Hinh hoc phang & Hinh hoc Khong gian

Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Đờng thẳng trong mặt phẳng


1/ Véc tơ chỉ ph ơng, véc tơ pháp tuyến của đ ờng thẳng
* Véc tơ

u


0
đợc gọi là vtcp của d nếu giá của nó // d
* Véc tơ

n


0
đợc gọi là vtpt của d nếu giá của nó

d
NX : Một đờng thẳng có vô số vtcp và vtpt
2/ Ph ơng trình đ ờng thẳng
Đờng thẳng d qua điểm M
0
(x
0
,y
0
) nhận

u
(u
1
;u
2
) làm vtcp có phơng trình
tham số là :



+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
t

R
=> ptct


=

2
0
1
0
u
yy

u
xx
phơng trình TQ u
2
(x-x
0
)-u
1
(y-y
0
) = 0
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng : Ax+By+C = 0 (A
2
+B
2

0)
Có vtcp

u
(-B,A) , vtpt

n
(A,B)
Đờng thẳng d qua điểm M
0
(x
0
,y
0

) nhận

n
(n
1
;n
2
) làm vtpt có phơng trình
tổng quát là : n
1
(x-x
0
) + n
2
(y-y
0
) = 0
Cho đờng thẳng d có phơng trình Ax+By+C = 0 hoặc y =ax+b
- Đờng thẳng //d có dạng Ax+By+M = 0 hoặc y = ax+m
- Đờng thẳng

d có dạng Bx+Ay+N = 0 hoặc y= -
nx
k
+
1
áp dụng :
Bài 1 Viết phơng trình tham số, phơng trình chính tắc, phơng trình TQ của đ-
ờng thẳng :
a. Đi qua điểm M(2;-5) nhận

u
(1;3) làm vtcp
b. Qua A(2;4), B(1;3)
Bài 2 Viết phơng trình tham số, phơng trình chính
tắc của đờng thẳng có phơng trình TQ : 3x-5y+11= 0
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
HD : vtcp

u
(5,3), Chọn x
0
=-2, y
0
=1
Bài 3 Cho trung điểm 3 cạnh một tam giác là
M(3;-2), N (-1;1), P(5,2).
Lập phơng trình TQ 3 cạnh của tam giác.
Giải
* phơng trình AB :
01560)2(6)3(1
)1;6(
)2;3(
==++

>
yxyxpt
PNvtcp
QuaM
* phơng trình AC :
023430)2(4)5(3:
)3;4(
)2,5(
=+=+






>
yxyxpt
MNvtcp
QuaP
* phơng trình BC :
0320)1(2)1(4:
)4,2(
)1,1(
=+=+

>
yxyxpt
MPvtcp
QuaN
Bài 4 : Viết phơng trình trung trực các cạnh một tam giác
biết trung điểm các cạnh là M(-2;1), N(3,-4), P (5,2)
Gọi tam giác đã cho là ABC ,
Giải
M;N;P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC
PT trung trực của AB
0130)1(6)2(2:
)6,2(
)1,2(
=+=++






>
yxyxpt
NPvtpt
QuaM
Tơng tự cho các trờng hợp còn lại
Bài 5 : Cho trung điểm 3 cạnh của tam giác ABC là M(2,1), N(5,3), P(3,-4)
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
a. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
b. Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh của tam giác ABC

c. Lập phơng trình các đờng cao của tam giác ABC
( Tơng tự Bài 3+4)
Bài 6
a. Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1,-2) và //d : 4x-3y+5 = 0
b. Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm :



=+
=+
0138:
0274:
2
1
yxd
yxd
đồng thời //
với

: x-2y= 0
Giải
a. Đờng thẳng qua A và // d có dạng:
4x-3y+M = 0 (*)
Thay A(1,-2) vào (*) ta đợc M = -10
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là : 4x-3y-10 = 0
b. Toạ độ giao điểm B của d
1
, d
2
là nghiệm của hệ :

