4 CD4 phuong trinh bpt mu va logarit

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

Chủ đề 4
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. Tóm tắt lí thuyết

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các định nghĩa:
•
•
•
•
•
•

an = a.a...a
123

(n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R)

n thöø
a soá

1

a = a ∀a
a0 = 1 ∀a ≠ 0
1

a− n = n
(n∈ Z+ ,n ≥ 1,a∈ R / { 0} )
a
m
n
an = am
−

a

m
n =

1
m
an

( a > 0;m,n∈ N )
=

1
n m

a

2. Các tính chất :
•
•

am.an = am+ n

am
n

= am− n

•

a
(am)n = (an)m = am.n

•

(a.b)n = an.bn

•

a
an
( )n = n
b
b

3. Hàm số mũ:
Dạng : y = ax ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác định : D = R
x
• Tập giá trị :
T = R+ ( a > 0 ∀x∈ R )
• Tính đơn điệu:
*a>1

: y = ax đồng biến trên R
* 0 < a < 1 : y = ax nghịch biến trên R

77


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

•

HĐBM - TỔ TOÁN

Đồ thị hàm số mũ :
y

1

1

0
Đạo hàm của hàm số mũ:
ex ' = ex

( )
( e ) ' = e .u '
u

u

x

x

a>1
•

y

y=ax

y=ax

( a ) ' = a .ln a
( a ) ' = a . ln a

(với u là một hàm số)

x

x

u

u

. u'

(với u là một hàm số)

II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0

1. Định nghĩa:

Điều kiện có nghĩa:

dn

⇔

aM = N

log a N có nghĩa khi

a > 0

a ≠ 1
N > 0


loga N = M

2. Các tính chất :
•
•

loga 1= 0
loga a = 1

•

loga aM = M

•

alogaN = N
loga(N1.N2) = loga N1 + loga N2

•
•
•

N
loga( 1 ) = loga N1 − loga N2
N2
loga Nα = α .loga N

Đặc biệt : loga N2 = 2.loga N

78


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

3. Công thức đổi cơ số :

•

loga N = loga b.logb N

•

logb N =

loga N
loga b

* Hệ quả:
•

loga b =

1
logb a

log k N =

và

a

1
loga N
k

4. Hàm số logarít:

Dạng y = loga x ( a > 0 , a ≠ 1 )
• Tập xác định : D = R +
• Tập giá trị
T=R
• Tính đơn điệu:
*a>1
: y = loga x đồng biến trên R +
* 0 < a < 1 : y = loga x nghịch biến trên R +
• Đồ thị của hàm số lôgarít:
y

O

y

y=logax

y=logax

x

1

O

a>1

•

0

Đạo hàm của hàm số lôgarit:
1
( ln x ) ' =
x
u'
( ln u ) ' =
u
1
( log a x ) ' =
x ln a

( log a u ) ' =

u'
u.ln a

x

1

và

và

( ln x ) ' = 1x

và

( ln u ) ' = uu'

và

( log x ) ' = x ln1 a
a

u'
( log u ) ' = u.ln
a
a

(với u là một hàm số)

(với u là một hàm số)

79


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

III. PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LÔGARÍT
1. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
⇔ M=N

1. Định lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì :

aM = aN

2. Định lý 2: Với 0 < a <1 thì :

aM < aN ⇔ M > N (nghịch biến)

3. Định lý 3: Với a > 1 thì :

aM < aN ⇔ M < N (đồng biến )

4. Định lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N
5. Định lý 5: Với 0 < a <1 thì :

loga M < loga N ⇔ M >N (nghịch biến)

6. Định lý 6: Với a > 1 thì :

loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến)

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT:
Dạng cơ bản: ax = m (1)
•

m ≤ 0 : phương trình (1) vô nghiệm

•

m > 0 : ax = m ⇔ x = loga m

Dạng cơ bản: loga x = m
•

m
∀m∈ ¡ : loga x = m ⇔ x = a

a. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : aM = aN ; loga M = loga N
(Phương pháp đưa về cùng cơ số)
−x

