT Tô Hiến Thành thành phố Thanh hóa.
8