)
52
36
;
52
89
(
52
36
52
89
0138
0274








=
=




=+
=+
B

y
x
yx
yx
Phơng trình đờng thẳng qua B và //

có dạng : x-2y+N = 0 (*)
Thay toạ độ của B vào (*) ta đợc N = -161/52
Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là : 52x-104y-161=0
Bài 7 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;2) và phơng trình 2 đờng cao kẻ từ B, C
lần lợt là :
d
1
: 9x-3y- 4 = 0 ; d
2
: x+y-2 = 0
a/ Viết phơng trình các cạnh của tam giác
b/ Lập phơng trình đờng trung tuyến của tam giác
Giải
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
a/ Ta thấy A không thuộc 2 đờng cao
gọi d
1
, d
2
lần lợt xuất phát từ B và C
Lập phơng trình AB : Qua A(2;2) và

d
2

có dạng :
x-y+M= 0 (*) Thay A(2;2) vào (*) đợc M = 0
*Lập phơng trình AC : Qua A(2;2) và

d
1
có dạng -3x-9y+M = 0 (**)
Thay A(2;2) vào (**) đợc M = 24
Vậy phơng trình AC : 3x+9y-24 = 0 x+ 3y 8 = 0
Lập phơng trình BC (Tìm toạ độ B, C)
+ Toạ độ B là nghiệm của hệ :
)
3
2
;
3
2
(
3/2
3/2
0439
0
B
y
x
yx
yx

=
=




=
=
+ Toạ độ C là nghiệm của hệ :
)3;1(
02
083




=+
=+
C
yx
yx
Vậy phơng trình BC :

>
)
3
7
;
3
5
(
)3;1(
BCvtcp
QuaC
=> phơng trình 7x+5y-8=0
b/ Học sinh tự giải
3/ Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng chùm đ ờng thẳng
Kiến thức cần nhớ :
Xét 2 đờng thẳng có phơng trình :
d
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
= 0
d
2
:A
2
x+B

2
y+C
2
= 0
d
1
cắt d
2



2
1
2
1
B
B
A
A

d
1
//d
2



2
1
2

1
2
1
C
C
B
B
A
A
=
d
1
trùng d
2


2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
d

1

d
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
= 0
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
* Đờng thẳng qua giao điểm d
1
và d
2
có dạng :
m(A
1
x+B
1
y+C
1
) + n(A
2
x+B
2

y+C
2
) = 0
Bài 1: Với a, b ? thì các đờng thẳng
d
1
: ax-2y-1 = 0; d
2
: 6x- 4y- b = 0
a. Cắt nhau
b. Song song
c. Trùng nhau
d. Vuông góc
Giải :
a. d
1
cắt d
2

3
4
2
6
a
a
b. d
1
//d
2

=
=
2
3
1
4
2
6
b
a
b
a
c. d
1
trùng d
2




=
=
==
2
3
1

4
2
6
b
a
b
a
d. d
1

d
2
2.4+a.6 = 0 a= -4/3
Bài 2 Tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết 2 đờng cao có phơng trình :
BH : 5x+3y-25= 0; CR : 3x+8y-12 = 0. Viết phơng trình đờng cao AL
b. Viết phơng trình đờng thẳng BC nếu biết đờng trung trực của BC là :
3x+2y- 4 = 0 và toạ độ trọng tâm G(4;-2)
Giải
a. Đờng cao AL thuộc chùm xđ bởi BH, CR nên phơng trình dạng :
m(5x+3y-25)+n(3x+8y-12)=0 ( 5m+3n)x+(3m+8n)y-(25m+12n) = 0
Đờng thẳng AL đi qua A nên ta có : -5m-3n-9m-24n-25m-12n = 0
39m+39n=0
Chọn m=1 => n = -1 Vậy phơng trình AL : 2x-5y-13 = 0
b. Hớng dẫn
- Lập phơng trình AG
- Đờng thẳng BC thuộc chùm AG và đờng trung trực của BC => phơng trình
Bài 3 Các cạnh tam giác ABC cơ phơng trình
AB : 2x+3y 5 = 0; BC ; x-2y+1 = 0 ; CA: -3x+4y-1 = 0. Viết phơng trình đ-
ờng cao AH của tam giác ABC

