Phương pháp Khối đa diện(đáp án)

Phương pháp hình không gian 12

ÔN TẬP 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9-10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho D ABC vuông ở A ta có :
2
2
2
a) Định lý Pitago : BC = AB + AC
A
b) BA 2 = BH.BC; CA 2 = CH.CB
c)

AB. AC = BC. AH
1
1
1
d)
=
+
2
2
AH
AB
AC2
e) BC = 2AM
f) sin B = b , cosB = c , tan B = b , cot B = c
a
a
c
b
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

b

c
B

M

H
a

b
b ,
=
sin B cos C

b = c. tanB = c.cot C
2. Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
a
b
c
=
=
= 2R
* Định lý Sin:
sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1
1
a.b.c
a +b +c
S = a.ha = a.b sin C =
= p.r = p.(p - a)(p - b)(p - c) với p =
2
2
4R
2
2
1
a 3
Đặc biệt :* D ABC vuông ở A : S = AB.AC ,* D ABC đều cạnh a: S =
2
4
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diện tích hình thoi : S =

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2

1
d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn : S = p.R 2
4. Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều:

1

C


Phương pháp hình không gian 12

ÔN TẬP 2: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A. QUAN HỆ SONG SONG
§1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song
song với nhau nếu chúng không có điểm
nào chung.

a

a / /(P) Û a Ç (P) = Æ
(P)

II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và
song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì
đường thẳng d song song với mp(P)

ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì
mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao
tuyến song song với a.

d

ìï d Ë (P)
ïï
í d / /a Þ d / /(P)
ïï
ïïî a Ì (P)

a
(P)

(Q)

ìï a / /(P)
ïï
Þ d / /a
í a Ì (Q)
ïï
ïïî (P) Ç (Q) = d

a
d

(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song
với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song
song với đường thẳng đó.

ïìï (P) Ç (Q) = d
ï

Þ d / /a
í (P) / /a
ïï
ïïî (Q) / /a

d
a
Q

P

§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu
chúng không có điểm nào chung.

(P) / /(Q) Û (P) Ç (Q) = Æ

P
Q

II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau
và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q)
song song với nhau.

ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt
phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia.

ìï a, b Ì (P)

ïï
Þ (P) / /(Q)
í a Çb = I
ïï
ïïî a / /(Q), b / /(Q)

ìïï (P) / /(Q)
Þ a / /(Q)
í
ïïî a Ì (P)

2

a
P b I
Q
a
P
Q


Phương pháp hình không gian 12
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi
mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao
tuyến của chúng song song.

R

ìï (P) / /(Q)
ïï

í (R) Ç (P) = a Þ a / /b
ïï
ïïî (R) Ç (Q) = b

a

P

b

Q

B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt
phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm
trên mặt phẳng đó.

a

a ^ mp(P) Û a ^ c, " c Ì (P)
P

c

II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc với mp(P).

d

ìï d ^ a , d ^ b
ïï
í a , b Ì mp(P) Þ d ^ mp(P)
ïï
ïïî a , b caét nhau

ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a
không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm
trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc
với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

b

a

P

a

a ^ mp(P), b Ì mp(P)
b ^a Û b ^a'
P

a'

b

§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông
góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó
vuông góc với nhau.

Q

ìïï a ^ mp(P)
Þ mp(Q) ^ mp(P)
í
ïïî a Ì mp(Q)

a

P

3


Phương pháp hình không gian 12
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với
nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P),
vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông
góc với mặt phẳng (Q).

ïìï (P) ^ (Q)

ï
í (P) Ç (Q) = d Þ a ^ (Q)
ïï
ïïî a Ì (P), a ^ d

P
a

Q

d

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với
nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi
qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba.

