Một số dạng toán về phép chia ở Tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

TRẦN THỊ NGỌC TÚ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

HÀ NỘI – 2017


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

TRẦN THỊ NGỌC TÚ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN
VỀ PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI – 2017

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các bạn sinh viên khoa Giáo dục
Tiểu học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để em có
điều kiện tốt nhất trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, em
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã định hướng chọn
đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận này.
Lần đầu tiên thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, nên khóa luận không
tránh khỏi những hạn chế và còn những thiếu sót nhất định. Em xin chân
thành cảm ơn những lời đóng góp của các giảng viên và các bạn sinh viên để
khoá luận hoàn thành như hiện tại.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Ngọc Tú


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận
tốt nghiệp “Một số dạng toán về phép chia ở Tiểu học” được hoàn thành
theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng với bất kì khóa luận
nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Ngọc Tú

MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Mở đầu

1

Chƣơng 1. Kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học

3

1.1 Khái niệm cơ bản về phép chia trên tập số tự nhiên

3

1.2 Một số dấu hiệu chia hết

3

1.3 Tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu

4

1.4 Phép chia có dư

4

Chƣơng 2. Một số dạng toán về phép chia ở Tiểu học

6

2.1 Một số dạng toán cơ bản về phép chia

6

2.1.1 Tính nhẩm

6

2.1.2 Tính giá trị biểu thức

8

2.1.3 Nhận biết phép chia hết và phép chia có dư

9

2.1.4 Tìm thành phần chưa biết của một phép tính

11

2.1.5 Giải các bài toán có lời văn

13

2.2 Một số dạng toán nâng cao về phép chia

15

2.2.1 Vận dụng một số dấu hiệu chia hết để viết các số tự nhiên

15

2.2.2 Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa

20

biết của một số tự nhiên


2.2.3 Các bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng

26

hoặc một hiệu
2.2.4 Các bài toán về phép chia có dư

31

2.2.5 Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các

37

bài toán có văn
2.2.6 Bài toán chứng minh, giải thích

42

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48


MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài. Bậc Tiểu học là một bậc học quan trọng, nó được coi là
một bậc học nền tảng trong hệ thống giáo dục quốc dân, với mục tiêu nhằm
giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn, lâu
dài về trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản để các em tiếp tục học Trung
học cơ sở. Để thực hiện được mục tiêu đó của nền giáo dục, các trường phổ
thông nói chung, bậc Tiểu học nói riêng đã có sự đổi mới mạnh mẽ. Nội dung
ngày càng hiện đại, tính hệ thống ngày càng cao, vấn đề đưa ra ngày càng sâu
rộng còn phương pháp dạy học ngày càng phong phú, đa dạng theo hướng
tích cực hóa hoạt động của học sinh.
Mỗi môn học ở bậc Tiểu học đều góp phần rất quan trọng vào việc hình thành
và phát triển nhân cách của trẻ em. Trong đó, môn Toán có vị trí và ý nghĩa
quan trọng, góp phần không nhỏ trong việc hình thành cho học sinh một
phương pháp tư duy riêng biệt để nhận thức thế giới và hỗ trợ cho việc học
tập các môn học khác được tốt hơn.
Các kiến thức và kĩ năng của môn Số học có thể nói là trọng tâm và đồng thời
cũng là hạt nhân của môn Toán thuộc bậc Tiểu học. Các kiến thức khác đều
gắn chặt và phát triển song song cùng với sự phát triển của hệ thống kiến thức
về số học. Nội dung của môn Số học gồm các phép toán căn bản: cộng, trừ,
nhân và chia.
Một trong bốn phép tính đó phép chia góp một phần quan trọng trong việc

phát triển kỹ năng và tư duy toán học cho học sinh bậc Tiểu học. Phép chia
bắt đầu xuất hiện từ lớp 2 và đến lớp 4 thì các dấu hiệu chia hết về căn bản
lần lượt được giới thiệu cho học sinh. Việc dạy các kiến thức về phép chia ở
Tiểu học là một vấn đề khá phức tạp, nên các em cần được trang bị những
kiến thức căn bản nhất.

