3 CD3 phuong trinh luong giac

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Chủ đề 3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:

Goùc
10 = 1 goùc
beït
180

2. Radian: (rad)

180 o

.

y

x

O

1800 = π rad

3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ
Radian

00
0

300
π
6

450
π
4

600
π
3

900
π
2

1200
2π
3

1350
3π
4

1500
5π
6

1800
π

II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:
(tia ngọn)
y

y

(điểm ngọn)

+

B

O

x

(Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z)

+

α

O

(tia gốc)

t

M

α

t

α

3600
2π

x

A (điểm gốc)

AB = α + k 2π

2. Đường tròn lượng giác:
¼ = a + k2p
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt: AM

M

A

→

B

→

C

→

D

→

A, C

→

B, D

→

2kπ
π + 2kπ
2
π + 2kπ
- π + 2kπ
2
kπ

π + kπ
2

y
B

C

+
x

A

O

D

−

61


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

y
B
1

III. Định nghĩa hàm số lượng giác:

u'

1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang

x'

−1
C

R =1
O

t
u
+
1
A

−1D

x
−

2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
t'
y'
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho ¼
.
AM = a
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
t
y
t
Trục sin

Trục cotang
U

B

u'

M

Q
t
x'

α

O

Trục cosin

P

+

T
α
A

cosα = OP
sinα = OQ

x
−

−1
y'

u

tanα

= AT

cotα = BU

Trục tang

t'

b. Các tính chất :
• Với mọi α ta có :
−1≤ sinα ≤ 1 hay sinα ≤ 1
−1≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1

π
+ kπ
2
• cot a xác định ∀α ≠ kπ
c. Tính tuần hoàn
•

tan a xác định ∀α ≠

sin(α + k2π )
cos(α + k2π )
tan(α + kπ )
cot(α + kπ )

=
=
=
=

sinα
cosα
tanα

cotα

(k ∈ Z )

62


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
y

t
3

- 3

- 3/3

-1

u'

2π /3
3π /4

B
1

π

u
π /4

2/2

π /6

1/2

- 3/2 - 2/2 -1/2

2/2

3/2

-π /6

-1
-π/2

-1

-π /3

y'

cos α

1

tan α

0

cot α

kxđ

300
π
6
1
2
3
2
3
3
3

−

- 3/3

-π /4

- 3/2

0

x

O

- 2/2

Hslg
sin α

+

1 A (Ñiem
å goá
c)

-1/2

00
0

3/3

1/2

-1

Góc

3

1

π /3

3/2

5π /6

x'

3/3

π/2

450
π
4
2
2
2
2
1

600
π
3

3
2
1
2

900
π
2
1

3

kxđ

1

3
3

0

0

t'

1200
2π
3
3
2

1
−
2
− 3
−

- 3

1350
3π
4
2
2
2
−
2
-1

3
3

-1

1500
5π
6
1
2
3
2

3
−
3
− 3
−

1800 3600
π
2π
0

0

-1

1

0

0

kxđ

kxđ

V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
63


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Đó là các cung :
1. Cung đối nhau

: α vaø-α

2. Cung bù nhau

: α vaøπ -α

( tổng bằng π )

3. Cung phụ nhau

π
: α vaø − α
2

( tổng bằng

4. Cung hơn kém

(tổng bằng 0)

π
π
& − ,…)

6
6
π 5π
&
(Vd:
,…)
6
6

(Vd:

π
)
2

π
π
: α vaø + α
2
2

5. Cung hơn kém π : α vaøπ + α

(Vd:

π π
& ,…)
6 3

(Vd:

π 2π
&
,…)
6
3

(Vd:

π 7π
&
,…)
6
6

1. Cung đối nhau:

2. Cung bù nhau:

cos(−α )
sin(−α )
tan(−α )
cot(−α )

cos(π − α )
sin(π − α )
tan(π − α )
cot(π − α )

