Tài liệu giảng dạy phương trình và bất phương trình mũ loga

: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
CHUYÊN ĐỀ

Người xuất sắc vượt trội: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chào mừng các bạn đến với chuyên đề. Để bắt đầu chúng ta hãy xem mình sẽ học những phần gì nhé

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT

1


Hàm mũ
Hàm logarit

Các
công thức

Phương trình ,
bất phương trình
mũ và logarit
Nào chúng ta cùng tìm
hiểu về phần đầu tiên

Hàm số mũ
Hàm số logarit
Đạo hàm của hàm số mũ:
(với u là một hàm số)
(với u là một hàm số)

2


Hàm số mũ

Đồ thị hàm số mũ

Tập xác định :
Tập giá trị :
(

Dạng :

( a > 0 , a1 )

Tính đơn điệu:
*a>1
: đồng biến trên
* 0 < a < 1 : nghịch biến trên
Tập xác định :
Tập giá trị

Hàm số logarit

Đạo hàm của hàm số lôgarit:
và
và
và

(với u là một hàm số)

(với u là một hàm số)
Đồ thị của hàm số lôgarít

3

và


Chúng ta đã đi được một phần ba
quãng đường rồi. Bây giờ hãy đi cá
phần tiếp theo của bài học nhé

Công thức
Công thức lũy thừa

ho và . Khi đó:

4


Công thức lôgarit

Với các điều kiện thích hợp ta có:
log a b = α ⇔ aα = b

log a 1 = 0

log a a = 1

log a aα = α

a loga b = b

log a bα = α log a b

log aα b =

1
log a b
α

log am b n =
log a

log a (m.n) = log a m + log a n
log a b =

log c b
log c a

n
log a b
m

m
= log a m − log a n
n

log a b =

1
log b a

CÁC CÔNG THỨC GỐC CẦN NHỚ !

5


Bài toán
Phương trình và bất phương trình mũ và logarit

Dạng bài này chúng ta có 4 phương pháp giải . Hãy cùng tớ
tìm hiểu về các phương pháp giải đó nhé

1
Phương pháp đưa về cùng cơ
số

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP :
a
Cho là một số dương khác 1. Ta có:
a)

b)

a f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x )
b > 0
x

af( ) = b ⇔ 
 f ( x ) = log a b

* Lưu ý: Với
c)

af(

- Với
- Với

x)

b<0

thì phương trình vô nghiệm.

> a g ( x ) (*)

a >1

a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x )
x

thì

0 < a <1

a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x )
x

thì

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

 Cơ số :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 Số mũ :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6


Một số ví dụ để bạn hiểu hơn về phương pháp

Bài 1 (TN). Giải các phương trình sau:
2

2

a)5 x +3x = 625

b) 2 x −3 x −6 = 16

c) 2 x +1.5 x = 200

Lời giải
a)5 x

2

+3 x

= 625 ⇔ 5 x

2

+3 x

= 54 ⇔ x 2 + 3 x = 4

x = 1
⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔ 
 x = −4

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.
b) 2 x

2

−3 x − 6

= 16 ⇔ 2 x

2

−3 x − 6

= 24 ⇔ x 2 − 3 x − 6 = 4

x = 5
⇔ x 2 − 3x − 10 = 0 ⇔ 

 x = −2

Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.

c) 2 x +1.5 x = 200 ⇔ 2.2 x.5 x = 200
⇔ 10 x = 100 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 2. (TN) Giải các bất phương trình sau:
− x2 +7 x +2

a) 7

6 x2 +3x− 7

3
b)  ÷
5

≤ 49

>

9
25

Lời giải
2

2

a) 76 x +3 x−7 ≤ 49 ⇔ 7 6 x +3 x −7 ≤ 7 2 ⇔ 6 x 2 + 3x − 7 ≤ 2 ⇔ 6 x 2 + 3 x − 9 ≤ 0
x = 1
VT = 0 ⇔ 6 x 2 + 3 x − 9 = 0 ⇔ 
 x = −3

Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
− x2 +7 x + 2

 3
b)  ÷
5

− x2 +7 x +2

9
 3
>
⇔ ÷
25
5

Tập nghiệm của bất phương trình

2

 3
>  ÷ ⇔ − x2 + 7 x + 2 < 2 ⇔ − x2 + 7x < 0
5
S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ )

7


23 x

2

− x −10

Bài 3 (ĐH). Giải phương trình:
Lời giải
Phương trình tương đương:
23 x

2

− x −10

+ 22 x

2

2

− 2 x −8

− 2x

2

+ x+ 2

+ 4x

− 16 = 0 ⇔ 23 x

2

2

2

−x−4

− x −14

− 2x

+ 22 x

2

2

+ x+2

− 2 x −12

− 16 = 0

− 2x

2

+ x−2

.

−1 = 0

2

⇔ (22 x −2 x −12 − 1)(2 x + x −2 + 1) = 0 ⇔ 22 x −2 x −12 − 1 = 0
⇔ 22 x

2

− 2 x −12

 x = −2
= 20 ⇔ 2 x 2 − 2 x − 12 = 0 ⇔ 
x = 3

Vậy phương trình có 2 nghiệm

x = −2, x = 3.

2log3 ( 4x − 3) + log1 ( 2x + 3) ≤ 2
3

Bài 4: Giải bất phương trình
Bài giải
4x − 3 > 0
⇔

2x + 3 > 0


♥ Điều kiện:
♥ Khi đó:

x > 3

4 ⇔ x> 3

4
x > − 3

2

(1)

(*)

( 1) ⇔ log3 ( 4x − 3) 2 ≤ 2 + log3 ( 2x + 3)
⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ log3 [ 9( 2x + 3) ]
2

⇔ ( 4x − 3) ≤ 9( 2x + 3)
2

⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ 0
⇔−

3
≤x≤3
8

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là

3
4

Bài 5.(TN) Giải các phương trình sau

b) log 5 x + log 25 x = log 0,2

a) log 2 x + log 4 x + log8 x = 11

1
3

c ) log 22 x − log 2 x − 6 = 0

d ) 4log 22 x + log 2 x = 2

e) 3log 32 x = 10 log 3 x − 3

f ) ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3)

Lời giải

8


a) log 2 x + log 4 x + log8 x = 11

(1)

Điều kiện: x > 0.
(1) ⇔ log 2 x + log 22 x + log 23 x = 11

1
1
⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11
2
3
11
⇔ log 2 x = 11
6
⇔ log 2 x = 6 ⇔ x = 26 = 64 ( nhan)
Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
1
b) log5 x + log 25 x = log 0,2
3
(2)
Điều kiện: x > 0.

(2) ⇔ log 5 x + log52 x = log 5−1

⇔

( )
3

−1

1
⇔ log5 x + log 5 x = log5 3
2

3
2
log 5 x = log 5 3 ⇔ log 5 x = log 5 3
2
3

⇔ log 5 x = log5

( 3)

2
3

⇔ log 5 x = log 5 3 3

⇔x=33
Vậy phương trình có nghiệm
c ) log x − log 2 x − 6 = 0
2

2

x=33

.

(3)

Điều kiện: x > 0.

Đặt

t = log 2 x



. PT (3) trở thành

t = 3
t2 − t − 6 = 0 ⇔ 
t = 2

t = 3 ⇔ log 2 x = 3 ⇔ x = 23 = 8

(thỏa mãn)

t = 2 ⇔ log 2 x = 2 ⇔ x = 2 = 4
2



(thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.

d ) 4log 22 x + log 2 x = 2

(4)

