Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG file word

[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Chủ đề 3:

I - LÝ THUYẾT:
1.

2.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
r r
Vectơ a≠ 0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của
a'
r
vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d .

a
d

Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:
r
Đường thẳng d đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có 1 vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 )
 x = x0 + at
1

y

=
y
+
a
t (t ∈ R)
+ Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
0
2
z = z + a t
0
3

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
x − x0 y − y0 z − z0
d:
=
=
(2) ( a1 .a2 .a3 ≠ 0
a1
a2
a3

(1)

a

)
M0

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

 x = x0/ + b1k
 x = x0 + at
1


/
Cho hai đường thẳng d1 :  y = y0 + a2t và d2 :  y = y0 + b2k
z = z + a t
z = z / + b k
0
3

0
3

r
Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương a = ( a1; a2 ; a3 ) .
r
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương b = ( b1; b2 ; b3 ) .

Xét vị trí tương đối của d1 và d2 theo chương trình cơ bản:
r
r
Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của a và b .
Bước 2: Nhận xét:

 Cách 1:

 d1 / / d2
r

r
+ Nếu a và b cùng phương thì: 
 d1 ≡ d2
r
r
+ Nếu a và b khơng cùng phương thì hoặc d1 cắt d2 hoặc d1 và d2 chéo
nhau.
• TH1: d1 cắt d2
r
r
Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
 x0 + at
= x′0 + b1k (1)
1

 y0 + a2t = y′0 + b2k (2)
 z + a t = z′ + b k (3)
0
3
 0 3

.

M0
(t0 , k0 )
.

(*) có nghiệm duy nhất

d1
.

; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 ) .
Kết luận: d1 cắt d2 tại điểm M 0 ( x0 + at
1 0

d2


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra ( t0 ; k0 ) và thay vào (3) (Nếu
(3) thoả thì ( t0 ; k0 ) , ngược lại thì khơng).

• TH2: d1 và d2 chéo nhau
r
r
Điều kiện 1: a và b không cùng phương .
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
 x0 + at
= x0′ + b1k (1)
1

 y0 + a2t = y0′ + b2k (2) (*) vô nghiệm. d1
 z + a t = z′ + b k (3)
0

3
 0 3

d2

• TH3: d1 song song với d2
r
r
Điều kiện 1: a và b cùng phương .

M0

Điều kiện 2: Chọn điểm M 0(x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1 . Cần chỉ rõ M 0 ∉ d2 .
• TH4: d1 và d2 trùng nhau
r
r
Điều kiện 1: a và b trùng nhau.

d2

1
d2M.0
Điều kiện 2: Chọn điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1 . Cần chỉ rõ M 0 ∈
rr
. = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
Đặc biệt: d1 ⊥ d2 ⇔ ab

d

 Cách 2: Xét vị trí tương đối của d1 và d2 chương trình nâng cao theo sơ đồ

sau:

-

uu
r
Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương ud vµ M 0 ∈ d.
uur
Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương ud/ vµ M 0/ ∈ d.

Tính
Tính

uur uur r
u ,u  = 0
 d d' 

uur uur r
u ,u  ≠ 0
 d d' 

uur uur r
 u , u  = 0
  d d' 
 uur uuuuuuur/ r
 ud , M 0 M 0  ≠ 0


Trùng
Trùng nhau

nhau

Song
Song song
song

Cắt
Cắt nhau
nhau

Chéo
Chéo nhau
nhau


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:
LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

r
r r
+ Vectơ a≠ 0 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song
song hoặc trùng với đường thẳng d .
r
r
+ Nếu a là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì ka,( k ≠ 0) cũng là 1 vectơ chỉ

phương của d .
r r
r
+ Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d . Nếu có 2 vectơ a, b khơng cùng
r r
u ⊥ a
r
r r

phương và  r r thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u =  a,b hoặc

u ⊥ b
r
r
r
u = k  a,b , k ≠ 0 .

Ví dụ 1: Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

các

điểm

x = 1

x −1 y z + 3
A ( 1; −1; 2 ) , B( 2;3;1) , C ( 4; 2; 0 ) ; các đường thẳng ∆1 :  y = 2 − 3t ( t ∈ R ) , ∆ 2 :
=
=
;
3
−3
2
 z = 3 + 4t

các mặt phẳng (P) : x + 3y − 2z + 1 = 0 , (Q) : 3x − z = 0 . Tìm một vectơ chỉ phương của các
đường thẳng sau:
a)
Đường thẳng ∆1 .
b)

Đường thẳng d1 đi qua A và song song với ∆ 2 .

c)

Đường thẳng AB .
d) Đường thẳng d2 qua B và song song với Oy .
e)

Đường thẳng d3 qua C và vng góc với (P ) .

f) Đường thẳng d4 qua B , vng góc với Ox và ∆1 .
g)

Đường thẳng d5 ⊂ (Q) qua O và vng góc với ∆ 2 .

h)

Đường thẳng d6 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P ),(Q) .

i) Đường thẳng d7 qua B vng góc với ∆ 2 và song song với mặt phẳng (Oxy) .
j) Đường thẳng d8 qua A , cắt và vng góc với trục Oz .
Bài giải:

r
a) Đường thẳng ∆1 có 1 vectơ chỉ phương là a= (0; −3; 4) .
r
b) Đường thẳng ∆ 2 có 1 vectơ chỉ phương là b = (3; −3; 2) . Ta có: d1 / / ∆ 2 nên
r
b = (3; −3; 2) cũng là 1 vectơ chỉ phương của d1 .
uuur
c) Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương là AB = (1; 4; −1) .
r
d) Đường thẳng d2 / /Oy nên có 1 vectơ chỉ phương là j = (0;1; 0) .

r
e) Mặt phẳng (P ) có 1 vectơ pháp tuyến là n1 = (1;3; −2) . Đường thẳng d3 ⊥ (P ) nên
r
có 1 vectơ chỉ phương là n1 = (1;3; −2) .
r
f) Gọi u4 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d4 .


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
r
r
r r

u4 ⊥ i
r

Ta có:  i , a = ( 0; −4; −3) ,  r
r ⇒ chọn u4 = ( 0; 4;3) .

u4 ⊥ a
r
r
g) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến là n2 = ( 3; 0; −1) . Gọi u5 là 1 vectơ chỉ
d5 . Ta có:

phương của đường thẳng

r

r
u5 ⊥ n2
r r
n2 , b = (−3; −9; −9) ,  r
r ⇒


u4 ⊥ b

chọn

r
u5 = (1;3;3) .
r r
r
h) Gọi u6 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d6 . Ta có: n1 ,n2  = ( −3; −5; −9 ) ,
r
r
r
u6 ⊥ n1
r ⇒ chọn u6 = ( 3;5; 9 ) .
r
u6 ⊥ n2
r
i) Gọi u7 là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d7 . Mặt phẳng (Oxy) có 1 vectơ
r
r
r

u7 ⊥ n2

r r
r

r ⇒ chọn u7 = ( 1; −1; 0 ) .
pháp tuyến là k = ( 0; 0;1) .Ta có: n2 , k = ( −3;3; 0 ) ,  r

u7 ⊥ k
j)

d8 ⊥ Oz
⇒ H là hình chiếu của A lên Oz ⇒ H ( 0; 0; 2 ) . Vậy
Gọi H = d8 ∩ Oz . Ta có 
 A ∈ d8
uuur
d8 có 1 vectơ chỉ phương là OA = ( 1; −1; 0 ) .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( α ) : x + 3ky − z + 2 = 0
và ( β ) : kx − y + 2 z + 1 = 0 . Tìm k để giao tuyến của ( α ) , ( β )
a) vng góc với mặt phẳng ( P ) : x − y − 2z + 5 = 0 .
b) song song với mặt phẳng ( Q ) : − x − y − 2 z + 1 = 0 .
Bài giải:
r
Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là giao tuyến của ( α ) , ( β ) .
r
Mặt phẳng của ( α ) có 1 vectơ pháp là nα = ( 1; 3k; −1) .
r
Mặt phẳng của ( β ) có 1 vectơ pháp là nβ = ( k; −1; 2 ) .
r r
u ⊥ nα
r

r r
2
Ta có:  r r ⇒ chọn u = nα ,nβ  = 6 k − 1; − k − 2; −3k − 1 .
u ⊥ nβ
r
a) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến nP = ( 1; −1; −2 ) . Đường thẳng d vng góc

