Chuyên đề về tích phân

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Mời quý thầy cô mua trọn bộ trắc nghiệm 12
BẢN MỚI NHẤT 2017

01

Liên hệ HUỲNH ĐỨC KHÁNH 0975.120.189

H
oc

/>
TÍCH PHAÂN

uO
nT
hi
D

1. Định nghĩa
Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử
F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên K thì hiệu số

F (b )− F (a )
được gọi là tích phân của f ( x ) từ a đến b và kí hiệu là
b
b

f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b )− F (a ) .

ie

∫
a

Ta

iL

2. Tính chất

b

a

f ( x ) dx = 0 .

a

f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .

up

∫

a

∫

s/

Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là
Đổi cận thì đổi dấu, tức là

a

b

Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k là hằng số).

a

a

/g

∫

b

ro

b

∫

om

Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là
b

b

b

 f ( x ) ± g ( x ) dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx .
∫
∫


a

.c

a

b

a
c

b

ok

Tách đôi tích phân, tức là ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .

bo

Chú ý: Tích phân

a

c

b

∫

f ( x ) dx chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không

a

phụ thuộc vào biến số x , tức là

b

∫
a

b

f ( x ) dx = ∫ f (t ) dt .
a

w

w

w

.fa

ce

a

ai

Baøi 03

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

01

Vấn đề 1. TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN

H
oc

Câu 1. Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và các số thực a < b < c . Mệnh đề nào sau
đây sai?
b

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . B.

∫

b

∫

a

a

b

a

b

a

c

b

b

a

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx . D.

∫
a

c

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .
a

b
b

∫ c . f ( x ) dx = c ∫
a

f ( x ) dx .

a

Câu 1. Chọn C.
Câu 2. Cho f ( x ), g ( x ) là hai hàm số liên tục trên ℝ và các số thực a, b, c . Mệnh đề
nào sau đây sai?
b

b

f ( x ) dx = ∫ f ( y ) dy.

∫
a

∫
a

b

a

a

a

iL

C.

b

 f ( x ) + g ( x ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx .
∫
∫



ie

B.

a

b

f ( x ) dx = 0.

∫

Ta

A.

b

D.

∫

b

b

a

a

 f ( x ). g ( x ) dx = f ( x ) dx . g ( x ) dx .
∫

∫



a

s/

a

up

Câu 2. Chọn D.
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
1

∫ dx = 1 .

ro

A.
B.

b

∫

b

b

/g

−1

f 1 ( x ). f 2 ( x ) dx = ∫ f 1 ( x ) dx .∫ f 2 ( x ) dx .
a

om

a

a

C. Nếu f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a; b ] thì

f ( x ) dx ≥ 0 .

a

.c

b

∫ k.dx = k (a − b ), ∀k ∈ ℝ .
a

ok

D.

b

∫

1

∫ dx = x

bo

Câu 3. Ta có

−1

1

= 2. Do đó A sai.

−1

ce

Theo tính chất tích phân thì B sai (vì không có tính chất này).
Xét đáp án C. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên đoạn [ a; b ] .

.fa

Suy ra F / ( x ) = f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] .
b

w

w

w

● F / ( x ) = 0, ∀x ∈ [ a; b ] , suy ra F ( x ) là hàm hằng nên

∫

b

f ( x ) dx = F ( x ) a = 0.

a

● F / ( x ) > 0, ∀x ∈ [a; b ] , suy ra F ( x ) đồng biến trên đoạn [ a; b ] nên F (b ) > F (a ) .
b

Do đó

∫

ai

C.

c

uO
nT
hi
D

A.

f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b ) − F (a ) > 0 . Do đó C đúng. Chọn C.
b

a

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

b

a

a

b

= k (b − a ) 
→ D sai.

a

Câu 4. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

5

∫

2

f ( x ) dx = 10 . Tính I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx .

2

A. I = 32.

5

B. I = 34.

C. I = 36.

2

2

2

5

5

5

D. I = 40.

01

b

∫ k.dx = k.∫ dx = k.x

Ta có

5

+ 4 ∫ f ( x ) dx = 2.(2 − 5) + 4.10 = 34 . Chọn B.
2

Câu 5. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

3

∫

3

f ( x ) dx = 2016 và

1

∫

f ( x ) dx = 2017.

4

4

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
1

A. I = 4023.

B. I = 1.

C. I = −1.

4

3

4

1

1

3

D. I = 0.

Câu 5. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
3

3

1

4

∫

4

f ( x ) dx = 1 và

1

4

s/

Tính tích phân I = ∫ f (u ) du.
2

C. I = 4.

2

4

f (u ) du = ∫ f ( x ) dx = 1 và

∫
1

1

4

∫

1

4

D. I = 2.

4

f (u ) du = ∫ f (t ) dt = −3 .

1

ro

Câu 6. Ta có

B. I = −4 .

2

up

A. I = −2 .

f ( t ) d t = −3 .

∫

Ta

1

iL

2

ie

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 2016 − 2017 = −1 . Chọn C.
Câu 6. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

1

2

4

2

/g

Suy ra I = ∫ f (u ) du = ∫ f (u ) du + ∫ f (u ) du = −∫ f (u ) du + ∫ f (u ) du = −1 − 3 = −4.
2

1

om

Chọn B.

Câu 7. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

1

1

6

∫

6

f ( x ) dx = 4 và

∫

f ( x ) d t = −3 .

2

.c

0

2

ok

Tính tích phân I = ∫  f (v ) − 3 dv.
0

B. I = 2.

bo

A. I = 1.

C. I = 4.

2

2

0

0

Câu 7. Ta có I = ∫  f (v ) − 3 dv = ∫ f (v ) dv − 3v

ce

2

.fa

Mà

∫

6

6

0

D. I = 3.

2

= ∫ f (v ) dv − 6.
0
6

6

f (v ) dv = ∫ f (v ) dv + ∫ f (v ) dv − ∫ f (v ) dv = ∫ f (v ) dv − ∫ f (v ) dv

0

6

2

2

0

2

2

0

2

6

w

w

w

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 4 − (−3) = 7.
0

2

Vậy I = 7 − 6 = 1 . Chọn A.

