về vài bài toán thi học sinh giỏi tỉnh qnam

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH – QUẢNG NAM
TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008
   
CHUYÊN ĐỀ :
TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
QUẢNG NAM
Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ
ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bài toán : " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B =
π
. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
chúng là ba số tự nhiên liên tiếp "
( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 )
Tìm hiểu lời giải bài toán :
Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán .Ta có :
acbc
Csin.AsinBsinCsin
Csin)BCsin()BCsin()BCsin(
Csin)BCsin(
BC2
B3A2
CBA

22
22
=−⇒
=−⇒
+=−+⇒
=−⇒




=−⇒
=+
=++
π
π
π
Từ giả thiết : 2A+ 3B =
π
với A,B,C là 3 góc tam giác ta suy ra :
c
2
- ac - b
2
= 0
Bài toán được phát biểu lại :
" a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c
2
- b
2
= ac . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “
Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c
2
- b
2
= ac ta suy ra : c > a , c> b
+ Trường hợp : c > b > a . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ a = n , b = n +1 , c= n +2
( n ∈ N*) , kết hợp với c
2

- b
2
= ac suy ra (n+2)
2
– (n+1)
2
= n.(n+2)
⇒ 2n + 3 = n
2
+ 2n ⇒ 3 = n
2
(!)
+ Trường hợp : c> a > b . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ b = n , a = n +1 , c= n +2
( n ∈ N*) , kết hợp với c
2
- b
2
= ac suy ra (n+2)
2
– n
2
= (n+1).(n+2)
⇒ 4n + 4 = n
2
+ 3n +2 ⇒ n
2
-n -2 = 0 ⇒ n = 2 , n = -1 ( loại )
Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4
Bài toán đề nghị :" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B =
π

.
a/ Chứng minh a + b
≤

4
5
c
b/ Chứng minh 10 c
≥
9a + 6b
VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có :
sinx + sin2x + sin3x <
2
33
( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam 2001-2002.)
 Lời giải khác với đáp án
VT = 2 sin2x cosx + sin2x = 2 sin2x cosx+ 2 cosx sin x (#)
1

( )( )
xxxx
2222
sincoscos42sin4 ++≤
( Bu nhia cốp xki )
=
( )
1sin4cos4
22
+xx

2
1sin4cos4
22
++
≤
xx
( bđt Cô si )
2
33
2
5
<=
Bất đẳng thức được chứng minh .
♦ Khai thác lời giải:
+ Từ lời giải trên ta có bất đẳng thức chặt hơn :
" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x <
2
5
"
+ Ở dòng (#) nếu thay x bởi 2x ( hoặc -x ,... ) ta xác lập bất đẳng thức :
" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin3x + sin4x <
2
5
"
+ Ở dòng(#) nếu hoán đổi cosx và sinx cho nhau ta xác lập bất đẳng thức :
" Chứng minh với mọi x ta có : cosx + cos2x - cos3x <
2
1
"

BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
Bài tuán : a,b,c∈ (0,1] -chứng minh :

( )( )( )
c1b1a1
3
1
cba
1
−−−+≥
++
(đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam )
Tìm tòi lời giải : Ta thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh .
Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ :
( )( )( )
( )
3
cba3
3
c1b1a1
c1b1a1
3
++−
=
−+−+−
≤−−−
(bđt Cô Si )
Ta đi chứng minh bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức ban đầu :
cba
1

++
≥
+
3
1
( )
3
3
cba3






++−
(♦ )
Bất đẳng thức bây giờ chỉ chứa mỗi một biến ” a + b + c”
Đặt S = a+b+c , 0 < S ≤ 3 . Bất đẳng thức (♦ ) viết lại :
( ) ( )
3
3
S3SS39
3
S3
S3
S3
−≥−⇔







−
≥
−


0])S3(S9)[S3(
2
≥−−−⇔
(♥) .
Vì 3-S ≥ 0 , để chứng minh (♥) ta chứng minh : 9 - S(3-S)
2
≥ 0 với 0 <S ≤ 3.. Ta có :
S(3-S)
2
=
4)
3
)S3()S3(S2
(
2
1
)S3)(S3.(S2
2
1
3
=

−+−+
≤−−
(bất đẳng thức Cô si)
⇒ 9 - S(3-S)
2
≥ 9 - 4 > 0 ⇒.(♥) được chứng minh ⇒ bất đẳng thức (♦ ) được chứng minh ⇒ bất
đẳng thức ban đầu được chứng minh .
Dấu '' = ''xảy ra ⇔1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 ⇔ a = b = c =1
                
2