Hớng dẫn
- AH thuộc chùm AB và CA có dạng ?
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
- AH

BC =>

n
.

n
= ?
- AH : 34x+17y-51 = 0
Bài 4 : Viết phơng trình đờng thẳng qua M(2;5) và cách đều 2 điểm P (-1;2) và
Q(5;4)
Hớng dẫn
- Đờng thẳng qua trung điểm PQ
- Qua M và // PQ
4/ Góc giữa hai đ ờng thẳng . Khoảng cách từ một điểm tới một đ ờng
thẳng
Cho d
1
: A
1
x+B
1
y+C
1
= 0
d

2
:A
2
x+B
2
y+C
2
= 0
cos(d
1
;d
2
) =
2
1
2
1
2
1
2
1
2121
.
||
BABA
BBAA
++
+
d
1

d
2

A
1
A
2
+B
1
B
2
= 0
Cho d
1
: y =k
1
x+b
1
d
2
: y = k
2
x+b
2
tg(d
1
;d
2
) =

21
12
1 kk
kk
+

d
1

d
2

k
1
.k
2
= -1
*Phơng trình đờng phân giác của góc tạo bởi 2 đờng thẳng d
1
và d
2
là :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x+B y+C A x+B y+C
A AB B
=
+ +
Bài 1 : Tìm khoảng cách từ điểm M(1,2) tới đờng thẳng

a/ 2x+3y -5 =0
b/ 4x -2y +1 = 0
c/ -3x +y -4 = 0
Bài 2 Viết phơng trình đờng phân giác của hai đờng thẳng
a/ 2x + y 3 = 0 và x -2y +1 = 0
b/ 4x y + 2 = 0 và
1
2 3
x t
y t
=


= +


BTVN
Bài 1 : Viết ptts, ptct rồi suy ra phơng trình tổng quát của đờng thẳng
a. Qua M(-3;-2) và nhận

u
(1;-2) làm vtcp
b. Qua 2 điểm A(4;-1) và B(-2;7)
Bài 2 : Viết ptts, ptct của đờng thẳng có phơng trình tổng quát là :
3x-2y+5 = 0
Bài 3 : Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;5) và 2 đờng cao
có phơng trình : 2x+3y+7 = 0 và x-11y+3 = 0
Bài 4 :
a. Viết phơng trình đờng thẳng qua A(3;-4) và // x+4y-2 = 0
b. Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của 2 đờng thẳng :

3x-5y+2=0 và 5x-2y+4 = 0 đồng thời // với đờng thẳng 2x-y+4 = 0
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Bài 5 : Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh một tam giác biết trung
điểm các cạnh là M(-1;-1); N(1;9), P(9;1)
Đờng tròn
1/ Phơng trình chính tắc, tổng quát của đờng tròn
* Đờng tròn tâm I(a,b) bán kính R có phơng trình
chính tắc:
(x-a)
2
+(y-b)
2
= R
2
* Khai triển phơng trình chính tắc ta đợc :
x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 gọi là ph ơng trình tổng quát
của đờng tròn.
Với c =
2 2 2
a b R+
; R =
2 2
a b c+
* Đặc biệt I

O(0,0) ta có phơng trình đờng tròn là :

x
2
+ y
2
= R
2
Bài 1 : Lập phơng trình đờng tròn tâm I (2,3) bán kính R = 2
Phơng trình đờngtròn là: (x-2)
2
+(y-3)
2
= 4
Bài 2 : Lập phơng trình đờng tròn tâm I (1,2) và đi qua điểm A( 2, -1)
Đờng tròn tâm I(1;2) bán kính R = IA =
10)21()12(
22
=+
có phơng
trình là (x-1)
2
+ (y-2)
2
=10
Bài 3 : Lập phơng trình đờng tròn qua A(2,0), B(0,1), C(3,0)
Gọi phuơng trình đờng trò là x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C)
Vì A,B,C thuộc (C) nên ta có:

Tống Long Giang Nghĩa Lé – Yªn B¸i





=
=
=
⇔





=−
=−
=
⇔





=+−
=+−
=+−
2/7
6
2/5

12
44
52
069
021
044
b
c
a
cb
ca
a
ca
cb
ca
vËy ph¬ng tr×nh ®êng trßn lµ: x
2
+y
2
–5x –7y + 6= 0
2/ Ph¬ng tÝch cña mét ®iÓm ®èi víi mét ®êng trßn
Cho x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C) víi a– –
2
+b
2
> c vµ M

0
(x
0
, y
0
) ta cã :
P M
0
/(C) =M
0
I
2
R–
2
= x
0

2
+y
0

2
2ax–
0
2by–
0
+ c
P M
0
/(C) < 0 => M

0
n»m trong ®êng trßn
P M
0
/(C) = 0 => M
0
n»m trªn ®êng trßn
P M
0
/(C) > 0 => M
0
n»m ngoµi ®êng trßn
VÝ dô : T×m ph¬ng tÝch cña ®iÓm M (3, 2) víi ®êng trßn sau :
a/ x
2
+y
2
– 2x – 2y -10 = 0
P M/(C)=3
2
+2
2
-2.3-2.2-10 = -7<0 => M n»m trong ®êng trßn
b/ x
2
+y
2
– 4x – 2y +4 = 0
c/ x
2

+y
2
– 2x – 2y +2 = 0
3/ Trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn
Cho : x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C)– –
x
2
+y
2
2a x 2b y + c = 0 (C )– ’ – ’ ’
Trôc ®¼ng ph¬ng cña hai ®êng trßn lµ ®êng
th¼ng cã ph¬ng tr×nh :
2(a-a )x +2(b-b )y +c - c = 0’ ’ ’
VÝ dô : Cho 2 ®êng trßn cã ph¬ng tr×nh
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
x
2
+y
2
2x 2y -10 = 0 (C
1
)
x
2
+y
2

4x 2y +4 = 0 (C
2
)
Tìm trục đẳng phơng của hai đờng tròn
4/ Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn
Cho : x
2
+y
2
2ax 2by + c = 0 (C) và điểm M(x
0
, y
0
).
Hãy lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm
M(x
0
, y
0
) và tiếp xúc (C)
Nếu điểm M(x
0
, y
0
) nằm trên (C) thì phơng
trình tiếp tuyến là :
(x
0
-a)(x-x
0

) + ( y
0
-b)(y-y
0
) = 0
Nếu điểm M(x
0
, y
0
) nằm ngoài đờng tròn lập
phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M(x
0
, y
0
). ĐK để d là tiếp tuyến là
d (M
0
, d) = R
Ví dụ : Cho đờng tròn (C) : x
2
+ y
2
-4x+8y -5 = 0
a/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-1;-8)
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1,0)
c/ viết phơng trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đờng thẳng 3x-4y+5=0


5/ Bài tập
Bài 1 : Tìm tâm và bán kính đờng tròn

a/ x
2
+y
2
-2x+4y+1 = 0
b/ x
2
+y
2
+4x -8y + 3 = 0
Bài 2 : Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau :
a/ Tâm I(2,-3) và đi qua điểm M(3,5)
b/ Đờng kính AB biết A(2, 3) , B(4,1)
c/ Tâm I(-1,2) và tiếp xúc với đờng thẳng x-2y+7 = 0
Bài 3 : Lập phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm
a/ A(1,2), B(5,2), C(1,-3)
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
b/ A(-2,4), B(5,5), C(6, -2)
Bài 4 : Lập phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai trục tạo độ Ox, Oy và đi
qua điểm M(2,1).
Ba đờng cô níc
Elíp (E) Hypebol (P) Parabol (P)
1. Định
nghĩa
(E)={M|MF
1
+MF
2
=2a>2c =F
1

F
2
}
F
1
(-c,0), F
2
(c,0) Tiêu điểm
F
1
F
2
= 2c - Tiêu cự
Trục lớn 2a, nửa trục là a
Trục nhỏ 2b, nửa trục b
b M
-a/e -a F a a/e