= cosα

= − sinα
= − tanα
= − cotα

Bù sin

Đối cos

= − cosα
= sinα
= − tanα
= − cotα

3. Cung phụ nhau:

4. Cung hơn kém

π
cos( − α )
2
π
sin( − α )
2
π
tan( − α )
2
π
cot( − α )
2

π
cos( + α )
2
π
sin( + α )
2
π
tan( + α )
2
π
cot( + α )
2

= sinα
= cosα
= cotα

Phụ chéo

π
Hơn kém
2
sin bằng cos
cos bằng trừ sin

= tanα

π
:
2

= − sinα
= cosα
= −cotα
= − tanα

5. Cung hơn kém π :
cos(π + α )
sin(π + α )
tan(π + α )
cot(π + α )

= − cosα
= − sinα
= tanα
= cotα

Hơn kém π
tang , cotang

VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
64


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

cos2α + sin2 α = 1
sinα
tanα =
cosα
cosα
cotα =
sinα

1
cos2α
1
1+ cot2α = 2
sin α
tanα . cotα =1
1+ tan2α =

2. Công thức cộng:
cos(α + β ) = cosα .cosβ − sinα .sin β
cos(α − β ) = cosα .cosβ + sinα .sin β
sin(α + β ) = sinα .cosβ + sin β .cosα
sin(α − β ) = sinα .cosβ − sin β .cosα
tanα +tanβ
tan(α +β ) =
1− tanα .tan β
tanα − tanβ
tan(α − β ) =
1+ tanα .tan β

3. Công thức nhân đôi:

cos2 a =

1 + cos2a
2

sin2 a =

1- cos2a
2

cos2α = cos2 α − sin2 α
= 2cos2 α − 1
2

= 1− 2sin α
= cos4 α − sin4 α
sin2α = 2sinα .cosα
2tanα
tan2α =
1− tan2 α

1
sin α cos α = sin 2α
2

4 Công thức nhân ba:
cos 3α = 4 cos α − 3cos α
3

sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α

5. Công thức hạ bậc:
cos2 a =

1 + cos2a
;
2

6. Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan

sin2 a =

1- cos2a
;
2

cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α
4

sin 3 α =

3 sin α − sin 3α
4

tan2 a =

1- cos2a
1 + cos2a

α
:
2
65


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

sin a =

2t
;
1 + t2

cosa =

1- t2
;
1 + t2

tan a =

2t
1- t2

7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
1

[ cos(α + β ) + cos(α − β )]
2
1
sinα .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sinα .cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )]
2
cosα .cosβ =

8. Công thức biến đổi tổng thành tích:

α +β
α −β
cosα + cosβ = 2cos
.cos
2
2
α +β
α −β
cosα − cosβ = −2sin
.sin
2
2
α +β
α −β
sinα + sin β = 2sin
.cos
2
2

α +β
α −β
sinα − sin β = 2cos
.sin
2
2
sin(α + β )
tanα + tanβ =
cosα cosβ
sin(α − β )
tanα − tan β =
cosα cosβ
9. Các công thức thường dùng khác:

π
π
cosα + sinα = 2cos(α − ) = 2sin(α + )
4
4
π
π
cosα − sinα = 2cos(α + ) = − 2sin(α − )
4
4

3 + cos4a
4
5
+
3cos4

a
cos6 a + sin6 a =
8
cos4 a + sin4 a =

B. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
CÁC VÍ DỤ
66


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM-T TON

ổ
ổ pử
1
p ử
ỗ
sin a =
; pữ
sin
a+ ữ
ữ
ữ
Vớ d 1: Cho gúc a ẻ ỗ
m
.
Tớnh

ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố2 ứ
ố
6ứ
5
Bi gii
ổ
p ử
ữ
T h thc: cos2 a + sin2 a = 1 v a ẻ ỗ
ỗ ; pữ
ữ
ỗ
ố2 ứ
1
2
=5
5
ổ pử
3- 2
a+ ữ
=
Thay (2) vo (1) ta c: sin ỗ
ữ
ỗ

