Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG file word

[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Chủ đề 3:

I - LÝ THUYẾT:
1.

2.

a

Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vectơ
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của
r r
d
a'
a≠ 0
vectơ r song song hoặc trùng với đường thẳng .
a
d

d

Phương trình tham số - Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Đường thẳng đi qua

và có 1 vectơ chỉ phương
r
d
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
a = ( a1 ; a2 ; a3 )
+ Phương trình tham số của đường thẳng

d

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3

d:

(2)

(

là:

d

 x = x0 + at
1


 y = y0 + a2t (t ∈ R)
z = z + a t
0
3

là:
a

a1 .a2 .a3 ≠ 0

)

(1)

M0

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng
và
 x = x0/ + b1k
 x = x0 + at
1


d1 :  y = y0 + a2t
d2 :  y = y0/ + b2k
z = z + a t
z = z / + b k
0
3


0
3

Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương
.
r
d1
a = ( a1; a2 ; a3 )
Đường thẳng

d2

 Cách 1:

có 1 vectơ chỉ phương r
.
b = ( b1;b2 ; b3 )
Xét vị trí tương đối của

d1

và

d2

theo chương trình cơ bản:

Bước 1: Kiểm tra tính cùng phương của r và r .

a
b
Bước 2: Nhận xét:
+ Nếu r và r cùng phương thì:
a
d1 / / d2
b

d1 ≡ d2
+ Nếu r và r khơng cùng phương thì hoặc
cắt hoặc
và
chéo
a
d1
d2
d1
d2
b
nhau.
• TH1:

d1

cắt

d2

– Website chun đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

1


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Điều kiện 1: r và r không cùng phương .
a
b

d2

Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
.

 x0 + at
= x0′ + b1k (1)
1

 y0 + a2t = y0′ + b2k (2)
 z + a t = z′ + b k (3)
0
3
 0 3

Kết luận:

d1

cắt

d2

. (*) có nghiệm duy nhất

(t0 , k0 )

d1

tại điểm

M 0 ( x0 + at
; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 )
1 0

Lưu ý: Giải hệ (*) bằng cách: Từ (1) và (2) giải ra
(3) thoả thì

( t ;k )
0

• TH2:

d1

và

d2

d1

.

( t0; k0 )

và thay vào (3) (Nếu

, ngược lại thì khơng).

0

chéo nhau

Điều kiện 1: r và r không cùng phương .
a
b
Điều kiện 2: Giải hệ phương trình:
(*) vơ nghiệm.
 x0 + at
= x0′ + b1k (1)
1
d1

 y0 + a2t = y0′ + b2k (2)
 z + a t = z′ + b k (3)
0
3
 0 3
• TH3:

M0

.

song song với

d2

M0

d2

Điều kiện 1: r và r cùng phương .
a
b
Điều kiện 2: Chọn điểm
• TH4:

d1

và

d2

M 0(x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1

. Cần chỉ rõ

Điều kiện 2: Chọn điểm

d2
d1

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d1

. Cần chỉ rõ

M 0 ∈ d2

M0

.

rr
d1 ⊥ d2 ⇔ ab
. = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

 Cách 2: Xét vị trí tương đối của

-

.

trùng nhau

Điều kiện 1: r và r trùng nhau.
a
b

Đặc biệt:

M 0 ∉ d2

d1

và

d2

chương trình nâng cao theo sơ đồ

sau:
Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương uu
r
ud vµ M 0 ∈ d.

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

2


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
- Đường thẳng d’ có 1 vectơ chỉ phương uur
ud/ vµ M 0/ ∈ d.

u
u
r u

u
r
u , u 
d' 
 d

uur uur r
u ,u  = 0
 d d' 
uu
r uur
r
 u , u  = 0
  d d' 
r
r uuuuuuu
 uu
r
/

 ud , M 0 M 0  = 0



uur uur r
  u ,u  = 0
  d d' 
 uur uuuuuuur/ r
 ud , M 0 M 0  ≠ 0




Trùng nhau

uur uur r
u ,u  ≠ 0
 d d' 

uur uur r
 u , u  ≠ 0
  d d' 
 uur uur uuuuuuur/
 ud ,ud'  M 0 M 0 = 0



Song song

II- BÀI TẬP TỰ LUẬN MINH HỌA:

uur uur r
 u ,u  ≠ 0
  d d' 
 uur uur uuuuuuur/
 ud ,ud'  M 0 M 0 ≠ 0



Cắt nhau

Chéo nhau

LOẠI 1: XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
+ Vectơ

là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu giá của vectơ r song
r r
d
a
a≠ 0
song hoặc trùng với đường thẳng .
d
+ Nếu r là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng thì r
cũng là 1 vectơ chỉ
a
d
ka,( k ≠ 0)
phương của

.
d
+ Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng . Nếu có 2 vectơ r r khơng cùng
d
u
a, b
phương và

r hoặc
r r thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là r

r
u =  a,b
u ⊥ a
r r
u ⊥ b

.
r
r r
u = k  a,b , k ≠ 0
Ví dụ 1:

Trong

khơng

gian

A ( 1; −1; 2 ) , B( 2;3;1) , C ( 4; 2; 0 )

các mặt phẳng

với

hệ

; các đường thẳng

tọa

độ

Oxyz,

x = 1

∆1 :  y = 2 − 3t ( t ∈ R )
 z = 3 + 4t


cho
,

các

điểm

x −1 y z + 3
∆2 :
=
=
3
−3
2

;

,
. Tìm một vectơ chỉ phương của các
(P ) : x + 3y − 2z + 1 = 0 (Q) : 3x − z = 0

đường thẳng sau:
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

3


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN
a)
Đường thẳng .
∆1
b)

Đường thẳng

c)

Đường thẳng

d) Đường thẳng
e)

d2

d4

Đường thẳng

h)

Đường thẳng

j) Đường thẳng

và song song với

d3

qua

C

Oy

∆2

.

.

và vng góc với

(P )

.

qua , vng góc với
và .
Ox

B
∆1

g)

i) Đường thẳng

d1

A

.
AB
qua B và song song với

Đường thẳng

f) Đường thẳng

đi qua

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

d5 ⊂ (Q)
d6

qua

d7

qua

d8

qua

O

và vng góc với

∆2

là giao tuyến của hai mặt phẳng

B
A

vng góc với

∆2

.

(P ),(Q)

.

và song song với mặt phẳng

, cắt và vng góc với trục

Oz

(Oxy)

.

.