P

ìï (P) ^ (Q)
ïï
ïï A Î (P)
Þ a Ì (P)
í
ïï A Î a
ïï
ïî a ^ (Q)

a
A

Q

ìï (P) Ç (Q) = a
ïï
Þ a ^ (R)
í (P) ^ (R)
ïï
ïïî (Q) ^ (R)

P

a

R

§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P))
là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm
M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))

O

O

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

H

a
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).

a

d(a;(P)) = d(O; (P)) = OH

P

Q
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

a

O

H

P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng
kia.
d((P);(Q)) = d(O; (P)) = OH

P

O

H
A

d(a;b) = AB
b

§4.GÓC

4

B

H

Q


Phương pháp hình không gian 12
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt
cùng phương với a và b.

a

a'

b'

b

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng a và mp(P) là 900.

a

a'

P

3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc
với giao tuyến tại 1 điểm
a
P

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và
S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì

b

b

a

Q

Q

P

S

S' = Scos j
j
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).

A

C

ϕ
B

ÔN TẬP 3: KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
h

với B: diện tích đáy
h: chiều cao

B

a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
a
V = a3
c
với aa là độ dài cạnh
a
2. THỂ TÍCH
KHỐI CHÓP:

1
V= Bh
3
với B: diện tích đáy
h: chiều cao

b

a

h

B

5

Phng phỏp hỡnh khụng gian 12
3. T S TH TCH T DIN:
Cho khi t din SABC v A, B, C l cỏc im tựy ý ln lt
thuc SA, SB, SC ta cú:

S
C'
A'

VSABC
SA SB SC
=
VSA 'B'C' SA ' SB ' SC '

A

B'
C
B

4. TH TCH KHI CHểP CT:

A'

h
V = B + B '+ BB '
3
ỡùù B, B' : dieọn tớch hai ủaựy
vi ớ

ùùợ h : chieu cao

(

)

B'
C'

A

B

C

Chỳ ý:
1/ ng chộo ca hỡnh vuụng cnh a l d = a 2 ,
ng chộo ca hỡnh lp phng cnh a l d = a 3 ,
ng chộo ca hỡnh hp ch nht cú 3 kớch thc a, b, c l d =

a 2 + b 2 + c2 ,

a 3
2
3/ Hỡnh chúp u l hỡnh chúp cú ỏy l a giỏc u v cỏc cnh bờn u bng
nhau ( hoc cú ỏy l a giỏc u, hỡnh chiu ca nh trựng vi tõm ca ỏy).
4/ Lng tr u l lng tr ng cú ỏy l a giỏc u.
II/ Bi tp:
LOI 1:
TH TCH LNG TR

Khi lng tr ng cú chiu cao hay cnh ỏy
1) Dng 1:
Vớ d 1: ỏy ca lng tr ng tam giỏc ABC.ABC l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A cú cnh BC = a 2
v bit A'B = 3a. Tớnh th tớch khi lng tr.

2/ ng cao ca tam giỏc u cnh a l h =

Li gii:
Ta cú

C'

A'

VABC

vuụng cõn ti A nờn AB = AC = a
ABC A'B'C' l lng tr ng ị AA ' ^ AB

B'
3a
a 2

C

A
a

VAA 'B ị AA '2 = A 'B2 - AB2 = 8a 2
ị AA ' = 2a 2

Vy V = B.h = SABC .AA' = a 3 2

B

Vớ d 2: Cho lng tr t giỏc u ABCD.ABCD' cú cnh bờn bng 4a v ng chộo 5a.
Tớnh th tớch khi lng tr ny.

6


Phương pháp hình không gian 12
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 Þ BD = 3a

C'

D'
A'

ABCD là hình vuông

B'
4a

5a

Suy ra B = SABCD =

C

D

Þ AB =

3a
2

9a 2
4

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3

A

B

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác
A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
V ABC đều nên

C'

A'
B'

AI =

A

AB 3
= 2 3 & AI ^ BC
2

Þ A 'I ^ BC(dl3 ^)
2S
1
SA'BC = BC.A 'I Þ A 'I = A'BC = 4
2
BC
AA ' ^ (ABC) Þ AA ' ^ AI .