2x−3

Ví dụ 1: Giải phương trình 0,125.4

 2
=
÷
 8 ÷



(1)

Bài giải
♥ Đưa hai vế về cơ số 2, ta được:
- x

( 1) Û 2 .2
- 3

4 x- 6

æ- 52 ö
=ç
2 ÷
÷
ç
÷
ç
è ø

5
5
3
x
Û 24 x- 9 = 2 2 Û 4 x - 9 = 2 x Û 2 x = 9 Û x = 6

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x = 6 r
80


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau
x +1

1) ( 1,5)

5 x- 7

2

- x

ổử
2ữ
=ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố3 ứ

4) 3x - 3 x +2 =

( 3)

ổử
1ữ
2) 4.2 = ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố4 ứ
x

3) 3x.23 x = 576

- 1+ x

Vớ d 2: Gii phng trỡnh log 2 ( x - 1) - 2 log 4 ( 3x - 2) + 2 = 0

(1)

Bi gii
ùỡ x - 1 > 0

iu kin: ùớ
ùùợ 3x - 2 > 0

ỡù x >1
ùù
x >1
ớ
ùù x > 2
3
ợù

(*)

Khi ú: ( 1) log 2 ( x - 1) - log 2 ( 3 x - 2) =- 2
log 2


x- 1
=- 2
3x - 2

x- 1
1
=
3x - 2 4

4 x - 4 = 3 x - 2 x = 2 [tha (*)]

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 2 r
Vớ d 3: Gii phng trỡnh log 2 x + log 3 x + log 6 x = log 36 x

(1)

Bi gii

iu kin: x > 0
p dung cụng thc log a c = log a b ìlog b c , ( 0 < a, b, c; a 1; b 1) , ta cú

( 1) log 2 x + log3 2 ìlog 2 x + log 6 2 ìlog 2 x = log 36 2 ìlog 2 x
log 2 x ( log 3 2 + log 6 2 + 1 log 36 2 ) = 0 ( *)
Do log 3 2 + log 6 2 + 1 log36 2 > 0 nờn

( *)

log 2 x = 0 x = 1

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 1 r
T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau
1) log 3 x + log 3 ( x + 2) =1
2
3) log ( x - 7 x + 6) = log ( x - 1) +1

5) log 1
3

1
32 x 1

1
= log 3 3 (2 + 3x 1 )
3

7) log 4 ( x +12) .log x 2 = 1
9) log 4 ( x + 3) log 2 ( x + 7 ) + 2 = 0

2) log 3 ( x - 1) + log 3 ( x - 2) = log 3 6
4) 2log2 ( 2x + 2) + log1 ( 9x 1) = 1
2

1
2
6) log 2 = log 1 ( x - x - 3)
x
2
8)

log1 ( x - 1) + log1 ( x + 1) - log 1 ( 7 - x) = 1
2

(

2

)

2

10) log 7 x + 2 + log 1 ( 8 x ) = 0
2

7

81


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

11) log 3 ( 2 x 7 ) + log 1 ( x + 5 ) = 0
3

2
Vớ d 4: Gii phng trỡnh: log3(x 1) + log 3(2x 1) = 2

(1)

Bi gii
ỡù x - 1 ạ 0

iu kin: ùớ
ùùợ 2 x - 1 > 0
Khi ú:

ỡù x ạ 1
ùù
ớ
ùù x > 1
ùợ
2

(*)

( 1) 2 log 3 x - 1 + 2 log 3 ( 2 x - 1) = 2
log 3 x - 1 + log 3 ( 2 x - 1) = 1
ự
log 3 ộ
ởx - 1 ( 2 x - 1) ỷ= 1
x - 1 ( 2 x - 1) = 3

ã Vi

1
< x <1 thỡ
2

(2)