Bài giải:
a) Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là r
.
a= (0; −3; 4)
∆1
b) Đường thẳng

∆2

có 1 vectơ chỉ phương là r
. Ta có:
nên
d
/
/
∆
b = (3; −3; 2)
1
2

cũng là 1 vectơ chỉ phương của .

r
d1
b = (3; −3; 2)
c) Đường thẳng
d) Đường thẳng
e) Mặt phẳng

AB

có 1 vectơ chỉ phương là uuur
.
AB = (1; 4; −1)

d2 / /Oy

(P )

nên có 1 vectơ chỉ phương là r
.
j = (0;1; 0)

có 1 vectơ pháp tuyến là r
. Đường thẳng
nên
n1 = (1;3; −2)
d3 ⊥ (P )

có 1 vectơ chỉ phương là r
.
n1 = (1; 3; −2)

f)

Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng .
u4
d4
Ta có: r
,
chọn
.
r
r
r
r
 i , a = ( 0; −4; −3) u4 ⊥ i
u4 = ( 0; 4;3)
 
r
r⇒
u4 ⊥ a

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

4


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
g) Mặt phẳng
có 1 vectơ pháp tuyến là

. Gọi r là 1 vectơ chỉ
r
(Q)
u5
n = ( 3; 0; −1)
2

phương của đường thẳng

d5

. Ta có:

,
chọn
r
r
r r
n2 , b = (−3; −9; −9) u5 ⊥ n2


r ⇒
r
u4 ⊥ b

.
r
u5 = (1;3;3)
h) Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng . Ta có:
,

r r
u6
d6
n1 , n2  = ( −3; −5; −9 )
chọn
.
r
r
r
u6 ⊥ n1
u6 = ( 3;5;9 )
r ⇒
r
u6 ⊥ n2
i)

Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng . Mặt phẳng
có 1 vectơ
(Oxy)
u7
d7
pháp tuyến là r
.Ta có:
, r
chọn
.
r
r
r r
 n2 , k = ( −3;3; 0 ) u7 ⊥ n2

k = ( 0; 0;1)
u7 = ( 1; −1; 0 )


r ⇒
r
u7 ⊥ k
Gọi
. Ta có
là hình chiếu của
lên
. Vậy
A
H = d8 ∩ Oz
d8 ⊥ Oz
Oz ⇒ H ( 0; 0; 2 )
⇒H

 A ∈ d8

j)

d8
Ví dụ 2:
và

có 1 vectơ chỉ phương là uuur
.
OA = ( 1; −1; 0 )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng

( β ) : kx − y + 2z + 1 = 0

. Tìm

k

để giao tuyến của

a) vng góc với mặt phẳng
b) song song với mặt phẳng

(α ) , ( β )

( P ) : x − y − 2z + 5 = 0
( Q) :

( α ) : x + 3ky − z + 2 = 0

.

− x − y − 2z + 1 = 0

.

Bài giải:
Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là giao tuyến của
.
u
(α ) , ( β )

Mặt phẳng của
Mặt phẳng của
Ta có:

(α)
(β)

có 1 vectơ pháp là
có 1 vectơ pháp là

r
nα = ( 1;3k; −1) .
r
nβ = ( k; −1; 2 ) .

chọn
.
r r
r
r r
2
u ⊥ nα


u =  nα ,nβ  = 6k − 1; − k − 2; −3k − 1
r r ⇒
u ⊥ nβ

(

)

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

5


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN
a) Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến
với

mặt

phẳng

cùng

r r
⇔ u, nP

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
r
nP = ( 1; −1; −2 )

phương

. Đường thẳng d vng góc

r

r r
⇔ u,nP  = 0

(vơ

 −3k2 + 2 k + 3 = 0

⇔  −11k + 4 = 0
1 − 5k = 0


nghiệm).
Vậy không tồn tại giá trị

thỏa u cầu bài tốn.
k
b) Mặt phẳng (Q) có 1 vectơ pháp tuyến
.
r
nQ = ( −1; −1; −2 )
Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

rr
⇔ u.nP = 0

k = 0
2
2
⇔ −6 k + 1 − k − 2 + 3k + 1 = 0 ⇔ 3 k − 7 k = 0 ⇔ 
k = 7


3

.

LOẠI 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bước 1: Xác định

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d.

Bước 2: Xác định 1 vectơ chỉ phương

r
a = ( a1 ; a2 ; a3 )

Bước 3: Áp dụng cơng thức, ta có:
+ Phương trình tham số của

d:
+ Phương trình chính tắc của
d:

Ví dụ 3:

của đường thẳng

d

.

 x = x0 + at
1

y
=
y
+
a
t (t ∈ R)

0
2
 z = z + at
0
3

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; ( a1 , a2 , a3 ≠ 0 )
a1
a2
a3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng
∆1 :

và

 x = 2 + 2t


∆ 2 :  y = −1 − t
 z = 3t


x−1 y + 2 z
=
=
1
−1
2

. Viết phương trình:

a) tham số của đường thẳng

∆1

.

b) chính tắc của đường thẳng

∆2

.

Bài giải:

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

6


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
a) Đường thẳng
qua
và có 1 vectơ chỉ phương
, có phương
r
∆1
M ( 1; −2; 0 )
u = ( 1; −1; 2 )
trình tham số là:

b) Đường thẳng

x = 1 + t

 y = −2 − t
 z = 2t

∆1

qua

.

N ( 2; −1; 0 )

và có 1 vectơ chỉ phương

r
u = ( 2; −1;3)

, có phương

trình chính tắc là:

.
x− 2 y +1 z
=
=
2
−1 3
Chú ý: Nếu đề bài chỉ yêu cầu viết phương trình đường thẳng thì ta viết phương
trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng đều đượC.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
,
,
A ( 2; 0; −1) B( 2;3; −3)
C ( 1; 2; 4 )

,

D ( −1; 2;1)

; đường thẳng thẳng

. Viết phương trình của đường thẳng
a) Qua

A

d

x = t

∆1 :  y = −1 − t
 z = 2t


B,C

.

( α ) : 3x + 5y − z + 1 = 0

trong mỗi trường hợp sau:

và có 1 vectơ chỉ phương

b) Qua 2 điểm

; mặt phẳng

r
u = ( −1;3;5 )
c) Qua

.

M 0 ( 1; 2;3)

và song song với trục

tung.
d) Qua
f) Qua

C

D

và song song với
và vng góc với

∆1

.

(α )

e) Qua

B

và vng góc với

( Oxz)

.

.

