Toán Hàm Số don dieu

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số y = f (x) có tập xác định D.
• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ D và y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0,∀x∈ D và y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
• Nếu y' = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì:

∆ ≤ 0

a> 0
+ y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔ 


∆ ≤ 0

a< 0
+ y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔ 

• Định lí về dấu của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) :
+ Nếu ∆ < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
b
+ Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = − )

2a

+ Nếu ∆ > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.
• So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với số 0:
∆ ≥ 0
∆ ≥ 0


x
≤
x
<
0
⇔
P
>
0
0
<
x
≤
x
⇔
+ 1 2
+

 P > 0 + x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0
1
2

S < 0
S > 0
g(x) ≤ m;
• g(x) ≤ m,∀x∈ (a; b) ⇔ max
(a;b)

g(x) ≥ m,∀x∈ (a; b) ⇔ ming(x) ≥ m
(a;b)

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
• Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ D và y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′ ≤ 0,∀x∈ D và y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
• Nếu y' = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì:

∆ ≤ 0

a> 0
+ y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔ 


∆ ≤ 0

a< 0
+ y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔ 

2. Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .

Ta có: y′ = f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c .
a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ (a ; b ) và y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
• Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≥ g(x)
(*)
g(x)
thì f đồng biến trên (a ; b ) ⇔h(m) ≥ (max
a ;b )

• Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g(x)
Trang 1

(**)


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

g(x)
thì f đồng biến trên (a ; b ) ⇔h(m) ≤ (min
a ;b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x −a .
Khi đó ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα 2 + 2bα + c .
a > 0
∆ > 0
a > 0
∨ 

– Hàm số f đồng biến trên khoảng (−∞; a) ⇔g(t) ≥ 0,∀t < 0 ⇔
∆ ≤ 0
S > 0
 P ≥ 0
a > 0
 ∆ > 0
a > 0
∨ 
– Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≥ 0,∀t > 0 ⇔
∆ ≤ 0
S < 0
 P ≥ 0

b) Hàm số f nghịch biến trên (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ (a ; b ) và y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:
• Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ 0 ⇔ h(m) ≥ g(x)
(*)
g(x)
thì f nghịch biến trên (a ; b ) ⇔h(m) ≥ (max
a ;b )

• Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g(x)

(**)

g(x)
thì f nghịch biến trên (a ; b ) ⇔h(m) ≤ (min
a ;b )

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x −a .
Khi đó ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα 2 + 2bα + c .
a < 0
∆ > 0
a < 0
∨ 
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (−∞; a) ⇔g(t) ≤ 0,∀t < 0 ⇔
∆ ≤ 0
S > 0
 P ≥ 0
a < 0
∆ > 0
a < 0
∨ 
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≤ 0,∀t > 0 ⇔
∆ ≤ 0
S < 0
 P ≥ 0

3. Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài
bằng k cho trước.

∆ > 0

a≠ 0
• f đơn điệu trên khoảng (x1; x2) ⇔y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔
(1)

• Biến đổi x1 − x2 = d thành (x1 + x2)2 − 4x1x2 = d2
• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
2
4. Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a,d ≠ 0)

dx + e

a) Đồng biến trên (−∞;α ) .
b) Đồng biến trên (α ; +∞) .
c) Đồng biến trên (α ; β ) .
Trang 2

(2)


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

2
 −e y' = adx + 2aex + be− dc = f (x)
Tập xác định: D = R \   ,
2
2
d
( dx + e)
( dx + e)

Trường hợp 1

Nếu: f (x) ≥ 0 ⇔ g(x) ≥ h(m) (i)

a) (2) đồng biến trên khoảng (−∞;α )

Trường hợp 2

Nếu bpt: f (x) ≥ 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t = x − α .
Khi đó bpt: f (x) ≥ 0 trở thành: g(t) ≥ 0 , với:
g(t) = adt2 + 2a(dα + e)t + adα 2 + 2aeα + be− dc
a) (2) đồng biến trên khoảng (−∞;α )

 −e

⇔  d ≥α
 g(x) ≥ h(m),∀x < α
 −e
 ≥α
⇔d
h(m) ≤ min g(x)
(−∞;α ]


b) (2) đồng biến trên khoảng (α ; +∞)

 −e

⇔  d ≥α

 g(t) ≥ 0,∀t < 0 (ii )
a > 0
∆ > 0
a > 0
(ii ) ⇔ 
∨ 
∆ ≤ 0 S > 0
 P ≥ 0

b) (2) đồng biến trên khoảng (α ; +∞)

 −e

⇔  d ≤α
 g(x) ≥ h(m),∀x > α
 −e
 ≤α
⇔d
h(m) ≤ min g(x)
[α ;+∞ )