(

với

mặt

r r
phẳng ⇔ u, nP

cùng

)

phương

−3k2 + 2 k + 3 = 0
r
r r

⇔ u,nP  = 0 ⇔ −11k + 4 = 0
1 − 5k = 0


nghiệm).
Vậy không tồn tại giá trị k thỏa yêu cầu bài toán.
r
b) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến nQ = ( −1; −1; −2 ) .
rr
. P =0
Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ⇔ un

(vơ


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

k = 0
⇔ −6 k + 1 − k − 2 + 3k + 1 = 0 ⇔ 3k − 7 k = 0 ⇔ 
.
k = 7

3
2

2

LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bước 1: Xác định M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d.

r

Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) của đường thẳng d .

Bước 3: Áp dụng cơng thức, ta có:
+ Phương trình tham số của d :

 x = x0 + at
1

y
=
y
+
a
t (t ∈ R)

0
2
z = z + a t
0
3


+ Phương trình chính tắc của d :

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; ( a1 , a2 , a3 ≠ 0 )
a1
a2

a3

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng ∆1 :

x −1 y + 2 z
=
=
1
−1
2

 x = 2 + 2t

và ∆ 2 :  y = −1 − t . Viết phương trình:
 z = 3t

a) tham số của đường thẳng ∆1 .

b) chính tắc của đường thẳng ∆ 2 .
Bài giải:

r
a) Đường thẳng ∆1 qua M ( 1; −2;0 ) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( 1; −1; 2 ) , có phương

x = 1 + t

trình tham số là:  y = −2 − t .
 z = 2t


r
b) Đường thẳng ∆1 qua N ( 2; −1; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( 2; −1;3) , có phương
x− 2 y +1 z
=
= .
2
−1 3
Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương
trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng đều đượC.

trình chính tắc là:

Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 2; 0; −1) , B( 2;3; −3) ,
x = t

C ( 1; 2; 4 ) , D ( −1; 2;1) ; đường thẳng thẳng ∆1 :  y = −1 − t ; mặt phẳng ( α ) : 3x + 5 y − z + 1 = 0
 z = 2t

. Viết phương trình của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
r
a) Qua A và có 1 vectơ chỉ phương u = ( −1;3;5 ) .


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

b) Qua 2 điểm B,C .

c) Qua M 0 ( 1; 2;3)

d) Qua C và song song với ∆1 .

e) Qua B và vng góc với ( Oxz) .

tung.

và song song với trục

f) Qua D và vng góc với ( α ) .
Bài giải:

r
a) Đường thẳng d qua A ( 2; 0; −1) và có 1 vectơ chỉ phương u = ( −1;3;5 ) , có

x = 2 − t

.
phương trình tham số là:  y = 3t
 z = −1 + 5t


uuur
B
2
;
3
;
−

3
b) Đường thẳng d qua (
) và có 1 vectơ chỉ phương BC = ( −1; −1;7 ) , có

x = 2 − t

phương trình tham số là:  y = 3 − t .
 z = −3 + 7t


c) Đường thẳng d qua M 0 ( 1; 2;3) ∉ Ox và song song với trục Ox nên nhận

x = 1 + t
r

i = ( 1; 0; 0 ) làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình tham số:  y = 2 .
z = 3


d)Đường thẳng d đi qua điểm C ( 1; 2; 4 ) . Đường thẳng ∆1 có 1 vectơ chỉ phương
r
r
là u = ( 1; −1; 2 ) . Ta có: d / / ∆1 ⇒ d có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 1; −1; 2 ) . Vậy phương trình
chính tắc của đường thẳng d là:

x −1 y − 2 z − 4
=
=
.
1

−1
2

e) Đường thẳng d đi qua điểm B( 2;3; −3) . Mặt phẳng ( Oxz) có 1 vectơ pháp
r
tuyến là j = ( 0;1; 0 ) .
r
Đường thẳng d vng góc với ( Oxz) nên nhận j = (0;1; 0) làm 1 vectơ chỉ
x = 2

phương. Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:  y = 3 + t .
 z = −3


f)Đường thẳng d đi qua điểm D ( −1; 2;1) . Mặt phẳng ( α ) có 1 vectơ pháp tuyến
r
r
là n = ( 3;5; −1) . Đường thẳng d vng góc với ( α ) nên nhận n = ( 3;5; −1) làm 1 vectơ
chỉ phương. Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

x +1 y − 2 z −1
=
=
.
3
5
−1


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]

KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A ( 1;1; −1) , B( 2; −1;3) ,
x = 2 + t

x + 1 y z −1
C ( 1; 2; 2 ) , D ( −1; −2;1) ; các đường thẳng thẳng ∆1 :  y = −1 − t , ∆ 2 :
= =
; các
2
1
1
z = t

mặt phẳng

( α ) : x + 2 y − z + 1 = 0 , ( β ) : x + y + 2z + 3 = 0 .

Viết phương trình của đường

thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua A và vng góc với các đường thẳng ∆1 ,AB .
b) Qua B và vng góc với đường thẳng AC và trục Oz.
c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng ( α ) , ( Oyz) .
d) Qua C , song song với ( β ) và vng góc với ∆ 2 .
e) d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) .
Bài giải:

a) Đường thẳng d qua A ( 1;1; −1) . Đường thẳng ∆1 có 1 vectơ chỉ phương
uuur
r
r uuur
r
u1 = ( 1; −1;1) ; AB = ( 1; −2; 4 ) ⇒ u; AB = ( −2; −3; −1) . Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta


r r
u ⊥ u1
r
x −1 y −1 z +1
=
=
.
có:  r uuur ⇒ chọn u = ( 2;3;1) . Vậy phương trình chính tắc của d là
2
3
1
u ⊥ AB
uuur
uuur r
r
r
b) Đường thẳng d qua B( 2; −1;3) ; AC = ( 0;1;3) ; k = ( 0; 0;1) ⇒  AC , k = ( 1; 0; 0 ) . Gọi u
r uuur
u
⊥ AC
r
là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có:  r r ⇒ chọn u = ( 1; 0; 0 ) .