C
I
B

VA 'AI Þ AA ' = A 'I2 - AI2 = 2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy
bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a

C'

D'
B'

A'

A

60

B

a2 3
2

a 3
=a 3
2
VDD'B Þ DD' = BD'2- BD 2 = a 2
a3 6
Vậy V = SABCD.DD' =
2

Theo đề bài BD' = AC =

C

D

và SABCD = 2SABD =

2

Bài tập:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích
và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.ĐS: V =

a 3 3 ; S = 3a2
4

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' = a 6 . Tính thể
tích của lăng trụ.Đs: V = 2a3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều
cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.Đs: V = 24a3
2) Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a
,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600. Tính thể tích lăng trụ.

7


Phương pháp hình không gian 12

C'

A'

Lời giải:
Ta có A 'A ^ (ABC) Þ
đáy ABC .

A 'A ^ AB& AB là hình chiếu của A'B trên

góc[A 'B,(ABC)] = ¼
ABA ' = 60o
VABA ' Þ AA ' = AB.tan 600 = a 3
1
a2
SABC = BA.BC =
2
2
3
a 3
Vậy V = SABC.AA' =
2
Vậy

B'

C

A
60o
B

¼ =
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , ACB
o
0
60 biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30 . Tính AC' và thể tích lăng trụ.
A'

VABC Þ AB = AC.tan 60o = a 3 .Ta có:

AB ^ AC;AB ^ AA ' Þ AB ^ (AA 'C'C)

C'

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] =

B'

30o

A

VAC'B Þ AC' =
C

a
o
60
B

V =B.h = SABC.AA'

o
¼
BC'A = 30

AB
= 3a
t an30o

VAA 'C' Þ AA ' = AC'2 - A 'C'2 = 2a 2
2
VABC là nửa tam giác đều nên SABC = a 3 .Vậy V = a 3 6
2

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng
trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
Lời giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:

B'

C'

DD' ^ (ABCD) Þ DD' ^ BD

A'

D'

Vậy góc [BD';(ABCD)] =

C
D

o
30
A

và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD.

¼
DBD' = 300

a 6
3
3
a 6 S = 4S
4a 2 6
ADD'A' =
3
3

VBDD' Þ DD' = BD.tan 300 =
B
Vậy V = SABCD.DD' =

a

o
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼
BAD = 60 biết AB' hợp
với đáy (ABCD) một góc 30o. Tính thể tích của hình hộp.

8


Phương pháp hình không gian 12
C'

B'

VABD đều cạnh a Þ SABD =

A'

D'

o
30
A

Lời giải:

C

D

a

a2 3
2
VABB' vuông tạiB Þ BB' = AB t an30o = a 3
3a 3
Vậy V = B.h = S
ABCD .BB' =
2
Þ SABCD = 2SABD =

B

60 o

a2 3
4

3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,
biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
A'

C'

BC ^ A 'B

góc[(A 'BC),(ABC)] = ¼
ABA ' = 60o
VABA ' Þ AA ' = AB.tan 600 = a 3
1
a2
SABC = BA.BC =
2
2
3
a 3
Vậy V = SABC.AA' =
2
Vậy

B'

A

Lời giải:
Ta có A 'A ^ (ABC)& BC ^ AB Þ

C

60o
B

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300
và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:

C'

A'

VABC

đều

mà AA' ^ (ABC) nên A'I ^ BC (đl 3 ^ ).

Þ AI ^ BC

¼'IA = 30o

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A

2x 3
= x 3 .Ta có
2
2 AI 2 x 3
∆A' AI : A' I = AI : cos 30 0 =
=
= 2x
3
3
Giả sử BI = x

B'

A

⇒ AI =

3
=x
3
= CI.AI.A’A = x
3
= BI.A’I = x.2x = 8 ⇒ x = 2

A’A = AI.tan 300 =

30o

C

x 3.