1


Xuất phát từ những lý do trên với niềm mong muốn nâng cao hiệu quả chất
lượng dạy học môn Toán cùng việc định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào, em
quyết định lựa chọn và nghiên cứu đề tài: “Một số dạng toán về phép chia ở
Tiểu học”.
Để giải quyết vấn đề đặt ra, khoá luận được bố cục thành 2 chương
Chƣơng 1. Kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học
Chƣơng 2. Một số dạng toán về phép chia ở Tiểu học
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học.
Nghiên cứu về các dạng toán để phân loại dạng toán cơ bản và nâng cao về
phép chia.
3 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Các bài toán có nội dung liên quan đến
phép chia trong chương trình Tiểu học.
4 Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp thu thập và xử lý số liệu

2


Chƣơng 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC
1.1 Khái niệm cơ bản về phép chia trên tập số tự nhiên. Ở Tiểu học, ngay
từ lớp 2 học sinh đã được học về bảng nhân, bảng chia. Trước tiên, học sinh
được học giới thiệu về phép nhân và được học các bảng nhân 2, 3, 4, 5. Sau
khi học bảng nhân 2, 3, 4, 5 thì học sinh được giới thiệu về phép chia và được
học bảng chia 2, 3, 4, 5. Học sinh được tiếp nhận những khái niệm ban đầu về
phép chia. Phép chia chính là phép toán ngược của phép nhân.
Ví dụ
3 7
21 : 3
21 : 7

21
7
3

5 6

30

30 : 6
30 : 5

5
6

Đến đầu kì I của lớp 3 , học sinh được học bảng nhân, bảng chia 6, 7, 8, 9 và
được học bài “Phép chia hết và phép chia có dư”. Phép chia hết là phép chia
có số dư bằng 0 . Phép chia có dư là phép chia có số dư lớn hơn 0 và bé hơn
số chia.

1.2 Một số dấu hiệu chia hết. Sách giáo khoa Toán 4 , chương 3 đã giới
thiệu cho các em học sinh một số dấu hiệu chia hết. Cụ thể như sau
Dấu hiệu chia hết cho 2
- Những số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8 thì chia hết cho 2.
- Những số chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
Dấu hiệu chia hết cho 5
- Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
- Những số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5.

3


Dấu hiệu chia hết cho 3
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
- Những số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
Dấu hiệu chia hết cho 9
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
- Những số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 4
- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia
hết cho 4 .
- Những số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số
chia hết cho 4 .
1.3 Tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu. Chúng ta chỉ phát biểu
các tính chất với dấu hiệu chia hết cho 2 , đối với các trường hợp chia hết cho
3; 4; 5 và 9 cũng hoàn toàn tương tự.

1. Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng
chia hết cho 2.

2. Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia
hết cho 2.

3. Nếu một số hạng không chia hết cho 2 và các số hạng còn lại đều chia
hết cho 2 thì tổng của chúng không chia hết cho 2.

4. Hiệu giữa một số chia hết cho 2 và một số không chia hết cho 2 là một
số không chia hết cho 2.
1.4 Phép chia có dƣ

1. Nếu số a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1; 3; 5; 7; 9.

4


2. Nếu số a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 hoặc 6 ;
dư 2 thì chữ số tận cùng của nó bằng 2 hoặc 7; dư 3 thì chữ số tận cùng của
nó bằng 3 hoặc 8 và dư 4 thì chữ số tận cùng của nó bằng 4 hoặc 9.

3. Nếu các số a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng
chia hết cho 2.
Cũng có tính chất tương tự đối với các trường hợp khi chia cho 3; 4; 5; 9.

4. Nếu a chia cho b dư b

1 thì a

5. Nếu a chia cho b dư 1 thì a

1 chia hết cho b.

1 chia hết cho b.