u ⊥ k
x = 2 + t

Vậy phương trình tham số của d là  y = −1
z = 3

r
c) Đường thẳng d qua O ( 0; 0; 0 ) ; n1 = ( 1; 2; −1) là 1 vectơ pháp tuyến của ( α ) ;
r
r r
i = ( 1; 0; 0 ) là 1 vectơ pháp tuyến của ( Oyz) ; Ta có: n1 , i  = ( 0; −1; −2 ) .
r r

r
u ⊥ n1
r
Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của d . Ta có:  r r ⇒ chọn u = ( 0;1; 2 ) . Vậy

u ⊥ i
x = 0

phương trình tham số của d là  y = t .
 z = 2t


r
d) Đường thẳng d qua C ( 1; 2; 2 ) ; n2 = ( 1;1; 2 ) là 1 vectơ pháp tuyến của ( β ) ;
r
r r
r

u2 = ( 2;1;1) là 1 vectơ chỉ phương của ∆ 2 ; Ta có: n2 ,u2  = (−1; 3; −1) .Gọi u là 1 vectơ chỉ


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
r r
u ⊥ n2
r
phương của d . Ta có:  r r ⇒ chọn u = (−1;3; −1) . Vậy phương trình chính tắc của d
u ⊥ u2
là

x −1 y − 2 z − 2
=
=
.
−1
3
−1
e) Chọn điểm trên giao tuyến d :

x + 2y − z + 1 = 0
 x = −5
(I) . Cho z = 0 , giải được: 
⇒ A ( −5; 2; 0 ) ∈ d .
Xét hệ phương trình: 
 x + y + 2z + 3 = 0
y = 2
r

+ Xác định vectơ chỉ phương của d : Gọi u là 1 vectơ chỉ phương của D. Ta có:
 x = −5 + 5t
r r
u ⊥ n1
r
r r

 r r ⇒ chọn u = n1 , n2  = ( 5; −3; −1) . Vậy phương trình tham số của d :  y = 2 − 3t .
u ⊥ n2
 z = −t

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi
x = t

qua A ( 2; −1;1) cắt và vng góc với đường thẳng ∆ :  y = −1 − t .
z = t

Bài giải:

r
a) Đường thẳng ∆ có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 1; −1;1) .
uuur
r uuur
r uuur
Gọi B = d∩ ∆ . Ta có: B ∈ ∆ ⇒ B(t; −1 − t;t); AB = (t − 2; −t;t − 1); u ⊥ AB ⇔ u.AB = 0 ⇔ t = 1 .

Suy ra: B( 1; −2;1) . Đường thẳng d đi qua A ( 2; −1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là
x = 2 + t
uuur


AB = ( 1;1; 0 ) nên có phương trình tham số là:  y = −1 + t .
z = 1

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ

A ( 3; 2; −4 )

Oxyz, cho điểm

và d:

x − 2 y + 4 z −1
=
=
và mặt phẳng (P): 3x − 2 y − 3z − 7 = 0 .Viết phương trình đường thẳng
3
−2
2
∆ đi qua điểm A, song song với (P) và cắt đường thẳng D.
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Bước 1: Xác định điểm B = d∩ ∆ : AB / / mp(P ) .
A

 x = 2 + 3t

Ta có: d :  y = −4 − 2t . Gọi B( 2 + 3t; −4 − 2t;1 + 2t ) ∈ d
 z = 1 + 2t

P

uuur
r
Lúc đó: AB = ( 3t − 1; −2t − 6; 2t + 5 ) . Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp nP = ( 3; −2; −3)
uuur r
6
AB / / mp(P) ⇔ AB.nP = 3 ( 3t − 1) − 2 ( −2t − 6 ) − 3 ( 2t + 5 ) = 0 ⇔ 7t − 6 = 0 ⇔ t =
7
Bước 2: Đường thẳng ∆ ≡ AB .

B


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN
uuur  11 54 47 
 32 40 19 
B
;
−
;
⇒
AB =  ; − ; ÷.
Vì vậy 
7 7÷
7 11 
 7

7

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

r
Đường thẳng ∆ ≡ AB đi qua A và có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 11; −54; 47 ) nên có

 x = 3 + 11t

phương trình tham số:  y = 3 − 54t .
 z = −4 + 47t


A

B

Q

Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua A và song song với mp(P):
P
Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q), ∆ ≡ AB .
Ví dụ 8: (Khối A- 2007) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình
đường thẳng d vng góc với mp(P), đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 với
 x = −1 + 2t
x y −1 z + 2

d1 : =
=
; d2 :  y = 1 + t ; (P ) : 7 x + y − 4z = 0.
2
−1

1
z = 3

Hướng dẫn gii:
Cỏch 1:
B ớ c 1: Viết ph ơng trì
nh mp( ) chứa d1 và vuông góc vớ i (P).
B ớ c 2: Viết ph ơng trì
nh mp( ) chứa d2 và vuông góc vớ i (P).
B ớ c 3: Đ ờng thẳ
ng cần tì
m là giao tuyến của mp( ) và mp( )
Kiểm tra sự cắ
t nhau. (Mối quan hệgiữa vectơchỉph ơng)





d1

d2

P
P

Cỏch 2:
B ớ c 1: Viết ph ơng trì
nh mp( ) chứa d1 và vuông góc vớ i (P).
B ớ c 2: Xác định giao điểm A của d2 và mp( )

B ớ c 3: Đ ờng thẳ
ng cần tì
m đi qua A và vuông góc vớ i mp(P)
Kiểm tra sự cắ
t nhau. (Mối quan hệgiữa vectơchỉph ơng)

d

d
d2



d1

A

Cỏch 3: Sử dụng kỹ năng khái niệm “thuộc” (Tìm ra 2 giao điểm M,
d N)
M
 x = 2m
 x = −1 + 2t


N
d2
Ta có: d1 :  y = 1 − m ; d2 :  y = 1 + t
 z = −2 + m
z = 3
d1



P
r
Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 7;1; −4 ) .
Gọi N = d∩ d1 , M = d∩ d2 . Ta có: N ( 2m;1 − m; −2 + m) ∈ d1 , M ( −1 + 2t;1 + t;3 ) ∈ d2 .
uuuur
⇒ NM = ( 2t − 2m− 1;t + m;5 − m) .
−4t − 3m− 5 = 0
uuur r
r
t = −2
uuuur
r

Lúc đó ta có NM và nP cùng phương ⇔  AB, nP  = 0 ⇔ 8t − 15m+ 31 = 0 ⇔ 
m= 1
−5t − 9m− 1 = 0



[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

⇒ N ( 2; 0; −1) , M ( −5; −1;3) .

r
Đường thẳng d ≡ NM , qua N ( 2; 0; −1) và có 1 vectơ chỉ phương là nP = ( 7;1; −4 ) , có

 x = 2 + 7t

phương trình tham số:  y = t
.
 z = −1 − 4t

Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp ( α ) đi qua
x y −1 z
=
=
.
2
1
−3
Bài giải:
r
Đường thẳng ∆ có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 2;1; −3) .
A ( 3; −2;1) và vng góc với ∆ :

r
Mặt phẳng ( α ) đi qua A ( 3; −2;1) và vng góc với ∆ nên nhận u = ( 2;1; −3) làm 1

vectơ pháp tuyến, có phương trình: 2 ( x − 3 ) + 1( y + 2 ) − 3 ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x + y − 3z − 1 = 0 .
Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp ( α ) và mặt cầu

(S) có phương trình như sau: ( α ) : x + y + z + 5 = 0 , (S) : ( x − 2 ) + ( y + 1) + z2 = 25 .
2

