hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ 7: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1.1. Kiến thức liên quan
1.1.2 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
∆ABC
Cho
vuông ở A
BC 2 = AB 2 + AC 2
a 2 = b2 + c2
• Định lý Pitago:
hay
2
2
BA = BH .BC ; CA = CH .CB
b 2 = a.b ', c 2 = a.c '
•
hay
AB. AC = BC. AH
bc = ah
•
hay
1
1
1
1
1 1
=
+
= 2+ 2
2

2
2
2
AH
AB
AC
h
b
c
•
hay
BC = 2 AM
•

1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A
• Định lý hàm số Côsin:
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
• Định lý hàm số Sin:
1.1.4. Các công thức tính diện tích.
a. Công thức tính diện tích tam giác.
1
1
1

S = a.ha = bhb = chc
2
2
2
•
1
1
1
S = ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2
•
VABC . A′B′C ′

= S ABC . AA′ =

a 3 183
8

•
• S = pr r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
• S = abc/4R
R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
S=

•
Đặc biệt:

p ( p − a)( p − b )( p − c )

p=

với

a+b+c
2

(Công thức Hê-rông)


•

•

∆ABC

∆ABC

S=

vuông ở A:

1
AB. AC
2

S=
đều cạnh a:

a2 3
4

S = a2

b. Diện tích hình vuông cạnh a:
(H.1)
S = a.b
c. Diện tích hình chữ nhật:
(H.2)
1
S = m.n
2
d. Diện tích hình thoi:
(H.3)
1
S = h ( a + b)
2
e. Diện tích hình thang:
(H.4)

1.1.5. Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng
• Đường chéo hình vuông cạnh a là

d =a 2

h=
• Đường cao tam giác đều cạnh a là

a 3

2
AG =

• Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì

(H.5)

(H.6)
2
AM
3

(H.7)

1.1.6. Thể tích khối đa diện
a. Thể tích khối lăng trụ
• Thể tích khối lăng trụ:

V = Bh

, với B là diện tích đáy ; h là chiều cao


•Thể tích khối hộp chữ nhật:
•Thể tích khối lập phương:

V = abc

V = a3

, với a, b, c là chiều dài, rộng, cao
với a là cạnh

b.Thể tích khối chóp
•Thể tích khối chóp:

1
V = Bh
3

, với B là diện tích đáy, h là chiều cao

1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện
1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dụng công thức thể tích
Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác
định thể tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức
lượng trong tam giác thường, hệ thức lượng trong tam giác vuông,…

•

Một số phương pháp xác định đường cao

- Nếu hình chóp có đường thẳng hạ từ đỉnh vuông góc với đáy thì đó là đường
-

cao.
Nếu hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao là đường hạ từ
đỉnh vuông góc với giao tuyến của 2 mặt đó.
Nếu hình chóp có 2 mặt bên cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của 2 mặt
bên đó chính là đường cao của khối chóp.

- Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc

ᵩ

bằng nhau thì chân đường cao của khối chóp là tâm của đa giác đáy

- Nếu hình chóp có các mặt bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc
chân đường cao hạ từ đỉnh là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy

ᵩ thì


ᵩ

- Nếu hình chóp có 2 mặt bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc thì
chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy thuộc đường phân giác của góc tạo
bởi giao tuyến của 2 cạnh bên đó với đáy.

ᵩ

- Nếu hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy một góc thì
chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy thuộc đường trung trực của cạnh
giới hạn bởi 2 cạnh bên đó với đáy.
• VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt
a 3
phẳng (ABCD) và SH =

. Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.
Lời giải.
SH ⊥ ( ABCD )
Vì
nên
1
1
VS .CDMN = SH .SCDMN = SH . ( S ABCD − S BCM − S AMN )
3
3

1
5
5 3 3
= a 3 a2 =
a
3
8
24
*Nhận xét: Trong nhiều bài toán yếu tố quan trọng chính là chiều cao. Với khối chóp
cần chính xác hóa đường cao (chân đường cao) của hình chóp. Ở đây ta có thể liệt kê
một số trường hợp thường gặp sau:
Ví dụ 2.
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a.
Lời giải
Gọi H là tâm của hình vuông
SH ⊥ ( ABCD )
S . ABCD
Vì
là hình chóp đều nên

1
VS . ABCD = SH .S ABCD
3
Do đó,
S ABCD = AB 2 = a 2
Vì ABCD là hình vuông nên
(đvdt)
2
2
2
2
2
2
SA + SC = AB + BC = AC = 2a
Ta có
∆SAC
nên
vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên


SH =

AC a 2
=
2
2

1
1 a 2 2
2 3

⇒ VS . ABCD = SH .S ABCD = .
.a =
a
3
3 2
6

(đvtt)
*Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao chính là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy
Ví dụ 3.
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC, biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp
đáy góc
Lời giải

600

.

