Toán Hàm Số Bài giảng hàm số

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246

Email:

Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn


Cực trị của hàm số

•

Tiếp tuyến của hàm số

•

Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

•

4

3

2

1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

•

Tính đơn điệu của hàm số


Sơ đồ tổng quan


1

•

Tính đơn điệu của hàm số

Lời tuyên bố

Tôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . là học sinh lớp . . . . .
Tôi hứa sẽ quyết tâm học đạt điểm . . . . . . phần học này !

Kế hoạch học tập

STT

1

2

Dạng bài

Xét tính đơn điệu trực tiếp

Tìm m để hàm số đơn điệu trên ( khoảng, đoạn ,
D ,..)

Số bài tập rèn luyện

Thời gian rèn luyện

Ghi chú Bản thân

 

 

 

 

 

 


LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Hàm số f(x) đồng biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
Định nghĩa

Hàm số f(x) nghịch biến / D ⇔ (∀x1, x2 ∈ D, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
 

Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng D.
Nếu f(x) đồng biến / D thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D
Điều kiện cần

Nếu f(x) nghịch biến / D thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D
 

Điều kiện đủ

Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ D (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f(x) đồng biến /D
Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ D (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f(x) nghịch biến / D
 

Nếu khoảng D được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f(x) phải liên tục


Dạng 1

Xét trực tiếp tính đơn điệu của một hàm xác định

sơ đồ con đường

Tập xác định

Tính y’ = 0

Lập bẳng xét dấu và kết luận

Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến , nghịch biến của hàm số

Bài giải

Tập xác định : D = R

Sơ đồ con đường

Bước 1 : Tập xác định
Bước 2 : Tính y ‘ = 0 ; Tìm x



Bước 3 : Lập bảng xét dấu và kết luận

Hàm số đồng biến trên khoảng (
Hàm số nghịch biến trên khoảng (

+

+
-2

 

Bài tập đề nghị : Xét tinh đồng biến, nghịch biến của hàm số sau y = 5

-

0

Dạng 2

Tìm m để hàm số luôn đơn điệu trên đoạn, khoảng , miền xác định

 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
 

Phương pháp hàm số

Xét điều kiện của m

Chuyển 1 vế là f(x) vế còn lại là f(m)
 

Xét hàm f(x)


Ví dụ 1 : Cho hàm số: . Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng .

Bài
Bài giải
giải

Sơ
Sơ đồ
đồ con
con đường
đường

Ta có : y’ = 3

Bước 1: Tính y’

• Hàm đồng biến trên

Hàm đồng biến : y’



 

với



Bước 2 : Chuyển x sang một bên m sang một

 với

bên
 

Xét hàm số f(x) = trên khoảng (0;

Bước 3 : Xét hàm số f(x)



x

0

f
2
Từ đó ta đi đến kết luận: 

+

+

Bước 4 : Xét điều kiện của m  m


Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y=:

đồng biến trên khoảng (1;3)

Bài giải

Sơ đồ con đường

Ta có : y’ = 4

Bước 1: Tính y’

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) nên y’ với mọi x ( 1; 3)

Hàm đồng biến nên y’

 4 mọi x ( 1; 3)

 

 4x(

Bước 2 : Chuyển x sang một bên và m sang một



mọi x ( 1; 3)

Xét hàm số f(x) =

trên khoảng (1; 3)

bên
 

f’(x) = 2x với mọi x ( 1; 3) nên hàm số luôn đồng biến

Bước 3 : Xét hàm số f(x)

Suy ra Min f(x) = f(1)

 

Vậy m là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

 Bước 4 : Xét điều kiện của m ( m


Ví dụ 3 : Tìm m để hàm số sau : y = đồng biến trên khoảng [1; +

Bài giải

Ta có : y’ =

(x

Sơ đồ con đường

Bước 1: Tính y’

Hàm số đồng biến trên khoảng [1; + 

Hàm đồng biến nên



Chú ý : Điều kiện x





m<1

Vậy m < 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bước 2: Xét điều kiện của m


Phương pháp 2: Sử dụng tam thức bậc 2
2

1

 

 





• Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
• Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = )
• Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng
hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.


 

3) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai với số 0:

∆ > 0

0 < x1 < x2 ⇔  P > 0

 S > 0

∆ > 0

x1 < x2 < 0 ⇔  P > 0
 S < 0

 
P

 



Trong quá trình ghi nhớ các bạn học sinh sẽ luôn thắc mắc làm thế nào để ghi nhớ một cách chính xác các công thức và sau đây là
phương pháp giúp các bạn làm điều đó :

Xét

với 0 rồi chuyển về so sánh

 

với 0.

4) Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

 • Tính y′.
• Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
• Biến đổi thành (2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

(1)


Ví dụ 1: Cho hàm số . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng.

Bài giải

Sơ đồ con đường

Tập xác định: D = R.

Bước 1 : Tính y’ ( tam thức bậc 2 )

y’ = . Ta có

 

Nếu thì => y’ với

Bước 2 : Xét và a

Hàm số đồng biến trên R
Nếu thì => phương trình y’
có 2 nghiệm phân biệt

thì y’
(do a )

mà a nên

Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng

ngoài khoảng ( hàm số ĐB

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng

Bước 3: Xét điều kiện với trường hợp so sánh

   (VN)

nghiệm.