ữ 2 5
ỗ
ố
6ứ
Suy ra: cosa =- 1- sin2 a =- 1-

(2)

ổ
ử
3p
a
a
1
; 2pữ
ữ
Vớ d 2: Cho gúc a ẻ ỗ
m sin + cos =- . Tớnh sin 2a
ỗ
ữ
ỗ
ố2
ứ
2
2
2
Bi gii
a
a
1

1
3
T sin + cos =- ị 1+ sina = ị sina =2
2
2
4
4
ỡù
ùù cos2 a = 1- sin2 a = 1- 9 = 7
ù
16 16
ị cosa = 7
Do ùớ
ổ
ử
ùù
3
p
4
ữ
ỗ ;2pữ
ùù a ẻ ỗ
ữ
ữ
ỗ
2
ố
ứ
ùợ
Vy sin2a = 2sina .cosa =-

3 7
8

ổ 3p ử
ổ pử
9
p; ữ
a- ữ
ữ
ữ
Vớ d 3: Cho gúc a ẻ ỗ
m cos a =. Tớnh tan ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố 2ứ
ố
4ứ
41
Bi gii
ổ 3p ử
92
40
40
2
ữ

p; ữ
Do a ẻ ỗ
ỗ
ị
sin
a
=1
cos
a
=1
=ị tana =
ữ
2
ỗ
ữ
ố 2ứ
41
41
9
40
- 1
ổ pử
tan
a
1
31
9
ữ
=
=

=
Do ú tanỗ
. hoctoancapba.com
ỗa - ữ
ữ
ữ 1+ tana
ỗ
40 49
4ứ
ố
1+
9
1
Vớ d 4: Cho a l gúc m sin a = . Tớnh ( sin 4a + 2sin 2a ) cos a
4
Bi gii
Ta cú: ( sin4a + 2sin2a ) cosa = ( cos2a +1) .2sin2a .cosa
= 2cos2 a .4sina .cos2 a
2

ổ 1ử
1 225
ữ
ữ
= 8( 1- sin a ) .sina = 8ỗ
. =
ỗ1ữ
ữ 4 128
ỗ
ố 16ứ

2

2

Vớ d 5: Cho a l gúc m tan a = 2 . Tớnh P =

sin a
sin a + 3cos3 a
3

67


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

Bài giải
♥ Vì tana = 2 nên sina ¹ 0 , do đó:
1
2
sina
1+ cot2 a
sin
a
P= 3
=
=
sin a + 3cos3 a 1+ 3cot3 a 1+ 3cot3 a

( tan2 a +1) .tana ( 22 +1) .2 10
=
= 3
=
tan3 a + 3
2 +3
11

C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
1. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
sinu =sinv
cosu =cosv

 u =v+k2π
⇔ 
 u =π -v+k2π
 u =v+k2π
⇔ 
⇔ u = ± v +k2π
u
=
-v+
k2
π



tanu =tanv

⇔

u =v+kπ

cotu =cotv

⇔

u =v+kπ

π
+ kπ )
2
(u;v ≠ kπ )
(u;v ≠

( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k ∈ Z )
2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1:

Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác đã biết cách giải.

b. Phương pháp 2:

Biến đổi pt đã cho về dạng tích số.

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
 A=0
A.B = 0 ⇔ 
 B=0
c. Phương pháp 3:

hoặc

 A=0
A.B.C = 0 ⇔  B=0
 C=0

Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ.

Một số dấu hiệu nhận biết :
•

Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa).