Kết luận
Trên đây, em đã tìm hiểu được các kiến thức cơ bản về phép chia ở Tiểu học.
Trong chương trình Toán Tiểu học, số lượng các bài toán về phép chia tương
đối nhiều. Chúng xuất hiện ở các sách giáo khoa và sách toán nâng cao, toán
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Trong quá trình tìm hiểu nghiên cứu em đã chia thành các dạng toán cơ bản
và các dạng toán nâng cao về phép chia. Trình độ, khả năng nhận thức của
học sinh không đồng đều, có những học sinh có khả năng về mặt này nhưng
lại yếu về mặt khác. Mỗi giáo viên cần tạo điều kiện thuận lợi để các khả
năng vượt trội đó của học sinh được phát triển một cách tốt nhất. Chính vì
vậy, việc xây dựng hệ thống các dạng toán về phép chia là một việc rất cần
thiết mà chúng em đã thực hiện ở chương tiếp theo.

5


Chƣơng 2
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHÉP CHIA Ở TIỂU HỌC
2.1 Một số dạng toán cơ bản về phép chia ở Tiểu học
Trong sách giáo khoa Toán ở chương trình tiểu học có đưa ra các bài toán ở
mức độ cơ bản nhất. Dựa vào kiến thức đã học, các em có thể vận dụng để
tính, điền và tìm ra kết quả của bài toán một cách nhanh nhất.
Trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu, em đưa ra một số dạng cơ bản sau
Dạng 1.Tính nhẩm
Dạng 2. Tính giá trị biểu thức
Dạng 3. Nhận biết phép chia hết và phép chia có dư
Dạng 4. Tìm thành phần chưa biết của một phép tính

Dạng 5. Giải các bài toán có lời văn
2.1.1 Tính nhẩm
2.1.1.1 Kiến thức cần lƣu ý. Đối với những bài toán thuộc dạng toán này
chúng ta cần yêu cầu học sinh học thuộc lòng các bảng chia trong chương
trình học sau đó điền kết quả của phép tính. Ngoài ra học sinh phải ghi nhớ
quy tắc nhân, chia cho các số đặc biệt như 10;100;1000;0,1;0, 01;0, 001,...
2.1.1.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1([8] - trang 25 , bài 2 ). Tính nhẩm

16:4

18:3

24: 3

16:2

18:6

24:6

12: 6

15:5

35:5

Phân tích
Để giải bài toán này ta chỉ cần học thuộc bảng chia 2, 3, 4, 5 và 6 sau đó điền
kết quả vào mỗi phép tính.

6


Lời giải

16:4 4

18 :3 6

24:3 8

16:2 8

18:6 3

24:6 4

12:6 2

15:5 3

35:5 7

25:0,1

48:0, 01

95:0,1

25 10

48 100

72:0, 01

Ví dụ 2. Tính nhẩm

Phân tích
Để giải bài toán này ta cần nắm vững các quy tắc nhân một số với 10;100 và
chia một số cho 0,1; 0, 01 sau đó điền kết quả vào mỗi phép tính.
Lời giải
25:0,1 250

48:0, 01 4800

95:0,1 950

25 10 250

48 100

72:0, 01 7200

4800

2.1.1.3 Bài toán tham khảo
Bài 1. Tính nhẩm

21:3

32:4

45:5

21:7

32:8

45:9

11:0, 01

35:0,1

45:0.001

11 100

35 10

45 1000

120:100

68:10

23:1000

120 0, 01

68 0,1

23 0, 001

Bài 2.Tính nhẩm

Bài 3. Tính nhẩm

7


2.1.2 Tính giá trị biểu thức
2.1.2.1 Kiến thức cần lƣu ý. Để giải các bài tập thuộc dạng toán này thì cần
chú ý một số quy tắc sau
+ Nếu trong biểu thức chỉ có các phép tính cộng, trừ hoặc nhân, chia thì ta
thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái qua phải.
+ Nếu trong biểu thức có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện
các phép tính nhân, chia trước; rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau.
+ Khi tính giá trị của biểu thức có dấu ngoặc ( ) thì trước tiên thực hiện các
phép tính trong dấu ngoặc.
2.1.2.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức
81:9 10

93 48:8

Phân tích
Để giải được bài toán này ta cần vận dụng quy tắc muốn tính giá trị của biểu
thức ta cần thực hiện các phép tính nhân, chia trước; rồi thực hiện các phép

tính cộng trừ sau.
Lời giải
93 48:8

81:9 10
9

10

93

19

6
87

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức

48:6:2

48:(6:2)