-b
(H)={M|MF
1
-MF
2
|=2a<2c =F
1
F
2
}
F
1

(-c,0), F
2
(c,0) Tiêu điểm
F
1
F
2
= 2c - Tiêu cự
Trục thực Ox, nửa trục a
Trục ảo Oy, nửa trục b
Cho

cố dịnh và F


, MH


M

(P) MF = MH
F Tiêu điểm của (P)

- Đờng chuẩn của (P)
H M

p
2

O F

p
;0
2
2. Phơng
trình chính
tắc
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
với a
2
= b
2
+c
2
2 2
2 2
x y
1
a b
=
với c
2
= a
2
+b
2

Y
2
= 2px
3. Tâm sai
e =
c
a
<1 e =
c
a
>1
MF
e 1
MH
= =
4. Đờng
chuẩn
a
x
e
=
a
x
e
=
p
x
2
=
5. Tiệm cận

b
y x
a
=
6. Bán kính
qua tiêu
1
cx
MF a
a
= +
2
MF =
cx
a
a

1
2
cx
MF a
a
(x 0)
cx
MF a
a

= +

>


= +


1
2
cx
MF a
a
(x 0)
cx
MF a
a

=


<


=


p
MF x
2
= +
7. Tiếp

tuyến
* Tiếp tuyến của (E) tại điểm M
0
(x
0
, y
0
)

(E) là :
0 0
2 2
x.x y.y
1
a b
+ =
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (E) a
2
A
2
+b
2
B
2
= C
2
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
của (E) k
2

a
2
+b
2
= m
2
* Tiếp tuyến của (H) tại điểm M
0
(x
0
, y
0
)

(H) là :
0 0
2 2
x.x y.y
1
a b
=
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (E) a
2
A
2
-b
2
B
2

= C
2
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
của (E) k
2
a
2
-b
2
= m
2
* Tiếp tuyến của (P) tại điểm M
0
(x
0
, y

(P) là : y
0
y =p(x+x
0
)
* Đờng thẳng Ax+By+C = 0 là tiếp
tuyến của (P) pB
2
= 2AC
* Đờng thẳng y = kx+m là tiếp tuyến
Tng Long Giang Ngha Lộ Yên Bái
Elíp (E) Hypebol (P) Parabol (P)
của (P) p

2
=2km
Bài tập về Elíp
Ví dụ 1 : Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của
các (E) có phơng trình sau :
a/
2 2
x y
1
25 9
+ =
b/
2 2
x y
1
16 9
+ =
c/
2 2
x y
1
49 16
+ =
d/
2 2
x y
4
25 9
+ =
e/ 4x

2
+9y
2
= 1 g/ 4x
2
+9y
2
=36
Ví dụ 2 : Lập phơng trình chính tắc của (E) biết :
a/ Độ dài trục lớn và nhỏ lần lợt là 8 và 6
b/ Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự 8
c/ Độ dài trục lớn là 12, tâm sai e = 1/2
Ví dụ 3 :Lập phơng trình chính tắc của (E) trong các trờng hợp sau :
a/ (E) đi qua các điểm M(0;3), N (3;-12/5)
b/ (E) có một tiêu điểm F
1
(
3
3;0),M(1; )
2

Bài tập
Bài 1 : Viết phơng trình chính tắc của (E) biết :
a/ Trục lớn 10, tiêu cự 8.
b/ Tiêu cự 6, tâm sai e = 3/5
c/ Độ dài trục nhỏ 10, tâm sai e = 12/13
d/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 16, độ dài
trục lớn 8
e/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 32, tâm sai
e=1/2

a/ a =5, b=3 =>ptct ?
b/ a =5, b =4 =>ptct ?
c/ a =13, b =5 => ptct ?
d/ a = 4, b =
12
=> ptct ?
e/ a = 8, b =
48
=> ptct ?
Bài 2
a/ Viết phơng trình chính tắc của (E) có tiêu cự 8, tâm sai e =4/5.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) xuất phát từ M(0,
15
4
)
Bài 3 : Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) :
2 2
x 2y
1
10 5
+ =

biết tiếp tuyến // (d) : 3x+2y+7 = 0
ĐS : 3x+2y

10 = 0