Gọi H là tâm của tam giác
Vì

S . ABC

là hình chóp đều nên
1
VS . ABC = SH .S ABC
3

ABC

, M là trung điểm của BC
SH ⊥ ( ABC )

Do đó,
ABC
AM ⊥ BC
Vì
là tam giác đều nên
ACM
Trong tam giác vuông
,
AM 2 = AC 2 − CM 2 = a 2 −
⇒ S ABC =

a 2 3a 2
3
=
⇒ AM =
a
4
4
2

1
3 2
AM .BC =
a
2
4

Mà ta lại có

(đvdt) (2)

AM ⊥ BC , SH ⊥ BC

và mặt phẳng

( ABC )

nên

SM ⊥ BC

. Do đó, Góc giữa mặt phẳng

bằng góc giữa SM và AM hay góc

Do H là trọng tâm tam giác
Trong tam giác vuông

(1)

SHM

ABC

HM =
nên

·
tan SMH
=

,

·
SMA
= 60 0

.

1
3
AM =
a
3
6

SH
a
⇒ SH = HM .tan 600 =
HM
2

1
1 a 3 2
3 3
⇒ VS . ABC = SH .S ABC = . .
a =

a
3
3 2 4
24

(đvtt)

( SBC )


*Ghi nhớ:

(α )

+ Cách xác định góc giữa đt d và mặt phẳng
:
d ⊥ (α)
(α )
900
-Nếu
thì góc giữa d và
bằng
d ⊥ (α)
(α)
-Nếu
thì góc giữa d và
bằng góc giữa d và d’ là hình chiếu của d trên

(α)
+Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

(α)

(β)

và
a ⊥ ( α ) ,b ⊥ ( β )

(α) ( β )
-Cách 1: Xác định hai đt A, B sao cho
thì góc giữa
và
là
góc giữa a và b
(α) ( β )
-Cách 2: Nếu giao tuyến của
và
là d thì xác định hai đt A, B lần lượt nằm
trong

(α)

và

(β)

sao cho

a ⊥ d ,b ⊥ d

thì thì góc giữa

(α)

và

(β)

là góc giữa a và b

Ví dụ 6.
Cho tứ diện
mặt phẳng

π r2

ABCD

có

ABC

là tam giác đều cạnh a,

. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC.

AH ⊥ BC

Ta có tam giác ABC đều nên
( ABC ) ⊥ ( BCD ) ( ABC ) ∩ ( BCD ) = BC
mà
,
⊥ ( BCD)
⇒
AH
.

BCD

là tam giác vuông cân tại D,


∆ABC
Ta có
là tam giác đều cạnh a nên
∆BCD
Mà
là tam giác vuông cân nên
DH =

AH =

a 3
2

1
a
2

BC = ⇒ BD = DH 2 =
a
2
2
2

⇒ S BCD =

1
a2
BD 2 =
2
4

⇒ VABCD =

(đvdt)

1
1 a2 3
3 3
AH .S BCD = .
a=
a
3
3 4 2
24

(đvtt)

*Nhận xét:
Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy góc thì chân
đường cao thuộc giao tuyến mặt đó với đáy, đường cao nằm trong mặt bên hoặc mặt
chéo đó.
( α ) ⊥ ( β )

( α ) ∩ ( β ) = d ⇒ a ⊥ ( β )

a ⊂ ( α ) , a ⊥ d

*Ghi nhớ:
Ví dụ 7.

S . ABCD
ABCD
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên
(SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
Lời giải
( SAB ) ⊥ ( ABCD )

( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA
Ta có:
1
VS . ABCD = SA.S ABCD
3

Do đó,
S ABCD = AB.BC = 2a 2
ABCD
Diện tích đáy
là:


Do AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng

( ABCD )
Ta có:

là góc

( ABCD )

nên góc giữa SC và mặt phẳng

·
SCA
= 600

·
AC = AB 2 + BC 2 = a 5 ⇒ SA = AC.tan SCA
= a 5.tan 600 = a 15
VS . ABCD

2a 3 15
=
3

Vậy thể tích khối chóp là:
(đvtt)
*Nhận xét:
Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường
cao là giao tuyến của hai mặt đó.
Ví dụ 8.
AB = a, BC = 2a
S . ABC
ABC
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại A,
. Các cạnh
SA = SB = SC = 2a
S . ABC
bên
. Tính thể tích khối chóp
.