2

a)Chứng minh: ( α ) cắt (S) theo một đường trịn có tâm H .
b)Gọi I là tâm mặt cầu (S) . Viết phương trình đường thẳng IH .
Bài giải:
a)Mặt cầu (S) có tâm I (2; −1; 0) , bán kính R = 5 . Ta có: d(I ,(α )) =

6
3

< R ⇒ ( α ) cắt

(S) theo một đường trịn có tâm H .

r
b)Đường thẳng IH đi qua I (2; −1; 0) và nhận VTPT của ( α ) là n = (1;1;1) làm

vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc:

x− 2 y +1 z
=
= .
1
1
1

LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết.
Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
 x = 2 + 2t/
x = 1 + t



; ∆ 2 :  y = 3 + 4t/ .
a) ∆1 :  y = 2t
z = 3 − t

/

 z = 5 − 2t

 x = 2 − 3t
x− 3 y− 4 z− 5

=
=
; ∆ 2 :  y = 5 + 3t
b) ∆1 :
−1
1
−2
 z = 3 − 6t


 x = 2 − 2t
x −1 y − 2 z + 3

c) ∆1 :
=
=
; ∆ 2 :  y = −2 + t

1
3
−1
 z = 1 + 3t


 x = 1 + 3t/
 x = 2t


d) ∆1 :  y = −1 + 3t ; ∆ 2 :  y = −2 + 2t/
z = t
 z = 1 + 2t/


Bài giải:

r
a) Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M ( 1; 0;3) và có 1 vectơ chỉ phương a = ( 1; 2; −1) .


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

r
Đường thẳng ∆ 2 đi qua điểm N ( 2;3;5 ) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( 2; 4; −2 ) .
r uuuur
r

r r
r uuuur
Ta có:  a, b = 0 , MN = ( 1;3; 2 ) ,  a, MN  = ( 7; −3;1) ≠ 0 ⇒ ∆1 / / ∆ 2 .
r
b) Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M ( 3; 4;5 ) và có 1 vectơ chỉ phương a= ( −1;1; −2 ) .
r
Đường thẳng ∆ 2 đi qua điểm N ( 2;5;3) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( −3;3; −6 ) .
r uuuur
r
r r
r uuuur
Ta có:  a, b = 0 , MN = ( −1;1; −2 ) ,  a, MN  = 0 ⇒ ∆1 ≡ ∆ 2 .
r
c) Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M ( 1; 2; −3) và có 1 vectơ chỉ phương a = ( 1;3; −1) .
r
Đường thẳng ∆ 2 đi qua điểm N ( 2; −2;1) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( −2;1;3) .
r uuuur
r r
r r uuuur
Ta có:  a, b = ( 10; −1; 7 ) ≠ 0 , MN = ( 1; −4; 4 ) ,  a,b .MN = 35 ≠ 0 ⇒ ∆1 , ∆ 2 chéo nhau.
r
d)Đường thẳng ∆1 đi qua điểm M ( 0; −1; 0 ) và có 1 vectơ chỉ phương a = ( 2;3;1) .
r
Đường thẳng ∆ 2 đi qua điểm N ( 1; −2;1) và có 1 vectơ chỉ phương b = ( 3; 2; 2 ) .
r uuuur
r r
r r uuuur




a
,
b
=
4
;
−
1
;
−
5
≠
0
a
Ta có:   (
) , MN = ( 1; −1;1) ,  ,b .MN = 0 ⇒ ∆1 , ∆ 2 cắt nhau.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định vị trí tương đối của cặp

 x = 1 + mt

/
đường thẳng sau theo A ( 4; 2; 2 ) , B( 0; 0; 7 ) với dm :  y = m+ 2t
và dm :
 z = 1 − m− 3t


 x = m− 2t/

/
.

 y = mt
 z = 1 − m+ t/


Bài giải:

Đường thẳng dm qua điểm A ( 1; m;1 − m) và có 1 vectơ chỉ phương là d2 .
/
Đường thẳng dm
qua điểm B( m; 0;1 − m)

và có 1 vectơ chỉ phương là

r
u2 = ( −2; m;1) .
uuur
r
r r
2
Ta có: u1 ,u2  = 2 + 3m; 6 − m; m + 4 ≠ 0 do ( m2 + 4 ≠ 0 ∀m) và AB = ( m− 1; − m; 0 ) .
r r uuur

u
Xét  1 ,u2  .AB = ( 2 + 3m) ( m− 1) − m( 6 − m) = 4m2 − 7m− 2 .

(

)

 m= 2

r r uuur
/
⇔ dm và dm
TH 1: u1 ,u2  .AB = 0 ⇔ 
cắt nhau.
 m= − 1

4
 m≠ 2
r r uuur

/
TH 2: u1 ,u2  .AB ≠ 0 ⇔ 
1 ⇔ dm và dm chéo nhau.
m
≠
−

4


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

 x = 5+ t

Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :  y = at và
z = 2− t


 x = 1+ 2t/

d2 :  y = a+ 4t/ . Xác định a để:
 z = 2 − 2t/

a) d1 vng góc với d2 . b) d1 song song với d2 .
Bài giải:

r
Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1; a; −1) .
r
Đường thẳng d2 có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 2;4; −2) .
r
r
r r
a) d1 vng góc với d2 ⇔ u1 ⊥ u2 ⇔ u1.u2 = 0 ⇔ 2 + 4a+ 2 = 0 ⇔ a = −1.
r
r r
r r
b) d1 song song với d2 ⇒ u1, u2 cùng phương ⇔ u1 ,u2  = ( −2a+ 4;0;0) = 0 ⇔ a = 2.

 x = 1+ 2t/
 x = 5+ t


/
Kiểm tra lại: Với a= 2 thì d1 :  y = 2t và d2 :  y = 2+ 4t .
z = 2− t
 z = 2 − 2t/



5 = 1+ 2t/

/
Chọn A ( 5;0;2) ∈ d1 , thấy A ∉ d2 (do hệ phương trình 0 = 2 + 4t vô nghiệm)
2 = 2 − 2t/

Vậy khi a= 2 thì d1 song song với d2 .
 x = 1+ t

Ví dụ 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ 1 :  y = 2t và
 z = 3− t

 x = 2 + 2t/

∆ 2 :  y = 3+ 4t/ .
 z = 5− 2t/

a) Chứng minh ∆1 và ∆ 2 cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và ∆ 2 .
Bài giải:

r
Đường thẳng ∆1 qua điểm A ( 1;0;3) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1;2; −1) .
r
Đường thẳng ∆ 2 qua điểm B( 2;3;5) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 2;4; −2) .
uuur
r
r r

a) Ta có: u1 ,u2  = 0 và AB = ( 1;3;2) .
uuur r
r

Xét  AB,u1  = ( −7;3; −1) ≠ 0 . Từ đó suy ra, ∆1 và ∆ 2 song song, tức là ∆1 và ∆ 2 cùng
thuộc một mặt phẳng.
r
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
uuur
r
uuur r
n
⊥
AB
r
Ta có:  r P r ⇒ chọn nP =  AB,u1  = ( −7;3; −1) .
nP ⊥ u1
r
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 1;0;3) ∈ ∆1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( −7;3; −1) .
(P): −7( x − 1) + 3( y − 0) − 1( z − 3) = 0 ⇔ −7x + 3y − z + 10 = 0 .
Ví dụ 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
 x = 2 − 2t

x− 2 y+ 2 z − 1
=

=
hai đường thẳng ∆1 :
và ∆ 2 :  y = −2+ t .
1
3
−1
 z = 1+ 3t

Bài giải:
 x = 2+ t

Ta có: ∆1 :  y = −2+ 3t
 z = 1− t


r
Đường thẳng ∆1 qua điểm A ( 2; −2;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1;3; −1) .
r
Đường thẳng ∆ 2 qua điểm A ( 2; −2;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( −2;1;3) .
r
r r
a) Ta có: u1 ,u2  = ( 10; −1;7) ≠ 0 và ∆1 ∩ ∆ 2 = { A} .