•

Phương trình có chứa (cos x ± sin x) vaøsinx.cosx .
68


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

3. Các phương trình lượng giác thường gặp:
a. Dạng 1:
sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m
(Phương trình lượng giác cơ bản)
* Gpt : sinx = m (1)
•

Nếu m > 1 thì pt(1) vô nghiệm

•

Nếu m ≤ 1 thì ta đặt m = sin α và ta có

( ∀m ∈ R )

 x =α +k2π
(1) ⇔ sinx =sinα ⇔ 
 x =(π -α )+k2π
* Gpt : cosx = m (2)
•

Nếu m > 1 thì pt(2) vô nghiệm

•

Nếu m ≤ 1 thì ta đặt m = cos β và ta có

 x = β +k2π
(2) ⇔ cosx =cosβ ⇔ 
 x = − β +k2π

* Gpt: tanx = m (3)
( pt luôn có nghiệm ∀m ∈ R )
•

Đặt m = tan γ thì
(3) ⇔ tanx =tanγ ⇔ x =γ +kπ
( pt luôn có nghiệm ∀m ∈ R )

* Gpt: cotx = m (4)
•

Đặt m = cot δ thì
(4) ⇔ cotx =cotδ ⇔ x =δ +kπ

Các trường hợp đặc biệt:
sin x = −1 ⇔ x = −

y

π
+ k2π
2

B

⇔ x =kπ
π
sin x = 1
⇔ x = + k2π
2

cosx = −1 ⇔ x =π + k2π
π
cosx =0 ⇔ x = +kπ
2
cos x = 1 ⇔ x = k2π

+

sinx =0

C

x

A

O

D

−

b. Dạng 2:
asin2 x + bsin x + c = 0
acos2 x + bcos x + c = 0
atan2 x + btan x + c = 0

( a ≠ 0)

acot2 x + bcot x + c = 0

69


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM-T TON

(Phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc)
Cỏch gii:
t n ph : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta c phng trỡnh : at2 + bt + c = 0 (1)
Gii phng trỡnh (1) tỡm t, ri suy ra x
Chỳ ý : Phi t iu kin thớch hp cho n ph (nu cú)

c. Dng 3:

acos x + bsin x = c (1)

( a;b 0)

(Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cosx)
Cỏch gii:


Chia hai v ca phng trỡnh cho
(1)

t

a
2

2

a +b

a2 + b2 thỡ pt
a
b
c
cos x +
sin x =
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2

= cos vaứ

b
2

a + b2

= sin vi [ 0;2 ) thỡ :

(2) cosx.cos +sinx.sin =
cos(x- ) =

(2)

c

a2 + b2
Pt (3) cú dng 1. Gii pt (3) tỡm x.

c
2

a + b2
(3)

Chỳ ý :
Pt acosx +bsinx =c coựnghieọ
m a2 + b2 c2
d. Dng 4:
asin2 x + bsin x.cos x + c cos2 x = 0

(a;c 0)

(1)

(Phng trỡnh ng cp bc hai i vi sinx v cosx)
Cỏch gii 1:
1 cos2x
1+ cos2x
vaứcos2x =
2

2
1
v cụng thc nhõn ụi : sin x.cos x = sin2x thay vo (1) ta s bin i pt (1) v dng 3
2
2
p dng cụng thc h bc : sin x =

70


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM-T TON

Cỏch gii 2: ( Quy v pt theo tang hoc cotang )
Chia hai v ca pt (1) cho cos2 x ta c pt:
atan2 x + btan x + c = 0
õy l pt dng 2 ó bit cỏch gii.

Chỳ ý: Trc khi chia phi kim tra xem x =
e. Dng 5:


+ k cú phi l nghim ca (1) khụng?
2

a(cos x + sin x) + bsin x.cos x + c = 0

(1)

(Phng trỡnh i xng i vi sinx v cosx)
Cỏch gii :


i - 2 t 2
t t = cos x + sin x = 2cos(x ) vụự
4
t2 1
Do (cos x + sin x)2 = 1+ 2sin x.cos x sinx.cosx=
2
Thay vo (1) ta c phng trỡnh :


at + b


Chỳ ý :

t2 1
+ c = 0 (2)
2

Gii (2) tỡm t . Chn t tha iu kin ri gii pt:


2cos(x ) = t tỡm x.
4

a(cos x sin x) + bsin x.cos x + c = 0

Ta gii tng t cho pt cú dng :