Bài giải:
a) Đường thẳng d qua
và có 1 vectơ chỉ phương
, có
r
A ( 2; 0; −1)
u = ( −1;3;5 )
phương trình tham số là:

x = 2 − t

.
 y = 3t
 z = −1 + 5t


– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

7


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN

b) Đường thẳng d qua
và có 1 vectơ chỉ phương uuur
, có
B( 2;3; −3)
BC = ( −1; −1; 7 )
phương trình tham số là:

c) Đường thẳng

d

x = 2 − t

y = 3 − t .
 z = −3 + 7t

qua

và song song với trục Ox nên nhận

M 0 ( 1; 2;3) ∉ Ox

làm 1 vectơ chỉ phương, có phương trình tham số:
.
r
i = ( 1; 0; 0 )
x = 1 + t

y = 2
z = 3


d)Đường thẳng
đi qua điểm
. Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương
d
∆1
C ( 1; 2; 4 )
là

r
u = ( 1; −1; 2 )

. Ta có:

d / / ∆1 ⇒ d

trình chính tắc của đường thẳng

có 1 vectơ chỉ phương là

r
u = ( 1; −1; 2 )

. Vậy phương

.
x −1 y − 2 z − 4
=
=

1
−1
2
e) Đường thẳng
đi qua điểm
. Mặt phẳng
có 1 vectơ pháp
d
B( 2;3; −3)
( Oxz)
d

là:

tuyến là r
.
j = ( 0;1; 0 )
Đường thẳng

d

vng góc với

nên nhận r
làm 1 vectơ chỉ
j = (0;1; 0)

( Oxz)

phương. Vậy phương trình tham số của đường thẳng

f)Đường thẳng
là

r
n = ( 3;5; −1)

d

đi qua điểm

. Đường thẳng

d

D ( −1; 2;1)

d

là:

. Mặt phẳng

vng góc với

(α )

x = 2

y = 3 + t

 z = −3


(α)

nên nhận

chỉ phương. Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng

d

.

có 1 vectơ pháp tuyến

r
n = ( 3;5; −1)

là:

làm 1 vectơ

x+1 y − 2 z −1
=
=
3
5
−1

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

.

8


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
,
,
A ( 1;1; −1) B( 2; −1;3)
C ( 1; 2; 2 )

,

D ( −1; −2;1)

mặt phẳng
thẳng

d

; các đường thẳng thẳng

( α ) : x + 2y − z + 1 = 0

,

x+1 y z−1
∆2 :
= =
2
1
1

; các

. Viết phương trình của đường

( β ) : x + y + 2z + 3 = 0

trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua

A

và vng góc với các đường thẳng

b) Qua B và vng góc với đường thẳng
c) Qua O và song song với 2 mặt phẳng
d) Qua
e)

x = 2 + t

∆1 :  y = −1 − t
z = t



,

d

C

, song song với

(β)

AC

∆1 ,AB

và trục

( α ) , ( Oyz)

và vuông góc với

là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α) , ( β )

∆2

.
Oz.

.

.

.

Bài giải:
a) Đường thẳng
qua
. Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương
d
∆1
A ( 1;1; −1)
r
u1 = ( 1; −1;1)
có:

; uuur
. Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của . Ta
r uuur
u
d
AB = ( 1; −2; 4 ) ⇒ u; AB = ( −2; −3; −1)



chọn
. Vậy phương trình chính tắc của là

r r
r
d
x−1 y −1 z + 1
u ⊥ u1
u = ( 2;3;1)
=
=
.
 r uuur ⇒
2
3
1
u ⊥ AB
b) Đường thẳng
qua
; uuur
. Gọi r
uuur r
r
d
u
B( 2; −1;3) AC = ( 0;1;3) ; k = ( 0; 0;1) ⇒  AC , k = ( 1; 0; 0 )



là 1 vectơ chỉ phương của

chọn
.

r
r uuur
u
u = ( 1; 0; 0 )
⊥ AC
r r ⇒
u ⊥ k
Vậy phương trình tham số của là
d
x = 2 + t

 y = −1
z = 3

d

. Ta có:

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

9


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
c) Đường thẳng
qua
;
là 1 vectơ pháp tuyến của

r
d
O ( 0; 0; 0 ) n1 = ( 1; 2; −1)
(α ) ;
là 1 vectơ pháp tuyến của
Ta có:
.
r
r r
n1 , i  = ( 0; −1; −2 )
i = ( 1; 0; 0 )
( Oyz) ;


Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của . Ta có: r r
chọn
. Vậy
r
u
d
u ⊥ n1
u = ( 0;1; 2 )
r r ⇒
u ⊥ i
phương trình tham số của

d

là

d) Đường thẳng d qua

r
u2 = ( 2;1;1)

C ( 1; 2; 2 )

là 1 vectơ chỉ phương của

phương của

là

x = 0

y = t .
 z = 2t


d

. Ta có:

;

r
n2 = ( 1;1; 2 )

∆2 ;

Ta có:

là 1 vectơ pháp tuyến của

r r
n2 ,u2  = (−1;3; −1)

(β);

.Gọi r là 1 vectơ chỉ
u

chọn r
. Vậy phương trình chính tắc của
r r
d
u = (−1; 3; −1)
u ⊥ n2
⇒
r r
u ⊥ u2

x−1 y − 2 z − 2
=
=
.
−1
3
−1
e) Chọn điểm trên giao tuyến

d

:

Xét hệ phương trình:

. Cho
, giải được:
.
z= 0
x + 2y − z + 1 = 0
 x = −5 ⇒ A ( −5; 2; 0 ) ∈ d
(I)


x + y + 2z + 3 = 0
y = 2
+ Xác định vectơ chỉ phương của : Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của D. Ta có:
d
u

chọn
. Vậy phương trình tham số của :
.
r r
r
r r
d
u ⊥ n1

u = n1 , n2  = ( 5; −3; −1)
 x = −5 + 5t
r r ⇒

 y = 2 − 3t
u ⊥ n2
 z = −t

Ví dụ 6:
qua

Trong khơng gian với hệ tọa độ

A ( 2; −1;1)

Oxyz,

viết phương trình đường thẳng

cắt và vng góc với đường thẳng

a) Đường thẳng

∆

x = t

∆ :  y = −1 − t
z = t


Bài giải:
có 1 vectơ chỉ phương là

r
u = ( 1; −1;1)

d

.

.