Phân tích
Để giải được bài toán này ta cần vận dụng quy tắc khi tính giá trị của biểu
thức có dấu ngoặc ( ) thì trước tiên ta thực hiện các phép tính trong ngoặc.
Lời giải

8

48:6:2

48:( 6:2)

8 :2
4

48: 3
16

2.1.2.3 Bài tập tham khảo
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức

70 36:9

72:(2 4)

81:9:3

64:( 8:4)

Bài 2.Tính giá trị của biểu thức

48:4 2

90

48: ( 4 2)

(90 9):9

9:9

2.1.3 Nhận biết phép chia hết và phép chia có dƣ
2.1.3.1 Kiến thức cần lƣu ý. Để giải các bài toán thuộc dạng toán này ta cần
thực hiện từng phép chia hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra kết quả sau
đó kết luận.
2.1.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1([9] - trang 99 , bài 4 ). Tính giá trị của mỗi biểu thức sau rồi xét xem
giá trị đó có chia hết cho những số nào trong các số 2;5 ?
a )2253 4315 173

b)6438 2325 2

c)480 120:4

d )63 24 3

Phân tích
Để giải bài toán này trước hết ta cần tính giá trị của mỗi biểu thức sau đó xét
xem kết quả có chia hết cho 2;5 dựa vào dấu hiệu chia hết.
Lời giải

9


a ) 2253

4315

6568

173

173
6395

Vì 6395 có chữ số tận cùng là 5 do vậy kết quả của biểu thức

2253 4315 173 chia hết cho 5 .
b) 6438

2325

2

6438
4650
1788

Vì 1788 có chữ số tận cùng là 8 do vậy kết quả của biểu thức

6438 2325 2 chia hết cho 2 .
c)480

120:4

480
30
450

Vì 450 có chữ số tận cùng là 0 do vậy kết quả của biểu thức 480 120:4
chia hết cho cả 2 và 5 .

d ) 63

24

63

3

72
135

Vì 135 có chữ số tận cùng là 5 do vậy kết quả của biểu thức 63 24 3 chia
hết cho 5
Ví dụ 2. Trong phép chia dưới đây, những phép chia nào có cùng số dư?
a )73:2

b)64:5

c)45 : 6

d )73:8

e)76:8

f )453:9

Phân tích
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện từng phép chia rồi dựa vào kết quả để đi
đến kết luận.

10


Lời giải
Ta có
36 (dư 1 )

d )73:8

9 (dư 1 )

b) 64:5 14 (dư 4 )

e) 76:8

9 (dư 4 )

a ) 73:2

c) 45:6

7 (dư 3 )

f )453:9

50 (dư 3 )

Vậy phép chia 73:2 và 73:8 có cùng số dư là 1 .
phép chia 64:5 và 76:8 có cùng số dư là 4 .
phép chia 45:6 và 453:9 có cùng số dư là 3 .
2.1.3.3 Bài tập tham khảo
Bài 1. Trong các phép chia dưới đây, những phép chia nào là phép chia hết?
a )350:5

b)324:9

c)457:3

d )783:2

e)96:3

f )678:8

Bài 2. Trong các phép chia dưới đây, phép chia nào chia hết, phép chia nào
chia có dư?
a )36:7

b)45:3

c)789:9

d )345:8

e)98:3

f )225:5

Bài 3. Trong các phép chia dưới đây, những phép chia nào có cùng số dư?
a )345:9

b)279:4

c)98:3

d )782:5

e)81:2

f )205:6

2.1.4 Tìm thành phần chƣa biết của một phép tính
2.1.4.1 Kiến thức cần lƣu ý. Để giải bài tập thuộc dạng toán này ta cần nắm
vững các quy tắc tìm số bị chia; số chia trong phép chia hết và phép chia có
dư.
2.1.4.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tìm x , biết
a ) x :45 4

b)204: x

Phân tích

11

6

Để giải bài toán này ta cần nắm vững quy tắc tìm số bị chia và số chia trong
phép chia hết. Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia. Trong phép
chia hết, muốn tìm số chia ta lấy số bị chia chia cho thương.
Lời giải
a ) x : 45
x
x

b) 204 : x

4

6

x
x

4 45
180

204 : 6
34

Ví dụ 2. Tìm y, biết
a ) y :5

14 (dư 4 )

b) 89: y

9 (dư 8 )