CC V D
Vớ d 1: Gii phng trỡnh sin 5 x + 2 cos 2 x = 1

(1)

Bi gii
Ta cú:

ổ

pử

( 1) - cos ỗỗỗ5 x + ữ
ữ
ữ+ cos 2 x = 0
ố
2ứ


ổ
pử
cos ỗ
5x + ữ
ữ
ỗ
ữ= cos 2 x
ỗ

ố
2ứ



ộ
p
ờ5 x + = 2 x + k 2p
ờ
2
ờ
p
ờ
ờ5 x + =- 2 x + k 2p
ờ
2
ở



ộ
ờx =ờ
ờ
ờ
ờx =ờ
ở

p k 2p
+
6

3
p k 2p
+
14
7

(Bin i v pt c bn)

( k ẻ Â)

( k ẻ Â)
71


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM-T TON

Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x =Vớ d 2: Gii phng trỡnh sin 3 x Bi gii
Ta cú:

p k 2p
p k 2p
+
, x =+
6
3
14
7

3 cos 3 x = 2sin 2 x

( k ẻ Â) r

(1)

hoctoancapba.com

( 1)

1
3
sin 3 x cos 3 x = sin 2 x
2
2

ổ pữ
ử
sin ỗ
3x - ữ
= sin 2 x
ỗ
ữ
ỗ
ố
3ứ
ộ
ờ3 x ờ
ờ

ờ
ờ3 x ờ
ở

(Bin i v pt c bn)

p
= 2 x + k 2p
3
p
= p- 2 x + k 2p
3

ộ p
ờx = + k 2p
ờ 3
ờ
ờ 4p k 2p
+
ờx =
ờ 15
5
ở

( k ẻ Â)

p
4p k 2p
+
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = + k 2p, x =

3
15
5
Vớ d 3: Gii phng trỡnh 4 cos

5x
3x
cos + 2 ( 8sin x - 1) cos x = 5
2
2

( k ẻ Â ) .r
(1)

Bi gii
Ta cú:

( 1) 2 ( cos 4 x + cos x) +8sin 2 x - 2 cos x = 5
2 cos 4 x + 8sin 2 x - 5 = 0

4sin 2 2 x - 8sin 2 x + 3 = 0
ã sin 2 x =

(Bin i v pt bc hai theo sin2x)

3
: phng trỡnh vụ nghim
2

ộ

p
ờ2 x = + k 2p
1
p ờ
6
ã sin 2 x = sin 2 x = sin ờ

5p
2
6
ờ
ờ2 x = + k 2p
ờ
6
ở
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x =

ộ
p
ờx = + k p
ờ 12
ờ
ờ 5p
ờx = + k p
ờ
ở 12

p
5p
+ k p, x = +k p

12
12

Vớ d 4: Gii phng trỡnh 2 cos 5 x.cos 3 x + sin x = cos 8 x

( k ẻ Â)

( k ẻ Â ) .r

(1)

Bi gii

72


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

Ta cú:

HBM-T TON

( 1) cos8 x + cos 2 x + sin x = cos8 x
2sin 2 x - sin x - 1 = 0 = 0
ộsin x = 1
ờ
ờ
1
ờsin x =ờ

2
ở

(Bin i v pt bc hai theo sinx)

p
ã sin x = 1 x = + k 2p
2
ộ
p
ờx =- + k 2p
ổ pử
1
ờ
6
ã sin x =- sin x = sin ỗ
- ữ
ờ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 6 ứ ờ 7p
2
+ k 2p
ờx =
ờ
6
ở

( k ẻ Â)

p
p
7p
+k 2p
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = + k 2p; x =- + k 2p, x =
2
6
6
Vớ d 5: Gii phng trỡnh

2 ( sin x - 2 cos x ) = 2 - sin 2 x

( k ẻ Â ) .r

(1)

Bi gii
Ta cú:

( 1) 2 sin x - 2 2 cos x + 2sin x cos x - 2 = 0

(

)

sin x 2 cos x + 2 -

(

sin x ã sin x -

)(

(

)