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

10

đi


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Gọi
. Ta có:
.
uuur
r uuur
r uuur
B = d∩ ∆

B ∈ ∆ ⇒ B(t; −1 − t; t); AB = (t − 2; −t;t − 1); u ⊥ AB ⇔ u.AB = 0 ⇔ t = 1
Suy ra:

B( 1; −2;1)

. Đường thẳng

d

đi qua

và có 1 vectơ chỉ phương là

A ( 2; −1;1)

nên có phương trình tham số là:
.
uuur
x = 2 + t
AB = ( 1;1; 0 )

 y = −1 + t
z = 1

Ví dụ 7:

Trong khơng gian với hệ tọa độ

cho điểm

Oxyz,

và d:

A ( 3; 2; −4 )

và mặt phẳng (P):
.Viết phương trình đường thẳng
3x − 2 y − 3 z − 7 = 0
x − 2 y + 4 z −1
=
=
3
−2
2
∆ đi qua điểm A, song song với (P) và cắt đường thẳng D.
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Bước 1: Xác định điểm
.
B = d∩ ∆ : AB / / mp(P )
B
A
Ta có:

 x = 2 + 3t

d :  y = −4 − 2t
 z = 1 + 2t


. Gọi

B( 2 + 3t; −4 − 2t;1 + 2t ) ∈ d
P

Lúc đó: uuur
. Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp
r
nP = ( 3; −2; −3)
AB = ( 3t − 1; −2t − 6; 2t + 5 )
uuur r
6
AB / / mp(P ) ⇔ AB.nP = 3 ( 3t − 1) − 2 ( −2t − 6 ) − 3 ( 2t + 5 ) = 0 ⇔ 7t − 6 = 0 ⇔ t =
7
Bước 2: Đường thẳng
.
∆ ≡ AB
Vì vậy
.
uuur  11 54 47 
 32 40 19 
B ; − ; ÷ ⇒ AB =  ; − ; ÷
7 7
7 11 
 7
7

Đường thẳng

∆ ≡ AB

đi qua A và có 1 vectơ chỉ phương là

phương trình tham số:

 x = 3 + 11t

 y = 3 − 54t
 z = −4 + 47t


nên có

r
u = ( 11; −54; 47 )

.

Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình mp(Q) qua

A
Q

và song song với mp(P):

A
Bước 2: Xác định giao điểm B của d và mp(Q),

∆ ≡ AB

B

P

.

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

11


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Ví dụ 8:
(Khối A- 2007) Trong khơng gian với hệ tọa độ
viết phương trình
Oxyz,
đường thẳng d vng góc với mp(P), đồng thời cắt cả hai đường thẳng

 x = −1 + 2t
x y −1 z + 2

d1 : =
=
; d2 :  y = 1 + t ; (P ) : 7x + y − 4z = 0.
2
−1

1
z = 3

Cách 1:
B ớ c 1: Viết ph ơng trì
nh mp( ) chứa d1 và vuông góc vớ i (P).
B ớ c 2: Viết ph ơng trì
nh mp( ) chứa d2 và vuông góc vớ i (P).
B ớ c 3: Đ ờng thẳ
ng cần tì
m là giao tuyến của mp( ) và mp( )
Kiểm tra sự cắ
t nhau. (Mối quan hệgiữa vectơchỉph ơng)

d



Hng dn gii:

B ớ c 3: Đ ờng thẳ
ng cần tì
m đi qua A và vuông góc vớ i mp(P)
Kiểm tra sự cắ
t nhau. (Mối quan hệgiữa vectơchỉph ơng)

,

d2

d2

P

P

d
d2

d1



A

Cỏch 3: Sử dụng kỹ năng khái niệm “thuộc” (Tìm ra 2 giao điểm M,d N)
M
Ta có:
 x = 2m
 x = −1 + 2t
N
d2


d1 :  y = 1 − m ; d2 :  y = 1 + t
d1
 z = −2 + m
z = 3



P
Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến là
.
r
nP = ( 7;1; −4 )
Gọi

N = d∩ d1 , M = d∩ d2

. Ta có:

N ( 2m;1 − m; −2 + m) ∈ d1 , M ( −1 + 2t;1 + t; 3) ∈ d2

.

.
uuuur
⇒ NM = ( 2t − 2m− 1;t + m;5 − m)
Lúc đó ta có uuuur và r cùng phương
nP
NM

⇒ N ( 2; 0; −1) , M ( −5; −1;3)

với

β

d1

Cách 2:
B í c 1: Viết ph ơng trì
nh mp( ) chứa d1 và vuông góc vớ i (P).
B ớ c 2: Xác định giao điểm A của d2 và mp( )

d1

4t 3m− 5 = 0
uuur r
r
t = −2

⇔  AB, nP  = 0 ⇔ 8t − 15m+ 31 = 0 ⇔ 


m= 1
 −5t − 9m− 1 = 0


.

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

12


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Đường thẳng

, qua
và có 1 vectơ chỉ phương là
, có
r
d ≡ NM
N ( 2; 0; −1)
n = ( 7;1; −4 )
P

phương trình tham số:

Ví dụ 9:

 x = 2 + 7t

y = t
 z = −1 − 4t


.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp

(α )

đi qua

.
x y −1 z
∆: =

=
2
1
−3
Bài giải:
Đường thẳng
có 1 vectơ chỉ phương là
.
r
∆
u = ( 2;1; −3)
A ( 3; −2;1)

và vuông góc với

Mặt phẳng

(α)

đi qua

A ( 3; −2;1)

và vng góc với

vectơ pháp tuyến, có phương trình:

∆

nên nhận

r
u = ( 2;1; −3)

2 ( x − 3) + 1( y + 2 ) − 3 ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x + y − 3z − 1 = 0

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mp

(S)

có phương trình như sau:
a)Chứng minh:
b)Gọi

I

a)Mặt cầu

(S)

( α ) : x + y + z + 5 = 0, (S) : ( x − 2 ) + ( y + 1)

cắt

(α)

2

(S)

có tâm

IH

(S)

H
đi qua

Bài giải:
, bán kính

R=5

.

và mặt cầu

(α )
.

+ z = 25

H

2

.

. Viết phương trình đường thẳng

I (2; −1; 0)

theo một đường trịn có tâm
b)Đường thẳng

theo một đường trịn có tâm

(S)

là tâm mặt cầu

2

làm 1

IH

. Ta có:

d(I ,(α )) =

.

6
3

< R⇒ (

α)

cắt

.

I (2; −1; 0)

và nhận VTPT của

vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc:

x− 2 y +1 z
=
=
1
1
1

(α)

là r
làm
n = (1;1;1)

.