Từ đó suy ra, ∆1 và ∆ 2 cắt nhau.
r
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
r
r
nP ⊥ u1
r

r r
Ta có:  r
r ⇒ chọn nP = u1 ,u2  = ( 10; −1;7) .
nP ⊥ u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua
r
nP = ( 10; −1;7) .

A ( 2; −2;1) ∈ ∆1 và có 1 vectơ pháp tuyến là

(P): 10( x − 2) − 1( y + 2) + 7( z − 1) = 0 ⇔ 10x − y + 7z − 29 = 0 .
Ví dụ 16: Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz,

cho

hai

đường

x = 8+ t

3− x y − 1 z − 1
∆1 :
=
=
và ∆ 2 :  y = 5+ 2t .
7
2
3
 z = 8− t

a) Chứng minh ∆1 và ∆ 2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và song song với ∆ 2 .
Bài giải:

r
Đường thẳng ∆1 qua điểm A ( 3;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( −7;2;3) .
r
Đường thẳng ∆ 2 qua điểm B( 8;5;8) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 1;2; −1) .
uuur
r
r r
a) Ta có: u1 ,u2  = ( −8; −4; −16) ≠ 0 và AB = ( 5;4;7) .
r r uuur
Xét u1 ,u2  .AB = −40 − 16− 112 = −168 ≠ 0 . Từ đó suy ra, ∆1 và ∆ 2 chéo nhau.
r

b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.

thẳng:


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
r
r
nP ⊥ u1
r
r r
Ta có:  r
r ⇒ chọn nP = u1 ,u2  = ( −8; −4; −16) .
nP ⊥ u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 3;1;1) ∈ ∆1 và có 1 vectơ pháp tuyến là
r
nP = ( −8; −4; −16) .
(P): −8( x − 3) − 4( y − 1) − 16( z − 1) = 0 ⇔ 2x + y + 4z − 11= 0 .

 x = 8+ t

Ví dụ 17: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1 :  y = 5+ 2t và
z = 8− t

d2 :

3− x y − 1 z − 1
=

=
.
7
2
3
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với d1 và d2
.
c) Viết phương trình đường vng góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2 .
Bài giải:
r
Đường thẳng d1 qua điểm A ( 8;5;8) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1;2; −1) .
r
Đường thẳng d2 qua điểm B( 3;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( −7;2;3) .
uuur
r
r r
a) Ta có: u1 ,u2  = ( 8;4;16) ≠ 0 và AB = ( −5; −4; −7) .
r r uuur
Xét u1 ,u2  .AB = −40 − 16− 112 = −168 ≠ 0 . Từ đó suy ra, d1 và d2 chéo nhau.
r
b) Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
r
r
nP ⊥ u1
r
r r
Ta có:  r
r ⇒ chọn nP = u1 ,u2  = ( 8;4;16) .

nP ⊥ u2
r
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua O ( 0;0;0) và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 8;4;16) , có
phương trình:

(P): 8( x − 0) + 4( y − 0) + 16( z − 0) = 0 ⇔ 2x + y + 4z = 0 .
c) Gọi d là đường vng góc chung của d1 và d2 , d∩ d1 = { M } ,d ∩ d2 = { N } .

Ta có: M ∈ d1 ⇒ M (8+ t;5+ 2t;8 − t), N ∈ d2 ⇒ N (3− 7t′;1+ 2t′;1+ 3t′) ,
uuuur
MN = ( −7t′ − t − 5;2t′ − 2t − 4;3t′ + t − 7) .
d2
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r
r
r


−7t′ − t − 5+ 4t′ − 4t − 8− 3t′ − t + 7 = 0
u1 ⊥ MN
u1.MN
d

uuuur ⇔  r uuuur ⇔ 
r
49t′ + 7t + 35+ 4t′ − 4t − 8 + 9t′ + 3t − 21 = 0
u2 ⊥ MN
u2.MN


uuuur
−6t′ − 6t = 6
t′ = 0
⇔
⇔
⇒ M ( 7;3;9) , N ( 3;1;1) ⇒ MN = ( −4; −2; −8) .
d1
62t′ + 6t = −6 t = −1
Vậy đường thẳng d ≡ MN đi qua điểm N ( 3;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương
x− 3 y− 1 z − 1
=
=
.
2
1
4
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 đường thẳng:

nên có phương trình chính tắc là d2 :

r
u2

N
M
r
u1

r
u = ( 2;1;4)


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

x− 1 y− 2 z
x− 2 y− 2 z
x y z−1
x− 2 y z−1
=
=
, d2 :
=
=
, d3 : = =
, d4 :
= =
.
1
2
−2

2
4
−4
2 1
1
2
2 −1
a) CMR: Hai đường thẳng d1 , d2 cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Viết phương
d1 :

trình
mặt phẳng đó.
b) CMR: Tồn tại một đường thẳng ∆ cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết phương
trình
chính tắc của đường thẳng ∆ .
Bài giải:

r
a) Đường thẳng d1 qua điểm A ( 1;2;0) và có 1 vectơ chỉ phương là u1 = ( 1;2; −2) .
r
Đường thẳng d2 qua điểm B( 2;2;0) và có 1 vectơ chỉ phương là u2 = ( 2;4; −4) .
uuur
r
r
r r
r uuur
a) Ta có: u1 ,u2  = 0 và AB = ( 1;0;0) . Xét u1 , AB = ( 0; −2; −2) ≠ 0 . Từ đó suy ra, d1
và d2 song song, tức là d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
r
r

nP ⊥ u1
r
uuur ⇒ chọn
Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm. Ta có:  r
nP ⊥ AB
r
r uuur
nP = u1 , AB = ( 0; −2; −2) .


r
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 1;2;0) ∈ ∆1 và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 0; −2; −2) .

(P): 0( x − 1) − 2( y − 2) − 2( z − 0) = 0 ⇔ y + z − 2 = 0 .

 x = 2m
 x = 2 + 2n


b) Ta có d3 :  y = m , d4 :  y = 2n .
 z = 1+ m
 z = 1− n


+ Tọa độ giao điểm C của d3 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
 x = 2m

y = m

 z = 1+ m

 y + z − 2 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 2m− 1 = 0 ⇔ m=

1
 1 3
⇒ C  1; ; ÷.
2
 2 2

+ Tọa độ giao điểm D của d4 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
 x = 2 + 2n

 y = 2n

 z = 1− n
 y + z − 2 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: n − 1 = 0 ⇔ n = 1⇒ D ( 4;2;0) .
Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa u cầu bài tốn là đường thẳng ∆ ≡ CD .