Điều kiện x > 0.
(4) ⇔ 4log 22 x + log 1 x = 2 ⇔ 4log 22 x + 2log 2 x − 2 = 0
22

(4’)
9


t = −1
4t + 2t − 2 = 0 ⇔  1
t =
 2
2

Đặt

t = log 2 x

. PT (4’) trở thành

t = −1 ⇔ log 2 x = −1 ⇔ x = 2−1 =



1
(t / m)
2

1



1
1
2
t = ⇔ log 2 x = ⇔ x = 2 = 2 (t / m)
2
2

x=
Vậy phương trình có nghiệm
e) 3log 32 x = 10 log 3 x − 3

1
2

và

x= 2

(5)

Điều kiện x > 0
t = 3
3t = 10t − 3 ⇔ 3t − 10t + 3 = 0 ⇔  1
t =
 3
2

Đặt

t = log 3 x





2

ta được
t = 3 ⇔ log3 x = 3 ⇔ x = 33 = 27 (nhan)

1
1
1
t = ⇔ log 3 x = ⇔ x = 33 = 3 3 (nhan)
3
3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và
f ) ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3)

Điều kiện

x=33

.

(6)

x2 − 6x + 7 > 0

x − 3 > 0

 x = 2 (loai)
(6) ⇔ x 2 − 6 x + 7 = x − 3 ⇔ x 2 − 7 x + 10 = 0 ⇔ 
 x = 5 ( nhan)

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Bài 6. (TN) Giải các bất phương trình sau:

a) log 3 (4 x − 3) < 2

b) log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1

Lời giải
a) log 3 (4 x − 3) < 2

10


3

4

4x − 3 > 0 ⇔ x >
Điều kiện

log 3 (4 x − 3) < 2 ⇔ 4 x − 3 < 32 ⇔ 4 x < 12 ⇔ x < 3

3 
S =  ;3 ÷
4 

Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm

b) log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1

Điều kiện

x < 2
x2 − 5x + 6 > 0 ⇔ 
x > 3

log 0,5 ( x 2 − 5 x + 6) ≥ −1 ⇔ x 2 − 5 x + 6 ≤ ( 0,5 )

Kết

−1

hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm

⇔ x2 − 5x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4

S = [ 1;2 ) ∪ ( 3;4]

 BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài tập 1 Giải các phương trình
x 2 − 3 x +1

a.

2x
2x

2

2

+3 x − 2
− x+8

= 2−2

b.

1
 ÷
3

3 x +2

=3

c.

7
 ÷
 11 

x2

 11 
= ÷
7

= 41 − 3 x

d.
Bài tập 2 Giải các phương trình
a.
c.

2 x +1 + 2 x − 2 = 36
2.3

x +1

− 6.3

x −1

b.

−3 = 9
x

d.

3x +1 − 2.3x − 2 = 25

e.
Bài tập 3: Giải các phương trình
log 4 ( x + 2 ) = log 2 x

a.

f.

log ( x 2 − 6 x + 7 ) = log ( x − 3 )

log 2 ( x 2 − 1) = log 1 ( x − 1)

2 x +1 + 2 x−1 + 2 x = 28
5 x +1 + 6.5 x − 3.5 x −1 = 52
2.5 x + 2 − 5 x +3 + 375 = 0
log 3 (5 x + 3) = log 3 (7 x + 5)

c.

log 3 ( x 2 − 4 x + 3) + log 1 (3x + 21) = 0

2

3

d.
e.
f. log3( x2 - 5x +6) - log3(x - 3) = 0

ĐÚC RÚT KINH
NGHIỆM
11


2

Phương pháp đặt ẩn phụ

 CƠ SỞ KHOA HỌC
 Đặt

t = ax, t > 0

.
 Thay vào phương trình hoặc bất phương trình để biến đổi phương trình
theo t.
 Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
Nếu có nghiệm thỏa thì thay

t = ax

để tìm x và kết luận.

