SKKN - mot so dang toan ve tinh chat chia het trong N

Phần một : đặt vấn đề
Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn
toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng. Thông qua môn toán, học sinh
nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng
dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao
động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học.... Để giúp HS
học tốt môn toán đòi hỏi ngời thày giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc.
Một vấn đề lớn trong chơng trình toán THCS là vấn đề chia hết. Vấn đề này đ-
ợc đa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và đợc đề cập trong những bài toán nâng
cao dành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9. Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, đặc
biệt là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập đến và thờng là những
bài khó. Các bài toán về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nh SGK thì rất dễ
nhng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và không có một quy tắc chung nào
để giải, phải sử dụng các phơng pháp khác nhau một cách linh hoạt, sáng tạo. Trong
khi năng lực t duy, khả năng phân tích tổng hợp của HS còn hạn chế nên HS thờng bế
tắc trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này. Vấn đề đặt ra trong việc giải toán
là phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải. Hơn nữa để
giải đợc các bài tập nâng cao về tính chia hết thì ngoài việc nắm kiến thức cơ bản có
trong chơng trình, HS còn phai nắm vững một số kiến thức bổ sung mở rộng, những
kiến thức này không đợc phân phối trong các tiết học nên HS ít đợc vận dụng và rèn
luyện trừ khi gặp những bài tập khó.Vì thế kỹ năng vận dụng các kiến thức đó cha đ-
ợc thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai lầm nh : Khi thấy một tổng chia hết cho
m thì vội vã kết luận các số hạng chia hết cho m ; hoặc khi thấy am và an thì kết
luận ngay là amn mà không xem xét xem m,n có nguyên tố cùng nhau hay không.
Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến
thức về tính chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dỡng HS giỏi, góp
phần vào việc đào tạo và bồi dỡng nhân tài. Tôi xin trình bày kinh nghiệm Hớng
dẫn HS lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N. Đây là sự đúc
rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng các bài toán về tính
chia hết và hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý.
Phần hai : Giải quyết vấn đề

A. Vấn đề cần giải quyết :
Để làm đợc các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm đợc định
nghĩa, các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm đợc tính chất
chia hết có liên quan đến số nguyên tố nh thế nào. Các em còn cần đợc mở rộng một
ssó dấu hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN. Từ đó các em phải
nắm đợc phơng pháp cơ bản để giải bài toán về tính chất chia hết và các bài tập có
liên quan.
1
Ngoài ra HS cần nắm đợc một số dạng toán điển hình về chia hết và có phơng
pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng. Có đợc kỹ năng này các em sẽ làm đợc
các bài tập một cách nhanh gọn, linh hoạt.
Để giải quyết đợc những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực, t
duy sáng tạo. Còn giáo viên là ngời thiết kế, hớng dấn các em, khơi dậy t duy, tạo
hứng thú học tập. Có nh vậy chơng trình dạy và học mới đạt hiệu quả cao.
B. Các biện pháp tiến hành :
I. Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ :
Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố cho các
em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó là:
1/ Định nghĩa :
cho hai số tự nhiên a và b (b 0). Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự
nhiên q sao cho a = b.q . Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ớc của a, hoặc a chia hết
cho b.
2/ Các tính chất về chia hết :
* Tính chất chung :
a) Số 0 chia hết cho mọi số b 0.
b) Mọi số a 0 đều chia hết cho chính nó.
c) Tính chất bắc cầu : Nếu ab, bc thì ac.
+ Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.
d) Nếu am, bm thì tổng a + bm, a - bm.
+ Hệ quả :

- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và am thì bm.
- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và bm thì am.
e) Nếu am, bm thì a + bm, a - bm ;
Nếu am, bm thì a + bm, a - bm.
f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m.
+ Hệ quả: Nếu am thì a
n
m (n là số tự nhiên 0).
g) Nếu am, bn thì abmn
+ Hệ quả : nếu ab thì a
n
b
n
.
h) Nếu AB thì mA +nBB , mA nBB.
i) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của
tích chia hết cho p.
+ Hệ quả: nếu a
n
p (p là số nguyên tố) thì ap.
j) Nếu abm, b và m, n guyên tố cùng nhau thì am.
k) Nếu am, an thì aBCNN(m,n) .
+ Hệ quả :
- Nếu am, an, (m,n) = 1 thì amn
- Nếu a chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì a chia
hết cho tích của chúng.
3/ Bổ sung một số dấu hiệu chia hết :
2
Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 mà HS đã đợc học
trong chơng trình SGK, cần bổ sung thêm một số dấu hiệu sau:

a) Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 :
Một số chia hết cho 4 (hoặc cho25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận
cùng chia hết cho 4 ( hoặc cho 25).
b) Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :
Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận
cùng chia hết cho 8 ( hoặc cho 125).
c) Dấu hiệu chia hết cho 10:
Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0.
d) Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các số đứng ở vị trí lẻ và
tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11.
4/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN :
a) Thuật toán Ơclit :
+ Nếu ab thì ƯCLN(a,b) = b.
+ Nếu ab thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r).
(r là số d trong phép chia a cho b)
b) ƯCLN(a,b). BCNN(a,b) = ab.
5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :
+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ớc là 1 và chính nó.
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc.
+ Hai hay nhiều số đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của
chúng bằng 1.
II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải:
Bài tập về tính chia hết rất phong phú và đa dạng. Trong phần này tôi chỉ đề
cập đến một số dạng toán điển hình, có thể phân loại nh sau :
1/ Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết :
* Dạng 1:
Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Để chứng minh một biểu thức
chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu

chia hết đã biết rồi còn phải tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể để kết hợp với một số
kiến thức khác nh :Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ số tận
cùng của luỹ thừa, phép chia có d, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau ... Cụ thể là :
a) Kết hợp với các kiến thức về luỹ thừa và tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa
:
Ví dụ 1:
Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+.......+ 2
99
+ 2
100
. Chứng minh rằng A chia hết cho 31.
- Phơng pháp : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về dạng
A = 31.Q rồi áp dụng tính chất :
Giải:
3

A = (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
) + (2
6

+ 2
7
+ 2
8
+ 2
9
+ 2
10
) + .......
+ (2
96
+ 2
97
+ 2
98
+ 2
99
+ 2
100
)
= 2(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + 2
6
(1 + 2 + 2
2

+ 2
3
+ 2
4
) + .....
+ 2
96
(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
)
= 2.31 + 2
6
.31 + .... +2
96
.31 = 31(2 + 2
6
+... + 2
96
)
Vậy A31
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng 3
4n + 1
+ 2 5 với mọi n .
- Phơng pháp : Tìm chữ số tận cùng của 3
4n + 1

+ 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia
hết cho 5.
Giải :
3
4n + 1
+ 2 = (3
4
)
n
. 3 + 2 = 81
n
.3 + 2
Những số có chữ số tận cùng là 1 thì khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào khác 0
cũng vẫn có tận cùng là 1, do đó 81
n
có tận cùng là 1.
81
n
.3 có tận cùng là 3 81
n
.3 + 2 có tận cùng là 5.
vậy 81
n
.3 + 2 5 hay 3
4n + 1
+ 2 5 .
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng 10
33
+ 82 và 9

Giải :
10
33
+ 8 = 10.............0 + 8 = 10..............08
33 chữ số 0 32 chữ số 0
Số 10.............08 có chữ số tận cùng là 8 nên 2, có tổng các chữ số
33 chữ số 0 là 9 nên9
b) Kết hợp với kiến thức về phép chia có d :
Ví dụ 4 :
Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên c có cùng số d
thì hiệu của chúng chia hết cho c .
- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức về phép chia có d để biểu diễn a, b rồi tìm
hiệu của chúng.
Giải :
Ta có a = cq
1
+ r (0 r < c)
b = cq
2
+ r (0 r < c)
Giả sử a > b, a b = (cq
1
+ r) - (cq
2
+ r) = cq
1
+ r cq
2
- r = cq
1

