CHUYÊN đề TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Kiến thức liên quan
1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

∫

xα +1
+ C , α ≠ −1
α +1

dx
= ln x + C , x ≠ 0
x

∫ e dx = e
x

x
∫ a dx =

x

Nguyên hàm mở rộng
∫ a.dx = ax + C, a ∈ ¡

1 (ax + b)α +1
α

(
ax
+
b
)
dx
=
.
+C
∫
a
α +1
dx

1

∫ ax + b = a .ln ax + b + C
1 ax +b
ax +b
e
dx
=
.e
+C
∫
a

+C

ax

+C
ln a

α x+β
∫ a dx =

1 aα x + β
.
+C
α ln a

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos(ax + b)dx = a .sin(ax + b) + C

∫ sin xdx = − cos x + C

1
sin(
ax
+
b
)
dx
=
−
.cos(ax + b) + C
∫
a

1

∫ cos

2

x

1

∫ sin

2

x

1

1

1

dx = tan x + C

∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C

dx = −cotx + C

∫ sin

2

2

1
1
dx = − cot ( ax + b) + C
( ax + b)
a

1.2. Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

a

1.3. Phương pháp đổi biến số

= F (b) − F (a )


b

∫ f [ ϕ ( x)]ϕ ( x)dx
'

a

1.3.1. Dạng 1 : Tính I =
ϕ ( x) ⇒ dt = ϕ ' ( x).dx
+ Đặt t =
+ Đổi cận :
x
a
t
ϕ (a)
⇒

b
ϕ (b)

ϕ (b)

∫
ϕ

f (t ).dt = F (t )

(a)

I=
b

∫ f ( x)dx
a

bằng cách đặt x =

1.3.2. Dạng 2 : Tính I =

a −x
Dạng chứa
: Đặt x = asint, t
1.4. Phương pháp tích phân từng phần
2

2

b

b

a

a

ϕ (t )

 π π
∈ − ; 
 2 2

(a>0)

b

∫ f ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu
b

a

* Công thức tính :

 u = ...
du = ... dx
⇒

 v = ...
dv = ...

a

(lay
dao
(lay
nguyen

ham)
ham)

 Đặt
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1:
b
 ∫ P ( x ).sin f ( x ).dx

a
 b
⇒ u = P( x)
 ∫ P ( x ).cos f ( x ).dx
a
b
 ∫ P ( x ).e f ( x ) .dx
 a
P( x)
, trong đó
là đa thức bậc n.
b

∫ P( x).ln f ( x).dx
a

*Loại 2:
1.5. Tính chất tích phân

⇒ u = ln f ( x )

hoctoancapba.com

ϕ (b)
ϕ (a)


b

b

a

a

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
Tính chất 1:
b

∫[
Tính chất 2:

a

, k: hằng số
b

b

a

a

f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
Tính chất 3:

(a < c < b )

1.6. Diện tích hình phẳng
1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
b

S = ∫ f ( x) dx
a

(*)

Lưu ý:


f ( x) = 0

vô nghiệm trên (a;b) thì
b

b

S = ∫ f ( x ) dx =

∫ f ( x)dx

a



f ( x) = 0

có 1 nghiệm
b

c ∈ ( a; b)

S = ∫ f ( x ) dx =
a

a

thì

c

∫

b

f ( x )dx +

a

∫ f ( x)dx
c

1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b
là:
b

S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx
a

(**)
Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với
công thức (*).
1.7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường


y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
b

V = π ∫ f 2 ( x) dx
a

Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
1

2 / B = ∫ 2 ( e + 3) dx

1 / A = ∫ (2x+e )dx

x

0

3 / C = ∫ ( sinx+ cos x ) dx

x

0

 x + 2 x +3
4 / D = ∫
÷dx
x3
1

4

π

1

x

0

π

2

5 / E = ∫ ( x − sin 2 x ) dx
0

Lời giải
1

1

1

0

0

0

1 / A = ∫ ( 2 x + e x ) dx = ∫ 2 xdx + ∫ e x dx = x 2 + e x = 1 − 0 + e − 1 = e
1