Dấu hiệu nhận biết



Cơ số : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số mũ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sau đây là một số ví dụ

Bài 1. (TN) Giải các phương trình sau:
a ) 9 x − 10.3x + 9 = 0

b) 25 x + 3.5 x − 10 = 0

c ) 2 x − 2 3− x − 2 = 0

d ) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0

Lời giải
12


a ) 9 x − 10.3x + 9 = 0 ⇔ 32 x − 10.3x + 9 = 0

Đặt

t = 3x , t > 0

.

Phương trình trở thành:
t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 0

t = 1 (nhan)
t 2 − 10t + 9 = 0 ⇔ 
t = 9 ( nhan)

t = 9 ⇔ xx = 9 ⇔ x = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
b) 25x + 3.5 x − 10 = 0 ⇔ 52 x + 3.5 x − 10 = 0

Đặt

t = 5x , t > 0

Phương trình trở thành:

t = 2( nhan)
t 2 + 3t − 10 = 0 ⇔ 
t = −5(loai )

t = 2 ⇔ 5 x = 2 ⇔ x = log 5 2

x = log 5 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
.

8
c) 2 x − 23− x − 2 = 0 ⇔ 2 x − x − 2 = 0 ⇔ 2 2 x − 2.2 x − 8 = 0
2
Đặt

t = 2x , t > 0

Phương trình trở thành:

t = 4 ( nhan)
t 2 − 2.t − 8 = 0 ⇔ 
t = −2 (loai )

t = 4 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
x

x

2x

x

9
6
3
3
d ) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 ⇔ 6  ÷ − 13  ÷ + 6 = 0 ⇔ 6  ÷ − 13  ÷ + 6 = 0
4
4

2
2
x

x

x

x

Đặt

3
t = ÷ , t >0
2

. Phương trình trở thành


t =
2
6t − 13t + 6 = 0 ⇔ 
t =


13

3
(nhan)
2

2
(nhan)
3


x

3
3
3
t = ⇔  ÷ = ⇔ x =1
2
2
2
x

2
2
3
t = ⇔  ÷ = ⇔ x = −1
3
3
2
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1.

Bài 2 (TN). Giải các bất phương trình:
Lời giải
Bất phương trình
Đặt

4 x − 3.2 x + 2 < 0

4 x − 3.2 x + 2 < 0 ⇔ 22 x − 3.2 x + 2 < 0

t = 2x , t > 0

t 2 − 3t + 2 < 0 ⇔ 1 < t < 2 ⇔ 1 < 2 x < 2 ⇔ 0 < x < 1

Bất phương trình trở thành:
Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).

(

)

10 + 1

log 3 x

−

(

)

10 − 1

log3 x

Bài 3 (ĐH). Giải phương trình:

Lời giải
Điều kiện: x > 0

(

)

10 + 1

log3 x

−

(

=

2x
3

)

10 − 1

.

log3 x

Ta có phương trinhg tương đương với:
log3 x

 10 + 1 
⇔
÷
 3 

log3 x

 10 − 1 
−
÷
 3 

Phương trình trỏ thành:

log3 x

2
=
3
. Đặt

 10 + 1 
t =
÷
 3 

1 2
t − = ⇔ 3t 2 − 2t − 3 = 0
t 3

1 + 10
3

a)

log 2 x
2

+x

2log 2 x

− 20 ≤ 0

14

(t > 0).

 1 + 10
t =
3
⇔
 1 − 10
t =
3


Với t =
ta giải được x = 3

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3.
Bài 4 (ĐH). Giải các bất phương trình

2

2
= .3log3 x
3

(loại)


(2 + 3) x

2

− 2 x +1

+ (2 − 3) x

2

− 2 x −1

4
2− 3

≤

b)

Lời giải
4log 22 x

2
Điều kiện: x> 0 ; BPT ⇔
t = log 2 x
x = 2t
Đặt
. Khi đó
.
2

+x

2log 2 x

− 20 ≤ 0

y = 22 t

2

42t + 22t − 20 ≤ 0

2

BPT trở thành
. Đặt
BPT trở thành y2 + y - 20 ≤ 0 ⇔ - 5 ≤ y ≤ 4.

