TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH
TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008
     
CHUYÊN ĐỀ :
TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
QUẢNG NAM
Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ
ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bài toán 1:" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B =
π
.
Chứng minh a + b
≤

4
5
c (# ) "
Trong các sách tham khảo- các tác giả chuyển đổi (#) thành hệ thức lượng giác trên cơ sở hệ thức
sin và thực hiện các phép biến đổi lượng giác , đi đến một lời giải gọn gàng .
1/ Tìm hiểu lời giải bài toán ( ở một khía cạnh khác )
Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán .Ta có :
acbc
Csin.AsinBsinCsin
Csin)BCsin()BCsin()BCsin(
Csin)BCsin(
BC2
B3A2
CBA

22
22

=−⇒
=−⇒
+=−+⇒
=−⇒



=−⇒
=+
=++
π
π
π
Bài toán ban đầu được phát biểu lại :
" Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c
2
- b
2
= ac
chứng minh : a + b
≤

4
5
c "
( Giả thiết và kết luận của bài toán đã xích lại gần nhau )
Việc chứng minh bài toán đại số này là không khó .
Ta có a + b
≤

4
5
c
⇔
ac + bc
≤

4
5
c
2

⇔
c
2
- b
2
+ bc
≤

4
5
c
2


⇔
c
2
- 4bc + 4b

2

0
≥

⇔

( )
0
2
≥− bc
(đúng )
2/ Khai thác lời giải bài toán :
Trên cơ sở đẳng thức c
2
- b
2
= ac được xác lập ta có thể tạo ra các bất đẳng thức khác - chẳng
hạn : Từ phương trình bậc hai c
2
- ac - b
2
= 0 (c > 0 ) ta có nghiệm dương
c =
2
4
22
baa ++

=⇒

c2
a+
22
b4a +

b6a4a5b4a34a5c10
2222
++≥+++=⇒
( Bu - nhia - cốp - ki)
bac 6910 +≥⇒
.
Một bài toán mới được xác lập :
" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B =
π
. Chứng minh :
10 c
≥
9a + 6b " ...
Bài toán 2: " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B =
π
. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng
là ba số tự nhiên liên tiếp "
( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 )
Từ giả thiết : 2A+ 3B =
π
với ABC là 3 cạnh tam giác ta suy ra :
c
2
- ac - b
2

= 0 ( Bài toán 1)
1
Bài toán được phát biểu lại :
" a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c
2
- b
2
= ac . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết
chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “
Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c
2
- b
2
= ac ta suy ra : c > a , c> b
Trường hợp : c > b > a . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ a = n , b = n +1 , c= n +2
( n ∈ N*) , kết hợp với c
2
- b
2
= ac suy ra (n+2)
2
– (n+1)
2
= n.(n+2)
⇒ 2n + 3 = n
2
+ 2n ⇒ 3 = n
2
(!)
Trường hợp : c> a > b . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ b = n , a = n +1 , c= n +2

( n ∈ N*) , kết hợp với c
2
- b
2
= ac suy ra (n+2)
2
– n
2
= (n+1).(n+2)
⇒ 4n + 4 = n
2
+ 3n +2 ⇒ n
2
-n -2 = 0 ⇒ n = 2 , n = -1 ( loại )
Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4
VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có :
sinx + sin2x + sin3x <
2
33
( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam 2001-2002.)
 Các lời giải khác với đáp án
1/ Lời giải thứ nhất :
VT = 2 sin2x cosx + sin2x = 2 sin2x cosx+ 2 cosx sin x (#)

( )( )
xxxx
2222
sincoscos42sin4 ++≤
( Bu nhia cốp xki )

=
( )
1sin4cos4
22
+xx

2
1sin4cos4
22
++
≤
xx
( bđt Cô si )
2
33
2
5
<=
Bất đẳng thức được chứng minh .
♦ Khai thác lời giải thứ nhất :
+ Từ lời giải trên ta có bất đẳng thức chặt hơn :
" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x <
2
5
"
+ Ở dòng (#) nếu thay x bởi 2x ( hoặc -x ,... ) ta xác lập bất đẳng thức :
" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin3x + sin4x <
2
5
"

+ Ở dòng(#) nếu hoán đổi cosx và sinx cho nhau ta xác lập bất đẳng thức :
" Chứng minh với mọi x ta có : cosx + cos2x - cos3x <
2
1
"
2/ Lời giải thứ hai :
Vế trái bất đẳng thức là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 π .
Ta chỉ cần chứng minh bđt đúng với mọi x
[ ]
π
2,0∈
. Thử chia đoạn
[ ]
π
2,0(
thành các khoảng rời
nhau và chứng minh bất đẳng thức đúng trên từng khoảng .
* nếu
ππ
2≤≤ x
thì sinx
0≤
khi đó
VT
23sin2sin ≤+≤ xx
2
33
<
* nếu
π

π
<≤ x
2
thì sin2x
0≤
khi đó
2
VT
2
33
............ <≤
* nếu
23
ππ
<≤ x
thì sin3x
0
≤
khi đó
VT
2
33
............ <≤
* nếu
3
0
π
<≤ x
thì x , 2x ,
π

-3x
[ ]
π
,0∈
VT = sĩn+sin2x+sin (3-x)






−++
≤
3
32
sin3
xxx
π
(bất đẳng thức Jen sen )
= 3sin
2
33
3
=
π
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong .
♦ Khai thác lời giải thứ hai :
+ từ lời giải thứ hai bạn có thể xác lập được bất đẳng thức tương tự -chẳng hạn :
" Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin4x <
2

33
"
BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
Bài tuán : a,b,c∈ (0,1] -chứng minh :

( )( )( )
c1b1a1
3
1
cba
1
−−−+≥
++
(đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam )
Tìm tòi lời giải : Ta thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh .
Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ :
( )( )( )
( )
3
cba3
3
c1b1a1
c1b1a1
3
++−
=
−+−+−
≤−−−
(bđt Cô Si )
Ta đi chứng minh bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức ban đầu :

cba
1
++
≥
+
3
1
( )
3
3
cba3






++−
(♦ )
Bất đẳng thức bây giờ chỉ chứa mỗi một biến ” a + b + c”
Đặt S = a+b+c , 0 < S ≤ 3 . Bất đẳng thức (♦ ) viết lại :
( ) ( )
3
3
S3SS39
3
S3
S3
S3
−≥−⇔







−
≥
−


0])S3(S9)[S3(
2
≥−−−⇔
(♥) .
Vì 3-S ≥ 0 , để chứng minh (♥) ta chứng minh : 9 - S(3-S)
2
≥ 0 với 0 <S ≤ 3.. Ta có :
S(3-S)
2
=
4)
3
)S3()S3(S2
(
2
1
)S3)(S3.(S2
2
1

3
=
−+−+
≤−−
(bất đẳng thức Cô si)
⇒ 9 - S(3-S)
2
≥ 9 - 4 > 0 ⇒.(♥) được chứng minh ⇒ bất đẳng thức (♦ ) được chứng minh ⇒ bất
đẳng thức ban đầu được chứng minh .
Dấu '' = ''xảy ra ⇔1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 ⇔ a = b = c =1
                
3