3

Vậy VABC.A’B’C’

B

xI

Mà SA’BC

Do đó VABC.A’B’C’ = 8

3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD)
một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

9


Phương pháp hình không gian 12
D'

C'

A'

B'

Lời giải:
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nên OC ^ BD

¼
CC' ^ (ABCD) nên OC' ^ BD (đl 3 ^ ). Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = COC'
=
60o
Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

C

VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o =

D

60 0

O
B

Vậy V =

A

a

a 6
2

a3 6
2

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một
góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Ta có AA'
D'

A'
C'

B'
2a

o
60

D

A
o
30

B

C

^ (ABCD) Þ

¼
A'CA = 30o
BC ^ AB Þ BC ^ A'B (đl 3 ^ ) .
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = ¼
A 'BA = 60o
Vậy góc[A'C,(ABCD)] =

VA 'AC Þ

AC = AA'.cot30o =

VA 'AB Þ

AB = AA'.cot60o =

2a 3
2a 3
3

VABC Þ BC = AC2 - AB2 =
Vậy V = AB.BC.AA' =

4) Dạng 4:

AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD)

4a 6

3

16a 3 2
3

Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3
và hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.

A'

C'
B'

a

B

CH

là hình chiếu của CC' trên (ABC)

góc[CC',(ABC)] = ¼
C'CH = 60o
3a
VCHC' Þ C'H = CC'.sin 600 =
2
2
3

a 3 .Vậy V = S .C'H = 3a 3
SABC = =
ABC
4
8
Vậy

C

A

Lời giải:
Ta có C'H ^ (ABC) Þ

o
60
H

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A'
xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

10


Phương pháp hình không gian 12
A'

Lời giải:

1) Ta có A 'O ^ (ABC) Þ

C'

Vậy

OA

là hình chiếu của AA' trên (ABC)

¼ ' = 60o
góc[AA ',(ABC)] = OAA

Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
AO ^ BC tại trung điểm H của BC nên BC ^ A 'H (đl 3

B'

Þ BC ^ (AA 'H) Þ BC ^ AA '

mà AA'//BB' nên

^)

BC ^ BB'

BB'CC' là hình chữ nhật.

60 o

A

a

2
2a 3 a 3
AO = AH =
=
3
3 2
3
o
VAOA ' Þ A 'O = AO t an60 = a
a3 3
Vậy V = SABC.A'O =
4

2)

C

O

H
B

VABC

đều nên

3 AD = 7 .Hai mặt bên

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB =
0

0

(ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45 và 60 . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên
bằng 1.
Lời giải:
Kẻ A’H ⊥

D'

( ABCD ) ,HM ⊥ AB, HN ⊥ AD
⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD (đl 3 ^ )

C'

¼' NH = 60o
Þ ¼
A 'MH = 45o ,A

A'

Đặt A’H = x . Khi đó
B'

A’N = x : sin 600 =

D

AN =

C
N

3

3 − 4x 2
AA' − A' N =
= HM
3
2

2

Mà HM = x.cot 450 = x

H

A

Nghĩa là x =

M

2x

B

3 − 4x 2
⇒x=
3

3
7

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x
=

3. 7.

3
=3
7

LOẠI 2:
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1) Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với
(SBC). Tính thể tích hình chóp .
Lời giải:
Ta có

A

a_

C

B

/
/

\

ìï (ABC) ^ (SBC)
ïí
Þ AC ^ (SBC)
ïï (ASC) ^ (SBC)
î
Do đó

1
1 a2 3
a3 3
V = SSBC .AC =
a=
3
3 4
12

S

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với
đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .

11

Vậy


Phương pháp hình không gian 12
2) Tính thể tích hình chóp.
Lời giải:
1) SA ^ (ABC) Þ

S

SA ^ AB &SA ^ AC
mà BC ^ AB Þ BC ^ SB ( đl 3 ^ ).

Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có SA ^ (ABC) Þ AB là hình chiếu của SB trên (ABC).

¼ = 60o .
SAB
a
VABC vuông cân nên BA = BC =
2
2
1
a
SABC = BA.BC =
2
4
a 6

VSAB Þ SA = AB.t an60o =
2
2
1
1 a a 6 a3 6
Vậy V = S
.SA
=
=
3 ABC
3 4 2
24
Vậy góc[SB,(ABC)] =

C

a

A
60o

B

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và
(SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .
Lời giải: M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên
AM ^ BC Þ SA ^ BC (đl3 ^ ) .