; y ≥ 1.

2

Đối chiếu điều kiện ta có:

Do đó - 1 ≤

log 2 x

(

⇔ 2+ 3

b) Bpt

(

t = 2+ 3

Đặt

)

≤1⇔

)

x2 −2 x

x2 −2 x

22t ≤ 4 ⇔ 2t 2 ≤ 2 ⇔ t 2 ≤ 1

1
≤x≤2
2

(

+ 2− 3

)

⇔ - 1 ≤ t ≤ 1.

.

x2 −2 x

≤4

(t > 0)

1
t + ≤ 4 ⇔ t 2 − 4t + 1 ≤ 0 ⇔ 2 − 3 ≤ t ≤ 2 + 3
t

BPTTT:

(

2− 3 ≤ 2+ 3

)

x2 −2 x

(tm)

≤ 2 + 3 ⇔ −1 ≤ x 2 − 2 x ≤ 1

⇔ x − 2x −1 ≤ 0 ⇔ 1− 2 ≤ x ≤ 1 +
2

2

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình
a.

32 x +1 − 9.3x + 6 = 0
2x+1

d.

7

− 8.7 + 1= 0

2 − 3.2
2x

b.

25 x − 2.5 x − 15 = 0

x

x+ 2

2.16 − 15.4 − 8 = 0
x

e.

+ 32 = 0

x

x+1

g.
h. 9 - 4.3 +27 = 0
Bài 2: Giải các phương trình
3x + 9.3− x − 10 < 0

a.

b.
Bài 3: Giải các phương trình
a.

3.4 x − 2.6 x = 9 x

b.

c.

x

f.
i.

25x − 6.5 x + 5 = 0

64 x − 8x − 56 = 0
34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = 0

7 x + 2.71− x − 9 = 0

6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0

15

2

c.

2

2

15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = 0


1

d.

1

1

3

6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = 0

e.

25x − 3 9 x + 3 15x = 0

f.

3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

Chúc mừng các chiến binh đã vượt qua 2 dạng bài cơ bản và phổ biến nhất trong
đề thi Đại học các năm gần đây ! các bạn hãy tự rút ra một số nhận xét cho dạng
bài thứ 2 nhé !

 ....................................................................
 ....................................................................
 ....................................................................

3

Phương pháp lôgarít hóa

 Khi hệ số 2 vế phương trình khác nhau thì ta mũ hóa hoặc logarit hóa cả 2
vế theo 1 trong 2 hệ số đó.

Sau đây là một số ví dụ

Bài 1 : Giải các phương trình sau:
2

3x.2 x = 1

a.
Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được
2

2

3x.2 x = 1 ⇔ log 3 (3 x.2 x ) = log 3 1

16


x = 0

⇔
1 + x log 3 2 = 0

⇔ x + x 2 log 3 2 = 0 ⇔ x ( 1 + x log 3 2 ) = 0
x = 0
x = 0
⇔
⇔
1
x = −
 x = − log 2 3
log3 2


Vậy phương trình có nghiệm:
8 x.5x

2

−1

b.

=

x = 0, x = − log 2 3

1
8

8 x.5 x

Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được
⇔ log8 8 x + log 8 5 x

(

2

−1

(

2

−1

=

2
1
1
⇔ log8 (8x.5 x −1 ) = log8 ( )
8
8

)

= log8 8−1 ⇔ x + x 2 − 1 log 8 5 = −1

)

⇔ x + 1 + x 2 − 1 log8 5 = 0 ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( x − 1) log8 5 = 0
x +1 = 0
⇔ ( x + 1) 1 + ( x − 1) log8 5 = 0 ⇔ 
1 + ( x − 1) log8 5 = 0
 x = −1
 x = −1
⇔
⇔
 x.log8 5 = log 8 5 − 1  x = 1 − log 5 8