( 2) ( 1- x) ( 2 x - 1) = 3 2 x 2 + 3x + 4 = 0 : phng trỡnh vụ nghim

ộ
1
ờx =ã Vi x >1 thỡ ( 2) ( x - 1) ( 2 x - 1) = 3 2 x - 3 x - 2 = 0 ờ
2
ờ
x
=
2
ờ
ở
2

( loaùi)

[tha (*)]

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 2 r
T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau
2
1) log 2 x = 2 log 2 ( 3 x + 4)

2

2) log2 ( x + 2) + log4 ( x - 5) + log1 8 = 0
2
2

3) 2 log 3 ( x - 2) + log 3 ( x - 4) = 0
4) log2 x - 2 + log2 x + 5 + log1 8 = 0
2

2
5) log 2 ( 1- 2 x + x ) = 2 log 2 ( 3 - x )

b. Phng phỏp 2: t n ph chuyn v phng trỡnh i s
Vớ d 5: Gii phng trỡnh 9 x - 4.3x - 45 = 0

(1)

Bi gii
t t = 3x vi t > 0 , phng trỡnh (1) tr thnh t 2 - 4t - 45 = 0

(2)

ột =- 5 ( loaùi )
( 2) ờ
ờ
ởt = 9

ã Vi t = 9 thỡ 3x = 9 x = 2
82


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 2 r
T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau hoctoancapba.com

1) 16 x - 17.4 x +16 = 0
2) 25 x + 6.5 x + 5 = 0
3) 32x+8 4.3x+5 + 27 = 0
4) 9 x +x- 1 - 10.3x +x- 2 +1 = 0
2

2

Vớ d 6: Gii phng trỡnh 3x+1 +18.3- x = 29

(1)

Bi gii
Bin i phng trỡnh (1) ta c

( 1) 3.3x +

18
= 29
3x

(2)

t t = 3x vi t > 0 , phng trỡnh (1) tr thnh 3t 2 - 29t +18 = 0

(3)

ộ 2
ờ=
t

( 3) ờ 3
ờ
ờ
ởt = 9
ã Vi t = 9 thỡ 3x = 9 x = 2
ã Vi t =

2
2
2
x
thỡ 3 = x = log 3
3
3
3

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 2; x = log 3

2
r
3

T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau
1) 5 x- 1 + 53- x - 26 = 0
2) 101+x - 101- x = 99
2

2

Vớ d 7: Gii phng trỡnh

6.9 x 13.6 x + 6.4x = 0

(1)

Bi gii hoctoancapba.com
Chia hai v phng trỡnh (1) cho 4 x ta c
2

x
x
ộổử
ổử
3 ữự
3ữ
ờ
ỳ
ỗ
ỗ
( 1) 6. ờỗỗ ữ
ữ
ỗ
ữỳ - 13.ố
ữ+ 6 = 0
ỗ2 ứ
ờố2 ứ ỷ
ỳ
ở

(2)

x

ổử
3ữ
2
t t = ỗ
ữ
ỗ
ữ vi t > 0 , phng trỡnh (1) tr thnh 6t - 13t + 6 = 0
ỗ
ố2 ứ

(3)

83


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

ộ 2
ờ=
t
ờ 3
( 3) ờ
ờ 3
ờt =

ờ
ở 2
x

ổử
3
3ữ 3
ã Vi t = thỡ ỗ
ữ
ỗ
ữ = 2 x =1
ỗ
ố2 ứ
2
x

ổử
2
3ữ 2
ã Vi t = thỡ ỗ
ữ
ỗ
ữ = 3 x =- 1
ỗ
ố2 ứ
3
Vy nghim ca phng trỡnh l x =- 1; x = 1 r
T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau
1) 4.9 x +12 x = 3.16 x
2) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x

3) 32 x + 4 + 45.6 x 9.22 x + 2 = 0
4) 5.2x = 7. 10x 2.5x
5) 27 x +12 x = 2.8 x
Vớ d 8: Gii phng trỡnh

log 22 x + 3log 2 ( 2 x ) - 1 = 0

(1)