[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

r 2 uuur
Đường thẳng ∆ qua D ( 4;2;0) và có 1 vectơ chỉ phương là u = CD = ( 2;1; −1) , có
3

 x = 4 + 2t

phương trình ∆ :  y = 2 + t .
 z = −t

Ví dụ 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; −1;1) và 2 đường thẳng

4
x = − 5 − t
x = t

3


d1 :  y = −1− 2t ; d2 :  y = − − 2t . Chứng minh A, d1 và d2 cùng thuộc một mặt phẳng.
5
 z = −3t



 z = −5t


Bài giải:
+ Lập phương trình mp(P) chứa A và d1 :
r
Đường thẳng d1 có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 1; −2; −3) .
uuur
Chọn B( 0; −1;0) ∈ d1 . Ta có: AB = ( −1;0; −1) .
r
Gọi nP là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
uuur
r
n
⊥
AB
r
r uuur
Ta có:  r P r ⇒ chọn nP = u, AB = ( 2;4; −2) .
nP ⊥ u

r
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua A ( 1; −1;1) và có 1 vectơ pháp tuyến là nP = ( 2;4; −2) .

(P): 2( x − 1) + 4( y + 1) − 2( z − 1) = 0 ⇔ x + 2y − z − 2 = 0. .

 4 3 
1 7 
+ Chỉ rõ d2 ⊂ mp( P ) . Ta có C  − ; − ;0÷∈ d2 ⇒ C ∈ mp(P ) và D  ; ;5÷∈ d2 ⇒ C ∈ mp(P) .
 5 5 

5 5 
Từ đó suy ra d2 ⊂ mp( P ) .

Kết luận: Mặt phẳng (P): x + 2y − z − 2 = 0 là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài tốn.

LOẠI 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
 x = x0 + at
1

Cho đường thẳng d :  y = y0 + a2t (t ∈ R) và mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 .
z = z + a t
0
3


Xét hệ phương trình

 x = x0 + at
1

 y = y0 + a2t

 z = z0 + a3t
 Ax + by + Cz + D = 0

(1)
+Nếu (1) vơ nghiệm thì d / /(P ) .

⇒ A ( x0 + at
+ B( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = 0

1 )


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 )
+Nếu (1) có nghiệm duy nhất t = t0 thì d cắt (P ) tại M ( x0 + at
1 0

+Nếu (1) có vơ số nghiệm thì d ⊂ (P ) .
Chú ý: Nếu VTCP của d cùng phương với VTPT của (P ) thì d ⊥ (P ) .
x = t

Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, và 3 đường thẳng d1 :  y = −1− 2t ;
 z = −3t

 x = −t

x+ 4 y+ 1 z
d2 :  y = 1− 2t ; d3 :
=
=
và mặt phẳng (P ) : x + y + z + 5 = 0 .
1
1
−2
z = t


Xét vị trí tương đối của:
a) d1 và (P ) .
b) d2 và (P ) .
c) d3 và (P ) .
Bài giải:
x = t

 y = −1+ 2t
a)Xét hệ phương trình: 
, ta thấy hệ vô nghiệm. Suy ra d1 / /(P ) .
z
=
−
3
t

 x + y + x + 5 = 0

b) Xét hệ phương trình:

 x = −t
t = 3


 y = 1− 2t
 x = −3
⇔
, Suy ra d2 cắt (P ) tại điểm



z
=
t
y
=
−
5


 x + y + x + 5 = 0  z = 3

M ( −3; −5;3) .

 x = −4+ t

 y = −1+ t
c) Xét hệ phương trình: 
, ta thấy hệ có vơ số nghiệm. Suy ra d3 ⊂ (P ) .
 z = −2t
 x + y + x + 5 = 0
Ví dụ 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : 2x − y + 3z − 4 = 0 và
đường thẳng ∆ :

x+ 1 y+ 3
=
= z.
2
4

a) Xác định giao điểm A của đt ∆ và mặt phẳng ( α ) .
b) Viết phương trình đường thẳng d qua A nằm trong mp ( α ) và vng góc với

∆.
Bài giải:
 x = −1+ 2t

a) Ta có: ∆ :  y = −3+ 4t .
z = t



[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN
Tạo

độ

giao

điểm

A

của

∆

và

(α)

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
là

nghiệm

của

hệ

phương

trình:

 x = −1+ 2t
(1)

(2)
 y = −3+ 4t

(3)
z = t
2x − y + 3z − 4 = 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:
2( −1+ 2t ) − ( −3+ 4t ) + 3t − 4 = 0 ⇔ 3t − 3 = 0 ⇔ t = 1⇒ A ( 1;1;1)
r
b) Mặt phẳng ( α ) có 1 vectơ pháp tuyến là nα = ( 2; −1;3) .
r
Đường thẳng ∆ có 1 vectơ chỉ phương là u∆ = ( 2;4;1) .

r
r
ud ⊥ nα
r
r r
r
Gọi ud là 1 vectơ chỉ phương của D. Ta có:  r
r ⇒ chọn ud =  nα ,u∆  = ( −13;4;10) .
ud ⊥ u∆
r
Đường thẳng d qua A ( 1;1;1) và có 1 vectơ chỉ phương là ud = ( −13;4;10) , có phương
trình:
 x = 1− 13t

d:  y = 1+ 4t .
 z = 1+ 10t

Ví dụ 22: (DỰ BỊ D-2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
y− 3 z+1
4x − 3y + 11z − 26 = 0 và 2 đường thẳng d1 : x =
=
;
−1
2
3
a) Chứng minh: d1 và d2 chéo nhau.

d2 :

x− 4 y z − 3

= =
1
1
2

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mp(P), đồng thời cắt d1 và d2 .
Bi gii:
B ớ c 1: Xác định giao điểm A của d1 và mp(P).
B ớ c 2: Xác định giao điểm B của d2 và mp(P).
Kết luận: Đ ờng thẳ
ng cần tì
m là đờng thẳ
ng AB.
Trỡnh by:
x = −t
x = 4+ m


Ta có: d1 :  y = 3+ 2t ; d2 :  y = m
 z = −1+ 3t
 z = 3+ 2m


+ Tọa độ giao điểm C của d1 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
 x = −t

 y = 3+ 2t

 z = −1+ 3t
 4x − 3y + 11z − 26 = 0

(1)
(2)
. Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 23t − 46 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ C ( −2;7;5) .
(3)
(4)


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

+ Tọa độ giao điểm D của d2 và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
 x = 4+ m

y = m

 z = 3+ 2m
 4x − 3y + 11z − 26 = 0

(1)
(2)
.
(3)
(4)

Thay

(1),

(2),

(3)

vào

(4)

ta

có:

23m+ 23 = 0 ⇔ m = −1⇒ D ( 3; −1;1) .

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là đường thẳng ∆ ≡ CD .
uuur
Đường thẳng ∆ qua C ( −2;7;5) và có 1 vectơ chỉ phương là CD = ( 5; −8; −4) , có phương
 x = −2 + 5t

trình ∆ :  y = 7 − 8t .
 z = 5− 4t


LOẠI 5: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho điểm A ( xA ; yA ; zA )

 x = x0 + at
1


và đường thẳng d :  y = y0 + a2t (t ∈ R) .
z = z + a t
0
3


d
H

A

r
ud

Cách 1:

; y0 + a2t; z0 + a3t ) .
Gọi H là hình chiếu của A lên d . Ta c ó H ∈ d ⇒ H ( x0 + at
1
r r
r
uuuu
r uuuu
r uuuu
Tính AH ; AH ⊥ ud ⇔ ud.AH = 0 ⇒ t = ? ⇒ H ?
Cách 2:
d r
Gọi H là hình chiếu của A lên d .
ud
(

P
)
d
+) Viết phương trình mặt phẳng
qua A và vng góc với
A

+) Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa { H } = d∩(P )

H

P

(

)

Ví dụ 23: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;0;0 và đường thẳng
x = 2+ t

∆ :  y = 1+ 2t .
z = t

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng ∆ .
b)Tìm tọa độ điểm A ′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ .
Bài giải:
r
a)Đường thẳng ∆ có 1 vectơ chỉ phương là u = ( 1;2;1) .