 −e

⇔  d ≤α
 g(t) ≥ 0,∀t > 0 (iii )
a > 0
∆ > 0
a > 0
(iii ) ⇔ 

∨ 
∆ ≤ 0 S < 0
 P ≥ 0

c) (2) đồng biến trên khoảng (α ; β )
 −e

⇔  d ∉ ( α ;β )
 g(x) ≥ h(m),∀x∈ (α ; β )
 −e
 ∉ ( α ;β )
⇔d
h(m) ≤ min g(x)
[α ;β ]


2
5. Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a,d ≠ 0)

dx + e

a) Nghịch biến trên (−∞;α ) .
b) Nghịch biến trên (α ; +∞) .
c) Nghịch biến trên (α ; β ) .
2
 −e y' = adx + 2aex + be− dc = f (x)
D
=
R
\

Tập xác định:
 ,
2
2
d
( dx + e)
( dx + e)

Trang 3


Khảo sát hàm số

Trường hợp 1
Nếu f (x) ≤ 0 ⇔ g(x) ≥ h(m) (i)

a) (2) nghịch biến trên khoảng (−∞;α )
 −e

⇔  d ≥α
 g(x) ≥ h(m),∀x < α
 −e
 ≥α
⇔d
h(m) ≤ min g(x)
(−∞;α ]


b) (2) nghịch biến trên khoảng (α ; +∞)
 −e


⇔  d ≤α
 g(x) ≥ h(m),∀x > α
 −e
 ≤α
⇔d
h(m) ≤ min g(x)
[α ;+∞ )


c) (2) đồng biến trong khoảng (α ; β )

Trần Sĩ Tùng

Trường hợp 2
Nếu bpt: f (x) ≥ 0 không đưa được về dạng (i)
thì ta đặt: t = x − α .
Khi đó bpt: f (x) ≤ 0 trở thành: g(t) ≤ 0 , với:
g(t) = adt2 + 2a(dα + e)t + adα 2 + 2aeα + be− dc
a) (2) đồng biến trên khoảng (−∞;α )
 −e

⇔  d ≥α
 g(t) ≤ 0,∀t < 0 (ii )
a < 0
∆ > 0
a < 0
(ii ) ⇔ 
∨ 
∆ ≤ 0 S > 0

 P ≥ 0

b) (2) đồng biến trên khoảng (α ; +∞)
 −e

⇔  d ≤α
 g(t) ≤ 0,∀t > 0 (iii )
a < 0
∆ > 0
a < 0
(iii ) ⇔ 
∨ 
∆ ≤ 0 S < 0
 P ≥ 0

 −e

⇔  d ∉ ( α ;β )
 g(x) ≥ h(m),∀x∈ (α ; β )
 −e
 ∉ ( α ;β )
⇔d
h(m) ≤ min g(x)
[α ;β ]


Trang 4


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học

môn toán

Trần Sĩ Tùng
Câu 1.

Khảo sát hàm số
1
3

Cho hàm số y = (m− 1)x3 + mx2 + (3m− 2)x (1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m= 2 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
• Tập xác định: D = R. y′= (m− 1)x2 + 2mx + 3m− 2 .
(1) đồng biến trên R ⇔ y′≥ 0, ∀x ⇔ m≥ 2
Cho hàm số y = x3 + 3x2 − mx − 4 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 0 .
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (−∞;0) .

Câu 2.

• Tập xác định: D = R. y′= 3x2 + 6x − m. y′ có ∆′ = 3(m+ 3) .
+ Nếu m≤ −3 thì ∆′ ≤ 0 ⇒y′ ≥ 0,∀x ⇒hàm số đồng biến trên R ⇒m≤ −3 thoả YCBT.
+ Nếu m> −3 thì ∆′ > 0 ⇒PT y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) . Khi đó hàm số
đồng biến trên các khoảng (−∞; x1),(x2; +∞) .
 ∆′ > 0


 m> −3


 S > 0

 −2 > 0

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) ⇔0≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ 0 ⇔ −m≥ 0 (VN)
Vậy: m≤ −3.

Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x + 1 có đồ thị (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞)

Câu 3.

• Tập xác định: D = R. y' = 6x2 − 6(2m+ 1)x + 6m(m+ 1) có ∆ = (2m+ 1)2 − 4(m2 + m) = 1> 0
x = m
y' = 0 ⇔ 
. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; m), (m+ 1; +∞)
 x = m+ 1
Do đó: hàm số đồng biến trên (2; +∞) ⇔ m+ 1≤ 2 ⇔ m≤ 1

Cho hàm số y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m+ 2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = (0; +∞) .

Câu 4.