2 2 cos x + 2 = 0

)

2 2 cos x + 2 = 0

(Bin i v pt tớch s)

2 = 0 sin x = 2 : phng trỡnh vụ nghim

ã 2 cos x + 2 = 0 cos x =-

2
3p
3p
cos x = cos
x = + k 2p
2
4
4

Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x =

3p
+ k 2p
4

Vớ d 6: Gii phng trỡnh sin x + 4 cos x = 2 + sin 2 x

( k ẻ Â)

( k ẻ Â ) .r

(1)

Bi gii
Ta cú:

( 1) sin x + 4 cos x - 2sin x cos x - 2 = 0
( sin x - 2) ( 2 cos x - 1) = 0

(Bin i v pt tớch s)

ã sin x - 2 = 0 sin x = 2 : phng trỡnh vụ nghim
ã 2 cos x - 1 = 0 cos x =

1
p
p
cos x = cos x = + k 2p
2

3
3

p
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = + k 2p
3

( k ẻ Â)

( k ẻ Â ) .r

73


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM-T TON

ổ
ử
p
- xữ
ữ
Vớ d 7: Gii phng trỡnh cos ỗ
ỗ
ữ+ sin 2 x = 0
ỗ
ố2
ứ

(1)

Bi gii
Ta cú:

( 1) sin x + 2sin x cos x = 0
sin x ( 1 + 2 cos x ) = 0

(Bin i v pt tớch s)

ã sin x = 0 x = k p
ã 1 + 2 cos x = 0 cos x =-

1
2p
2p
cos x = cos
x = + k 2p
2
3
3

Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = k p , x =
Vớ d 8: Gii phng trỡnh sin 3 x + cos 2 x - sin x = 0

2p
+ k 2p
3

( k ẻ Â ) .r

(1)

Bi gii
Ta cú:

( 1) 2 cos 2 x sin x + cos 2 x = 0 = 0
cos 2 x ( 2sin x +1) = 0

ã cos 2 x = 0 2 x =

p
p kp
+ kp x = +
2
4
2

(Bin i v pt tớch s)

( k ẻ Â)

ộ
p
ờx =- + k 2p
ổ pử
1
ờ
6

ã 2sin x +1 = 0 sin x =- sin x = sin ỗ
ờ
( k ẻ Â)
ữ
ỗ- ữ
ữ
ỗ
ố 6 ứ ờ 7p
2
+ k 2p
ờx =
ờ
6
ở
p kp
p
7p
+ k 2p
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = + , x =- + k 2p, x =
4
2
6
6
Vớ d 9: Gii phng trỡnh 2 cos 2 x + sin x = sin 3 x
Bi gii
Ta cú:

( k ẻ Â ) .r

(1)

hoctoancapba.com

( 1) 2 cos 2 x + sin x - sin 3 x = 0
2 cos 2 x - 2 cos 2 x sin x = 0
cos 2 x ( sin x - 1) = 0

(Bin i v pt tớch s)

p
p kp
+ kp x = +
( k ẻ Â)
2
4
2
p
ã sin x - 1 = 0 sin x =1 x = +k 2p ( k ẻ Â )
2
p kp
p
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x = + , x = +k 2p
4
2
2
ã cos 2 x = 0 2 x =

2

Vớ d 10: Gii phng trỡnh ( 1 + 2 sin x ) cos x =1 + sin x + cos x

( k ẻ Â ) .r
(1)

Bi gii
Ta cú:

( 1) 2 ( 1 + sin x) sin 2 x - ( 1 + sin x) = 0
74


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM-T TON

( 1 + sin x ) ( 2sin 2 x - 1) = 0
ã sin x =- 1 x =-

p
+ k 2p
2

(Bin i v pt tớch s)

( k ẻ Â)