∆

Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A lên đường thẳng ∆ .

(

)

uuuu
r

(

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H 2 + t;1+ 2t;t ; AH = 1+ t;1+ 2t;t

)

r
r
r uuuu
r uuuu
1
3
1
u ⊥ AH ⇔ u.AH = 0 ⇔ t = − ⇒ H  ;0; − ÷.
2
2
2

A

H

r
u

A′


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
b)Ta có: A ′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ ⇔ H là trung điểm của đoạn
thẳng AA ′

 3 1+ xA′
2 = 2
 xA′ = 2

0 + yA′


⇒ 0 =
⇔  yA′ = 0 .Vậy A ′ ( 2;0; −1) .
2

 z = −1
 A′
 1 0 + zA′
−
=

 2
2


LOẠI 6: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG
Cho điểm M ( xM ; yM ; zM ) và mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0 .

d
M

Gọi H là hình chiếu của A lên mp(P ) .
+)Viết phương trình đường thẳng d qua A và vng góc với mp(P ) .
P

r
n(P )

H

+)Khi đó tìm tọa độ điểm H thỏa { H } = d∩ (P ) .

(

)

Ví dụ 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;4;2 và mặt phẳng

(P ) : x + y + z − 1 = 0 .
a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm M lên mặt phẳng (P ) .
b)Tìm tọa độ điểm M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (P ) .

Bài giải:
r
a) Mặt phẳng (P ) có 1 vectơ pháp tuyến là n = ( 1;1;1) .
Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm M lên mặt phẳng (P ) .
r
+) Đường thẳng d qua M 1;4;2 và vng góc với (P ) nhận n = ( 1;1;1) làm vectơ chỉ

(

)

 x = 1+ t

phương nên có phương trình  y = 4 + t .
z = 2+ t


(

d

r
n(P )

M
H

P

)

+) H ∈ d ⇒ H 1+ t;4 + t;2 + t ;

M′

H ∈ (P ) ⇒ 1+ t + 4 + t + 2 + t − 1 = 0 ⇔ t = −2 .

(

)

Vậy H −1;2;0

b)Ta có: M ′ đối xứng với M qua (P ) ⇔ H là trung điểm của đoạn thẳng MM ′ .

(

)

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ⇒ M ′ −3;0; −2 .
Ví dụ 25: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P ) : x + y − z + 5 = 0 và mặt
cầu

(S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 2x − 10 = 0.
a) Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn(S()C) .
b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của đường trịn (C) .
Bài giải:

R
r

(C)
P

I
H


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

a) Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −2;1) , bán kính R = 4 .

(

)

d I ;( P ) = 3 < R ⇒ ( P ) cắt (S) theo một đường tròn (C) .
b) Gọi H , r lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C) .

(

)

+) Áp ụng định lý Pitago ta được r = R2 − d I ,( P )  = 13 .


2

+) Tìm tọa độ tâm H của đường trịn (C) .
Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vng góc điểm I lên mặt phẳng (P ) .
Trình bày:
r
Đường thẳng IH đi qua I ( 1; −2;1) và nhận VTPT của ( P ) là n = ( 1;1; −1) làm
 x = 1+ t

vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là:  y = −2 + t .
 z = 1− t

H ∈ IH ⇒ H ( 1+ t; −2 + t;1− t ) ; H ∈ (P ) ⇒ 1+ t − 2 + t − 1+ t + 5 = 0 ⇔ t = −1. Vậy H ( 0; −3;2) .
Ví dụ 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P ) : x + y − z − 1 = 0 và mặt
cầu
(S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 2x − 10 = 0.
a) Chứng minh mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S)
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của mặt phẳng (P ) và mặt cầu (S) .
Bài giải:
a) Mặt cầu (S) có tâm I ( 1; −2;1) , bán kính R = 4 .

(

)

Ta có: d I ;( P ) = 3 = R ⇒ ( α ) cắt (S) theo một đường tròn (C) .

(S)

I

b) Gọi H tiếp điểm của mặt phẳng (P ) và mặt cầu (S) .

Phân tích: Ta thấy H là hình chiếu vng góc điểm I lên mặt phẳng (P ) . H
P
Trình bày:
r
Đường thẳng IH đi qua I ( 1; −2;1) và nhận VTPT của ( P ) là n = ( 1;1; −1) làm vectơ chỉ
 x = 1+ t

phương nên có phương trình tham số là:  y = −2 + t .
 z = 1− t


H ∈ IH ⇒ H ( 1+ t; −2 + t;1− t ) ; H ∈ (P ) ⇒ 1+ t − 2+ t − 1+ t − 1 = 0 ⇔ t = 1. Vậy H ( 2; −1;0) .

Ví dụ 27: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết các phương trình hình chiếu
x− 1 y+ 2
=
= z − 3 trên mỗi mặt phẳng sau: mp(Oxy),
vng góc của đường thẳng d :
2
3
mp(Oyz), mp(Oxz) và ( α ) : x + y + z − 7 = 0 .
Bài giải:
 x = 1+ 2t

Ta có: d :  y = −2 + 3t
 z = 3+ t

* Trên mặt phẳng (Oxy):

+ Ta chọn A ( 1; −2;3) ∈ d, B( 3;1;4) ∈ d .

[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

+ Hình chiếu vng góc của A trên mp(Oxy) là A1 ( 1; −2;0) .
Hình chiếu vng góc của B trên mp(Oxy) là B1 ( 3;1;0) .

Lúc đó, hình chiếu d/ của d trên mp(Oxy) là đường thẳng A1B1 .
uuuuu
r
Đường thẳng d/ qua A1 ( 1; −2;0) và có 1 vectơ chỉ phương là A1B1 = ( 2;3;0) , có phương
trình:
 x = 1+ 2t

d :  y = −2 + 3t .
z = 0

/

Hoàn toàn tương tự, độc giả tự giải quyết yêu cầu đối với mp(Oxz), mp(Oyz).
* Trên mặt phẳng ( α ) : x + y + z − 7 = 0 :

- Ta chọn A ( 1; −2;3) ∈ d . (Sử dụng thuật tốn hình chiếu vng góc điểm trên mặt
phẳng)

r
+ Đường thẳng d đi qua A ( 1; −2;3) , vng góc với ( α ) nên d nhận nα = ( 1;1;1) làm 1

 x = 1+ t

vectơ chỉ phương, có phương trình d :  y = −2+ t .
 z = 3+ t

 x = 1+ t
(1)

(2)
 y = −2 + t
+ Tọa độ hình chiếu A / của A là nghiệm của hệ phương trình: 
(3)
 z = 3+ t
 x + y + z − 7 = 0 (4)
5
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 1+ t + ( −2 + t ) + 3+ t − 7 = 0 ⇔ 3t − 5 = 0 ⇔ t = .
3
 8 1 14 
⇒ A /  ; − ; ÷.
3 3 3

- Để ý rằng, d khơng song song với mp ( α ) nên tọa độ giao điểm B/ là nghiệm của
 x = 1+ 2t
(1)

(2)
 y = −2 + 3t
hệ phương trình: 
(3)

 z = 3+ t
 x + y + z − 7 = 0 (4)
5
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 1+ 2t + ( −2 + 3t) + 3+ t − 7 = 0 ⇔ 6t − 5 = 0 ⇔ t = .
6
 8 1 23 
⇒ B/  ; ; ÷.
3 2 6 

Lúc đó, hình chiếu d/ của d trên mp ( α ) là đường thẳng A / B/ .