Câu 8. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

10

∫
0

6

f ( x ) dx = 7 và

∫

ai

= 2x

5

uO
nT
hi
D

2

H
oc

Câu 4. Ta có I = ∫ 2 − 4 f ( x ) dx = 2 ∫ dx − 4 ∫ f ( x ) dx

f ( x ) dx = 3.

2

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2

10

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
0

A. I = 10.

6

B. I = 4.

C. I = 7.

D. I = −4.

2

10

2

6

10

6

0

6

0

2

6

2

10

6

0

2

01

Câu 8. Ta có I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx

Câu 9. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

d

d

∫

f ( x ) dx = 10,

c

f ( x ) dx = 8 và

b

∫

f ( x ) dx = 7 .

a

ai

a

∫

c

uO
nT
hi
D

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
b

A. I = −5 .

B. I = 7.
c

C. I = 5.

D. I = −7 .

d

a

c

b

d

a

Câu 9. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
b
d

d

c

b

a

a

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8 −10 + 7 = 5. Chọn C.
3

∫

4

f ( x ) dx = −2,

∫

1

4

f ( x ) dx = 3 và

1

∫

4

B.

 f ( x ) + g ( x ) dx = 10.



∫

1

3

3

∫

4

D.

f ( x ) dx = −5.

∫ 4 f ( x )− 2 g ( x ) dx = −2.
1

4

1

1

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫

4

∫

4

f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 3 + 7 = 10 . Do đó A đúng.
1

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

3

/g

Ta có

1

4

ro

Câu 10. Ta có

4

up

4

s/

C.

f ( x ) dx = 1.

Ta

4

1

iL

Khẳng định nào sau đây là sai?

∫ g ( x ) dx = 7 .

ie

Câu 10. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

A.

3

3

1

4

1

∫

4

4

 4 f ( x ) − 2 g ( x ) dx = 4 f ( x ) dx − 2 g ( x ) dx = 4.3 − 2.7 = −2 . Do đó D đúng.
∫
∫



.c

4

Ta có

om

= −∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = −(−2) + 3 = 5 . Do đó B sai, C đúng. Chọn B.
1

1

ok

1

bo

Câu 11. Cho hàm số f ( x ) thỏa

1
2

∫

3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1 và



1

2

∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = −3 .
1

2

ce

Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx .
A. I = 1.

1

5
C. I = − .
7

B. I = 2.

1
D. I = .
2

w

w

w

.fa

Câu 11. Ta có
2

∫
1

H
oc

= ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 7 − 3 = 4. Chọn B.

2

2

3 f ( x ) + 2 g ( x ) dx = 1←
→ 3∫ f ( x ) dx + 2 ∫ g ( x ) dx = 1.


1

1

2

2

1

1

∫ 2 f ( x )− g ( x ) dx = −3 ←→ 2 ∫

2

f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = −3.
1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

2

Đặt

∫

2

f ( x ) dx = u và

∫

1

1


u = − 5
3u + 2v = 1

7

⇔
.
g ( x ) dx = v , ta có hệ phương trình 
2u − v = −3 
11
v =
7


2

01

5
Vậy I = ∫ f ( x ) dx = u = − . Chọn C.
7
1

H
oc

Câu 12. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục

2

trên đoạn [1;2 ] và thỏa mãn f (1) = 1, f (2) = 2. Tính I = ∫ f ′ ( x ) dx .
B. I = −1.

7
D. I = ⋅
2

C. I = 3.

2

2

uO
nT
hi
D

A. I = 1.

Câu 12. Ta có I = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f (2) − f (1) = 1. Chọn A.
1

1

Câu 13. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và thỏa mãn f (0) = 1. Kí hiệu
x

I = ∫ f ' (t ) dt . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
0

B. I = f ( x ).
x

C. I = f ( x + 1).

D. I = f ( x ) −1.

ie

A. I = f ( x ) + 1.

x

iL

Câu 13. Ta có I = ∫ f ' (t ) dt = f (t ) = f ( x ) − f (0) = f ( x ) −1. Chọn D.
1

Ta

0

0

Câu 14. Cho hàm số f ( x ) = ln x + x 2 + 1 . Tính tích phân

∫

f ′ ( x ) dx .

1

0
1

∫

∫

f ′ ( x ) dx = ln 1 + 2 .

0

D.

f ′ ( x ) dx = 1 + ln 2.

0
1

f ′ ( x ) dx = f ( x )

∫

∫

f ′ ( x ) dx = 2 ln 2.

0

0

1

(

om

0

= ln x + x 2 + 1

1

1

/g

Câu 14. Ta có

ro

C.

1

up

∫

B.

f ′ ( x ) dx = ln 2.

s/

0

A.

)

= ln 1 + 12 + 1 − ln 0 + 02 + 1 = ln 1 + 2 . Chọn B.

0

.c

Câu 15. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn
4

∫

f ' ( x ) dx = 17. Tính giá trị của f (4 ).

ok

f (1) = 12 ,

1

bo

A. f ( 4 ) = 29.

ce

Câu 15. Ta có

D. f ( 4 ) = 19.

f ' ( x ) dx = f ( x ) = f ( 4 ) − f (1).
1

4

.fa
w
w

∫

C. f (4 ) = 9.

4

1

Theo giả thiết

w

B. f (4 ) = 5.

4

∫

f ' ( x ) dx = 17 ⇔ f (4 ) − f (1) = 17 
→ f (4 ) = 17 + f (1) = 17 + 12 = 29.