Bi gii
iu kin: x > 0
Khi ú:

( 1) log 22 x + 3log 2 x + 2 = 0

t t = log 2 x , phng trỡnh (1) tr thnh t 2 + 3t + 2 = 0

(3)

ột =- 1
ởt =- 2

( 3) ờ
ờ
ã Vi t =- 1 thỡ log 2 x =- 1 x =

1
2

[tha (*)]

ã Vi t =- 2 thỡ log 2 x =- 2 x =

1
4

[tha (*)]

1
1
Vy nghim ca phng trỡnh l x = ; x = r
4
2
Vớ d 9: Gii phng trỡnh

1
2
+
=1
5 - log x 1 + log x

(1)

Bi gii
ỡù x > 0
ùù
iu kin: ớ log x ạ 5
ùù
ùùợ log x ạ - 1

(*)

84


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

1
2
+
=1
5 - t 1+t
ột = 2
( 3) 1 + t + 2 ( 5 - t ) = ( 5 - t ) ( 1 + t ) t 2 - 5t + 6 = 0 ờ
ờ
ởt = 3
ã Vi t = 2 thỡ log x = 2 x = 100
[tha (*)]
ã Vi t = 3 thỡ log x = 3 x = 1000
[tha (*)]

t t = log x ( t ạ 5, t ạ - 1) , phng trỡnh (1) tr thnh

(3)

Vy nghim ca phng trỡnh l x = 100; x = 1000 r
T luyn: Gii cỏc phng trỡnh sau

2
2
3
1) log 2 x - 4 log 2 x + 8 = 0

2)

6
4
+
=3
log2 2x log2 x2

x
x+1
3) log 3 ( 3 - 1) .log 3 ( 3 - 3) = 6

Vớ d 10: Gii phng trỡnh 2log

3

x +1

+ 2log

3

x- 2

(1)

=x

Bi gii
iu kin: x > 0
t
t t = log 3 x x = 3 thỡ phng trỡnh (1) tr thnh
t

ổử
1
9
2ữ 4
2.2 + .2t = 3t .2t = 3t ỗ
ữ
ỗ
ữ= 9 t = 2
ỗ
ố3 ứ
4
4
t

Vi t = 2 thỡ x = 9 (tha iu kin)
Vy nghim ca phng trỡnh l x = 9 r

Vớ d 11: Gii phng trỡnh

ổ
5.2 x - 8 ử

ữ
ỗ
log 2 ỗ x
ữ
ữ= 3 - x
ỗ
ố 2 +2 ứ

(1)

Bi gii
iu kin 5.2 x - 8 > 0 (*)
Ta cú:

( 1)

5.2 x - 8
= 23- x
x
2 +2

2 x ( 5.2 x - 8) = 8 ( 2 x + 2)
5.22 x - 16.2 x - 16 = 0

(2)

t t = 2 x vi t > 0 , phng trỡnh (2) tr thnh 5t 2 - 16t - 16 = 0

(3)

ột = 4
ờ
( 3) ờ
4
ờt =ờ
5
ở
ã Vi t = 4 thỡ 2 x = 4 x = 2

[tha (*)]
85


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

♥ Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 r
x
Tự luyện: Giải phương trình sau log 2 ( 3.2 - 1) = 2 x +1

c. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,..
Ví dụ 12: Giải phương trình 4.5 x + 25.2 x = 100 +10 x

(1)

Bài giải hoctoancapba.com
x
x

x
x
♥ Ta có: ( 1) Û 4.5 - 2 .5 + 25.2 - 100 = 0

Û 5x ( 4 - 2 x ) + 25 ( 2 x - 4) = 0
Û ( 4 - 2 x ) ( 5x - 25) = 0
é5 x = 25
Û êx
Û x =2
ê2 = 4
ë
♥ Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 r
Tự luyện: Giải các phương trình sau
1) 3.7 x + 49.3x = 147 + 21x
2) 32 x + x + 3 = 9 x + 3 x +1
3) log 2 x + 2 log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x
d. Phương pháp 4: Lấy lôgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó
(Phương pháp lôgarít hóa)
Ví dụ 13: Giải phương trình 3x.2 x = 1
2