- cq
2
=
= c(q
1
- q
2
)
Vậy a bc
- Khai thác bài toán :
Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số d trong phép
chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho9). Từ đó rút ra
nhận xét :
Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho9.
(Yêu cầu HS ghi nhớ nhận xét này để vận dụng giải bài tập).
4
Ví dụ 5:
Cho nN. Chứng minh rằng : n(n + 1)(2n + 1) 6
Giải :
+ Trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số là bội của 2
Do đó n(n + 1)(2n + 1) 2.
+ Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) 3 thì n(n + 1)(2n + 1) 6
(Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)
Xét hai trờng hợp :
- Nếu n 3 n(n + 1)(2n + 1) 3 n(n + 1)(2n + 1) 6
- Nếu n 3 n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k N)
Khi n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 33
n(n + 1)(2n + 1)3 n(n + 1)(2n + 1)6
Khi n = 3k + 2 thì n + 1 = (k + 2) + 1 = 3k + 33
n(n + 1)(2n + 1)3 n(n + 1)(2n + 1)6

Vậy :Trong mọi trờng hợp ta luôn có n(n + 1)(2n + 1)6
c) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi:
Ví dụ 6:
Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho 7.
- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc thành tổng của
hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b + c
Giải:
Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c
= (98a + 7b) + (2a + 3b + c)
= 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mà 7(14a + b) chia hết cho 7
Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7
Ví dụ 7:
Với a, b là những chữ số 0. Hãy chứng minh:
a) aaabbb chia hết cho 37
b) (abab baba) chia hết cho 9 và 101 (a > b)
- Phơng pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = BQ
Giải: a, aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b
= 111(1000a + 6) = 337 (1000a +b)
Vậy aaabbb chia hết cho 37
d. Toán về chia hết có liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau:
Ví dụ 8:
Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b N), chứng minh rằng 10a + b chia hết
cho 17.
Giải: Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y
Ta có: 2Y X = 2 (10a + b) (3a +2b)
= 20a + 2b 3a 2b = 17a
5
Do đó 2Y X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết
cho 17 (hệ quả của tính chất 4). Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia

hết cho 17 (tính chất 10) hay 10a + 6 chia hết cho 17.
Ví dụ 9:
Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số. Chứng minh rằng nếu chuyển chữ số
tận cùng lên đầu tiên ta vẫn đợc số chia hết cho 7.
Giải: Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg
Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta đợc số: Y = gabcde
Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n
Ta có: 10Y X = 10(100000g +n) (10n + g)
= 1000000g + 10n 10n g = 999999g 7
10 Y X chia hết cho 7, X chia hết cho 7 nên 10Y 7
Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y 7 hay abcdeg 7
e/ Sử dụng một số tính chất khác:
Ví dụ 10:
Chứng minh rằng 10
n
+ 18n 1 chia hết cho 27
- Phơng pháp: biến đổi 10
n
+ 18n 1 thành tổng các số hạng đều chia hết cho
27.
Giải: Ta có 10
n
+ 18n 1 = 10
n
1 9n + 27n
= 99......9 9n + 27n
n
= 9 (11.....1 n) + 27n
n
Dựa vào nhận xét ở ví dụ 4 ta có :

Số 11.....1 và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cùng số d trong
n
phép chia cho 3 nên hiệu của chúng chia hết cho 3, nghĩa là :
11.....1 n chia hết cho 3, do đó 9(11..... 1 n) chia hết cho 27 .
n n
Vậy 9(11......1 n) + 27n chia hết cho 27
n
Hay 10
n
+ 18n 1 chia hết cho 27.
Ví dụ 11:
Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
- Phơng pháp: biến đổi số đó thành tích của hai thừa số, một thừa số chia hết
cho 9, một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất 7.
Giải: Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.
Tổng các chữ số của B là 9 nên B9 (1)
Lấy A chia B đợc thơng là: 100..............0100.............0 (d 0)
8 chữ số 0 8 chữ số 0
Ta viết đợc A = B.C
Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C3 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra B.C27 hay A7
6
* Dạng 2 :
Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết.
Ví dụ 12:
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36
- Phơng pháp : Xét điều kiện để A4 và cho 9 từ đó tìm ra các chữ số.
Giải :
Để A34 thì A4 và 9 hai chữ số tận cùng của A tạo thành số chia hết cho 4,
nghĩa là 2*4 2* {20 ; 24 ; 28}