1

Chọn A.
Câu 16. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;ln 3] và thỏa mãn
ln 3

f (1) = e 2 ,

∫

f ' ( x ) dx = 9 − e 2 . Tính giá trị của f ( ln 3).

1

A. f ( ln 3) = 9 − 2e 2 .

ai

1

B. f ( ln 3) = 9.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

C. f ( ln 3) = −9.
Câu 16. Ta có

D. f (ln 3) = 2e 2 − 9.

ln 3

∫

f ' ( x ) dx = f ( x )

ln 3

= f ( ln 3) − f (1).

1

1
ln 3

∫

f ' ( x ) dx = 9 − e 2 ⇔ f (ln 3) − f (1) = 9 − e 2

01

Theo giả thiết

1

H
oc


→ f (ln 3) = 9 − e 2 + f (1) = 9 − e 2 + e 2 = 9. Chọn B.
Câu 17. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;3] và thỏa mãn f (1) = 1 ,
3

∫

f ′ ( x ) dx = 5.

1

Câu 17. Ta có

B. m = 5.
3

∫

Theo giả thiết

∫

D. m = −4.

3

f ′ ( x ) dx = f ( x ) = f (3) − f (1).
1

1
3

C. m = 4.

uO
nT
hi
D

A. m = 6.

f ′ ( x ) dx = 5 ⇔ f (3) − f (1) = 5 ⇔ m −1 = 5 ⇔ m = 6. Chọn A.

1

x

π 
Câu 18. Cho hàm số g ( x ) = ∫ t cos ( x − t ) dt. Tính g '   .
 2 
0

π
D. g '   = 2.
 2 

Ta

iL

ie

π
π
π
A. g '   = −1.
B. g '   = 1.
C. g '   = 0.
 2 
 2 
 2 
u = t
du = dt
.
Câu 18. Đặt 

→ 


dv = cos ( x − t ) dt
v = − sin ( x − t )


x

x

x

x

s/

Khi đó g ( x ) = −t sin ( x − t ) + ∫ sin ( x − t ) dt = −t sin ( x − t ) + cos ( x − t ) = 1 − cos x.
0

0

0

0

up

π
π
Suy ra g ' ( x ) = sin x 
→ g '   = sin   = 1. Chọn B.

 2 
 2 
x2

ro

Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ∫ cos t dt với x > 0.
0

/g

A. F ' ( x ) = x cos x .
2

om

C. F ' ( x ) = cos x .

B. F ' ( x ) = 2 x cos x .

D. F ' ( x ) = cos x −1.

.c

t = 0 → y = 0
Câu 19. Đặt y = t ⇒ y 2 = t 
→ 2 ydy = dt. Đổi cận: 
.
t = x 2 → y = x

ok

x
du = 2dy
u = 2 y

→ 
.
Khi đó F ( x ) = ∫ cos y.2 ydy . Đặt 


v = sin y
d
v
=
cos
y
d
y

0

bo

Suy ra F ( x ) = 2 y sin y

x
0

x

− 2 ∫ sin ydy = 2 y sin y
0

x

+ 2 cos y

0

x

= 2 x sin x + 2 cos x − 2

0

ce


→ F ' ( x ) = 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x = 2 x cos x . Chọn B.
x

w

w

w

.fa

Câu 20. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số F ( x ) = ∫ (t 2 + t ) dt trên đoạn [−1;1] .
1

1
A. m = .
6

B. m = 2.

5
C. m = − .
6

5
D. m = .
6

x

x
t3 t 2 
x3 x2 5
Câu 20. Ta có F ( x ) = ∫ (t 2 + t ) dt =  +  =
+ − .
3
2 6
 3 2  1
1

Xét hàm số F ( x ) =

ai

f (3) = m. Tìm tham số thực m để

x3 x2 5
+ − trên đoạn [−1;1] .
3
2 6

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

H
oc

01

 x = 0 ∈ [−1;1]
Đạo hàm F ' ( x ) = x 2 + x 
→ F ' ( x ) = 0 ⇔ 
.
 x = −1 ∈ [−1;1]

 F (−1) = − 2

3


5
5
Ta có 

→ min F ( x ) = F (0) = − . Chọn C.
 F (0 ) = −
−
1;1
[
]

6
6

 F (1) = 0


x

Câu 21. Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ∫ 1 + t 2 dt .

1+ x 2
1

C. F / ( x ) =

1+ x 2

.

B. F / ( x ) = 1 + x 2 .

.

D. F / ( x ) = ( x 2 + 1) 1 + x 2 .

Câu 21. Gọi H (t ) là một nguyên hàm của
x

uO
nT
hi
D

A. F / ( x ) =

ai

1

x

1 + t 2 , suy ra H ' (t ) = 1 + t 2 .

x

Khi đó F ( x ) = ∫ 1 + t 2 dt = H (t ) = H ( x ) − H (1)
1

1


→ F ' ( x ) =  H ( x ) − H (1) = H ' ( x ) = 1 + x 2 . Chọn B.

ie

/

x

iL

Câu 22. Tính đạo hàm của hàm số F ( x ) = ∫ sin t 2 dt với x > 0 .
A. F ' ( x ) = sin x .

B. F ' ( x ) =

Ta

1

sin x

C. F ' ( x ) =

.

2 x

2 sin x

x

.

D. F ' ( x ) = sin x .

( x )

/

≠ H/

/

( )

x  =

/

/g

Chú ý:  H


( )

x − H (1) =  H



( x )− H (1)

( x ).

H/

( x)

2 x

=

sin x
2 x

. Chọn B.

om


→ F ' ( x ) =  H


=H

1

ro

1

x

up

x

Khi đó F ( x ) = ∫ sin t 2 dt = H (t )

s/

Câu 22. Gọi H (t ) là một nguyên hàm của sin t 2 , suy ra H ' (t ) = sin t 2 .