Phân tích
Để giải bài toán này cần nắm vững cách tìm số chia và số bị chia trong phép
chia có dư. Muốn tìm số bị chia trong phép chia có dư ta lấy thương nhân với
số chia và cộng với số dư. Muốn tìm số chia trong phép chia có dư ta lấy số bị
chia trừ số dư sau đó chia cho thương.
Lời giải
a) y : 5
y
y

14(du 4)
14

5
64

b) 89 : y
y
y

4

9(du 8)
(89

8) : 9

9

2.1.4.3 Bài toán tham khảo
Bài 1. Tìm x , biết
a)x : 9

108 : x

108

b) x : 3

9

255 : x

98( du 2)
4 (du 3)

Bài 2. Tìm số bị chia trong phép chia có số chia bằng 8 , thương bằng 35 và
số dư là số lớn nhất có thể có trong phép chia đó.

12


Bài 3. Tìm số chia trong phép chia có số bị chia là số tự nhiên lớn nhất có ba
chữ số, thương bằng 5 và số dư kém thương 1 đơn vị.
2.1.5 Giải các bài toán có lời văn
2.1.5.1 Kiến thức cần lƣu ý. Để giải các bài tập thuộc dạng toán này ta phải
dựa vào tính chất của phép chia hết và phép chia có dư.

2.1.5.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1([8] - trang 72 , bài 2 ). Có 234 học sinh xếp hàng, mỗi hàng có 9 học
sinh. Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng?
Phân tích Muốn tìm được có tất cả bao nhiêu hàng ta lấy số học sinh chia cho
số học sinh của mỗi hàng.
Lời giải
Có tất cả số hàng là

234:9 26 ( hàng)
Đáp số: 26 hàng
Ví dụ 2. May mỗi bộ quần áo hết 3 m vải. Hỏi có 85 m vải thì may được
nhiều nhất bao nhiêu bộ quần áo và còn thừa mấy mét vải?
Phân tích
Muốn biết 85 m vải may được nhiều nhất bao nhiêu bộ quần áo và còn thừa
mấy mét vải ta lấy 85 chia cho 3 được thương là số bộ quần áo và số dư là số
mét vải thừa. Vì đây là phép chia có dư nên thực hiện phép chia trước và kết
luận sau.
Lời giải
Ta có

85:3 28 (dư 1 ).
Vậy có thể may được nhiều nhất 28 bộ quần áo và còn thừa 1 m vải
Đáp số: 28 bộ quần áo; thừa 1 m vải .

13


Ví dụ 3. Một đoàn khách gồm 55 người muốn qua sông, nhưng mỗi thuyền
chỉ chở được 5 người kể cả người lái thuyền. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu
thuyền để chở hết số khách đó.

Phân tích
Muốn tìm số thuyền cần chở, ta lấy số khách chia cho số khách mà một
thuyền chở được. Tuy nhiên vì phải chở hết khách qua sông nên nếu còn số
người ít hơn số người tối đa một thuyền chở thì vẫn phải cần một thuyền nữa.
Lời giải
Mỗi thuyền chỉ chở được nhiều nhất số khách là

5 1 4 (người)
Ta có

55:4 13 (dư 3 )
Có 13 thuyền mỗi thuyền chở 4 người khách nhưng 3 người khách chưa có
chỗ ngồi nên cần thêm 1 thuyền nữa.
Vậy cần ít nhất số thuyền là

13 1 14 (thuyền)
Đáp số: 14 thuyền
2.1.5.3 Bài tập tham khảo
Bài 1([8] - trang 35 , bài 3 ). Có 56 học sinh xếp đều thành 7 hàng. Hỏi mỗi
hàng có bao nhiêu học sinh?
Bài 2([8] - trang 73 , bài 2 ). Một năm thường có 365 ngày, mỗi tuần lễ có 7
ngày. Hỏi năm đó gồm bao nhiêu tuần lễ và mấy ngày?
Bài 3. Một lớp học có 41 học sinh. Phòng học của lớp đó chỉ có loại bàn 2
chỗ ngồi. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bàn học như thế?