ộ
ộ
p

p
ờ2 x = + k 2p
ờx = + k p
1
p ờ
ờ
6
ã 2sin 2 x- 1 = 0 sin 2 x = sin 2 x = sin ờ
ờ 12
( k ẻ Â)
5p
2
6
ờ
ờ 5p
ờ2 x = + k 2p ờx = + kp
ờ
ờ
6
ở 12
ở
p
p
5p
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x =- + k 2p, x = + k p, x = +k p ( k ẻ Â ) .r
2
12
12
ổ pử
x+ ữ

ữ
Vớ d 11: Gii phng trỡnh 1 + tan x = 2 2 sin ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố 4ứ

(1)

(Phng trỡnh lng giỏc cú iu kin)

Bi gii
iu kin: cos x ạ 0 x ạ
Ta cú:

( 1) 1 +


p
+ kp
2

sin x
= 2 ( sin x + cos x )
cos x

( sin x + cos x) ( 2 cos x - 1) = 0

ã sin x + cos x = 0 tan x =- 1 x =ã 2 cos x - 1 = 0 cos x =

(Bin i v pt tớch s)

p
+ kp
4

( k ẻ Â)

1
p
p
cos x = cos x = + k 2p
2
3
3

( k ẻ Â)

i chiu iu kin: cỏc nghim tỡm c u tha iu kin.
Vy nghim ca phng trỡnh ó cho l x =-

p
p
+ k p, x = + k 2p
4
3

( k ẻ Â ) .r

D. BI TP

Gii cỏc phng trỡnh
1) cos 5 x cos x + 2sin 3x = 0
3) 2 cos 3 x cos x =

1
+ cos 2 x
2

2) cos 7 x + cos 3x + 2 cos 5 x = 0
4) cos 3x + tan x sin 3 x = 1

5) cos 3 x + 3 sin 3 x = 2 cos x

6) cos 5 x + cos 2 x + sin 3 x sin 2 x = 0

7) sin 2 x + cos 2 x 3sin x cos x + 1 = 0

2
8) sin 2 x + cos 2 x + sin x 2 cos

x
=0
2
75


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM-TỔ TOÁN

9) 4 cos 4 x + 8sin 4 x = cos 4 x + 3

10) 4 cos3 2 x + 6sin 2 x = 3

π

π

11) 8cos x cos  − x ÷.cos  + x ÷+ 1 = 0
3

3


 13π

− x ÷= 1
12) sin x + sin 
 2


13) 1− 5sin x + 2cos2 x = 0

14)

15)

(

)

cos x 2sin x + 3 2 − 2 cos 2 x − 1
1 + s in2x

17) cot x − tan x + 4sin2x =
19) 2cos2 x + cot2 x =

=1

2
sin2x

sin3 x + 1
sin2 x

cos 2 x − 3 2 cos x + 3
=0
tan x − 1

2
16) 5sin x − 2 = 3( 1− sin x) tan x

18) cos2 3x cos2x − cos2 x = 0
20) cos2x − tan2 x =

cos2 x − cos3 x − 1
cos2 x



cos3x + sin3x 
21) 5 sin x +
÷ = cos2x + 3
1+ 2sin2x 


22) 4cos3 x − 3sin3x = 1+ 3cos x

23) cos7x − sin5x = 3 ( cos5x − sin7x)


2π
2
24) 2cos  − 2x÷+ 3cos4x = 4cos x − 1
4




π
25) sin3x − 3cos3x = 2sin 3x − ÷
3



π
26) 2sin 2x + ÷+ 4sin x = 1
6


x 7
2
2π
27) sin x cos4x − sin 2x = 4sin  − ÷−
 4 2 2

5x 
2π
2 9x
28) cos3x + sin7x = 2sin  + ÷− 2cos
2
4 2

 17π

2
2
+ 10x÷
29) sin 2x − cos 8x = sin
 2


30) 2sin2x − cos2x = 7sin x + 2cos x − 4

31)


π
2sin 2x + ÷ = 3sin x + cos x + 2
4



32) 2cos6x + 2cos4x − 3cos2x = sin2x + 3

-----------------------------Hết-------------------------------

76