hoctoancapba com tuyen tap bat dang thuc va cuc tri

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Đề thi –

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 1. ĐH A2014
Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
ĐS: Max P =

x2
y+z
1 + yz
+
−
2
x + yz + x + 1 x + y + z + 1
9

5
9

Bài 2. ĐH B2014
Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a+b)c >0.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. P =
ĐS: P có giá trị nhỏ nhất là

a
+
b+c

b
c
+
a + c 2 ( a + b)

3
2

Bài 3. ĐH D2014
Cho hai số thực x, y thỏa mãn các điều kiện 1 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
ĐS: minP =

P=

x + 2y
y + 2x
1
+ 2
+
.
x + 3y + 5 y + 3x + 5 4(x + y − 1)
2

7
8

Bài 4. (ĐH A2013)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c 2 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
ĐS : P min = P (2) = 1 –

32a 3
32b3
a 2 + b2
+
−
(b + 3c)3 (a + 3c)3
c

2

Bài 5. (ĐH B2013)
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=

4
a 2 + b2 + c2 + 4

−

9
.
(a + b) (a + 2c )(b + 2c)

Gv: Nguyễn Trần Quang Vinh

Trang 1

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Đề thi –

5
xảy ra khi a = b = c = 2
8

ĐS : maxP =

Bài 6. (ĐH D2013)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=

x+ y
x 2 − xy + 3 y 2

ĐS : Pmax =

−

x − 2y
6( x + y) .

1
7 + 10 5
khi x = , y = 2
2

30

Bài 7. (ĐH A2012)
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P=

x+ y
x − xy + 3 y
2

2

−

x − 2y
6( x + y) .

ĐS : min P = 3

Bài 8. (ĐH B2012)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức P = x 5 + y 5 + z 5 .
ĐS : max P = 5 6 36

Bài 9.

(ĐH D2012)

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

ĐS : MinA=

17 − 5 5
4

Bài 10. (ĐH A2011)
Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [ 1; 4] và x ≥ y , y ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

x
y
z
+
+
2x + 3y y + z z + x

ĐS : MinP =

34
33

Gv: Nguyễn Trần Quang Vinh

Trang 2


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
THPT Nguyễn Hữu Cảnh

Đề thi –

Bài 11. (ĐH B2011)
2
2
Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2 ( a + b ) + ab = ( a + b ) ( ab + 2 ) .

 a 3 b3   a 2 b 2 
+ 3 ÷− 9  2 + 2 ÷
3
a 
b a  b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4 
ĐS : MinP = −

Bài 12.

23
4

(ĐH D2011)

Tìm giá trị hỏ nhất của hàm số y = − x 2 + 4 x + 21 + − x 2 + 3x + 10
ĐS : min y = 2

Gv: Nguyễn Trần Quang Vinh

Trang 3