Bài tập về tích vô hướng của hai véctơ

Một số dạng toán liên quan đến tích vô hớng.
Bài toán 1 Tính giá trị của một biểu thức chứa các tích vô hớng.
Bài 1.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1.Tính giá trị của biểu thức sau:
( 2 ).(3 )M AB AD AB CD= +
uuur uuur uuur uuur
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB=1, AC=3, A=120
0
. Tính giá trị của biểu thức
( 2 ).(2 )Q AB AC AB AC= +
uuur uuur uuur uuur
Bài 3.Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB=1 CD=3, C=45
0
, D=30
0
. Tính các tích vô hớng sau:
. , . , . , .AB AD BC CD AB CD AD BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 4.Cho các véc tơ
, ,a b c
r r r
có độ dài tơng ứng là : 1,2,3 và
0 0 0
( , ) 30 ,( , ) 60 , ( , ) 90a b b c c a= = =
r r r r r r
.
Tính giá trị cảu các biểu thức sau:
2 2
) ( 2 )(2 3 )
) ( ) ( ) (2 ).( 2 )
a P a b c b c
b Q a b c b a b a c

= + +
= + + + +
r r r r r
r r r r r r r r
Bài 5. Cho các véctơ:
, ,a b c
r r r
có
0
( , ) ( , ) ( , ) 120a b b c c a= = =
r r r r r r
.Tính giá trị các biểu thức sau:
2
) ( )
) ( )( )
a P a b c
b Q a b b c
= + +
= +
r r r
r r r r
Bài toán 2: Tìm hệ số véc tơ. Cho các véctơ
,a b
r r
thoả mãn điều kiện xác định. Ta đặt
. .u x a y b= +
r r r
. Tìm các số x,y.
Bài 6.Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A có AB=1, AC=2. Ta dựng điểm M sao cho
, 2 5, . . .AM BC AM AM x AB y AC = = +

uuuur uuur uuur
Tìm các số thực x,y.
Bài 7. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 1. ta dựng điểm M sao cho
^
0
2, 45AM MAB= =
và đặt
. . .AM x AB y AC= +
uuuur uuur uuur
. Tìm các số thực x,y.
Bài 8. Cho tam giác ABC có AB= 1, AC=2, A=120
0
.Ta dựng điểm M sao cho
, 3AM BC AM =

và đặt
. . .AM x AB y AC= +
uuuur uuur uuur
. Tìm các số thực x,y.
Bài 9. Cho hai véctơ
,a b
r r
có độ dài bằng 1.Góc tạo bởi hai véctơ bằng 30
0
. Ta lập véc tơ
. .c x a b= +
r r r
.
Tìm x để
7c =

r
Bài 10. Cho hai véctơ
,a b
r r
có độ dài bằng 1.Góc tạo bởi hai véctơ bằng 60
0
. Tìm các giá trị x,y sao
cho:
1
3
xa b
a yb

+ =


+ =


r r
r r
.
Bài toán 3: Tính độ dài véc tơ, khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai véc tơ.
Ta đã biết:
1. .a a a=
r r r
2.
AB AB=
uuur
3.

.
. .cos( , ) cos( , )
a b
a b a b a b a b
a b
= =
r r
r r r r r r r r
r r
4.
2 2
2
( ) .a b a b a b = +
r r r r r r
Kết hợp các kết quả trên và kết quả của bài toán 1, bài toán 2 ta có đợc cách giải quyết một số bài
toán liên quan đến tính độ dài đoạn thẳng, góc của hai véc tơ.
Bài 1: Cho các véctơ:
,a b
r r
có độ dài tơng ứng là 1, góc giữa hai véctơ bằng 120
0
. Ta lập véctơ
3. 4.x a b= +
r r r
. Tính độ dài của véctơ
x
r
?
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=1, AC=2, . Tia phân giác trong của góc A cắt BC tại D.
Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB=1, AC=2, góc A=120
0
.
1. Tính độ dài đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ A.
2. Tính độ dài đờng phân giác trong của tam giác kẻ từ A.
3. Tính độ dài đờng phân giác ngoài kẻ từ A.
Bài 4: Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC vuông cân tại A ta lấy các điểm tơng ứng M,N sao
cho
2
AM BN
MB NC
= =
. Tính độ dài đoạn MN biết AB=1
Bài 5: Cho hình thang ABCD, hai đáy là AB và CD, có độ dài hai đờng chéo m,n; góc tạo bởi hai đ-
ờng chéo bằng

. Tính khoảng cách giữa trung điểm hai cạnh đáy của hình thang.
Bài 6: Cho các véctơ
,a b
r r
có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện
2 3 7.a b =
r r
.Tính
( )
cos ,a b
r r
.
Bài 7: Cho tam giác ABC có các cạnh AB=1, AC=2, BC=
6

. Tính số đo góc A.
Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM=1, trên cạnh CD
lấy điểm N sao cho
2
3
DN =
. Tính số đo MAN .
Bài 9: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD có độ dài các đờng chéo là 3, 5. Khoảng cách hai
trung điểm hai đáy là 2. Tính góc giữa hai đờng chéo của hình thang.
Bài 10: Cho các véctơ
,a b
r r
có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 60
0
. Ta lập các véc tơ
2 ,u a b v a b= + =
r r r r r r
. Tính
cos( , )u v
r r
.
Bài toán 4: Chứng minh quan hệ vuông góc của các đờng thẳng
Phơng pháp : Để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc ta thự hiện theo các bớc sau:
- Chọn ra trên mỗi đờng thẳng một véctơ.
- CMR tích vô hớng của hai véc tơ đợc chọn bằng 0.
Bài tập:
Bài 1: Trên đoạn AC ta lấy điểm B. Về một phía với AC ta dựng hai hình vuông ABMN, BCDE.
Chứng minh rằng AE vuông góc CM.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Gọi H là trung điểm của đoạn BC, D là chân đờng vuông góc
kẻ từ H xuống AC, M là trung điểm của đoạn thẳng HD. Chúng minh rằng AM vuông góc BD.

Bài 3: Cho bốn điểm A,B,C,D. CMR
2 2 2 2
AB CD AD BC+ = +
là điều kiện cần và đủ để AC vuông
góc BD.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh BC,CD ta lấy các điểm tơng ứng M,N sao cho:
BM CN
BC CD
=
. CMR, AM vuông góc BN.
Bài 5: cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy các điểm M, N, E
sao cho
AM BN CE
MB NC EA
= =
. CMR, AN vuông góc ME.
Bài 6: Cho tam giác ABC có các đờng trung tuyến là AM, BE, CF.
a) CMR,
2 2 2
5BE CF AM+ =
là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A.
b) CMR,
2 2 2
5AB AC BC+ =
lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó BE vu«ng gãc CF.