Câu 23. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) , biết f ( x ) thỏa mãn

∫ te

f (t )

dt = e f ( x ) .

.c

0

B. f ' ( x ) = x 2 + 1.

ok

A. f ' ( x ) = x .

x

1
C. f ' ( x ) = .
x

D. f ' ( x ) = 1.

bo

Câu 23. Gọi F (t ) là một nguyên hàm của te f (t ) , suy ra F ' (t ) = te f (t ) .
x

Khi đó

∫ te

f (t )

x

dt = F (t ) = F ( x ) − F (0)←
→ e f ( x ) = F ( x ) − F (0 ) .
0

ce

0

Đạo hàm hai vế, ta được f ' ( x ).e f ( x ) = F ' ( x )←
→ f ' ( x ).e f (x ) = xe f ( x ) 
→ f ' ( x ) = x.

.fa

Chọn A.

w

w

w

Câu 24. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn

f (x )

∫

t 2 dt = x cos (π x ). Tính f (4 ).

0

A. f (4 ) = 2 3.
Câu 24. Ta có

B. f ( 4 ) = −1.

f (x )

∫
0

t 2 dt =

t3
3

f (x )

0

1
C. f ( 4 ) = .
2

D. f ( 4 ) = 3 12.

3
1
=  f ( x ) = x cos (π x ).
3

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Cho x = 4 , ta được

3
1
f (4 ) = 4 cos 4 π 
→ f ( 4 ) = 3 12. Chọn D.
3

dưới đây là khẳng định đúng?
A. 3 ≤ f (5) − f (2) ≤ 12.

B. −12 ≤ f (5) − f (2) ≤ 3.

C. 1 ≤ f (5) − f (2) ≤ 4.

D. −4 ≤ f (5) − f (2) ≤ −1.

01

Câu 25. Cho hàm số y = f ( x ) có 1 ≤ f ' ( x ) ≤ 4 với mọi x ∈ [ 2;5] . Hỏi khẳng định nào

H
oc

5

Câu 25. Đầu tiên ta phải nhận dạng được f (5) − f (2) = ∫ f ' ( x ) dx .
2
5

5

5

2

2

3

12

Vậy 3 ≤ f (5) − f (2) ≤ 12. Chọn A.

Vấn đề 2. TÍCH PHÂN CƠ BẢN

∫
1

1
A. a = .
e
a

∫
1

C. a =

e

.
2

D. a = e 2 .

a
a

x +1
1
dx = ∫ 1 +  dx = ( x + ln x ) = a + ln a −1 = e.

x
x
1
1

Ta

Câu 26. Ta có

B. a = e .

x +1
dx có giá trị bằng e.
x

ie

a

iL

Câu 26. Tìm số thực a > 1 để tích phân

uO
nT
hi
D

2

ai

Do 1 ≤ f ' ( x ) ≤ 4, ∀x ∈ [ 2;5] 
→ ∫ 1dx ≤ ∫ f ' ( x ) dx ≤ ∫ 4dx .

∫

ro

1

x +1
dx − e .
x

up

a

Cách CASIO. Thiết lập hiệu

s/

Thử các đáp án đã cho, có a = e thỏa mãn. Thật vậy e + ln e − 1 = e . Chọn B.

Thử từng đáp án, ví dụ với đáp án A ta nhập vào máy

1
e

∫

/g

1

x +1
dx − e và nhấn dấu =.
x

om

Màn hình xuất hiện số khác 0 nên không thỏa mãn. Tương tự thử với đáp án B.
5
dx
Câu 27. Tính tích phân I = ∫
.
2

x
−1
1

∫

B. I = ln 2.
dx
1
= ln 2 x −1
2 x −1 2

ok

Câu 27. Ta có

5

.c

A. I = ln 3.
1

bo

Câu 28. Nếu kết quả của

2

5

1

C. I = ln 9.
D. I = ln 6.
1
1
= (ln 9 − ln1) = ln 9 = ln 3. Chọn A.
2
2

dx
a
được viết ở dạng ln với a, b là các số nguyên
x +3
b

∫
1

dương và ước chung lớn nhất của a, b bằng 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai?

ce

A. 3a − b < 12 .

w

w

w

.fa

Câu 28. Ta có

2

∫
1

B. a + 2b = 13 .

dx
= ln x + 3
x +3

2
1

C. a − b > 2 .

D. a 2 + b 2 = 41 .

5
= ln 5 − ln 4 = ln .
4

a = 5
Suy ra 


→ a − b = 1 < 2. Do đó C sai. Chọn C.
b = 4
Câu 29. Tính tích phân I =

2016

∫

7 x dx .

0

7 2016 −1
A. I =
⋅
ln 7

B. I = 7 2016 − ln 7.

C. I =

7 2017
− 7.
2017

D. I = 2016.7 2015.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Câu 29. Ta có I =

2016

2016

∫

7 x dx =

0

7x
ln 7 0

=

7 2016
1
−
. Chọn A.
ln 7 ln 7

π
2

Câu 30. Kết quả của tích phân I = ∫ cos xdx được viết ở dạng I = a + b 3 , với a và
b là các số hữu tỉ. Tính P = a − 4b.

9
A. P = a − 4b = ⋅
2
1
C. P = a − 4b = − ⋅
2

π
3

1
D. P = a − 4b = ⋅
2
π
2
π
3

= 1−

ai

Câu 30. Ta có I = ∫ cos xdx = sin x

B. P = a − 4b = 3.

 1
3
= 1 + − . 3
 2 

2

uO
nT
hi
D

π
2

H
oc

01

π
3

a = 1

→ 

→ P = a − 4b = 3. Chọn B.
b = − 1
2


Câu 31. Cho hàm số f ( x ) = A sin (π x ) + B ( A, B thuộc ℝ ) thỏa mãn

2

∫

f ( x ) dx = 4

0

Câu 31. Ta có

2

∫

f ( x ) dx = ∫

0

0

C. P = −2.

D. P = −4.

iL

B. P = 0.
2

2



 A sin (π x ) + B  dx = − A cos (π x ) + Bx  = 2 B .


