Cách tìm tiệm cận hàm số hữu tỷ

TÀI LIỆU CỦA KYS – ÔN THI THPT 2018
CÁCH TÌM TIỆM CẬN HÀM SỐ HỮU TỶ
I. TIỆM CẬN ĐỨNG:
Định Nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D và x0  D .
Đường thẳng:

x  x0

được gọi là đường tiệm cận đứng (TCĐ) của hàm số y = f(x) nếu: ít nhất

một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f ( x)  

lim f ( x)  

lim f ( x)  

lim f ( x)  

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

Phương pháp: Tìm giới hạn lim  f ( x) hay lim  f ( x) (với x  x0 là nghiệm của mẫu) kết quả phải là
x  x0 

x  x0 

 . Nếu kết quả giới hạn là hằng số C hoặc Math ERROR ta loại x0 đó.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y 

x2  x  2
x2  4 x  3

ĐKXĐ: x2  4 x  3  0  TXĐ: D  R \ 1,3

x 1
MS: x 2  4 x  3  0  
x  3
x2  x  2
 2 1010 ( đọc là  ) suy ra x  1 là tiệm cận của đồ
 Với x  1  lim f ( x)  lim 2
x 1
x 1 x  4 x  3

thị hàm số .
x2  x  2
 7 1010 (đọc là  ) vậy x  3 là một tiệm cận đứng
 Với x  3  lim f ( x)  lim
2

x 3
x 3 x  4 x  3

của đồ thị
KẾT LUẬN: Hàm số đã cho hai tiệm cận đứng: x  1 và x  3

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 1


Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y 

4 x 2  1  3x 2  2
x2  x

x  0
1 1

MS: x 2  x  0  
 TXĐ: D  (,  )   ,   \ 1
2 2

 x 1
 Với x  0 thì lim
x 0

4 x 2  1  3x 2  2
máy hiện Math ERROR ta loại x  0
x2  x

4 x 2  1  3x 2  2
 6.732050808 1010 ( đọc là  ) vậy x  1 là một tiện cận
 Với x  1 thì lim
2

x 1
x x
đứng của đồ thị . Vậy TCĐ x  1 .
Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 

x 2  1  3x  1
x2  x  6

 3x  1  0
1
ĐKXĐ  2
TXĐ: d   , ) \ 2
3
x  x  6  0
 x  3
MS: x 2  x  6  0  
 x2
 x  3 thi lim
x 3

 x  2 thì lim
x 2

x 2  1  3x  1
máy hiện Math ERROR ! ta loại x  3
x2  x  6
x 2  1  3x  1
 0, 04472156 (hằng số ) ta loại x  2
x2  x  6

Vậy hàm số không có TCĐ
CHÚ Ý: Ta có thể tìm TCĐ nhanh như sau:
B1. Giải phương trình tìm nghiệm của mẫu số
B2.Thế các nghiệm x0 vào tử số nếu kết quả bằng 0 hoặc Math ERRO ! thì loại x0 đó

Ví dụ 4: TÌM TCĐ của đồ thị hàm số y 

2 x 1  x2  x  3
x2  5x  6

x  2
 x2  5x  6  0  
x  3
với x  2 thế vào 2 x  1  x 2  x  3  3  3  0 ta loại x  2
với x  3 thế vào 2 x  1  x 2  x  3  5  15  0 Vậy x  3 là TCĐ cần tìm.
Ví dụ 5: Tìm TCĐ của đồ thị hàm số

y

1  x2
x2  4

 x2  4  0  x  2 khi thế x  2 vào 1  x 2 kết quả Math ERROR
Ta loại x  2 Kết luận đồ thị hàm số không có TCĐ
Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 2


II. TIỆM CẬN NGANG:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
(là khoảng dạng: (a; ),(; b),(; ) )
 Đường thẳng:

y  y0

được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x)

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f ( x)  y
x 

0

lim f ( x)  y

;

x 

0

 Hàm phân thức có TCN khi bậc tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc mẫu số.
 Nếu bậc tử số nhỏ hơn bậc mẫu số thì TCN là y  0
Ví dụ: hàm số y 

3
2x 1
có TCN là y  0

&y 2
x5
x 3

 Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì TCN là tỉ số hai hệ số cao nhất của tử và mẫu.
Ví dụ: + hàm số y 