Lời giải

( ABC )

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng
SA = SB = SC
vì các đường xiên
nên các hình chiếu
HA = HB = HC
tương ứng

Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
ABC
mà tam giác
vuông tại A nên H là trung điểm của BC.

Vì

SBC

SH = 2a.
là tam giác đều cạnh 2a nên đường cao

3
=a 3
2

AC = BC − AB = 3a ⇒ AC = a 3 ⇒ S ABC
2

2

2

Theo định lí Pitago,
(đvdt)

1
a3
VS . ABC = SH .S ABC =

3
2

1
a2 3
= AB. AC =
2
2

Nên thể tích khối chóp là:
(đvtt)
*Nhận xét:
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng nhau) thì chân
đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.


Ví dụ 9. (Đề TSĐH khối A năm 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt
VS . ABCD
phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính
Lời giải.
Gọi H là hình chiếu của I trên BC
Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt đáy. Ta có thể dễ dàng tính được:

IC = a 2, IB = BC = a 5
S ABCD =

Ta có

,

1
AD. ( AB + CD ) = 3a 2
2

1
IH .BC = S IBC = S ABCD − S ABI − SCDI
2

= 3a 2 − a 2 −
IH =
nên

2 S BCI 3 3
=
a
BC
5

.

VS . ABCD =
Từ đó tìm được

a 2 3a 2
=
2
2

3 15 3
a
5

(đvtt)

Ví dụ 10.
Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng
1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?
Lời giải
Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt
là trung điểm của BC & SA.
Ta có: SA

⊥

S

(BCD). Do đó:

1
1
V = dt ∆BCD.SA = BC.ID.SA
3
6

D
C

A

H
B

I


mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 –
V=
Suy ra,

1 2
x2
1
x 1−
= x2 4 − 2 x 2
6
2 12

MaxV =
Vì vậy

,

x2
2

2
9 3

đạt tại x =

2 3
3

Ví dụ 10
Cho hình hộp chữ nhật
đáy góc
Lời giải

450

ABCD. A ' B ' C ' D '

có

AB = 4a, AC = 5a

mặt phẳng

( ABC ' D ')

. Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó.

BC = AC 2 − AB 2 = 3a ⇒ S ABCD = AB.BC = 12a 2

Do

hợp

Theo ĐL Pitago ta có:

( ABCD ) ∩ ( ABC ' D ' ) = AB

 BC ⊂ ( ABCD ) , BC ⊥ AB

 BC ' ⊂ ( ABC ' D ' ) , BC ' ⊥ AB

Nên góc giữa mặt phẳng

( ABC ' D ')

Suy ra, tam giác vuông cân nên

và đáy là góc
CC ' = BC = 3a

Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là

(đvdt)

·
CBC
' = 450

VABCD. A ' B ' C ' D ' = CC '.S ABCD = 36a 3

(đvtt)

*Nhận xét:Với khối lăng trụ và khối đa diện khác ta có thể sử dụng một số hướng sau:
+Sử dụng trực tiếp các công thức đã biết về thể tích khối lăng trụ
+Quy về tính thể tích một khối chóp đặc biệt.

+ Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính
+Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để được khối đa diện dễ tính thể tích.
Ví dụ 11
Cho lăng trụ đứng tam giác

ABC . A ' B ' C '

, đáy là tam giác đều cạnh a và diện tích tam giác


2a 2

A ' BC

bằng
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có

∆ABC

AI =

đều nên

AB 3 a 3
=
2

2

( ABC )

Vì AI là hình chiếu của A’I trên mặt phẳng
,
AI ⊥ BC ⇒ A′I ⊥ BC
(ĐL ba đường vuông góc)
1
2S
S A′BC = BC. A′I ⇒ A′I = A′BC = 4a
2
BC
AA′ = A′I 2 − AI 2 =
Do tam giác AIA’ vuông tại A nên
VABC . A′B′C′

= S ABC . AA′ =

a 3 183
8

61
a
2

(đvtt)

Ví dụ 12
Cho lăng trụ đứng tam giác

·ACB = 600

ABC . A ' B ' C '

, biết BC' hợp với

( AA ' C ' C )

có đáy

ABC

là tam giác vuông tại A với AC = a,

một góc 300. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ.