1

x

0

0

0

0

x 1

1

2x
 2e − 1  3
+3
=
÷+
ln 2e
ln 2 0  ln 2e  ln 2
0

2 / B = ∫ 2 ( e + 3) dx = ∫ ( 2e ) dx +3∫
x

1

( 2e )
2 x dx =

1

x

1

0

π

π

π

0

0

0

3 / C = ∫ ( sinx + cos x ) dx = ∫ sinxdx + ∫ cos xdx = − cos x 0 + sin x 0 = 2
π

π

4

4
5
1
−

1
4
x 3
2 − 32
3 −2 4
−3 
2
4 / D = ∫  + 3 + 3 ÷dx = ∫  + x + 3 x ÷dx = ln x 1 − x
+
x
=
1
x x
x 
x
3
−
2

1
1
1
4

π

π

π

π

π

1 2
1
π2
5 / E = ∫ ( x − sin 2 x ) dx = ∫ xdx − ∫ sin 2 xdx = x + cos 2 x =
2 0 2
2
0
0
0
0
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
6

1 / I = ∫ x x + 3dx
1

2x + 1
dx
0 1 + 3x + 1

2/ J = ∫

e
 1
2ln x + 1
3 / K = ∫ 

+
x x ( ln x + 1)
1

Lời giải

1


÷
÷dx


ln 2

4/ L =

∫
0

1 

x+ x
÷dx
2e + 1 



6

1 / I = ∫ x x + 3dx
1

x+3 =t

•

Đặt

•

Đổi cận:

x + 3 = t 2 ⇒ dx = 2tdt

ta được
x = 1 ⇒ t = 2; x = 6 ⇒ t = 3

3

3

232
2

I = ∫ ( 2t − 6t ) dt =  t 5 − 2t 3 ÷ =
5
5
2
2

4

•

Khi đó

2

1

2x + 1
dx
0 1 + 3x + 1

2/ J = ∫

t2 −1
2
x=
⇒ dx = tdt
3
3

3x + 1 = t

•

Đặt

•

Đổi cận

ta được
x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2
2

J=
•

Khi đó
e
 1
2ln x + 1
3 / K = ∫ 
+
x x ( ln x + 1)
1
e

K1 = ∫
•

Tính

•

Đổi cận

1

2

2 2t 3 + t
2  2
3 
28 2 3
dt
=
2
t
−
2
t
+
3
−
dt
=
− ln

÷
9 ∫1 1 + t
9 ∫1 
t +1
27 3 2

1
dx
x


÷
÷dx


K1 = 2

ta được kết quả
dx
dt =
ln x = t
x
• Đặt
ta được
x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1
1

•

Khi đó

Vậy ta được

)

e −1

1
2t + 1

dt = ( 2t − ln ( t + 1) ) = 2 − ln 2
0
t +1
0

K2 = ∫
•

(

K = K1 + K 2 = 2 e − ln 2


ln 2



∫  x + 2e

4/ L =

1
x

0


÷dx
+1 

hoctoancap ba. com

ln 2

L1 =
•

∫ xdx
0

Tính

ta được kết quả

ln 2

L2 =

∫ 2e
0

•

I=

1
x

+1

1 2
ln 2
2

dx

Tính
ex = t
e x dx = dt
• Đặt
ta được
x = 0 ⇒ t = 1; x = ln 2 ⇒ t = 2
• Đổi cận
2
2
dt
5
6
L2 = ∫
= ( ln t − ln ( 2t + 1) ) = ln 2 − ln = ln
1
t 2t + 1)
3
5
1 (
• Khi đó
1
6
L = L1 + L2 = ln 2 2 + ln
2