LOẠI 3: XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Dùng 1 trong 2 cách như trong phần lý thuyết.
Ví dụ 11: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

13


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN
a)
.
/
 x = 2 + 2t
x = 1 + t


∆1 :  y = 2t
; ∆ 2 :  y = 3 + 4t/
z = 3 − t
 z = 5 − 2t/



HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
b)

 x = 2 − 3t
x− 3 y − 4 z− 5

∆1 :
=
=
; ∆ 2 :  y = 5 + 3t

−1
1
−2
 z = 3 − 6t


 x = 1 + 3t/
 x = 2t


d) ∆1 :  y = −1 + 3t ; ∆ 2 :  y = −2 + 2t/
z = t
 z = 1 + 2t/



 x = 2 − 2t
x−1 y − 2 z + 3

c) ∆1 :
=
=
; ∆ 2 :  y = −2 + t
1
3
−1
 z = 1 + 3t


Bài giải:

a) Đường thẳng
đi qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương
.
r
∆1
M ( 1; 0;3)
a = ( 1; 2; −1)
Đường thẳng

∆2

đi qua điểm

và có 1 vectơ chỉ phương r
.
N ( 2;3;5 )
b = ( 2; 4; −2 )

Ta có:

, uuuur
.
r , uuuur
r
r r
r
 a,b = 0 MN = ( 1;3; 2 )  a, MN  = ( 7; −3;1) ≠ 0 ⇒ ∆ / / ∆
1
2

 


b) Đường thẳng
đi qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương
.
r
∆1
M ( 3; 4;5 )
a= ( −1;1; −2 )

Đường thẳng

∆2

đi qua điểm

N ( 2;5; 3)

và có 1 vectơ chỉ phương r
.
b = ( −3;3; −6 )

Ta có:

, uuuur
.
r , uuuur
r

r r
r

 a,b = 0 MN = ( −1;1; −2 )  a
, MN = 0 ⇒ ∆1 ≡ ∆ 2
 


c) Đường thẳng
đi qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương
.
r
∆1
M ( 1; 2; −3)
a = ( 1;3; −1)

Đường thẳng

∆2

đi qua điểm

và có 1 vectơ chỉ phương r
.
N ( 2; −2;1)
b = ( −2;1;3)

Ta có:

,
chéo nhau.
r , uuuur
r r
r r uuuur
 a, b = ( 10; −1; 7 ) ≠ 0 MN = ( 1; −4; 4 )  a,b .MN = 35 ≠ 0 ⇒ ∆1 , ∆ 2
 
 
d)Đường thẳng
đi qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương
.
r
∆1
M ( 0; −1; 0 )
a= ( 2;3;1)

Đường thẳng

∆2

đi qua điểm

và có 1 vectơ chỉ phương r
.
N ( 1; −2;1)
b = ( 3; 2; 2 )

Ta có:

,
cắt nhau.
r , uuuur
r r
r r uuuur
 a,b = ( 4; −1; −5 ) ≠ 0 MN = ( 1; −1;1)  a,b .MN = 0 ⇒ ∆1 , ∆ 2
 
 
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ
xác định vị trí tương đối của cặp
Oxyz,
đường thẳng sau theo

A ( 4; 2; 2 ) , B( 0; 0; 7 )

với

 x = 1 + mt

dm :  y = m+ 2t
 z = 1 − m− 3t


và

 x = m− 2t/

/
dm
:  y = mt/

.
 z = 1 − m+ t/


Bài giải:

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

14


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Đường thẳng
qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương là .
dm
d2
A ( 1; m;1 − m)
Đường thẳng

r
u2 = ( −2; m;1)
Ta có:
Xét

/
dm

qua điểm

.

r
r r
u1 ,u2  = 2 + 3m; 6 − m; m2 + 4 ≠ 0

(

)

do (

TH 2:

dm
 m= 2
r r uuur

u1 ,u2  .AB = 0 ⇔
⇔
 m= − 1

4
dm
m≠ 2
r r uuur

u1 ,u2  .AB ≠ 0 ⇔ 

1⇔
 m≠ − 4

Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ

 x = 1+ 2t/

d2 :  y = a+ 4t/
 z = 2 − 2t/

a)

d1

. Xác định

Đường thẳng

d1

a

vng góc với

Bài giải:
Đường thẳng

b)

) và uuur

.
m + 4 ≠ 0 ∀m
AB = ( m− 1; −m; 0 )
2

.
r r uuur
2
u1 ,u2  .AB = ( 2 + 3m) ( m− 1) − m( 6 − m) = 4m − 7m− 2
TH 1:

a)

và có 1 vectơ chỉ phương là

B( m; 0;1 − m)

vng góc với

d1
d2

và

/
m

cắt nhau.

d

và

/
dm

Oxyz,

chéo nhau.

cho hai đường thẳng

 x = 5+ t

d1 :  y = at
 z = 2− t


để:

d2

. b)

d1

song song với

có 1 vectơ chỉ phương là
có 1 vectơ chỉ phương là

d2

.

r
u1 = ( 1; a; −1)

.

r
u2 = ( 2;4; −2)

.

r
r
r r
d2 ⇔ u1 ⊥ u2 ⇔ u1.u2 = 0 ⇔ 2+ 4a+ 2 = 0 ⇔ a = −1.

song song với

r
r r cùng phương
r r
d1
d2 ⇒ u1 , u2
⇔ u1 ,u2  = ( −2a+ 4;0;0) = 0 ⇔ a = 2.
Kiểm tra lại: Với
thì

và
.
/
a= 2
 x = 1+ 2t
 x = 5+ t


d1 :  y = 2t
d2 :  y = 2 + 4t/
 z = 2− t
 z = 2 − 2t/


– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

15

và


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Chọn
, thấy
(do hệ phương trình
vơ nghiệm)
A ∉ d2
5 = 1+ 2t/

A ( 5;0;2) ∈ d1

/
0 = 2 + 4t
2 = 2 − 2t/

Vậy khi

a= 2

thì

d1

song song với

d2

.

Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ

 x = 2 + 2t

∆ 2 :  y = 3+ 4t/
 z = 5− 2t/


Oxyz,

cho hai đường thẳng

và

 x = 1+ t

∆1 :  y = 2t
 z = 3− t


.

/

a) Chứng minh

∆1

và

∆2

cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

∆1

và

∆2

.