S

¼
Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA
= 60o .
Ta có V =
C

A
60 o
a

M

1
1
B.h = SABC.SA
3
3

3a
2
3
1
1
a 3
B.h = SABC .SA =
3
3
8

VSAM Þ SA = AM tan 60o =

Vậy V =

B

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và
mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải:
1) Ta có SA ^ (ABC) và

S

60 o

D

VSAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3
1
1 2
a3 3
Vậy V = S
.SA = a a 3 =
3 ABCD
3
3
2) Ta dựng AH ^ SD ,vì CD ^ (SAD) (do (1) ) nên CD ^ AH Þ
AH ^ (SCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

B

a

( đl 3

¼
Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA
= 60o .

H

A

CD ^ AD Þ CD ^ SD

VSAD Þ
C
Vậy AH =

1
1
1
1
1
4
= 2+
= 2+ 2= 2
2
2

AH
SA
AD
3a
a
3a
a 3
2

2) Dạng 2 : Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

12

^ ).(1)


Phương pháp hình không gian 12
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD.
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
1) Gọi H là trung điểm của AB.
VSAB đều Þ SH ^ AB

S

mà (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có tam giác SAB đều nên SA = a

D

A

2)

3
2

3

suy ra

H

B

a

C

1
a 3
V = SABCD .SH =
3
6

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC) ^ (BCD) và
AD hợp với (BCD) một góc 60o. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH ^ (BCD) , mà (ABC)

A

^ (BCD) .

Ta có AH ^ HD Þ AH = AD.tan60o = a

a

& HD = AD.cot60o =

B

60 o

H

D

C

3

a 3
3

2a 3 suy ra

3
1
1 1
a3 3
SBCD .AH = . BC.HD.AH =
3
3 2
9

VBCD Þ
V=

^ (BCD) Þ AH

BC = 2HD =

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông
góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.
a) Kẻ SH ⊥ BC vì mp(SAC) ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⇒ SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết

S

¼ = SJH
¼ = 45o
SIH

∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH là đường phân giác của

VABC ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.
3
a
1
a
Þ V = S ABC .SH =
b) HI = HJ = SH =
2
3
12
Ta có:

H
A

SABC

45

C

I

J

B

3) Dạng 3 : Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường
cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.Tính thể tích chóp đều SABC .

13


Phương pháp hình không gian 12
\

Lời giải:
Dựng SO ^ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên

S

AO =

2a

VSAO Þ SO2 = SA 2 - OA 2 =

C

A
a

2
2a 3 a 3
AH =
=
3

3 2
3

Þ SO =

O

H

11a 2
3

a 11
1
a 3 11
.Vậy V = SABC .SO =
3
12
3

B

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
Dựng SO ⊥ (ABCD)
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD ⇒ ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp
nên ABCD là hình vuông .

Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên VASC vuông tại S

S

C

D

3
Þ V = 1 S ABCD .SO = 1 a 2 a 2 = a 2

3

O
A

a 2
2

⇒ OS =

a

Vậy

B

V=

a

3

3

2

6

2

6

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của

D

1
V = S ABC .DO
3
a2 3 ,
2
a 3
OC = CI =
S ABC =
3

3
4

M

A

C
O
I

H
a

B

∆ ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC )

∆DOC vuông có : DO = DC 2 − OC 2 =

a 6
3

1 a 2 3 a 6 a3 2
⇒V =
.
=
3 4
3
12

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

MH =

1
a 6
DO =
2
6

14


Phương pháp hình không gian 12

⇒ VMABC
Vậy

4) Dạng 4 :

V=

2

1
1 a 3 a 6 a3 2
= S ABC .MH =
.
=
3

3 4
6
24

a3 2
24

Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a 2 , SA vuông góc với đáy ABC ,

SA = a

1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:

1
VS . ABC = S ABC .SA và SA = a
3
+ ∆ABC cân có : AC = a 2 ⇒ AB = a
1
1 1
a3
⇒ S ABC = a 2 Vậy: VSABC = . a 2 .a =
2
3 2
6

S

a)Ta có:

N
C

G

A

b) Gọi I là trung điểm BC.