Lời giải

ABC
Ta có

là tam giác vuông tại A với AC = a,

·ACB = 600

⇒ AB = AC.tan 60o = a 3

.
AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA′ ⇒ AB ⊥ ( AA′C ′C )

Ta có:

( AA ' C ' C )

⇒ AC ′ =

. Vậy góc giữa BC’ và mặt phẳng

AB
= 3a
tan 30o

Trong tam giác vuông

AC ' A '

,

nên AC' là hình chiếu của BC' trên

( AA ' C ' C )

là góc

·AC ' B = 300


AA ' = AC '2 − A ' C '2 = 8a 2 = 2 2a

ABC

Trong tam giác vuông
,
AB
tan ·ACB =
= 3 ⇒ AB = a 3
AC
⇒ S ABC

Vậy

1
a2 3
= AB. AC =
2
2

(đvdt)

VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ABC = a 3 6

(đvtt)

Ví dụ 13

ABC. A ' B ' C '

Cho lăng trụ tam giác
a 3

ABC

có đáy

là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên

600

ABC

là
và hợp với đáy
một góc
. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
C ′H ⊥ ( ABC ) ⇒ CH
Ta có
là hình chiếu của CC' trên (ABC)
Nên góc giữa CC’ và mặt phẳng

( ABC )

bằng

60

0

⇒ C ′H = CC ′.sin 600 =

3a

2

a2 3
4

S ABC =

3a 3 3
V = S ABC .C H =
8
′

Vậy

Ví dụ 14
Cho hình hộp

( ABB’ A’)

ABCD. A ' B ' C ' D

( ADD’ A’)

Hai mặt bên
và
khối hộp nếu biết cạnh bên bằng a.
Lời giải

có đáy là hình chữ nhật với

lần lượt tạo với đáy các góc

AB = a 3, AD = a 7
450 ,600

.

. Tính thể tích


( ABCD )

Gọi H là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng
, M,N lần lượt là hình chiếu của
trên AD,AB.
( ABB’ A’) ( ADD’ A’)
Dễ thấy, góc giữa các mặt
và
và đáy lần lượt là
·ANH = 450 , ·AMH = 600
Đặt

A’H = x

ta có:

NH = A ' H cot ·ANH = x

x
MH = A ' H .cot ·AMH =

3
Vì

AMHN

là hình chữ nhật nên
x2 4x2
2
2
2
2
AH = AM + AN = x +
=
3
3
AA '2 = AH 2 + A ' H 2 ⇒ a 2 = x 2 +

mà

4x2 7 x2
3
=
⇒x=a
3
3
7

VABCD. A ' B ' C ' D = S ABCD . A ' H = a 3.a 7.a

Vậy

Ví dụ 15

3
= 3a 3
7

(đvtt)
CK =

2
a
3

K ∈ CC ′
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a,
sao cho
. Mặt
phẳng (α) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương trình hai phần. Tính tỷ số thể tích
hai phần đó.
Lời giải.
M = AK ∩ OO′
Gọi O,O’ là tâm của hình vuông ABCD,A’B’C’D’,
Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’,DD’ lần lượt tại E,F
Khi đó, thiết diện tạo bởi (α) và hình lập phương chính là hình bình hành
AEKF.
1
a
OM = CK =
2
3

Có OM là đường trung bình tam giác ACK nên
a
BE = DF =
V1 = VABEKFDC ,V2 = VAEKFA′B′C ′D′
3
Do đó,
. Đặt
Để ý rằng tứ giác BCKF=C’B’EK, mặt phẳng (AA’C’C) chia khối ABEKFDC


thành hai phần bằng nhau nên
1
2 1
a3
V1 = 2VA. BCKE = 2. . AB.S BCKE = a. .S BCC′B′ = ,
3
3 2
3
3
3
a
2a
V2 = VABCD. A′B′C′D′ − V1 = a 3 − =
3
3

Vậy

V1 1
=

V2 2

Ví dụ 16

ABCD. A’B’C’D’