• Hàm đồng biến trên (0; +∞) ⇔ y ′= 3x2 + 2(1− 2m)x + (2 − m) ≥ 0 với ∀x∈ (0; +∞)
⇔ f (x) =

Ta có: f ′(x) =

6(2x2 + x − 1)
2

(4x + 1)

3x2 + 2x + 2
≥ m với ∀x∈ (0; +∞)
4x + 1

= 0 ⇔ 2x2 + x − 1= 0 ⇔ x = −1; x =

1
2
 1

5

Lập BBT của hàm f (x) trên (0; +∞) , từ đó ta đi đến kết luận: f  ÷ ≥ m⇔ ≥ m.
4
 2
Câu hỏi tương tự:
1
a) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + 1 (m≠ −1) , K = (−∞; −1) .
3
1
b) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + 1 (m≠ −1) , K = (1; +∞) .
3
1

c) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + 1 (m≠ −1) , K = (−1;1) .
3

Trang 5

ĐS: m≥

4
11

ĐS: m ≥ 0
ĐS: m≥

1
2


Khảo sát hàm số

Câu 5.

Trần Sĩ Tùng

1
Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m− 1)x2 − 2x + 1 (1) (m≠ ±1) .
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (−∞;2) .

• Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1)x2 + 2(m− 1)x − 2 .
Đặt t = x– 2 ta được: y′ = g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 + 2m− 6)t + 4m2 + 4m− 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (−∞;2) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t < 0
a < 0

 m2 − 1< 0

TH1: 
⇔
 ∆ ≤ 0 3m2 − 2m− 1≤ 0
Vậy: Với

Câu 6.

 m2 − 1< 0
a < 0  2
∆ > 0 3m − 2m− 1> 0
TH2: 
⇔4m2 + 4m− 10 ≤ 0
 S > 0  −2m− 3
 P ≥ 0 
>0
 m+ 1

−1
≤ m< 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (−∞;2) .
3

1
Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m− 1)x2 − 2x + 1 (1) (m≠ ±1) .

3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = (2; +∞) .

• Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1)x2 + 2(m− 1)x − 2 .
Đặt t = x– 2 ta được: y′ = g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 + 2m− 6)t + 4m2 + 4m− 10
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +∞) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t > 0
 m2 − 1< 0
a < 0  2
∆ > 0 3m − 2m− 1> 0
 a < 0  m2 − 1< 0
TH1: 
⇔ 2
TH2: 
⇔4m2 + 4m− 10 ≤ 0
 ∆ ≤ 0 3m − 2m− 1≤ 0
 S < 0  −2m− 3
 P ≥ 0 
<0
 m+ 1
Vậy: Với −1< m< 1 thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2; +∞)

Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
• Ta có y' = 3x2 + 6x + m có ∆′ = 9− 3m.

Câu 7.

+ Nếu m ≥ 3 thì y′ ≥ 0,∀x∈ R ⇒hàm số đồng biến trên R ⇒m ≥ 3 không thoả mãn.
+ Nếu m < 3 thì y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) . Hàm số nghịch biến trên đoạn
 x1; x2  với độ dài l = x1 − x2 . Ta có: x1 + x2 = −2; x1x2 = m.
3
9
YCBT ⇔l = 1 ⇔x1 − x2 = 1 ⇔(x1 + x2)2 − 4x1x2 = 1 ⇔m= .
4

Cho hàm số y = −2x3 + 3mx2 − 1 (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng (x1; x2) với x2 − x1 = 1.

Câu 8.

• y' = −6x2 + 6mx , y' = 0 ⇔ x = 0∨ x = m.
+ Nếu m = 0 ⇒ y′ ≤ 0,∀x∈ ¡ ⇒hàm số nghịch biến trên ¡ ⇒m = 0 không thoả YCBT.
Trang 6


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

+ Nếu m≠ 0 , y′ ≥ 0,∀x∈ (0; m) khi m> 0 hoặc y′ ≥ 0,∀x∈ (m;0) khi m< 0 .
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (x1; x2) với x2 − x1 = 1
(x ; x ) = (0; m)

 m− 0 = 1
⇔(x1; x2) = (m;0) và x2 − x1 = 1 ⇔ 0 − m= 1⇔ m= ±1.


1



2

Cho hàm số y = x4 − 2mx2 − 3m+ 1 (1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).
• Ta có y' = 4x3 − 4mx = 4x(x2 − m)

Câu 9.

+ m≤ 0 , y′≥ 0,∀x∈ (0; +∞) ⇒ m≤ 0 thoả mãn.
+ m> 0 , y′= 0 có 3 nghiệm phân biệt: − m, 0, m .

Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) ⇔ m ≤ 1 ⇔ 0 < m≤ 1.
Vậy m∈ ( −∞;1 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với y = x4 − 2(m− 1)x2 + m− 2 ; y đồng biến trên khoảng (1;3) .
ĐS: m≤ 2.
Câu 10. Cho hàm số y =

mx + 4
x+ m

(1)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= −1.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (−∞;1) .