5
•

Vậy ta được

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
π

1 / I = ∫ ( 1 − sin 3 x ) cos xdx
0

π
4

2/ J = ∫
π
6

1
dx
2
sin x cos 4 x

Lời giải
π
2

1 / I = ∫ ( 1 − sin 3 x ) cos xdx
0

•

Đặt

sin x = t ⇒ dt = cos xdx
x = 0 ⇒ t = 0; x =

•

Đổi cận

1

 t4 
3
I = ∫ ( 1 − t ) dt =  t − ÷ =
4 0 4

0
1

3

•

Khi đó

π
⇒ t =1
2

π

3 / K = ∫ ( sinx + x ) sin xdx
0


π
4

2/ J = ∫
π
6

1
dx
sin x cos 4 x
2

cot x = t ⇒ dt =
•

Đặt
x=

•

Đổi cận

π

π
⇒ t = 3; x = ⇒ t = 1
6
4
2

3

•

Khi đó

−1
dx
sin 2 x

1

J = ∫ 1 + 2 ÷ dt =
t 
1 

π

π

0

0

3

3

2 1
8 3 4

 2 1 
∫1 1 + t 2 + t 4 ÷dt =  t − t − 3t 3 ÷ 1 = 27 + 3
π

3 / K = ∫ ( sinx + x ) sin xdx = ∫ sin xdx + ∫ x sin xdx
π

2

0

π

1 − cos 2 x
1
dx = π
2
2
0

K1 = ∫ sin xdx = ∫
•

2

0

Đặt
π

K 2 = ∫ x sin xdx
•

•

0

u = x
du = dx
⇒

dv = sin xdx v = − cos x
π

π

π

K 2 = − x cos x 0 + ∫ cos xdx = π + sinx 0 = π
•

0

* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu
ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
dx
t = ln x
x
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
ex
t = ex
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.


- Nếu tích phân chứa
- Nếu tích phân chứa

dx
x

thì đặt

dx
x2

t= x

t=

.

1
x

thì đặt
.
cos xdx
t = sin x
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
sin xdx
t = cos x
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
dx
t = tan x
cos 2 x
- Nếu tích phân chứa
thì đặt
.
dx
t = cot x
sin 2 x
- Nếu tích phân chứa

thì đặt
.

Ví dụ 3. Tính các tích phân
π
2

I = ∫ x sin xdx
a)

0

e

b) J = ∫ x ln xdx
1

Lời giải
π
2

I = ∫ x sin xdx
0

a)



u = x
 du = dx

⇒

dv = sin xdx v = − cos x
π
2
0

π
2

π

I = − x cos x + ∫ cos xdx = 0 − 0 + sinx 02 = 1
0


e

b) J = ∫ x ln xdx
1

1

c) K = ∫ xe x dx
0




1


du = dx

u = ln x

x
⇒

2
dv = xdx v = x

2
e

e

e

e

x2
x
x2
x2
e2 + 1
J = ln x − ∫ dx = ln x −
=
2
2
2

4 1
4
1
1
1



1

c) K = ∫ xe x dx
0



u = x
du = dx
⇒


x
x
dv = e dx v = e
K = xe

x 1
0



1

1

− ∫ e x dx = e − e x = 1
0

0

Ví dụ 4. Tính các tích phân sau

 2 1 − x2 
1/ I = ∫ x +
÷dx
x + x3 
1
2

ln 4

2/ J =

∫
0

 x
1 
e + x
÷dx
e +2



2

x2 − 1
3 / K = ∫ 2 ln xdx
x
1

Lời giải
2
2
 2 1 − x2 
1 − x2
2
1/ I = ∫ x +
dx
=
x
dx
+
÷
∫1
∫1 x + x 2 dx
x + x3 
1
2