Cho hình hộp
có các mặt bên hợp và mặt
·
VABCD. A’ B’C ’D’
BAD
= 600 , AB = 2a, BD = a 7
biết góc
. Tính
Lời giải.
( ABD )
Gọi H là hình chiếu của A’ trên
,
AB, AD
J,K là hình chiếu của H trên
∆ABD
Áp dụng ĐL cosin cho
·
BD 2 = AB 2 + AD 2 − 2 AB. AD.cos BAD

( A ' BD )

⇒ AD 2 − 2a. AD − 3a 2 = 0 ⇔ AD = 3a
⇒ S ∆ABD

1
3 3a 2
·
= AB. AD.sin BAD =
2
2

Từ giả thiết suy ra hình chóp

A '. ABD

có các mặt bên hợp đáy góc
∆ABD

600

Nên H là cách đều các cạnh của
∆ABD
∆ABD
*TH1: Nếu H nằm trong
thì H là tâm đường tròn nội tiếp
.
·A ' JH = 600
( ABB ' A ')
Góc giữa mặt bên
và đáy bằng
∆ABD
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp
thì

r=

S∆ABD
3 3a
9a
=
⇒ A ' H = r.tan 600 =
p
5+ 7
5+ 7

với đáy góc

600

,


Từ đó,

1
27 3a 3
VABCD. A ' B ' C ' D ' = 6VA '. ABD = 6. A ' H .S ∆ABD =
3
5+ 7

∆ABD
∆ABD
*TH2: Nếu H nằm ngoài
thì H là tâm đường tròn bàng tiếp

.
·
ra
BAD
∆ABD
Nếu H nằm trong góc
, gọi
là bán kính đường tròn bàng tiếp
tương ứng

ra =
thì

S∆ABD
3 3a
9a
=
⇒ A ' H = r.tan 600 =
p − BD 5 − 7
5− 7

Từ đó,

1
27 3a 3
VABCD. A ' B ' C ' D ' = 6VA '. ABD = 6. A ' H .S ∆ABD =
3
5− 7

Tương tự hai TH còn lại ta được các kết quả:

Ví dụ 17.(Đề dự bị ĐH khối A năm 2006)

27 3a3 27 3a 3
,
1+ 7
7 −1

AB = AD = a, AA ' =

a 3
2

ABCD. A′ B′C ′ D′
Cho hình hộp đứng
có các cạnh
·
BAD
= 60o
và
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′.
AC ' ⊥ ( BDMN )
a) Chứng minh rằng
.
b) Tính thể tích khối chóp A.BDMN
Lời giải.
( ABCD )
a) Ta có AC là hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng
và

AC ⊥ BD

AC ' ⊥ BD
nên
(1)
uuuu
r uuur uuu
r uuur uuur  uuur 1 uuu
r
AC '.BN = AB + AD + AA '  AA ' − AB ÷
2



(

Mà

= AA '2 −

)

r uuur 3a 2 a 2 1 2
1
1 uuu
AB 2 − AB. AD =
− − a cos 600 = 0 ⇒ AC ' ⊥ BN
2
2
4
2 2

Từ (1) và (2) suy ra,

AC ' ⊥ ( BDMN )

b) Cách 1: dựa theo câu a) tính chiều cao và

S BDMN

(2)


Cách 2:

VA.BDMN = VABD. A ' B ' D ' − VA. A ' MN − VB.B ' MN − VM .BDD ' B '
VABD. A ' B ' D ' = AA '.S ABD =
VA. A ' MN = VB.B ' MN =

Gọi

(đvtt)

1
1 a 3 1 a2
a3
AA '.S A ' MN = .
.
sin 600 =
3
3 2 2 4

32

O ' = A ' C '∩ B ' D '

VM .BDD ' B '

a 3 1 2
3a 3
. a sin 600 =
2 2
8

, kẻ

MH / / A ' C '

. Dễ thấy

1
1 1 a 3 a 3 a3
= MH .S BDD ' B ' = .
.a.
=
3
3 2 2
2
8

(đvtt)
A ' C ' ⊥ ( BDD ' B ') ⇒ MH ⊥ ( BDD ' B ' )

⇒ VA.BDMN
(đvtt)

3a 3
=
16

(đvtt)

Bài tập tự luyện
Bài 1. (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp

S . ABC

có mặt bên

SBC

là tam giác đều

cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và góc A của tam giác ABC bằng
S . ABC
thể tích của khối chóp
theo a.
VS . ABC =
Đáp số:

1200

. Tính

2 3
a
36

Bài 2. (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam
giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng
·
2a 3
SBC
= 30o
(ABC). Biết B =
và
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Đáp số:

V = 2 3a 3

Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Biết (SBI) và
(SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
a.
V=
Đáp số:

2 15 3
a
5

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB = 2CD =
BC = a 10
4a,
, biết mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với mặt
phẳng đáy; mặt bên (SAB) là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Đáp số: VS.ABCD

= 6a 3 2

.