• Tập xác định: D = R \ {–m}.

y ′=

m2 − 4
(x + m)2

.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ y′< 0 ⇔ −2 < m< 2
(1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (−∞;1) thì ta phải có − m≥ 1⇔ m≤ −1 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được: −2 < m≤ −1.
Câu 11. Cho hàm số y =

2x2 − 3x + m
(2).
x−1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (−∞; −1) .
2x2 − 4x + 3− m
f (x)
=
.
• Tập xác định: D = R \ {1}. y' =

2
2
(x − 1)

(x − 1)

Ta có: f (x) ≥ 0 ⇔ m≤ 2x2 − 4x + 3. Đặt g(x) = 2x2 − 4x + 3 ⇒ g'(x) = 4x − 4
min g(x)
Hàm số (2) đồng biến trên (−∞; −1) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (−∞; −1) ⇔ m≤ (−∞
;−1]

Dựa vào BBT của hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy ra m≤ 9.
Vậy m≤ 9thì hàm số (2) đồng biến trên (−∞; −1)
Câu 12. Cho hàm số y =

2x2 − 3x + m
(2).
x−1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (2; +∞) .
2x2 − 4x + 3− m
f (x)
=
.
• Tập xác định: D = R \ {1}. y' =
2
2
(x − 1)

(x − 1)

Ta có: f (x) ≥ 0 ⇔ m≤ 2x − 4x + 3. Đặt g(x) = 2x − 4x + 3 ⇒ g'(x) = 4x − 4
2

2

min g(x)
Hàm số (2) đồng biến trên (2; +∞) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (2; +∞) ⇔ m≤ [2;
+∞ )

Trang 7


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

Dựa vào BBT của hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy ra m≤ 3 .
Vậy m≤ 3 thì hàm số (2) đồng biến trên (2; +∞) .
Câu 13. Cho hàm số y =

2x2 − 3x + m
(2).
x−1

Tìm m để hàm số (2) đồng biến trên khoảng (1;2) .
2x2 − 4x + 3− m
f (x)
=
.

• Tập xác định: D = R \ {1}. y' =
2
2
(x − 1)

(x − 1)

Ta có: f (x) ≥ 0 ⇔ m≤ 2x2 − 4x + 3. Đặt g(x) = 2x2 − 4x + 3 ⇒ g'(x) = 4x − 4
g(x)
Hàm số (2) đồng biến trên (1;2) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (1;2) ⇔ m≤ min
[1;2]

Dựa vào BBT của hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy ra m≤ 1.
Vậy m≤ 1 thì hàm số (2) đồng biến trên (1;2) .
Câu 14. Cho hàm số y =

x2 − 2mx + 3m2
(2).
2m− x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (−∞;1) .

• Tập xác định: D = R \ {2m}. y' =

− x2 + 4mx − m2
2

(x − 2m)

=

f (x)
(x − 2m)2

. Đặt t = x − 1.

Khi đó bpt: f (x) ≤ 0 trở thành: g(t) = −t2 − 2(1− 2mt
) − m2 + 4m− 1≤ 0
2m> 1
Hàm số (2) nghịch biến trên (−∞;1) ⇔ y' ≤ 0, ∀x∈ (−∞;1) ⇔ 

 g(t) ≤ 0, ∀t < 0 (i )

 m= 0
∆ ' = 0
  m≠ 0
 ∆ ' > 0
 m= 0
(i ) ⇔  
⇔ 
⇔
 4m− 2 > 0
 S > 0
 m≥ 2 + 3
 m2 − 4m+ 1≥ 0
  P ≥ 0


Vậy: Với m≥ 2 + 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (−∞;1) .
Câu 15. Cho hàm số y =

x2 − 2mx + 3m2
(2).
2m− x

Tìm m để hàm số (2) nghịch biến trên khoảng (1; +∞) .

• Tập xác định: D = R \ {2m}. y' =

− x2 + 4mx − m2
2

(x − 2m)

=

f (x)
(x − 2m)2

. Đặt t = x − 1.

Khi đó bpt: f (x) ≤ 0 trở thành: g(t) = −t2 − 2(1− 2mt
) − m2 + 4m− 1≤ 0
2m< 1
Hàm số (2) nghịch biến trên (1; +∞) ⇔ y' ≤ 0, ∀x∈ (1; +∞) ⇔ 

 g(t) ≤ 0, ∀t > 0 (ii )

 m= 0
∆ ' = 0

 m≠ 0
 ∆ ' > 0
(ii ) ⇔  
⇔ 
⇔ m≤ 2 − 3
 4m− 2 < 0
 S < 0
 m2 − 4m+ 1≥ 0
  P ≥ 0


Vậy: Với m≤ 2 − 3 thì hàm số (2) nghịch biến trên (1; +∞)

Trang 8