14


2.2 Một số dạng toán nâng cao về phép chia ở Tiểu học
Dựa vào nội dung của bài toán được đưa ra, em đưa ra các dạng toán sau

Dạng 1. Vận dụng dấu hiệu chia hết để viết các số tự nhiên
Dạng 2. Vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa biết của một
số tự nhiên
Dạng 3. Các bài toán vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu
Dạng 4. Các bài toán về phép chia có dư
Dạng 5. Vận dụng tính chất chia hết và phép chia có dư để giải các bài toán
có lời văn
Dạng 6. Bài toán chứng minh, giải thích
2.2.1 Vận dụng một số dấu hiệu chia hết để viết các số tự nhiên
2.2.1.1 Kiến thức cần lƣu ý. Đối với các bài toán thuộc dạng này, chúng ta
cần yêu cầu học sinh nắm vững các dấu hiệu chia hết đã được học trong
chương trình tiểu học thuộc các lớp tương ứng.
2.2.1.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1 ( [4] - trang 62 , ví dụ 2 ). Hãy thiết lập các số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 thỏa mãn điều kiện trong mỗi trường
hợp dưới đây
a ) Chia hết cho 4 .
b ) Chia hết cho 2 và 5.
c ) Chia hết cho 9.
a ) Phân tích

Bởi vì số cần lập là số có ba chữ số và chia hết cho 4 , nên ta cần dựa vào dấu
hiệu chia hết cho 4 “Để một số chia hết cho 4 thì có hai chữ số tận cùng
của số đó tạo thành một số chia hết cho 4 ”. Từ đây, ta tìm được chữ số hàng
chục và hàng đơn vị.

15


Tiếp theo, dựa vào yêu cầu của đề bài số đó là số có ba chữ số khác nhau, ta

sẽ tìm được chữ số hàng trăm dựa vào chữ số hàng chục và hàng đơn vị đã
tìm được.
Lời giải
Gọi số cần lập có dạng abc ( a

0 ; a, b, c là các chữ số khác nhau).

Để số lập được chia hết cho 4 thì hai chữ số cuối cùng của số đó phải tạo
thành số chia hết cho 4. Do đó, bc chỉ có thể là 04 hoặc 40.
Vì số phải tìm là số có ba chữ số khác nhau nên a chỉ có thể là 5 hoặc 9.
Vậy các số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 4 được lập từ bốn chữ số
đã cho là
540; 940; 504; 904.

b ) Phân tích
Để giải được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5.
+ Các số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
+ Các số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Mà số cần lập chia hết cho cả 2 và 5 nên ta tìm được chữ số tận cùng chỉ có
thể là 0. Từ đây, ta tìm chữ số hàng chục và hàng trăm dựa vào điều kiện số
cần lập là số có ba chữ số khác nhau.
Lời giải
Gọi số lập được có dạng abc ( a

0 ; a, b, c là các chữ số khác nhau). Để

abc chia hết cho 2 và 5 thì c chỉ có thể là 0. Từ đó, ta suy ra

c

0.

Vì số phải tìm có ba chữ số khác nhau nên chữ số a có ba cách chọn từ các
chữ số
a

4; a

5 hoặc a

16

9.