2

2

1
7
I1 = ∫ x dx = x 3 =
3 1 3
1
2

Tính

2

2

1− x
dx = ∫
x + x3
1
1

I2 = ∫

2

I = I1 + I 2 =
Vậy

1


1
+ x÷
2
−
1
2 d
2
4
x
1



x
dx = − ∫
dx = − ln  + x ÷ = ln
1
1
5
x
1
1
+x
+x
x
x

7
4
+ ln

3
5


ln 4

2/ J =

∫
0

ln 4
ln 4
 x
1 
1
x
dx
e + x
÷dx = ∫ e dx + ∫
x
e +2
e +2

0
0

ln 4

J1 =

∫ e dx = e
x

0

ln 4

J2 =

1

∫

e +2
x

0

x ln 4
0

=3

dx; t = e x ⇒ t 2 = e x ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx =

2
dt
t

2

2

2
3
 t 
⇒ J2 = ∫
dt = ln 
÷ = ln
t t + 2)
2
 t + 2 1
1 (
J = J1 + J 2 = 3 + ln
Vậy

3
2

2

x2 − 1
3 / K = ∫ 2 ln xdx
x
1

Đặt

1


u = ln x
2
du
=
dx
2

1
11





x
2
⇒ K =  x + ÷ln x − ∫  x + ÷ dx

x −1 ⇒ 
x
x x

1
1
dv = 2 dx v = x + 1
x


x

2

2

1
1
5
3


⇒ K =  x + ÷ln x −  x − ÷ = ln 2 −
x
x 1 2
2


1
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
y = x2
a)
, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.
2
y=x
y = −2 x + 3
b)
,
và hai đường thẳng x =0, x=2.
2
y = x , y = x+2
c)

Lời giải
y = x2
a)
, trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.
x 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ [0;2]
 Trên [0; 2] ta có


 Diện tích của hình phẳng đã cho:
2

S=∫
0

b) Đặt

Ta có:

2

1
8
x dx = x3 =
3 0 3
2

f1 ( x ) = x 2 , f 2 ( x) = −2 x + 3
 x = 1 ∈ [0; 2]
f1 ( x) − f 2 ( x) = 0 ⇔ x 2 − ( −2 x + 3) = 0 ⇔ x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇔ 
 x = −3 ∉ [0; 2]

 Diện tích hình phẳng đã cho
2

S = ∫ | x 2 + 2 x − 3 | dx
0

1

2

0

1

= ∫ ( x 2 + 2 x − 3)dx + ∫ ( x 2 + 2 x − 3)dx
1

2

 x3

 x3

=  + x 2 − 3x ÷ +  + x 2 − 3x ÷
 3
0  3
1

1

8
1
5 7
− 2 + + 4 − 6 − −1+ 3 = + = 4
3
3
3
3 3

=

 x = −1
x 2 − ( x + 2) = 0 ⇔ x 2 − x − 2 = 0 ⇔ 
x = 2

c) Ta có:
Diện tích hình phẳng

2

 x3 x 2

8
1 1
9
S = ∫ | x − x − 2 | dx =  − − 2x ÷ = − 2 − 4 + + − 2 =
3 2
2
 3 2
 −1 3

−1
2

2

Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D)
giới hạn bởi
Lời giải
 Ta có:

y = 1 − x2 , y = 0

1 − x 2 = 0 ⇔ x = ±1


b

V = π ∫ f 2 ( x)dx
 Áp dụng công thức:

a

 Ta có:

1


2x 3 x 5 
2 2
+ ÷

V = π ∫ (1 − x ) dx = π ∫ ( 1 − 2x + x ) dx = π  x −
3
5  −1

−
1
−1
1

1

2

4

 2 1  
2 1 
4 2  16π

= π 1 − + ÷−  −1 + − ÷ = π  2 − + ÷ =
3 5 
3 5  15

 3 5  
Bài Tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
1

∫ (x
1.

3

e

+ x + 1)dx

0

2.

π
2

∫π (2sin x + 3cosx + x)dx
4.

3

1 1
2
∫1 ( x + x + x 2 + x )dx

2

∫
3.

1

∫ (e
5.