 π
 0

Ta

A. P = 4.

ie

và f ' (1) = 2 . Tính giá trị biểu thức P = π A + B.

s/

Suy ra 2 B = 4 ⇔ B = 2 .

m

∫ cos 2 xdx = 0

/g

Câu 32. Biết rằng tích phân

ro

up

2
Lại có f ' ( x ) = Aπ cos (π x ) 
→ f ' (1) = 2 ⇔ Aπ cos π = 2 ⇔ A = − .
π
2
Vậy A = − ; B = 2 
→ P = π A + B = 0. Chọn B.
π
với m là tham số. Khẳng định nào sau

0

π
(k ∈ ℤ).
2

.c

C. m = k

om

đây là đúng?
A. m = k 2π ( k ∈ ℤ ).

m

ok

Câu 32. Ta có 0 = ∫ cos 2 xdx =
0

1
sin 2 x
2

B. m = k π (k ∈ ℤ).
D. m = (2 k + 1) π (k ∈ ℤ).
m
0

1
= sin 2m
2

ce

bo

kπ

→ sin 2m = 0 ⇔ 2m = k π ⇔ m =
(k ∈ ℤ). Chọn C.
2
x

1
Câu 33. Biết rằng tích phân ∫ sin 2 t − dt = 0 với x là tham số. Khẳng định nào


2
0

w

w

w

.fa

sau đây là đúng?
A. x = k 2π ( k ∈ ℤ).

B. x = k π (k ∈ ℤ).

C. x = k

π
D. x = (2 k + 1) π (k ∈ ℤ).
(k ∈ ℤ).
2
x
x
x

1 − cos 2t 1 
1
1

Câu 33. Ta có ∫ sin 2 t − dt = ∫ 
− dt = − ∫ cos 2tdt


2
2
2
2
0

0

0

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

x

1
1
= − sin 2t = − sin 2 x .
4
4
0

1
π

t − dt = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = k π ⇔ x = k (k ∈ ℤ). Chọn C.
2
2

1
2 2017 x khi x ≥ 0
Câu 34. Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx , biết rằng f ( x ) = 
.
 −2017 x
2
khi x < 0
−1

2 2018 − 2
2 2018 −1
A. I =
B. I =
log 2 e.
log 2 e.
2017
2017
2 2018 −1
2 2017 −1
C. I =
ln 2.
D. I =
.
2017
2017 ln 2

1

0

−1

−1

1

0

1

= ∫ 2−2017 x dx + ∫
−1

0

uO
nT
hi
D

Câu 34. Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
0

2−2017 x
2 2017 x dx = −
2017 ln 2

0

+
−1

2 2017 x
2017 ln 2

1

=
0

22018 − 2
log 2 e. Chọn A.
2017

2

Câu 35. Tính tích phân I = ∫ min (1, x 2 )dx .
0

B. I = 4 .

C. I =

2

iL

 x ∈ [ 0;1] 
→ min (1, x 2 ) = x 2

.
Câu 35. Ta có 

 x ∈ [1;2 ] 
→ min (1, x 2 ) = 1

1

3
D. I = − .
4

4
.
3

ie

3
.
4

1

2

Ta

A. I =

0

1

0

1

x3
3

1

2

+x

0

1

1
4
= +1 = .
3
3

ro

up

Chọn C.

s/

Do đó I = ∫ min (1, x 2 )dx + ∫ min (1, x 2 )dx = ∫ x 2 dx + ∫ 1.dx =

om

/g

Vấn đề 3. ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

Giả sử v (t ) là vận tốc của vật M tại thời điểm t và s (t ) là quãng đường vật đi được

ok

.c

sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s (t )
và v (t ) như sau:

● Đạo hàm của quãng đường là vận tốc: s ′ (t ) = v (t ).

bo

● Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường s (t ) = ∫ v (t ) dt.

.fa

ce


→ từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian t ∈ [ a; b ] là
b

∫ v (t ) dt = s (b )− s (a ) .
a

w

w

Nếu gọi a (t ) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v (t ) và a (t ) như sau:

w

01

0

2

H
oc



∫ sin

ai

x

Theo giả thiết

● Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: v ′ (t ) = a (t ) .
● Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc: v (t ) = ∫ a (t ) dt .
Câu 36. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì
người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

v (t ) = −5t + 10 (m/s ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2m.
B. 2m.
C. 10m.
D. 20m.
Câu 36. Lúc dừng hẳn thì v (t ) = 0 
→−5t + 10 = 0 ⇔ t = 2.

H

oc

01

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được quãng đường là
2
 5
2
s = ∫ (−5t + 10) dt = − t 2 + 10t  = 10m. Chọn C.
 2
0
0
Câu 37. Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km/h, phía trước là đoạn đường chỉ
chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = 30 − 2t ( m/s), trong đó t là khoảng thời

A. 100m.

B. 125m.

C. 150m.

uO
nT
hi
D

gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến
lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường là bao nhiêu mét?
D. 175m.

Câu 37. Ta có 72km/h = 20m/s .
Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình

30 − 2t = 20 ⇔ t = 5.
Vậy từ lúc đạp phanh đến khi ô tô đạt tốc độ 72km/h , ô tô đi được quãng đường là

iL

0

ie

5

s = ∫ (30 − 2t ) dt = 125m. Chọn B.

up

s/

Ta

Câu 38. Một vật đang chuyển động với vận tốc 6m/s thì tăng tốc với gia tốc
3
a (t ) =
m/s 2 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng
t +1
tốc. Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 14 m/s .
B. 13 m/s .