Bài 5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a, SA = BC =
a, CD = 2a

5.

Tính thể tích khối chóp SABCD.

Bài 6. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh
a 6
bên bằng nhau và bằng
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
khi thể tích khối chóp SABCD là lớn nhất.

Bài 7. Cho hình chóp SABCD có mặt phẳng (SBC) và (SDC) cùng vuông góc với mặt
a 3 ·ABC = 120o

phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh
,
, góc giữa mặt
o
phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 8. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông
góc với mặt đáy. Tam giác SAB vuông tại S, góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng
30o. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD.
a 3
Bài 9. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông cạnh
, tam giác
SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng
SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABCD.

1.2.2. Phương pháp sử dụng tỉ số diện tích, thể tích và tính chất khoảng cách
Thông thường, khi tính diện tích đáy ta có thể linh hoạt sử dụng các hệ thức lượng
trong tam giác hay tính toán dựa trên việc thêm bớt các đa giác dễ tính diện tích. Ngoài
ra, ta có thể sử dụng thêm tính chất về tỉ số diện tích. Cụ thể:
B ' ∈ AB, C ' ∈ AC
Cho ΔABC,
. Khi đó,
S
B'B
⊕ B ' BC =
S ABC
AB
⊕

S AB ' C ' AB ' AC '
=

.
S ABC
AB AC


a. Sử dụng tính chất khoảng cách trong tính thể tích
Khi tính thể tích, việc linh hoạt sử dụng các tính chất về khoảng cách
giúp ta có thể giải quyết bài toán khá nhanh gọn. Công cụ thường dùng là các tính chất
khoảng cách đó là:
V
MA
S . ABC , M ∈ SA ⇒ M . ABC =
VS . ABC
SA
•
Cho hình chóp
S . ABC , S , M ∈ d / / ( ABC ) ⇒ VM . ABC = VS . ABC
•
Cho hình chóp
Kết quả được mở rộng cho khối chóp đa giác
Ví dụ 1.(Đề TSĐH khối D năm 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu
AH =

AC
4

vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
. Gọi CM
là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ

diện SMBC theo a.
Lời giải.
Trong tam giác vuông

SAH

và

SCH
2

Ta có

a 2
a 14
SH = SA2 − AH 2 = a 2 − 
÷ =
4
 4 
2

14a 2  3a 2 
⇒ SC = SH + HC =
+
÷
16  4 
2

=
Vậy

SA.

2

32a 2
= a 2 = AC
16

∆SAC

cân tại C mà CM là đường cao hạ từ C của

⇒ VSMBC = VA.MBC

∆SAC

1
1 1  1 2  a 14 a3 14
= VS . ABC = .  a ÷.
=
2
2 3 2  4
48

nên M là trung điểm của


Ví dụ 3.(Đề TSĐH khối D năm 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a,
A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo

a thể tích khối tứ diện IABC.
Lời giải.
Dễ dàng tính được

AC = a 5, BC = 2a
IA =

2
AM
3

Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C’ nên
VI . ABC 2
=
VM . ABC 3
nên
2
2
2 1
4
⇒ VI . ABC = VM . ABC = VA '. ABC = . .a.2a.2a = a 3
3
3
3 6
9
Ví dụ 4.
Trên cạnh

SA, SB

của hình chóp

SABC

SD SE 1
=
=
DA EB 2

lần lượt lấy điểm D và E sao cho
. Mặt
SABC
phẳng qua DE và song song với SC chia khối chóp
thành hai phần. Tính tỉ số thể tích
của hai phần đó.
Lời giải.
Dễ dạng xác định được thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua DE, song song với SC và hình
DEFG
SABC
chóp
chính là hình bình hành
.
VABDEFG = VA.DFG + VB.DEF + VABDF
Ta có
AB / / ( DEFG ) , S DEF = S DFG ⇒ VA.DFG = VB .DEF
Do
2
2 1
VB. DEF = VF . BDE = VC . BDE = . d ( C , ( SAB ) ) .S BDE
3