Bài giải:
Đường thẳng
qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương là
.
r
∆1
A ( 1;0;3)
u1 = ( 1;2; −1)
Đường thẳng
a) Ta có:

∆2

qua điểm

B( 2;3;5)

và có 1 vectơ chỉ phương là

r
u2 = ( 2;4; −2)

.

.

r và uuur
r r
u1 ,u2  = 0
AB = ( 1;3;2)

Xét

và
song song, tức là
và
cùng
uuur r
r . Từ đó suy ra,
∆
∆
∆
∆
 AB,u  = ( −7;3; −1) ≠ 0
1
2
1
2
1

thuộc một mặt phẳng.
b) Gọi r là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP
Ta có:

uuur r

uuur chọn r
r
nP =  AB,u1  = ( −7;3; −1) .
nP ⊥ AB


r
r ⇒
nP ⊥ u1
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua
và có 1 vectơ pháp tuyến là
r
A ( 1;0;3) ∈ ∆ 1
nP = ( −7;3; −1) .
(P):

−7( x − 1) + 3( y − 0) − 1( z − 3) = 0 ⇔ −7x + 3y − z + 10 = 0

.

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

16


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN
Ví dụ 15: Trong khơng gian với hệ tọa độ

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

Oxyz,

hai đường thẳng

x− 2 y+ 2 z − 1
∆1 :
=
=
1
3
−1

và

viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

 x = 2 − 2t

∆ 2 :  y = −2 + t .
 z = 1+ 3t


Bài giải:
Ta có:

x = 2+ t

∆1 :  y = −2 + 3t
 z = 1− t



Đường thẳng
Đường thẳng

∆1

qua điểm

∆2

qua điểm

A ( 2; −2;1)
A ( 2; −2;1)

và có 1 vectơ chỉ phương là
và có 1 vectơ chỉ phương là

r
u1 = ( 1;3; −1)
r
u2 = ( −2;1;3)

.
.

a) Ta có:

.

r và
r r
u1 ,u2  = ( 10; −1;7) ≠ 0
∆ 1 ∩ ∆ 2 = { A}
Từ đó suy ra,
và
cắt nhau.
∆1
∆2
b) Gọi r là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP
Ta có:

chọn
r
r
r
r r
nP ⊥ u1
nP = u1 ,u2  = ( 10; −1;7) .
r ⇒
r
n
⊥
u
 P
2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua
và có 1 vectơ pháp tuyến là
A ( 2; −2;1) ∈ ∆1

r
nP = ( 10; −1;7) .
(P):

10( x − 2) − 1( y + 2) + 7( z − 1) = 0 ⇔ 10x − y + 7z − 29 = 0

Ví dụ 16: Trong

khơng

3− x y − 1 z − 1
∆1 :
=
=
7
2
3

và

a) Chứng minh

∆1

gian

với

hệ

x = 8+ t

∆ 2 :  y = 5+ 2t
 z = 8− t

và

∆2

tọa

độ

Oxyz,

.
cho

hai

đường

thẳng:

.

chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

∆1

và song song với

∆2

.

Bài giải:

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

17


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Đường thẳng
qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương là
.
r
∆1
A ( 3;1;1)
u1 = ( −7;2;3)
Đường thẳng
a) Ta có:
Xét

∆2

qua điểm

B( 8;5;8)

r
r r
u1 ,u2  = ( −8; −4; −16) ≠ 0

và có 1 vectơ chỉ phương là

r
u2 = ( 1;2; −1)

.

và uuur
.
AB = ( 5;4;7)

. Từ đó suy ra,
và
chéo nhau.
r r uuur
∆
∆
u1,u2  .AB = −40 − 16 − 112 = −168 ≠ 0
1
2

b) Gọi r là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP
Ta có: r
chọn
r
r
r r
nP ⊥ u1
nP = u1 ,u2  = ( −8; −4; −16) .
r ⇒
r
nP ⊥ u2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua
và có 1 vectơ pháp tuyến là
A ( 3;1;1) ∈ ∆ 1
r
nP = ( −8; −4; −16) .
(P):

−8( x − 3) − 4( y − 1) − 16( z − 1) = 0 ⇔ 2x + y + 4z − 11 = 0

Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

.

cho 2 đường thẳng

x = 8+ t

d1 :  y = 5+ 2t
z = 8− t


và

.
3− x y − 1 z − 1
d2 :
=
=
7
2
3
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng

chéo nhau.
d1 , d2
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O, song song với

và

d1

.
c) Viết phương trình đường vng góc chung của 2 đường thẳng

d1

và

d2

.

Bài giải:
Đường thẳng
qua điểm
và có 1 vectơ chỉ phương là
.
r
d1
A ( 8;5;8)
u1 = ( 1;2; −1)
Đường thẳng
a) Ta có:
Xét

d2

qua điểm

B( 3;1;1)

r
r r
u1 ,u2  = ( 8;4;16) ≠ 0

và có 1 vectơ chỉ phương là

r
u2 = ( −7;2;3)

.

và uuur
.
AB = ( −5; −4; −7)

. Từ đó suy ra,
và
chéo nhau.
r r uuur
d
d
u1,u2  .AB = −40 − 16 − 112 = −168 ≠ 0
1
2
b) Gọi r là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

18

d2

[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Ta có: r
chọn
r
r
r r
nP ⊥ u1
nP = u1 ,u2  = ( 8;4;16) .
r ⇒
r
n
⊥
u
 P
2
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua
và có 1 vectơ pháp tuyến là
có
r
O ( 0;0;0)
nP = ( 8;4;16) ,
phương trình:
(P):
.
8( x − 0) + 4( y − 0) + 16( z − 0) = 0 ⇔ 2x + y + 4z = 0
c) Gọi

d

là đường vng góc chung của

Ta có:

d1

và

,

d2 d∩ d1 = { M } ,d∩ d2 = { N }

M ∈ d1 ⇒ M (8 + t;5+ 2t;8 − t), N ∈ d2 ⇒ N (3− 7t′;1+ 2t′;1+ 3t′)
.
uuuur
MN = ( −7t′ − t − 5;2t′ − 2t − 4;3t′ + t − 7)
r uuuur
r uuuur
u
u
⊥ MN
.MN
−7t′ − t − 5+ 4t′ − 4t − 8 − 3t′ − t + 7 = 0
1
uuuur ⇔  r1 uuuur ⇔ 
r
 49t′ + 7t + 35+ 4t′ − 4t − 8 + 9t′ + 3t − 21 = 0
u2 ⊥ MN
u2.MN

.