C. 11m/s .
D. 12 m/s .

3
dt = 3 ln t + 1 + C .
t +1
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = 0 thì v = 6m/s nên ta có 3 ln1 + C = 6 ⇔ C = 6.
Suy ra v (t ) = 3 ln t + 1 + 6 (m/s).

/g

ro

Câu 38. Ta có v (t ) = ∫

om

Tại thời điểm t = 10 s 
→ v (10) = 3 ln11 + 6 ≈ 13m/s. Chọn B.
Câu 39. Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc

.c

a (t ) = 3t + t 2 (m/s 2 ) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu

ce

bo

ok

tăng tốc. Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt
đầu tăng tốc bằng bao nhiêu mét?
4000
4300
1900
2200
A.
B.
C.
D.
m.
m.
m.
m.
3
3
3
3
3t 2 t 3
Câu 39. Ta có v (t ) = ∫ (3t + t 2 ) dt =
+ +C.
2
3
Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = 0 thì v = 10m/s nên suy ra C = 10.
3t 2 t 3
Suy ra v (t ) =
+ + 10 (m/s).
2
3

Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng
10
 3t 2 t 3

t3 t 4
 10 4300
tốc bằng s = ∫ 
+ + 10 dt =  + + 10t  =
m . Chọn B.

 0
 2
 2 12
3
3
0

.fa
w
w
w

ai

cho phép chạy với tốc độ tối đa là 72km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Câu 40. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 30m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm
20
đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a (t ) = −
m/s 2 , trong đó t là
2
(1 + 2t )

Câu 40. Ta có v (t ) = ∫

C. 48m.
10
dt =
+C.
2
1 + 2t
(1 + 2t )

D. 49m.

uO
nT
hi
D

Tại thời điểm lúc bắt đầu đạp phanh t = 0 thì v = 30m/s nên suy ra C = 20.
10
Suy ra v (t ) =
+ 20 (m/s).
1 + 2t

Vậy quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 2 giây kể từ lúc bắt đầu đạp
2
2
2
 10

phanh bằng s = ∫ v (t ) dt = ∫ 
+ 20 dt = (5 ln (1 + 2t ) + 20t ) ≈ 48m. Chọn C.
1 + 2t

0
0
0

H
oc

B. 47m.
−20

ai

A. 46m.

01

khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi quãng đường ô tô đi
được trong khoảng thời gian 2 giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh là bao nhiêu mét?

Câu 41. Một ô tô đang chạy thẳng đều với vận tốc v 0 (m/s) thì người đạp phanh, từ

thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = −5t + v 0 (m/s), trong

B. v 0 = 80m/s.

C. v 0 = 20m/s.

v0
5

v0
5

2
0

=−

0

v02 v 02 v 02
+ =
10 5 10

ro

v

→ v 0 = 20m/s . Chọn C.
10

up

s/

 5

Theo giả thiết, ta có 40m=∫ (−5t + v0 ) dt = − t 2 + v 0 t 
 2

0

→ 40m =

v0
.
5

Ta

Câu 41. Lúc dừng hẳn thì v (t ) = 0 
→−5t + v 0 = 0 ⇔ t =

D. v 0 = 25m/s.

iL

nhiêu?
A. v 0 = 40m/s.

ie

đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp
phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu v 0 bằng bao

om

/g

Câu 42. Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 m so
với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng,
khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật
v (t ) = 10t − t 2 (m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
chuyển động. Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v của khí cầu bằng bao nhiêu?
B. v = 7m/s.

C. v = 9m/s.

.c

A. v = 5m/s.

D. v = 3m/s.

Câu 42. Do v (t ) = 10t − t 
→ 0 < t < 10.

ok

2

Giả sử chiếc khí cầu chạm đất kể từ lúc bắt đầu chuyển động là t1 giây (0 < t1 < 10) .
t1

0

= 5t12 −

t13
3

ce

bo

t1

t3 
Theo đề bài ta có phương trình 162 = ∫ (10t − t 2 ) dt = 5t 2 − 

3 
0

⇔−

3
1

t
0+ 5t12 −162 = 0 

→ t1 = 9 
→ v (9) = 9m/s. Chọn C.
3

w

w

w

.fa

Câu 43. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s
(mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (giây) có phương trình là
s = 6 t 2 − t 3 . Thời điểm mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
A. t = 6 s.

B. t = 4 s.

C. t = 2 s.

D. t = 1s.

Câu 43. Vận tốc v (t ) = s ' (t ) = 12t − 3t .
2

Bậy giờ ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số v (t ) = 12t − 3t 2 .

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Đạo hàm và lập bảng biến thiên ta tìm được max v (t ) đạt tại t = 2s. Chọn C.

[0;6]

Câu 45. Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh. Từ
thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = 200 + at (m/s ) , trong

đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh và a (m/s 2 ) là



(200 + at ) dt = 200t +


0

at 2 

2 

−

200
a

40000 40000
+

.
a
2a

s/

∫

=−

0

up

1500 =

200
a

Ta

iL

ie

gia tốc. Biết rằng khi đi được 1500m thì tàu dừng, hỏi gia tốc của tàu bằng bao nhiêu?
40
200
40
100

A. a =
m/s 2 ). B. a = −
m/s 2 . C. a = − m/s 2 .
D. a = −
m/s 2 .
(
3
13
3
13
200
Câu 45. Khi tàu dừng hẳn thì v = 0 ⇔ 200 + at = 0 
→t = −
(m/s).
a
Theo đề bài ta có phương trình
−

40
Suy ra a = − (m/s 2 ). Chọn C.
3

om

/g

ro

Câu 46. Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ
thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh

1 
I  ; 8 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính
 2 

.c

quảng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút,
kể từ khi chạy.
A. s = 4 km.
B. s = 2,3 km.
D. s = 5,3 km.

ok

C. s = 4,5 km.

Câu 46. Hàm vận tốc v (t ) = at + bt + c có dạng là đường parabol đi qua các điểm

bo

2

w

w

.fa

ce



a = −32
c = 0
1 

O (0; 0) , A (1; 0 ) và I  ; 8 nên suy ra a + b + c = 0 ⇔ b = 32
 2 


 a b
c = 0
+
+
c
=
8

 4 2
2

→ v (t ) = −32t + 32t (m/s ).

w

H
oc
ai

uO

nT
hi
D

Câu 44. (ĐỀ THI CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Một vật chuyển động theo quy luật
1
s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động
2
và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong
khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt
được bằng bao nhiêu?
A. 24m/s.
B. 108m/s.
C. 18m/s.
D. 64m/s.
3
Câu 44. Vận tốc v (t ) = s ' (t ) = − t 2 + 12t .
2
3
Ycbt là đi tìm GTLN của hàm số v (t ) = − t 2 + 12t với 0 ≤ t ≤ 6.
2
Đạo hàm và lập bảng biến thiên ta tìm được max v (t ) = v ( 4 ) = 24m/s. Chọn A.

01

(0;+∞)

Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 45 phút là:
3
4

s = ∫ (−32t 2 + 32t ) dt =4,5km. Chọn C.
0

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Câu 47. Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu tăng
tốc với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là
đường cong parabol có hình bên. Biết rằng sau 10s thì xe đạt
đến vận tốc cao nhất 50 m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc
bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi
được quãng đường bao nhiêu mét?
1000
1100
A.
B.
m.
m.
3
3
1400
C.
D. 300m .
m.
3

v(t)

01

50

O

H
oc

t

Câu 47. Hàm vận tốc v (t ) = at 2 + bt + c có dạng là đường parabol có đỉnh I (10;50) ,

iL

ie

uO
nT
hi
D

c = 0
c = 0


b
1
đồng thời đi qua gốc tọa độ O (0;0) nên suy ra 

−
=
10
⇔

a = −
 2a

2


2
b
10
=
a.10 + b.10 + c = 50 
1 2

→ v (t ) = − t + 10t (m/s ).
2
Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc t = 0 và đạt vận tốc cao nhất lúc t = 10 s nên
quãng đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất là:
10
10
 1

 1
 10 1000
s = ∫ v (t ) dt = ∫ − t 2 + 10t  dt = − t 3 + 5t 2  =
m. Chọn A.

 2

 6
0
3
0
0

ai

10

Ta

Câu 48. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h ) phụ
thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh

s/

I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính

up

quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
A. s = 26,75km.

B. s = 25, 25km.
D. s = 24,75km.

ro

C. s = 24, 25km.

/g

Câu 48. Hàm vận tốc v (t ) = at 2 + bt + c có dạng là đường parabol đi qua có đỉnh

ce

bo

ok

.c

om

c = 6
c = 6


 b

3
I (2;9) và đi qua điểm A (0;6 ) nên suy ra − = 2
⇔ a = −
 2a

4
 2


b
=
3
a.2 + b.2 + c = 9 
3 2

→ v (t ) = − t + 3t + 6 (m/s) .
4
Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 3 giờ là:
3
 3

s = ∫ − t 2 + 3t + 6 dt =24,75km. Chọn D.
 4

0
Câu 49. Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h )

w

w

w

.fa

phụ thuộc thời gian t ( h ) có đồ thị của vận tốc như hình bên.
Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ
thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) với trục đối

xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là
một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đuờng s
mà vật chuyển động trong 4 giờ đó.
A. s = 26,5km.
B. s = 28,5km.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

C. s = 27km.

D. s = 24km.

Câu 49. Hàm vận tốc v (t ) = at + bt + c có dạng là đường parabol đi qua có đỉnh
2

D. 270 m.

60

H
oc
ai

vB

vA

t

O

3

4

ie

C. 0 m.

v

uO
nT
hi
D

Câu 50. Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xe A và B
khởi hành cùng một lúc, bên cạnh nhau và trên cùng một
con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xe A là một
đường parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc của xe B là một
đường thẳng ở hình bên. Hỏi sau khi đi được 3 giây
khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét.
A. 90 m.
B. 60 m.

01

c = 0
c = 0



b
9

I (2;9) và đi qua điểm O (0;0) nên suy ra − = 2
⇔ a = −
 2a

4
 2

a.2 + b.2 + c = 9 b = 9
9
27

→ v (t ) = − t 2 + 9t (m/s). Suy ra v (3) = (m/s).
4
4
Vậy quảng đường người đó đi được trong khoảng thời gian 4 giờ là:
3
4
 9

27
dt =27km. Chọn C.
s = ∫ − t 2 + 9t  dt + ∫

 4

4
0
3

iL

Câu 50. Hàm vận tốc v A (t ) = at 2 + bt + c có dạng là đường parabol đi qua các điểm

Ta

O (0;0) , A (3;60) và B ( 4;0) nên suy ra v A (t ) = − 20t 2 + 80t (m/s ).

Hàm vận tốc v B (t ) = at + b có dạng là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O (0;0) và điểm

s/

A (3;60) nên suy ra v B (t ) = 20t (m/s ).

3

up

Quãng đường đi được sau 3 giây của xe A là s A = ∫ (− 20t 2 + 80t ) dt = 180m.
0

3

ro

Quãng đường đi được sau 3 giây của xe B là s B = ∫ 20t dt = 90m.
0

/g

Vậy khoảng cách giữa hai xe sau 3 giây sẽ bằng: s A − s B = 90 m. Chọn A.