3 3
2 1
2
= . d ( C , ( SAB ) ) . S SBD
3 3
3
2 1
2 1
4
= . d ( C , ( SAB ) ) . . S SAB = VSABC
3 3
3 3
27


2
2 1
2 1
2
4
VABDF = VF . ABD = VC . ABD = . d ( C , ( SAB ) ) .S ABD = . d ( C , ( SAB ) ) . S SAB = VSABC
3
3 3
3 3
3
9
⇒ VABDEFG = VA. DFG + VB. DEF + VABDF =

20
VSABC

27

20
7

Do đó, tỉ số thể tích của hai phần là:
b. Sử dụng tỉ số thể tích
A ' ∈ SA, B ' ∈ SB, C ' ∈ SC
Cho hình chóp S.ABC có
. Khi đó,
VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
VSABC
SA SB SC

Lưu ý: Công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác,còn với khối chóp đa
giác khi áp dụng cần chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối chóp tam giác để tính tỉ số
Ví dụ 1.
Cho tứ diện ABCD có
CD = a 19

. Tính

AB = a, AC = 2a, AD = 3a, BC = a 3, BD = a 10,

VABCD

Lời giải.

ABC , ABD, ACD

Sử dụng định lý Cosin cho các tam giác
·
·
·
BAC
= 600 , CAD
= 1200 , BAD
= 90 0
Lấy

M ∈ AC , N ∈ AD

BM =

Ta có

ta được

sao cho AM=AN=a

1
AC = a, BN = a 2,
2

·
MN 2 = AM 2 + AN 2 − 2 AM . AN .cos MAN
= 3a 2 ⇒ MN = a 3
Do đó, tam giác BMN vuông tại B.

Vì AB=AM=AN nên hình chiếu của A
trên (BMN) là tâm H của đường tròn
VBMN
ngoại tiếp
, H cũng


chính là trung điểm của MN
VABMN AB AM AN 1
=
.
.
=
VABCD AB AC AD 6
Có
VA. BMN

1
1 2 3 2 1
a3 2
a3 2
= AH .S BMN =
a − a . a.a 2 =
⇒ VABCD =
3
3
4
2
12
2

(đvtt)

Ví dụ 2.

ABC. A ' B ' C '

Cho khối lăng trụ tam giác đều
. Các mặt phẳng
chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.
Lời giải.
V1 = VC .MNC ' ;V2 = VC '.MNB ' A ' ;V3 = VC .MNBA ;V4 = VMNABB ' A '
Gọi

( ABC ') , ( A ' B ' C )

VC . A ' B ' C ' = V1 + V2
V là thể tích của lăng trụ. Ta có
Mặt khác:
V1
CM .CN .CC ′ 1
=
=
VC . A′B′C ′ CA′.CB′.CC ′ 4
1 V V
1
V V
⇒ V1 = . = ; V2 = .V − =
4 3 12
3

12 4
V3 = VC ' ABC − VCMNC ' = VCA ' B ' C ' − VCMNC ' = V2 ;V3 =

V1 : V2 : V3 : V4 = 1: 3 : 3 : 5

V
5V
; V4 = V − V1 − V2 − V3 =
4
12

Vậy
Ví dụ 3. (Đề thi dự bị ĐH khối D năm 2008)
ABCD, M , N , P
BC , BD, AC
Cho tứ diện
lần lượt thuộc
sao cho
BC = 4 BM , BD = 2 BN , AC = 3 AP
, mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai
phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).
Lời giải.
DH / / BC ( H ∈ IM ) , DK / / AC ( K ∈ IP )
I = MN ∩ CD, Q = PI ∩ AD
Gọi
, kẻ


∆NMB = ∆NDH ⇒

ID DH BM 1
=
=
=
IC CM CM 3

IK DK ID 1
DK 1
DK 2
=
=
= ⇒
= ⇒
=
IP CP IC 3
2 AP 3
AP 3
∆APQ

∆DKQ
đồng dạng
AQ AP 3
AQ 3
⇒
=
= ⇒
=
DQ DK 2
AD 5

V = VABCD

Đặt
VANPQ

VANCD

Ta có:
AP AQ 1 VANCD VDACN DN 1
1
=
.
= ,
=
=
= ⇒ VANPQ = V
AC AD 5 VABCD VDABC DB 2
10

VCDMP CM CP 1
1
1
1
1
=
.
= ⇒ VCDMP = V ⇒ VN . ABMP = VDABMP = ( V − VCDMP ) = V
VCDBA
CB CA 2
2

2
2
4
⇒ VABMNQP = VANPQ + VN . ABMP =

Vậy mặt phẳng

( MNP )

V
7
7
V ⇒ ABMNQP =
20
VCDMNQP 13

chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích

7
13

Bài tập tự luyện
Bài 1. (Trích đề thi khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. Tính thể tích khối tứ
VCMNP =
diện CMNP theo a.