Khi đó, chữ số b chỉ còn hai cách chọn trong ba chữ số còn lại. Như thế, số
các số chia hết cho 2 và 5 là

3 2 1

6 (số)

Vậy các số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 2 và 5 lập được từ bốn
chữ số 0; 4; 5 và 9 là
450; 490; 540; 590; 940; 950.

c ) Phân tích
Để giải được bài toán cần dựa vào dấu hiệu chia hết cho 9. Như vậy, tổng các
chữ số của số cần lập là số chia hết cho 9. Từ bốn chữ số 0; 4; 5 và 9 mà đề
bài cho, ta sẽ chia thành hai nhóm có tổng các chữ số chia hết cho 9 để lập

thành các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 9
+ Nhóm gồm các chữ số 0; 4; 5.
+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9.
Lời giải
Gọi số cần lập có dạng abc ( a

0 ; a, b, c là chữ số). Ta chia bốn chữ số đã

cho thành hai nhóm
+ Nhóm gồm các chữ số 0; 4; 5. Để abc chia hết cho 9 thì tổng
(a

b

c) phải chia hết cho 9. Vì a

0 nên khi chọn a thì a có hai cách

chọn. Mặt khác, các số đều có ba chữ số khác nhau nên khi đã chọn a thì b
chỉ còn hai cách chọn và c còn lại một cách chọn. Do đó, số các số có ba chữ
số khác nhau chia hết cho 9 là

2 2 1

4 (số)

Đó là các số
405; 450; 504; 540.

17

+ Nhóm gồm các chữ số 4; 5; 9. Lập luận tương tự nhóm trước ta được số
các số chia hết cho 9 là

3 2 1

6 (số)

Đó là các số
459; 495; 549; 594; 945; 954.

Vậy các số có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 9 lập được từ bốn chữ số
0; 4; 5 và 9 là

405; 450; 504; 540; 459; 495; 549; 594; 945; 954.

Ví dụ 2. Một số tự nhiên chia hết cho 4 và 9 , tìm số đó biết thương khi chia
cho 4 lớn hơn thương khi chia cho 9 là 340.
Phân tích
Bài toán cho biết hiệu của hai thương là 340. Mặt khác, số đó chia hết cho 4
và 9 nên suy ra được tỉ số giữa hai thương là

9
. Như vậy, bài toán đưa về
4

dạng quen thuộc “Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của hai số đó”.
Lời giải
Gọi thương của phép chia số phải tìm cho 4 là thương thứ nhất, thương của

phép chia số phải tìm cho 9 là thương thứ hai. Vì số phải tìm chia hết cho 4
và 9 nên thương thứ nhất bằng

9
thương thứ hai và hiệu hai thương đó bằng
4

340. Do đó, nếu coi thương thứ nhất là 9 phần bằng nhau thì thương thứ hai
là 4 phần như thế. Thương thứ nhất là
340 : (9

4) 9

612

Số cần tìm là
612 4

2 448

Đáp số: 2 448.

18


Ví dụ 3 ([4] - trang 71 , bài tập 1 ). Cho bốn chữ số 0; 1; 5; 8. Hãy thiết lập các
số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 6.
Phân tích
Bởi vì 6

2 3 nên để làm được bài toán này cần dựa vào dấu hiệu chia hết

cho 2 và 3.
Từ dấu hiệu chia hết cho 2, ta tìm được chữ số tận cùng là 0 hoặc 8.
Sau đó, dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được hai chữ số còn lại.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng abc ( a

0 ; a, b, c là các chữ số). Bởi vì 6

2 3

nên các số chia hết cho 6 sẽ chia hết cho cả 2 và 3.
+ Các số chia hết cho 2 nên chữ số tận cùng là c

0 hoặc c

8.

+ Các số chia hết cho 3 có tổng các chữ số chia hết cho 3.
Ta có
0

1

5

6

0

1

8

9

Mà 6 3 và 9 3 nên các số chia hết cho 6 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 8 sẽ
được lập từ hai nhóm chữ số trên. Vậy các số đó là
150; 510; 108; 180; 810.

2.2.1.3 Bài tập tham khảo
Bài 1. Cho các chữ số 0; 1; 3; 5; 6. Hãy lập tất cả các số có ba chữ số khác
nhau từ các chữ số đã cho, sao cho mỗi số đó đều chia hết cho 9.
Bài 2. Tìm số các số có ba chữ số được lập từ các chữ số 3; 4; 5 và chia hết
cho 5.
Bài 3. Tìm các số có hai chữ số, biết rằng các số này đều chia hết cho tích các
chữ số của chúng.

19