Vậy: là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài


Ví dụ 2: Cho hàm số (1),(m là tham số). Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Bài giải
Ta có có

•

•

Sơ đồ con đường
Bước 1 : Tính y’ ( tam thức bậc 2 )

Nếu m ≥ 3 thì thì hàm số đồng biến trên R

 
Bước 2 : Xét và a

m ≥ 3 không thoả mãn.
Nếu m < 3 thì có 2 nghiệm phân biệt .

Hàm số nghịch biến trên đoạn với độ dài I.
Ta có: =

thì y’
(do a )
mà a nên
ngoài khoảng ( hàm số ĐB

Yêu cầu bài toán  L = 1 


= 1  - =1
4

Vậy m = là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bước 3: Xét điều kiện với trường hợp so sánh
nghiệm 


Bài

Tập

Vận

 

Bài 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số:
y=
Bài 2 : Tìm m để các hàm số sau
1. đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
2. luôn đồng biến trên R
Bài 3: Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn

Trên con đường thành công không có dấu
chân của những kẻ lười biếng

Dụng


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn


Cực trị của hàm số

•

Tiếp tuyến của hàm số

•

Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

•

4

3

2

1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

•

Tính đơn điệu của hàm số


CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ


SƠ ĐỒ TỔNG QUAN
Cực trị của hàm số

Why?

What ?

( Cực Đại , Cực Tiểu )

Tìm CĐ , CT

1

Cực

Tìm m để CĐ, CT thỏa mãn 1 tính
2

Trị

HOW?

chất

=

=

Biên , giới hạn

 

Giá trị f(

Bảng biến thiên

Wonderful
2

1

Tìm m để hàm số có cực trị và thỏa mãn 1

Tìm CĐ, CT trực tiếp

t/chất

1

Thiết lập phương trình f’(x ) = 0

 
2

Tìm điều kiện để PT có 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm theo yêu
cầu

 
3

Xử lí tính chất


2

•

Cực trị của hàm số

Mục tiêu của Tôi

ĐIỂM SỐ

10

KẾ HOẠCH HỌC TẬP

STT

Dạng bài

Số bài tập rèn luyện

Thời gian rèn luyện

Ghi chú Bản thân

1

Tìm Cực đại, Cực tiểu

 

 

 

 

Tìm m để hàm số có CĐ,

 

 

 

2

CT và thỏa mãn 1 tính chất


 
Hàm số có cực đại tại x0:

 y'(x0 ) = 0

 y''(x0 ) < 0

hoặc

Điều kiện để cực
trị tồn tại
 

y'(x0 ) = 0

y''(x0 ) > 0

Hàm số có cực tịểu tại x 0:

hoặc

 

Dạng 1: Tìm Min, Max / GTLN, GTNN của hàm số

Cách 1

Tính y’ = 0

Lập bảng biến

( Tìm x )

thiên

sơ đồ
con

Tính y’ = 0

Cách 2

( Tìm x )

Sử dụng Quy tắc 2

đường


 

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số.
Bài giải
Cách 1: Lập bảng biến thiên và tìm cực trị
Tập xác định:R.
Ta có 
Bảng biến thiên:

Vậy Hàm số đạt cực đại tại giá trị cực đại
Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu


 

Ví dụ 1: Tìm cực trị của của hàm số.
Bài giải
Cách 2: Sử dụng qui tắc 2

- Tập xác đinh
- Ta có 
- Ta có
⇒Tại  Hàm số đạt cực đại tại giá trị cực đại
⇒Tại  Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu

Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số:

với

y = x 4 − 2x 2 + 5

Bài giải

•

Sơ đồ con đường

Tập xác định : D

Bước 1: Tập xác định
Ta có :

y' = 4 x 3 − 4 x
Cho

 

x = 0
y ' = 0 ⇔ 4 x( x 2 − 1) = 0 ⇒ 
 x = ±1

y (0) = 5; y (−1) = 4; y (1) = 4; y (−2) = 13; y (3) = 68.
Vậy:

và

Max y = 68 ⇔ x = 3

x∈[ −2;3]

Bước 2 : Tính y’ = 0 => Tìm x

Min y = 4 ⇔ x = ±1

x∈[ −2;3]

 
Bước 3 : Sử dụng phương pháp


Ví dụ 3: Tìm GTLN-GTNN của hàm số sau:

a)

y = x.b)

y = cosx +

Bài giải
Bài giải

Sơ đồ con đường
Sơ đồ con đường

 

a) y = x.
•) Tập xác định : D
•) y’ = ( với -1 < x < 1 )

 Bước 1: Tập xác định

Bước
Bước 1:
2 :Tập
Tínhxác
y’ =định
0
Bước
: Tính
=>2Tìm
x y’ = 0

y’ = 0  1 - 2  x = hoặc x =

 

•) Bảng biến thiên của hàm số:

=> Tìm x

  
 

x

-1

Bước 3 : Sử dụng phương pháp

1




Bước Lập
3 : Sử
dụngbiến
phương
bảng
thiênpháp
y’
y’

--

0
0

++

0
0

--

Lập bảng biến thiên
 
 

0
yy

•) Vậy hàm số đạt GTLN là

tại x =

hàm số đạt GTNN là tại x =

0