2x  3
2
có TCN là y  (hệ số của tử là 2,hệ số của mẫu là 3).
3x  5
3

5 x 2  3x  2
5
+ hàm số y  2
có TCN là y 
2 x  3x  1
2

Kinh nghiệm này là kết quả của giới hạn: lim f ( x)  y0
x 

CHÚ Ý: Nếu TXĐ của hàm số y = f(x) là tập hửu hạn  a, b  hay  a, b  thì đồ thị hàm số không có tiệm
cận ngang
Ví dụ: Tìm TCN của đồ thị hàm số y 

1  x2
x2  4

1  x 2  0
 D   1,1 nên không tồn tại lim f ( x) vậy hàm số không TCN
ĐKXĐ:  2
x 
x  4  0

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 3


III. TIỆM CẬN XIÊN.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn
(là khoảng dạng: (a; ),(; b),(; ) )
Định nghĩa: Nếu hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) thỏa:
lim  f ( x)  (ax  b)   0 hay lim  f ( x)  (ax  b)   0 thì () : y  ax  b là tiệm cận xiên của  C 

x 

x 

Phương pháp: thực hiện chia đa thức lấy tử chia mẫu khi đó ta có:
f ( x)  ax  b   ( x) với  ( x) là phần dư của phép chia mà lim  ( x)  0 thì TCX là y  ax  b
x 

Ví dụ 1: Tìm TCX của hàm số y 

x 2  3x  5
5
 y  x

x 3
x 3

5
 0 nên hàm y  f ( x) có TCX là y  x .
x  x  3

Ta có lim

Ví dụ 2: Tìm TCX của hàm số y  f ( x) 
Ta có y  2 x  1 

2 x2  x  3
x 1

2
2
lại có lim
 0 nên àm y  f ( x) có TCX là y  2 x 1
x  x  1
x 1

 Ngoài cách tìm TCX của hàm số y  f ( x) theo trên thì có thể tìm TCX bằng cách tìm hai hệ số
a và b của đường thẳng y  ax  b như sau:

f ( x)
f ( x)


a  lim

 a  xlim

x 

x
x
và 

b  lim  f ( x)  ax 
b  lim  f ( x)  ax 
x 
x 


2x2  x  5
Ví dụ: Tìm TCX của đồ thị hàm số: y 
2x 1

 2 x2  x  5 
2 x2  x  5
 1 và b  lim 
 x   1
x 
x  (2 x  1) x
 2x 1


Ta có a  lim

Vậy TCX cần tìm là y  x  1

 Các hàm phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu 1 đơn vị thì có tiệm cận xiên .

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

THPT 2018 | Trang 4


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y 
A. x  1

3x  1
là
x 1

B. x  1

Câu 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 
A. y  1
Câu 3. Cho hàm số y 

C. x  3

D. x  3

C. y  2

D. y  2

2x 1

là
x 1

B. y  1

3x  1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y  1

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là y  3

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1

Câu 4. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 
A. 2
Câu 5. Cho hàm số y 

2
A. y  ; x  3
3
Câu 6. Cho hàm số y 
A. 1

3x  1
là:
x

B. 1

C. 4

D. 3

2x  7
. Hàm số có tiệm ngang và tiệm cận đứng là:
3 x
C. y  2; x  3

B. y  2; x  3

D. y  3; x  2

x 2  3x  1
. Số tìm cận của đồ thị hàm số là:
x2
B. 2

C. 3

D. 4

x2  4x  2
Câu 7. Cho hàm số y 
, phương trình tiệm cận xiên của hàm số là:
2 x  3

A. y = x – 2
Câu 8. Cho hàm số y 

C. y 

B. y = 2 − x

1
5
x
2
4

D. Đáp án khác

2 x 2  3x  2
.Khẳng định nào sau đây đúng?
x2  2 x  3

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y 

1
2

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là x  2
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x  1; x  3
Câu 9. Cho hàm số y 
A. m  3
Câu 10. Cho hàm số y 

A. m  2

2 x  2m  1
. Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm M  3;1
xm
B. m  3

C. m  1

D. m  2

m  2x
. Với giá trị nào của m thì x  1 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x 1
B. m  2