.c

om

Câu 51. Tốc độ thay đổi số dân của một thị trấn kể từ năm 1970 được mô tả bằng
120
công thức f ′ (t ) =
, với t là thời gian tính bằng năm (thời điểm t = 0 ứng với
2
(t + 5)

ce

bo

ok

năm 1970). Biết rằng số dân của thị trấn vào năm 1970 là 2000 người. Hỏi số dân của
thị trấn đó vào năm 2018 gần nhất với số nào sau đây?
A. 22 nghìn người.
B. 23 nghìn người.
C. 24 nghìn người.

D. 25 nghìn người.
120
Câu 51. Tốc độ thay đổi số dân của thị trấn vào năm thứ t là f ′ (t ) =
. Suy ra
2
t
( + 5)

.fa

nguyên hàm của f ′ (t ) là hàm số f (t ) mô tả số dân của thị trấn vào năm thứ t .

w

w

w

Ta có f (t ) = ∫ f ′ (t ) dt = ∫

120

( t + 5)

2

dt =

−120
+C .

t +5

Số dân của thị trấn vào năm 1970 (ứng với t = 0 ) là
−120
−120
f (0) = 2 ⇔
+ C = 2 ⇔ C = 26 
→ f (t ) =
+ 26.
0 +5
t +5
Vậy số dân của thị trấn vào năm 2018 (ứng với t = 48 ) là

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

H
oc

uO
nT
hi
D

Câu 52. Biết tốc độ phát triển của vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày
1000
tại ngày thứ t là F ' (t ) =
và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15

2t + 1
ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ
dày ?
A. 5434 con.
B. 1500 con.
C. 283 con.
D. 3717 con.
1000
Câu 52. Tốc độ phát triển của vi khuẩn tại ngày thứ t là F ′ (t ) =
. Suy ra số
2t + 1
lượng vi khuẩn vào ngày thứ t được tính theo công thức
1000
F (t ) = ∫ F ′ (t ) dt = ∫
dt = 500 ln 2t + 1 + C .
2t + 1
Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên
F (0 ) = 2000 ⇔ 500 ln 2.0 + 1 + C = 2000 ⇔ C = 2000 
→ F (t ) = 500 ln 2t + 1 + 2000.

01

−120
+ 26 = 23,79 nghìn người. Chọn C.
48 + 5

ai

f ( 48) =

Số vi khuẩn sau 15 ngày là: F (15) = 500 ln 2.15 + 1 + 2000 = 3716, 99 . Chọn D.

Câu 53. Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N (t ) . Biết rằng N ' (t ) =

4000
1 + 0,5t

Ta

iL

ie

và lúc đầu đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ
hàng đơn vị):
A. 264.334 con. B. 257.167 con.
C. 258.959 con.
D. 253.584 con.
4000
dt = 8000.ln (1 + 0,5t ) + C .
Câu 53. Ta có N (t ) = ∫ N ' (t ) dt = ∫
1 + 0,5t

s/

Tại thời điểm ban đầu (t = 0) thì

N (0) = 8000.ln1 + C = 250000 ⇔ C = 250000 
→ N (t ) = 8000.ln (1 + 0,5t ) + 250000 .

up

Sau 10 ngày (t = 10) thì N (10) = 8000.ln (1 + 0,5.10) + 250000 = 264.334 con. Chọn A.

ro

Câu 54. Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức
S ' (t ) = 100r .e t (con/giờ) với r là tỷ lệ tăng trưởng đặc trưng của vi khuẩn. Ban đầu có

om

/g

100 con vi khuẩn. Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi. Biết
rằng số lượng vi khuẩn sau 5 giờ là 300 con.
A. 4 giờ35 phút. B. 3 giờ 9 phút.
C. 4 giờ 30 phút.
D. 4 giờ 2 phút.
Câu 54. Sự tăng trưởng của vi khuẩn tại giờ thứ t là S ' (t ) = 100r .e t . Suy ra số lượng

ok

.c

vi khuẩn vào giờ thứ t được tính theo công thức

S (t ) = ∫ S ' (t ) dt = ∫ 100r .e t dt .

Số lượng vi khuẩn sau 5 giờ là 300 con nên ta có:
5

bo

300 = ∫ 100r .e t ←
→100r .e 5 −100r = 300 
→ r = 0,020351.
0

t

ce

Suy ra thời gian để số vi khuẩn tăng lên 200 con là: 200 = ∫ 100.0,020351.e t
0

Câu 55. Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu
là 280cm. Giả sử h (t ) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời
điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là

w

w

w

.fa


→ 100.0,020351(e − 1) = 200 ←
→ t ≃ 4,597 giờ (4 giờ 35 phút). Chọn A.

t

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

h ' (t ) =

1 3
t + 3 và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được
500

H
oc

01

3
độ sâu của hồ bơi?
4
A. 3 giờ 34 giây. B. 2 giờ 34 giây.
C. 3 giờ 38 giây.
D. 2 giờ 38 giây.
4
1 3
3
Câu 55. Ta có h (t ) = ∫ h ' (t ) dt = ∫
t + 3dt =
(t + 3)3 + C .

500
2000
Lúc ban đầu (tại t = 0 ) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là
7

7

uO
nT
hi
D

4
3
33
Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là h (t ) =
.
( t + 3) 3 −
2000
2000
3
Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng
độ sâu của hồ bơi nên ta có:
4

ai

4
3
33

h (t ) = 0 ←
→
.
(0 + 3)3 + C = 0 ←→ C = −
2000
2000

7

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

4
4
3
3
33
h (t ) = .280 ←
→
= 210 ←
→ (t + 3)3 = 140004,33 ←
→ t = 7234s .
( t + 3) 3 −
4
2000
2000
3
Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 34 giây thì bơm được
độ sâu của hồ bơi. Chọn B.
4

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01