Vậy phương trình có nghiệm:

x = −1, x = 1 − log 5 8

 BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1 (TN). Giải các phương trình:
4 x +1

1)

x2

9 .7 = 1
x

2)

2
 ÷
5

3x+2

1
= ÷
7

17

x

3)

58

x −1
x

= 500


4

Dấu hiệu nhận biết

Phương pháp hàm số

 Một vế là dạng logarit ( mũ ) và một vế là dạng đa thức
 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Cơ sở khoa học của phương pháp

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương
trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b)
f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v

ta có
.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng
(a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng
(a;b).

VÍ DỤ

log 3

Bài 1 (ĐH). Giải phương trình
Lời giải

x2 + x + 1
= x 2 − 3x + 2
2
2x − 2x + 3

18


Đặt

u = x 2 + x + 1; v = 2 x 2 − 2 x + 3 ( u > 0, v > 0 )
log 3

PT đã cho trở thành

v – u = x 2 − 3x  +2.

suy ra

u
= v − u ⇔ log 3 u − log 3 v = v − u ⇔ log 3 u + u = log 3 v + v
v

f ( t ) = log 3 t + t , t > 0

(1).

Xét hàm đặc trưng:
.
1
f ' (t ) =
+ 1 > 0, ∀t > 0
t.ln 3
Ta có
nên hàm số đồng biến khi t > 0.

Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy ra u = v hay v-u=0, tức là x2-3x+2=0.
x = 1, x = 2
Phương trình có nghiệm
.
u
log a = v − u
v
Lưu ý: Với phương trình dạng
với u > 0, v > 0 và 1 < a, ta thường biến đổi
⇔

logau - logav = v – u
logau + u = logav. Vì hàm số
f(t) = logat + t đồng biến khi t > 0, suy ra u = v.

Bài 2 (ĐH). Giải bất phương trình
Lời giải

1

log 2 (4 x 2 − 4 x + 1) − 2 x > 2 − ( x + 2) log 1  − x ÷

2 2

1

1
1

x

<
 −x>0
x <

2 ⇔ x<1
⇔
⇔
2
2
2
4 x 2 − 4 x + 1 > 0
(2 x − 1) 2 > 0
x ≠ 1




2

( *)

ĐK:
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:

2log 2 (1 − 2 x) − 2 x > 2 + ( x + 2) [ log 2 (1 − 2 x) − 1] ⇔ x [ log 2 (1 − 2 x) + 1] < 0
 x > 0
 x > 0
 x > 0




1

log 2 (1 − 2 x) + 1 < 0
log 2 2(1 − 2 x ) < 0
2(1 − 2 x) < 1  x >



⇔
⇔
⇔
⇔
4
 x < 0
 x < 0
 x < 0




x < 0
 log 2 (1 − 2 x) + 1 > 0
 log 2 2(1 − 2 x ) > 0
 2(1 − 2 x) > 1

Kết hợp với điều kiện (*) ta có:

1
1

< x<
4
2

Bài 3 (ĐH). Giải bất phương trình
Lời giải

hoặc x < 0.
x(3log 2 x − 2) > 9log 2 x − 2

19


⇔ 3( x − 3) log 2 x > 2( x − 1)

x>0

Điều kiện:
Bất phương trình
Nhận thấy x=3 không là nghiệm của bất phương trình.
3
x −1
log 2 x >
x>3
x−3
⇔ 2
TH1 Nếu
BPT
3
f ( x) = log 2 x

( 0;+∞ )
2
Xét hàm số:
đồng biến trên khoảng

biến trên khoảng

Với

x<4

:Ta có

TH 2:Nếu

( 3;+∞ )

x>4

:Ta có

f ( x) > f (4) = 3

g ( x) < g (4) = 3  ⇒

x −1
x −3

Bpt có nghiệm

nghịch

x>4

0< x<3

BPT

Bpt vô nghiệm
3
x −1
3
log 2 x <
f ( x) = log 2 x
x−3
2
⇔ 2

nghịch biến trên

( 0;3)