(1)

Bài giải
♥ Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3, ta có

( 1) Û log 3 ( 3x.2 x ) = log 3 1
2

2

Û log 3 3x + log 3 2 x = 0
Û x + x 2 log 3 x = 0
Û x ( 1 + x log 3 2) = 0
éx = 0
ê
Û ê
1
êx ==- log 2 3
ê
log 3 2
ë
♥ Vậy nghiệm của phương trình là x = 0, x =- log 2 3 r
e. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
86


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

nghim duy nht (thng l s dng cụng c o hm)
Ta thng s dng cỏc tớnh cht sau:


Tớnh cht 1: Nu hm s f tng ( hoc gim ) trong khong (a;b) thỡ phng trỡnh f(x) = C cú
khụng quỏ mt nghim trong khong (a;b). ( do ú nu tn ti x0 (a;b) sao cho
f(x0) = C thỡ ú l nghim duy nht ca phng trỡnh f(x) = C)

Tớnh cht 2 : Nu hm f tng trong khong (a;b) v hm g l hm mt hm gim trong
khong (a;b) thỡ phng trỡnh f(x) = g(x) cú nhiu nht mt nghim trong khong (a;b) .
(do ú nu tn ti x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thỡ ú l nghim duy nht ca phng
trỡnh f(x) = g(x))

Vớ d 14: Gii phng trỡnh 3x + 4 x = 5 x

(1)

Bi gii
x
Chia hai v phng trỡnh (1) cho 5 x ( 5 ạ 0, " x) , ta cú
x

x

ổử
ổử
3
4ữ
ỗ
+
( 1) ỗỗỗ ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ ố
ữ =1

ỗ5 ứ
ố5 ứ
x

( Dng f ( x ) = C )

(2)

x

ổử
ổử
3
4
+ỗ
Xột hm s f ( x ) = ỗ
ữ
ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ữ
ữ trờn Ă , ta cú
ỗ
ỗ
ố5 ứ ố5 ứ
x

x

ổử

3 ữ 3 ổử
4ữ 4
f '( x ) = ỗ
ln +ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữln 5 < 0, " x ẻ Ă
ỗ
ỗ
ố5 ứ 5 ố5 ứ
Mt khỏc

f ( 2) = 1 ị

ị

f ( x ) nghch bin trờn Ă

(2) cú nghim x = 2

(*)
(**)

T (*) v (**) ta suy ra phng trỡnh (2) cú nghim duy nht x = 2
Vy nghim ca phng trỡnh (1) l x = 2 r

x

ổử
1ữ
Vớ d 15: Gii phng trỡnh ỗ
ữ
ỗ
ữ = 2 x +1
ỗ
ố3 ứ

(1)

(Dng f ( x ) = g ( x ) )

Bi gii
x

ổử
1ữ
g x = 2 x +1 trờn Ă , ta cú
Xột cỏc hm s f ( x ) = ỗ
ữ
ỗ
ữ v ( )
ỗ
ố3 ứ
f ( x ) nghch bin trờn Ă v g ( x ) ng bin trờn Ă
Mt khỏc

f ( 0) = g ( 0) ị

(1) cú nghim x = 0

(*)
(**)

T (*) v (**) ta suy ra phng trỡnh (1) cú nghim duy nht x = 0
Vy nghim ca phng trỡnh l x = 0 r

87


hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Ti liu ụn thi mụn Toỏn THPTQG