- Trờng hợp 1 : A = 52*20. Để A9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0 phải chia hết cho 9, tức là 9
+ * phải chia hết cho 9, do đó * { 0 ; 9 }
- Trờng hợp 2 : A = 52*24. Lập luận tơng tự nh trên ta có * = 5.
- Trờng hợp 3 : A = 52*28, ta có * = 1
Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm ở trên, ta tìm đợc các số :52020 ;
52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36.
Ví dụ 13 :
Tìm các chữ số a và b sao cho a b = 4 và 7a5b13.
Giải :
Vì 13 : 3 d 1 a + b : 3 d 2 (1)
Do a, b là chữ số và a b = 4 nên :
4 a 9 và 0 b 5 4 a + b 14 (2)
Do a b là số chẵn nên a + b cũng là số chẵn (3)
Từ (1),(2),(3) a + b {8 ; 14}
Với a + b = 8 , a b = 4 a = 6, b =2
Với a + b = 14, a b = 4 a = 9, b = 5
Ta đợc các số 76521 ; 79551 3
Ví dụ 14:
Tìm chữ số a để 1aaa111.
Giải :
Tổng chữ số hàng lẻ là 1 + a + 1 = a + 2
Tổng chữ số hàng chẵn là a + a = 2a
- Nếu 2a a + 2, ta có 2a (a + 2) = a - 2
để 1aaa111 thì a - 211, mà 2 a < 2 2 a = 0 a = 2
- Nếu 2a < a + 2, ta có a + 2 2a = 2 - a
để 1aaa1 11 thì 2 - a 11 mà 2 a < 2 2 a = 0 a = 2
Vậy với a = 2 thì ta đợc số 1222111
Ví dụ 15 :
Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a7
Giải :

Ta có 20a20a20a = 20a.20a.1000 + 20a
= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a
= 1001.20a.1000 + 20a
= 7.143.20a.1000 + 20a7
7
mà 7.143.20a.1000720a7
20a = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a)7
mà 1967 4 + a7. Vì a là chữ số a = 3. Ta đợc số 2032032037
* Dạng 3 : Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trớc
Ví dụ 16:
Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:
(2x + 1)(y 3) = 10
- Phơng pháp : Xét các ớc của 10
Giải :
x và y là các số tự nhiên nên 2x + 1 và y 3 là các ớc của 10 (y>3). Các ớc của 10
là 1 ; 2 ; 5 ; 10. Vì 2x + 1 là số lẻ nên 2x + 1 {1 ; 5}
Ta có bảng sau :
2x + 1 y - 3 x y
1 10 0 13
5 2 2 5
Ví dụ 17 :
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 6 2n 1
Giải :
n + 6 2n 1 [2(n+6) (2n 1)] 2n 1
(2n + 12 2n + 1) 2n 1
132n 1
2n 1 là ớc của 13 2n 1 {1; 13}
Ta có bảng sau:

2n 1 1 13

n 1 7
Ví dụ 18:
Tìm số tự nhiên n lớn nhất có hai chữ số sao cho n
2
n chia hết cho 5
Giải:
Ta có n
2
n = n(n -1)
n
2
n chia hết cho 5 n(n -1)5 do đó n5 hoặc n - 15
Nếu n5 n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Nếu n - 15 n có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6. Do đó n có thể có chữ số tận
cùng là 0 ; 1 ; 5 ; 6. Để n là lớn nhất có hai chữ số sao cho n
2
n5 ta chọn n = 96.
Ví dụ 19 :
Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 7
Giải :
18n + 3 7 21n (18n + 3) 7 21n 18n - 37 3n - 37 3(n
1)7
Vì 3, 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên n 1 7
n = 7k + 1 (k N)
Ví dụ 20 :
8