*Với

x >1

:Ta có

đồng biến trên

( 0; +∞ )

f ( x ) > f (1) = 0 

g ( x ) < g (1) = 0  ⇒

;

Bpt vô

nghiệm

* Với

x <1

*

f ( x ) < f (4) = 3

g ( x) > g (4) = 3  ⇒

x −1
x −3

g ( x) =

*Với

g ( x) =

:Ta có

f ( x) < f (1) = 0

g ( x ) > g (1) = 0  ⇒

Bpt có nghiệm

0 < x <1

Vậy Bpt có ngh

x > 4
0 < x < 1


Các bạn hãy cùng nhóm của mình giải nhanh
một số bài tập sau nào..

Bài 1: Giải phương trình và bất phương trình:
1.
2.
3.
20


4.
5.
Bài 2: Giải các phương trình logarit sau:

1.
2.
3.
4.

Chúc mừng bạn đã hoàn thành xong
chặn đường tìm hiểu thứ nhất chảu
mình. Nếu bạn là con người hèn nhát,
kém cỏi và không muốn thành công thì
bạn đi tới đây là đủ rồi , nhưng anh tin
chắc rằng các học trò của anh sẽ không
phải là người như vậyp hải không nào !
Hãy nỗ lực làm các bài tập sau đây để
rèn luyện bạn thân nhé cảm ơn các bạn !

Bài 1 : Giải các phương trình và bất phương trình sau
1)

32 x + 42 x = 25 x
2

1− x
x2

2

−2

1− 2 x
x2

3)
5)

x−2
=
2x

4)

2 x −1 < 2 − x

6)

21− x − 2 x + 1
<0
2x − 1

16 x − 3x ≤ 4 x + 9 x

2 + 3 = 3x + 2
x

7)

2)

3.16 x −2 + ( 3x − 10 ) .4 x −2 + 3 − x = 0

x

x

 4
2
 ÷ = −2 x + 6 x – 9.
 3

8)
Bài 2 :

1. Giải phương trình:

9)

( 2 + 3)

25 x − 6.5 x + 5 = 0

2.

21

x +1

(

− 7+4 3

)

x

= x −1


3. Giải phương trình:
4. Giải phương trình:
5. Giải phương trình:

(

8. Giải phương trình:

)

2 +1

x

−2 2 =0

2
2
42 x − 2.4 x + x + 42 x = 0

3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
2
2
2 x − x − 2 2+ x − x = 3

6. Giải phương trình :
7. Giải phương trình:

x

) +(

2 −1

2
2
2 x + x − 4.2 x − x − 2 2 x + 4 = 0
2
2
9 x + x−1 − 10.3 x + x−2 + 1 = 0

9. Giải phương trình :

log x 2 + 2 log 2 x 4 = log
log

10. Giải phương trình
11. Giải phương trình:

2

2x

8

x + 1 − log 1 (3 − x) = log 8 ( x − 1)3
2

log x 2 + 2 log 2 x 4 = log

2x

8

.

Câu đố kì này :
Câu hỏi: Bạn hãy tưởng tượng bạn đang đi trên 1 con thuyền trên 1 dòng song có rất nhiều cá ăn thịt đến
giữa dòng bỗng thuyền của bạn bị thủng 1 lỗ rất to, sau vài phút nữa thuyền sẽ chìm và chắc chắn bạn sẽ
là bữa ăn của những con cá này. Bạn làm cách nào đơn giản nhất để thoát ra khỏi cái hoàn cảnh chết tiệt
này?
Đáp án :

Họ và tên người tháng cuộc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SĐT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hãy vui lòng gửi những đáp án đúng nhất tới Trung tâm Huấn luyện Tự học STA để được
nhận những món quà hấp dẫn nhé !
22