,

r
u2

d2

N

d
M
r
u1

d1

.

uuuur
−6t′ − 6t = 6
t′ = 0
⇔
⇔
⇒ M ( 7;3;9) , N ( 3;1;1) ⇒ MN = ( −4; −2; −8)
62t′ + 6t = −6 t = −1
Vậy đường thẳng
đi qua điểm

và có 1 vectơ chỉ phương
r
d ≡ MN
N ( 3;1;1)
u = ( 2;1;4)
nên có phương trình chính tắc là

.
x− 3 y− 1 z− 1
d2 :
=
=
2
1
4
Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ
cho 4 đường thẳng:

Oxyz,

.
y
−
2
y
−
2
y
y
x− 1

z
x− 2
z
x
z−1
x− 2
z−1
d1 :
=
=
, d2 :
=
=
, d3 : = =
, d4 :
= =
1
2
−2
2
4
−4
2 1
1
2
2 −1
a) CMR: Hai đường thẳng
cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Viết phương
d1 , d2
trình

mặt phẳng đó.
b) CMR: Tồn tại một đường thẳng

∆

cắt cả 4 đường thẳng đã cho. Viết phương

trình
chính tắc của đường thẳng

a) Đường thẳng
Đường thẳng

d2

d1

qua điểm

qua điểm

∆

.

A ( 1;2;0)

B( 2;2;0)

Bài giải:

và có 1 vectơ chỉ phương là

và có 1 vectơ chỉ phương là

r
u1 = ( 1;2; −2)

r
u2 = ( 2;4; −4)

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

.

.

19


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
a) Ta có:
. Xét
r và uuur
r . Từ đó suy ra,
r r
r uuur 
d1


u1 ,u2  = 0
AB = ( 1;0;0)
u , AB = ( 0; −2; −2) ≠ 0
 1

và
song song, tức là
và
cùng thuộc một mặt phẳng.
d2
d1
d2
Gọi r
là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm. Ta có:
chọn
r
r
nP
nP ⊥ u1
uuur ⇒
r
n
⊥
 P AB
u
u
u
r
r
r

nP = u1 , AB = ( 0; −2; −2) .


Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua
và có 1 vectơ pháp tuyến là
r
A ( 1;2;0) ∈ ∆ 1
nP = ( 0; −2; −2) .
(P):

0( x − 1) − 2( y − 2) − 2( z − 0) = 0 ⇔ y + z − 2 = 0

b) Ta có

.

.

 x = 2m
 x = 2+ 2n


d3 :  y = m , d4 :  y = 2n
 z = 1+ m
 z = 1− n


+ Tọa độ giao điểm C của
và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
d3

 x = 2m
(1)

(2)
y = m

(3)
 z = 1+ m
 y + z − 2 = 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:

.

2m− 1 = 0 ⇔ m=
+ Tọa độ giao điểm D của
 x = 2 + 2n (1)

(2)
 y = 2n

(3)
 z = 1− n
 y + z − 2 = 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:

d4

1
 1 3
⇒ C  1; ; ÷

2
 2 2

và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:

n − 1= 0 ⇔ n = 1⇒ D ( 4;2;0)

.

Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa u cầu bài tốn là đường thẳng

∆ ≡ CD

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

.

20


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Đường thẳng
qua
và có 1 vectơ chỉ phương là
, có
∆
r 2 uuur
D ( 4;2;0)

u = CD = ( 2;1; −1)
3
phương trình

 x = 4 + 2t

∆ :  y = 2+ t .
 z = −t


Ví dụ 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ

;
x = t

d1 :  y = −1− 2t
 z = −3t
d2 :



4
x = − 5 − t

3

 y = − − 2t
5

 z = −5t




Oxyz,

. Chứng minh A,

cho điểm

d1

và

d2

A ( 1; −1;1)

và 2 đường thẳng

cùng thuộc một mặt phẳng.

Bài giải:
+ Lập phương trình mp(P) chứa A và :
d1
Đường thẳng
Chọn

d1

có 1 vectơ chỉ phương là

B( 0; −1;0) ∈ d1

r
u = ( 1; −2; −3)

.

. Ta có: uuur
.
AB = ( −1;0; −1)

Gọi r là vectơ pháp tuyến của mp(P) cần tìm.
nP
Ta có:

uuur chọn r
r uuur 
r
u
n
n
=
, AB = ( 2;4; −2) .
⊥
AB
P


 rP r ⇒

n
⊥
u
 P
Lúc đó, mặt phẳng (P) đi qua
và có 1 vectơ pháp tuyến là
r
A ( 1; −1;1)
nP = ( 2;4; −2) .
(P):
+ Chỉ rõ

2( x − 1) + 4( y + 1) − 2( z − 1) = 0 ⇔ x + 2y − z − 2 = 0.

d2 ⊂ mp( P ) .

Từ đó suy ra

Ta có

.

 4 3 
C  − ; − ;0÷∈ d2 ⇒ C ∈ mp(P)
 5 5 

và

1 7 
D  ; ;5÷∈ d2 ⇒ C ∈ mp(P )

5 5 

d2 ⊂ mp( P ) .

Kết luận: Mặt phẳng (P):

x + 2y − z − 2 = 0

là mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán.

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

21

.


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
KHƠNG GIAN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG

LOẠI 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho đường thẳng

và mặt phẳng

 x = x0 + at
1


d :  y = y0 + a2t (t ∈ R)
z = z + a t
0
3


Xét hệ phương trình

 x = x0 + at
1

 y = y0 + a2t

 z = z0 + a3t
 Ax + by + Cz + D = 0


(1)
+Nếu (1) vơ nghiệm thì

d / /(P )

+Nếu (1) có nghiệm duy nhất
+Nếu (1) có vơ số nghiệm thì
Chú ý: Nếu VTCP của

d

.
t = t0

thì

d ⊂ (P )

d

cắt

;

x+ 4 y+ 1 z
 x = −t
d3 :
=
=

1
1
−2
d2 :  y = 1− 2t
z = t


a)Xét hệ phương trình:

(P )

tại

d2

Oxyz,

và mặt phẳng

và

M ( x0 + at
; y0 + a2t0 ; z0 + a3t0 )
1 0

.

Ví dụ 20: Trong khơng gian với hệ tọa độ

b)

.

⇒ A ( x0 + at
+ B( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = 0
1 )

cùng phương với VTPT của

Xét vị trí tương đối của:
a) và
.
(P )

d1

(P) : Ax + By + Cz + D = 0

(P )

.