SG 2
=
SI 3
α // BC ⇒ MN// BC ⇒ SM = SN = SG = 2
SB SC SI 3
G là trọng tâm,ta có :

M
I
B

⇒

VSAMN SM SN 4
=
.
=

VSABC
SB SC 9

Vậy:

4
2a 3
VSAMN = VSABC =
9
27

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt
phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại
E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF
Lời giải:
a) Tính

VABCD : VABCD = 1 SABC .CD = a
3

b) Tacó:

c) Tính
Mà

3

6
AB ⊥ AC , AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( ACD) ⇒ AB ⊥ EC
DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD )

VDCEF :Ta có:

VDCEF DE DF
=
.
(*)
VDABC DA DB

DE.DA = DC 2 , chia cho DA2
DE DC 2
a2
1
⇒
=
= 2 =
2
DA DA
2a
2
15


Phương pháp hình không gian 12
2

D

Tương tự:

F
Từ (*) ⇒

a

DF DC
a2
1
=
=
=
2
2
2
DB DB
DC + CB
3

3
VDCEF 1
= .Vậy VDCEF = 1 VABCD = a
VDABC 6
6
36

E
B

C
a
A

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α ) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ
số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Lời giải:
Kẻ MN // CD (N ∈ SD ) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi
cắt bởi mặt phẳng (ABM).

S

+

N
M D

A
O

B

C

VSAND SN 1
1
1
=
= ⇒ VSANB = VSADB = VSABCD

VSADB SD 2
2
4

VSBMN SM SN 1 1 1
1
1
=
.
= . = ⇒ VSBMN = VSBCD = VSABCD Mà
VSBCD
SC SD 2 2 4
4
8
3
VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD .
8
5
Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD
8
VSABMN
3
=
Do đó :
V ABMN . ABCD 5

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο . Gọi M
là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Lời giải:
a) Gọi I =

S

M
E

B

I

C
F

b)

1
VS . ABCD = S ABCD .SO với S ABCD = a 2
3

+

VSOA

Vậy :

có :

SO = AO.tan 60ο =

VS . ABCD

a3 6
=
6

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

VS . AEMF = V

O
A

SO ∩ AM . Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF // BD

SAMF

D

16

+ VSAME =2VSAMF

a 6
2


Phương pháp hình không gian 12

VS . ABCD = 2V

SACD

= 2 VSABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :

⇒

SM 1
=
SC 2

∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
VSAMF SM SF 1
SI SF 2
=
.
=
⇒
=
= ⇒
VSACD SC SD 3
SO SD 3

1
1

a3 6
= VSACD = VSACD =
3
6
36

⇒ VSAMF

⇒ VS . AEMF = 2

a3 6 a3 6
=
36
18

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a 2 . Gọi
B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

VS . ABCD

a) Ta có:
S

1
a3 2
= S ABCD .SA =
3

3

BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB '
SB ⊥ AB ' Suy ra: AB ' ⊥ ( SBC )

b) Ta có

&
nên AB' ^ SC .Tương tự AD' ^ SC.
Vậy SC ^ (AB'D')
c) Tính
B'

C'
D'

VSAB 'C ' SB ' SC '
=
.
(*)
VSABC SB SC
SC ' 1
=
∆SAC vuông cân nên
SC
2
SB ' SA2
2a 2
2a 2 2
Ta có:

=
=
=
=
SB SB 2 SA2 + AB 2 3a 2 3
+ Tính

I
B

A
O
D

VS . A B 'C ' D '

C

VS . AB 'C ' : Ta có:

Từ (*)

V
1
⇒ SAB 'C ' =
VSABC
3

1 a3 2 a3 2
⇒ VSAB ' C ' = .

=
3 3
9
+

VS . A B 'C ' D ' = 2VS . A B 'C '

17

2a 3 2
=
9