1

x

∫ (x

+ x) dx

0

1
(3sin
x
+
2
cosx
+
)dx
∫π
x

∫(
7.

x + 1)( x − x + 1)dx

1

8.

10.

3

+ 1).dx

−1

11.

4

−3

8

16.



∫  4 x − 3
1

∫ (e
9.

14.


÷dx
x2 

1
3

Bài 2: Tính các tích phân sau

 1 1
∫1  x 2 + x3 ÷dx

x

+ x 2 + 1)dx

0

2

∫ x( x − 3)dx

12.

2

2
∫ ( x − 4)dx

13.

7x − 2 x − 5
dx
∫1
x

+ x x )dx

1

e2

3

∫ (x

3

3

0

6.
π
2

2

x + 1dx

1

−2
2

15.

x2 − 2x
∫1 x3 dx


π
2

∫ sin
π
1.

3

π
6

2

xcos xdx

3

∫

1

4.

0

∫e
π
7.

sin x

12.
π
6

∫

6.

0

π
6

x
dx
x −1

∫
11.

4

x

∫ (1 + 3x )

dx

0

1

∫ x (1 − x ) dx
5

9.
9

0

2 2

2
3
∫ sin 2 x(1 + sin x) dx

8.

cos x
∫0 6 − 5sin x + sin 2 xdx

dx

π
2

cosxdx

4

x3 + 1

0

x 2 + 1dx

1

x2

∫
5.

π
2

3.

1

2
∫ x 1 − x dx

∫x

1 + 4sin xcosxdx

0

2.

1

3 6

0

12.

1 + 4sin x .cos xdx

0

1

x

∫e

13.

2

+2

e

0

14.

1

∫x

x + 1dx

0

17.

ln 5

∫e

19.

x

ln 3

dx
+ 2e − x − 3

20.

22.
Bài 3: Tính các tích phân sau

∫ x cos

1.

0

23.

−x

4 − x2

0

∫e

xdx
2.

0

x

0

1

dx

24.
π
2

1

2

x2 + 1

3

dx

sin x
dx
3
x

∫ cos

dx
1

1

∫x
π
3

21.

∫

1 − x dx

x + 5dx
3

0

1

2

0

π
2

15.

18.

∫e

sin(ln x)
dx
x
1

∫

8

2

0

1

1

∫

1

e

1

∫x
16.

1 + ln x
dx
x

∫

xdx

1

∫1+ x

2

dx

0

∫ (2 x − 1)cosxdx

sin xdx

3.

0

1

∫ xe dx
0

5.

π
2

∫e

2

0

8.
1

0

∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx
0

6.

11.

2

+ 1)sin xdx

1

2x

∫ ( x − 2)e

sin 3xdx

0

9.

1

2x

dx

0

π
2

∫ x cos x dx

∫ (2 x + 2) ln xdx

2

2

∫ (x

e

∫ x ln(1 + x )dx
10.

1

0

π
2

∫ ( x + cos x)sin xdx

7.

π
2

∫ x ln xdx

x

4.

e

12.

0

1

∫ ( x − 2)e
0

2x

dx

13.
14.
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
2
y = − x3 + x 2 −
3
3
a)
, trục hoành, x = 0 và x = 2.
2
y = x + 1, x = −1, x = 2
b)

và trục hoành.
3
2
y = x − 12 x, y = x
c)
y = x3 − 1
d)
và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.
y = x 2 − 4 x, y = 0, x = 0, x = 3
e)
3π
y = sinx, y=0, x=0, x=
2
f)
y = e x , Ox, x = 0, x = 3
g)
Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quanh trục hoành:
y = x 2 − 4 x, y = 0, x = 0, x = 3
a)
y = cos x, y = 0, x = 0, x = π
b)


y = tan x, y = 0, x = 0, x =

c)
d)
e)

π
4

y = 2 − x2 , y = 1
1
y = ln x, x = , x = e, y = 0
e