(P )

thì

d ⊥ (P )

.

và 3 đường thẳng

(P ): x + y + z + 5 = 0

.

c)

d3

Bài giải:
, ta thấy hệ vô nghiệm. Suy ra

x = t


 y = −1+ 2t

 z = −3t
 x + y + x + 5 = 0

x = t

d1 :  y = −1− 2t
 z = −3t


và

(P )

d1 / /(P )

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

.

.

22

;


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
b) Xét hệ phương trình:
, Suy ra
cắt
tại điểm
(P )
d2
 x = −t
t = 3


 y = 1− 2t
 x = −3
⇔

z = t
 y = −5
 x + y + x + 5 = 0  z = 3
M ( −3; −5;3)

.

c) Xét hệ phương trình:

, ta thấy hệ có vô số nghiệm. Suy ra
.
d3 ⊂ (P )
 x = −4 + t


 y = −1+ t

 z = −2t
 x + y + x + 5 = 0
Ví dụ 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
:
và
2
x
−
y
+
3
z
−
4
=
0
(α )
đường thẳng

x+ 1 y+ 3
∆:
=
=z
2
4

.

a) Xác định giao điểm A của đt

∆

và mặt phẳng

b) Viết phương trình đường thẳng

∆

d

(α )

.

qua A nằm trong mp

(α )

và vng góc với

.
Bài giải:

a) Ta có:

Tạo

độ

 x = −1+ 2t

∆ :  y = −3+ 4t
z = t

giao

điểm

.

A

của

∆

và

(α)

là

nghiệm

của

hệ

phương

trình:

 x = −1+ 2t
(1)

(2)
 y = −3+ 4t

(3)
z = t
2x − y + 3z − 4 = 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:
2( −1+ 2t ) − ( −3+ 4t ) + 3t − 4 = 0 ⇔ 3t − 3 = 0 ⇔ t = 1⇒ A ( 1;1;1)
b) Mặt phẳng
Đường thẳng

(α )
∆

có 1 vectơ pháp tuyến là

có 1 vectơ chỉ phương là

r
nα = ( 2; −1;3)

r
u∆ = ( 2;4;1)

.

.

Gọi r là 1 vectơ chỉ phương của D. Ta có: r
chọn
.
r
r
r r
ud
ud ⊥ nα
ud =  nα ,u∆  = ( −13;4;10)
r ⇒
r
ud ⊥ u∆
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

23


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Đường thẳng d qua
và có 1 vectơ chỉ phương là
, có phương
r
A ( 1;1;1)

ud = ( −13;4;10)
trình:
d:

 x = 1− 13t

 y = 1+ 4t
 z = 1+ 10t


.

Ví dụ 22: (DỰ BỊ D-2006) Trong không gian với hệ tọa độ

4x − 3y + 11z − 26 = 0

và 2 đường thẳng

a) Chứng minh:

d1 :

d1

và

d2

x y− 3 z+ 1
=

=
;
−1
2
3

Oxyz,
d2 :

cho mặt phẳng (P):

x− 4 y z − 3
= =
1
1
2

chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng

∆

nằm trên mp(P), đồng thời cắt

d1

và

d2

.

Bài gii:
B ớ c 1: Xác định giao điểm A của d1 và mp(P).

B ớ c 2: Xác định giao điểm B của d2 và mp(P).
Kết luận: Đ ờng thẳ
ng cần tì
m là đờng thẳ
ng AB.
Trỡnh by:
Ta cú:
x = −t
x = 4+ m


d1 :  y = 3+ 2t ; d2 :  y = m
 z = −1+ 3t
 z = 3+ 2m


+ Tọa độ giao điểm C của

d1

và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:

. Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có:
.

 x = −t
(1)
23t − 46 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ C ( −2;7;5)

(2)
 y = 3+ 2t

(3)
 z = −1+ 3t
4x − 3y + 11z − 26 = 0 (4)
+ Tọa độ giao điểm D của
và mp(P) là nghiệm của hệ phương trình:
d2
x = 4+ m

y = m

 z = 3+ 2m
4x − 3y + 11z − 26 = 0

(1)
(2)
(3)
(4)

.

Thay

23m+ 23 = 0 ⇔ m = −1⇒ D ( 3; −1;1)

(1),

(2),

(3)

vào

(4)

ta

có:

.

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

24


[…Chun đề Trắc nghiệm Tốn 12…]
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHƠNG GIAN
Lúc đó, dễ thấy đường thẳng thỏa yêu cầu bài tốn là đường thẳng
.
∆ ≡ CD
Đường thẳng
qua

và có 1 vectơ chỉ phương là uuur
, có phương
∆
C ( −2;7;5)
CD = ( 5; −8; −4)
trình

 x = −2 + 5t

∆ :  y = 7 − 8t .
 z = 5− 4t


LOẠI 5: HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho
điểm
P
d

A ( xA ; yA ; zA )

và đường thẳng

 x = x0 + at
1

d :  y = y0 + a2t (t ∈ R)
z = z + a t
0
3



r
ud

.

d

H

A

r
ud

Cách 1:
GọiA là H
hình chiếu của
lên . Ta c ó
.
d
H
A
H ∈ d ⇒ H ( x0 + at
; y0 + a2t; z0 + a3t )
1
Tính uuuu
r r
r

r ; uuuu
r uuuu
AH AH ⊥ ud ⇔ ud.AH = 0 ⇒ t = ? ⇒ H ?
Cách 2:
Gọi là hình chiếu của
lên .
d
H
A
+) Viết phương trình mặt phẳng
+) Khi đó tìm tọa độ điểm

H

(P )

thỏa

qua

b)Tìm tọa độ điểm

a)Đường thẳng

H

Ta có:

d

Oxyz,

cho điểm

A ( 1;0;0)

và đường thẳng

.

a)Tìm tọa độ điểm

Gọi

và vng góc với

{ H } = d∩ (P )

Ví dụ 23: Trong khơng gian với hệ tọa độ

 x = 2+ t

∆ :  y = 1+ 2t
z = t


A

∆

H
A′

là hình chiếu vng góc của điểm
đối xứng với

A

qua đường thẳng

Bài giải:
có 1 vectơ chỉ phương là

là hình chiếu vng góc của điểm

A

r
u = ( 1;2;1)

lên đường thẳng

A
∆

.

.

.

lên đường thẳng

∆

∆
.

∆A

uuuu
r
H ∈ ∆ ⇒ H ( 2 + t;1+ 2t;t ) ; AH = ( 1+ t;1+ 2t;t )

– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65

H

A′

r
u

25