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

uuuuur  5 5 
1 14 
/8
/ /
A
;
−
;
Đường thẳng d qua
 3 3 3 ÷ và có 1 vectơ chỉ phương là A B =  0; 6 ; − 6 ÷, có





/


8
x = 3

1 5
/ 
phương trình d :  y = − + t .
3 6

14 5

z = 3 − 6t

Nhận xét: Trong cách giải trên, chúng tôi lấy thêm giao điểm (trong trường hợp cắt
nhau) của d và ( α ) cho nhanh gọn, cịn nếu thơng thường (và dễ hiểu) thì chọn 2
điểm và nếu như vậy thì bài giải tương đối dài dịng! Thuật tốn như sau:
+ Xác định A’ là hình chiếu của A trên
B

(α) .

A
d

+ Xác định B’ là hình chiếu của B trên

(α) .

d'

+ Đường thẳng d ≡ A B
/

/

/

α

A'

B'

Ví dụ 28: (HVBCVT-2000) (Bài tốn hình chiếu theo phương bất kì)

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z + 3 = 0 và hai đường

thẳng:
∆1 :

x− 3 y− 1 z− 1
x− 7 y− 3 z− 9
=
=
=
=
và ∆ 2 :

−7
2
3
1
2
−1

Viết phương trình hình chiếu của ∆ 2 theo phương ∆1 lên mặt phẳng ( α ) .
Bài giải:
Phân tích: Thực hiện hoàn toàn như bài tập trên, chỉ khác là dựng đường thẳng d
song song với ∆1 mà thôi!
 x = 3− 7t
x = 7+ t


Ta có: ∆ 1 :  y = 1+ 2t và ∆ 2 :  y = 3+ 2t
 z = 1+ 3t
 z = 9− t



+ Chọn A ( 7;3;9) ∈ ∆ 2 , B( 5; −1;11) ∈ ∆ 2 .

r
- Đường thẳng d đi qua A ( 7;3;9) , song song với ∆1 nên d nhận u∆1 = ( −7;2;3) làm 1

 x = 7 − 7t

vectơ chỉ phương, có phương trình d :  y = 3+ 2t .
 z = 9+ 3t




[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

 x = 7 − 7t
(1)

(2)
 y = 3+ 2t
- Tọa độ hình chiếu A / của A là nghiệm của hệ phương trình: 
(3)
 z = 9 + 3t
 x + y + z + 3 = 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 7 − 7t + ( 3+ 2t ) + 9 + 3t + 3 = 0 ⇔ −2t + 22 = 0 ⇔ t = 11.
⇒ A / ( −70;25;42) .

r
- Đường thẳng d đi qua B( 5; −1;11) , song song với ∆1 nên d nhận u∆1 = ( −7;2;3) làm 1

 x = 5− 7t

vectơ chỉ phương, có phương trình d :  y = −1+ 2t .
 z = 11+ 3t

 x = 5− 7t
(1)


(2)
 y = −1+ 2t
- Tọa độ hình chiếu A / của A là nghiệm của hệ phương trình: 
(3)
 z = 11+ 3t
 x + y + z + 3 = 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5− 7t + ( −1+ 2t ) + 11+ 3t + 3 = 0 ⇔ −2t + 18 = 0 ⇔ t = 9.
⇒ B/ ( −58;17;38) .

Lúc đó, hình chiếu d/ của ∆ 2 trên mp ( α ) là đường thẳng A / B/ .

uuuuur
/
Đường thẳng d/ qua A ( −70;25;42) và có 1 vectơ chỉ phương là A / B/ = ( 12; −8; −4) , có
 x = −70 + 12t
/ 
phương trình d :  y = 25− 8t .
 z = 42 − 4t


LOẠI 7: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.∆
 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
Cho điểm A và đường thẳng ∆
r uuuur 
u
, AM
Ta có: d( A ; ∆ ) =  r 
u

( A ∉ ∆)

A
r
đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương ru .
u
M
r
M′
u′

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau d, d′ .
r
+) d đi qua điểm M và có 1 vectơ chỉ phương u .
r
+) d′ đi qua điểm M ′ và có 1 vectơ chỉ phương u′ .

Ta có:

r r uuuuur
u,u′ .MM ′
d( d; d′ ) =
r r
u,u′

d′

M

r
u

d


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

(

)

(

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

)

 Đặc biệt: Nếu ∆ / / ∆ ' thì d ∆; ∆ ' = d A ; ∆ '

(

)

; A∈∆ .

Ví dụ 29: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 3;1;2) hai đường thẳng:
 x = 1− t

 x = 1+ t′


d :  y = 2 + 2t và d′ :  y = 3− 2t′
 z = 3t
z = 1


a) Chứng minh 2 đường thẳng d và d′ chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d′ .
c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d .
Bài giải:

r
a)Đường thẳng d đi qua điểm M ( 1;2;0) và có 1 vectơ chỉ phương u( −1;2;3) .
r
Đường thẳng d′ đi qua điểm M ′ ( 1;3;1) và có 1 vectơ chỉ phương u′ = ( 1; −2;0) .
r uuuuur
r r
r r uuuuur
u,u = ( 6;3;0) ≠ 0 ; MM ′ = ( 0;1;1) ; u,u .MM ′ = 3 ≠ 0 .
Suy ra: d và d′ chéo nhau.
r r uuuuur
u,u′ .MM ′
5
b) d( d;d′ ) =
.
=
r r
5

u,u′
r uuuur 

u
u
u
u
r
uuuur
u
, AM
r
c)Ta có: AM = ( −2;1; −2) ; u, AM  = ( −7; −8;3) ⇒ d( A ; d) =  r  = 122 = 427 .
14
u
14

Ví dụ 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai đường thẳng d , d′ và mặt cầu (S)
 x = 1− t
 x = 1+ 2t′


20
có phương trình d :  y = 2 + 2t ; d′ :  y = 1− 2t′ và (S) :(x − 1)2 + y 2 + z2 =
.
9
 z = 2t
 z = t′



a) Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H . Tìm
tọa độ điểm H .
b) Chứng minh đường thẳng d′ cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A , B . Tính
độ dài đoạn AB và tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB .
Bài giải:
r
Đường thẳng d đi qua điểm M ( 1;2;0) và có 1 vectơ chỉ phương u( −1;2;2) .
r
Đường thẳng d′ đi qua điểm M ′ ( 1;1;0) và có 1 vectơ chỉ phương u′ = ( 2; −2;1) .
2 5
Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;0;0) và bán kính R =
.
3
uuur
r uuur
20 2 5
a) +) IM = ( 0;2;0) ; u, IM  = ( −4;0; −2) ⇒ d( I ; d) =
=
= R.


3
3
Suy ra d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H .
uur
+) H ∈ d ⇒ H ( 1− t;2 + 2t;2t ) ; IH = ( −t;2 + 2t;2t ) .

(S)

I

R
d

H