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

C. m tùy ý

D. Không có m
THPT 2018 | Trang 5


Câu 11. Cho hàm số y 

2x  m
. Với giá trị nào của m thì các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với
xm

các trục tọa độ một hình vuông
B. m  2

A. m  2
Câu 12. Cho hàm số y 

C. A và B sai

D. A và B đều đúng

mx  2
. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giao điểm 2 tiệm cận tới tâm O
x 1

bằng 5
B. m  2

A. m  4
Câu 13. Cho hàm số y 

D. A và B đều đúng

2  3x
. Với giá trị nào của m thì tiệm cận đứng nằm bên trái trục tung?
3x  m

A. m  0
Câu 14. Cho hàm số y 

C. A và B sai

B. m  0

C. m tùy ý

D. Không có giá trị m

2mx  m
. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ
x 1

thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
B. m  

A. m  2
Câu 15. Cho hàm số y 

1
2

C. m  4

D. m  4

mx  1
. Với giá trị nào của m thì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm
2x  m

(1;5)
B. m  2

A. m  2
Câu 16. Cho hàm số y 

C. m  1

D. m  1

3x  1
có đồ thị là (C). Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thỏa mãn khoảng cách từ
x 1

M tới tiệm cận đứng gấp 4 lần khoảng cách M tới tiệm cận ngang. Kết quả x là?
A. x = 3 hoặc x = – 5
Câu 17. Cho hàm số y 

B. x = ± 4

C. x = 4

D. Đáp án khác

2x 1
có đồ thị là (C). Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thõa mãn khoảng cách từ
x 1

M tới tiệm cận đứng bằng khoảng cách M tới tiệm cận ngang. Đáp án nào có y thỏa?
A. y = 1 hoặc y = 2
Câu 18. Cho hàm số y 

B. y = 1 hay y = 3

C. y = 2 hay y = 3

D. Đáp án khác

x2
có đồ thị là (C). Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thõa mãn tổng khoảng cách
x 1

từ M tới tiệm cận đứng và khoảng cách M tới tiệm cận ngang là 2. Tìm M?
A. M(2;0)

B. M(0;2)

C. M(-2; 0) hoặc M(0; 2)

D. Đáp án khác

Câu 19. Cho hàm số y 

2x  7
có đồ thị là (C). Gọi M(x; y) là tọa độ trên (C) thõa mãn tổng khoảng
x 1

cách từ M tới tiệm cận đứng và khoảng cách M tới tiệm cận ngang đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm x?
A. x = 4 hoặc x = – 2

B. x = ± 4

C. x = ± 2

Nhận tài liệu tự động qua mail cả năm – Liên hệ: Fb.com/tailieucuakys

D. Đáp án khác

THPT 2018 | Trang 6


Câu 20. Cho hµm sè y 
A. x 

3  2x
. Tiệm cận đứng và ngang lần lượt là
3x  2
2
2
B. x   ; y  
3
3

2
2
; y
3
3

Câu 21. Cho hµm sè y 

2

C. x   ; y  1
3

D. x 

2x  5
. Tiệm cận đứng và ngang lần lượt là:
4 x

A. x  4 ; y  2

B. x  4 ; y  2

Câu 22. Cho hµm sè y 

3
. Chọn phát biểu đúng
2 x

C. x  4 ; y 

1
2

D. x  4 ; y  5

A. Có duy nhất 1 tiệm cận đứng

B. Không có tiệm cận ngang

C. Có 1 TCĐ và 1 TCN

D. Có TCĐ x=2; TCN y = 3/2

Câu 23. Cho hµm sè y 

2
2
;y
3
3

2x  1
. Chọn phát biểu đúng đồ thị hàm số:
x  3x  2
2

A. Có 2 tiệm cận đứng

B. Chỉ có TCĐ, không có TCN

C. Có 2 TCĐ và 1 TCN

D. Không có đường tiệm cận nào

Câu 24. Cho hàm số y =f(x) có lim f ( x)   và lim f ( x)   . Phát biểu nào sau đây đúng:
x 3

x  3

A. Đồ thị hàm số có 2 TCĐ là x = -3 và x = 3

B. Đồ thị hàm số không có TCĐ

C. Đồ thị hàm số có duy nhất 1 TCĐ

D. Đồ thị hs có 2 TCN

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU TỰ ĐỘNG CẢ NĂM HỌC
Quý Thầy/Cô cần file word và chia sẻ tài liệu đến học sinh
Liên hệ trực tiếp Fanpage: Tài Liệu của Kys
Group học tập chất lượng cho học sinh: Gia Đình Kyser

ĐÁP ÁN
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

D

D

A

C

B

C

D

B

B

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

D

B

A

C

A

A

B

C

A

B

21

22

23

24

A

C

C

A

Tài Liệu của Kys – Chia sẻ tài liệu & đề thi chất lượng

THPT 2018 | Trang 7