Đáp số:

a3 3
.
96

Bài 2. (Đề thi ĐH khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
AD = a 2
⊥
nhật với AB = a,
, SA = a và SA
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.

VABIN
Đáp số:

a3 2
=
.
72


Bài 3. (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC
cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính VSBCNM.

Đáp số:

VSBCNM = 3a 3 .

Bài 4. (Trích đề khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
⊥
vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a, SA
(ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần

=
lượt là trung điểm của SA và SD. Tính VSBCNM.

Đáp số: VSBCNM

a3
.
3

2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
2.1. Các bài toán về chứng minh tính vuông góc
2.1.1. Kiến thức cơ bản cần biết
a. Tiêu chuẩn vuông góc
+ Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông
góc với hai đường thẳng giao nhau của (P).

d
a
b
P

+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó
bằng 900.
b. Các định lý về tính vuông góc
d

Q

P

d'

P

R

P

a

Q

+ Định lý ba đường vuông góc: Giả sử

∆ ⊂ ( P)

, d’ là hình chiếu của d lên (P). Khi đó

d ⊂ ( P)

∆⊥

d

và d không vuông góc (P),

⇔∆⊥d'


( P) ∩ (Q) = ∆
+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau,
. Nếu
a ⊂ ( P), a ⊥ ∆
a ⊥ (Q)
thì
∆ ⊥ ( P)
+ Nếu
thì Δ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P).
∆ ⊥ ( R)
( P ) ∩ (Q ) = ∆
+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó
thì
( P) ⊃ a ( P) ⊥ ( Q)
a ⊥ (Q )
+ Nếu
và
thì
2.1.2. Các dạng toán thường gặp
* Chứng minh đường thẳng a và b vuông góc:
900
- Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng
.
⊥
- Cách 2: Ta chứng minh a//c mà c b.
urr
u.v = 0

- Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương
.
α
- Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp( ) chứa đường thẳng b. (hay dùng)
- Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc
α
* Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp( ):
α
- Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong (
).
α
- Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ( ).
- Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có)
của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này.
- Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà
vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mp kia.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
- Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường
nào đây ta??)
900
- Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là
.
Ví dụ 1. (ĐH Khối A năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam
giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
⊥
SB, BC, CD. Chứng minh AM BP.
Lời giải

⊥
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD
⊥
⊥
⊥
S
Vì (SAD) (ABCD), suy ra SH (ABCD) suy ra SH BP (1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có
M
·
·
·
·
CBP
= DCH
⇒ CBP
+ HCB
= 900 ⇒ BP ⊥ CH
B
(2)
A
N
BP ⊥ ( SHC )
H
C
Từ (1) và (2) suy ra:
(3)
D
P
⇒ ( SHC ) / / ( MAN )

Do HC // AN, MN // SC
(4)
BP ⊥ ( MAN ) ⇒ AM ⊥ BP
Từ (3) và (4) suy ra:
(đpcm)
Ví dụ 2. (ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của
điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh
MN ⊥ BD
.
⇒ SE / / DA
Lời giải :Ta có SEAD là hình bình hành
và SE = DA
S
⇒
⇒ SC / / EB
SEBC cũng là hình bình hành
M
Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC
ta có MP // EB, PN // AC.
P
Từ đó suy ra (MNP) // (SAC)
(1)
A
BD ⊥ SH ( do SH ⊥ (ABCD) ) ⇒ BD ⊥ ( SAC )
DB ⊥ AC
H
C
Ta có
và

(2) B
DB ⊥ ( MNP ) ⇒ BD ⊥ MN
Từ (1) và (2) suy ra:
(đpcm)

Ví dụ 3. (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
SA ⊥ ( ABCD)
( SAC ) ⊥ ( SMB)
a và
. Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh
.
Lời giải
Giả sử I là giao điểm của AC và MB
S
Ta có MA = MD và AD // BC
1
AI = IC
2
nên theo định lý Talet suy ra

M

A
a

B

I
a 2

a 2

C

, SA =

D

E

D
N