HBM - T TON

Bi tp:
Gii cỏc phng trỡnh sau
x

1) 2x = 1+ 32

2) 2 x = 3 x

3) 2 3 x = x2 + 8x 14

4) 2.2 x + 3.3 x = 6 x 1

x 2

x 2
5) 3.25 + ( 3x 10) .5 + 3 x = 0

x
x
6) 9 +( x - 12) 3 +11- x = 0

2
7) log 2 x +( x - 1) log 2 x = 6 - 2 x

Vớ d 16: Gii phng trỡnh 2log ( x+3) = x

(1)

5

Bi gii
iu kin: x >- 3

( 1) log 5 ( x + 3) = log 2 x

Khi ú:

(2)

t
t t = log 2 x x = 2 thỡ phng trỡnh (2) tr thnh
t

t

ổử
2 ữ ổử
1ữ
log 5 ( 2 + 3) = t 2 + 3 = 5 ỗ
+ 3ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ= 1
ỗ5 ứ
ỗ5 ứ
ố
ố
t

t

t

t

(3)

t

ổử
2 ữ ổử

1ữ
+ 3ỗ
Xột hm s f ( t ) = ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ trờn Ă , ta cú
ỗ
ỗ
ố5 ứ
ố5 ứ
t

t

ổử
ổử
2ữ 2
1ữ 1
ỗ
f '( t ) = ỗ
ln
+
3.
ữ
ữ
ỗ
ỗ

ữ
ữln 5 < 0, " t ẻ Ă
ỗ
ỗ
ố5 ứ 5
ố5 ứ
Mt khỏc

f ( 1) = 1 ị

ị

f ( t ) nghch bin trờn Ă

(3) cú nghim t = 1

(*)
(**)

T (*) v (**) ta suy ra phng trỡnh (3) cú nghim duy nht t = 1
Vy nghim ca phng trỡnh (1) l x = 2 r

IV. BT PHNG TRèNH M & LễGART
1. CC PHNG PHP GII BT PHNG TRèNH M & LOGARIT:
a. Phng phỏp 1: Bin i phng trỡnh v dng c bn : aM < aN ( , >, )
loga M < loga N ( , >, )
Vớ d 1: Gii bt phng trỡnh 3x - x < 9
2

(1)

Bi gii
Ta cú:

( 1) 3x - x < 32
2

x2 - x < 2
x2 - x - 2 < 0
- 1< x < 2

88


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( - 1; 2) r
Tự luyện: Giải các bất phương trình
1) 3

4 x 2 - 15 x +13

6 x −3
x

æö
1÷

2) ç
÷
ç
÷
ç
è2 ø

< 3 27 2 x −1

< 23 x - 4

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2log3 ( 4x − 3) + log1 ( 2x + 3) ≤ 2
3

(1)

Bài giải
4x − 3 > 0
⇔
♥ Điều kiện: 
2x
+
3
>
0

♥ Khi đó:

x > 3


4 ⇔x> 3

4
x > − 3
2


(*)

( 1) ⇔ log3 ( 4x − 3) 2 ≤ 2 + log3 ( 2x + 3)
⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ log3 [ 9( 2x + 3) ]
2

⇔ ( 4x − 3) ≤ 9( 2x + 3)
2

⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ 0
⇔−

3
≤x≤3
8

♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là
Tự luyện: Giải các bất phương trình sau
1) log 2 ( 2 x + 3) > log 2 ( 3 x +1)

3

2

2) log 1 ( 5 x +10) < log 1 ( x + 6 x + 8)
2

x+4
< log 1 (3 − x)
2x − 3
3

3) log 1

3
< x≤3r
4

2

4) log 2 ( x - 3) + log 2 ( x - 2) £ 1

2
5) log1 (x − 6x + 5) + 2log3(2 − x) ≥ 0
3

1

7) log 1  x − ÷− log 2 ( x − 1) ≤ 1
2
2 

6) log1 x + 2log1 ( x − 1) + log2 6 ≤ 0
2

4

8) log 1 ( x - 5 x + 6) ³ - 1
2

2

Ví dụ 3: Giải bất phương trình log1
2

x2 − 3x + 2
≥0
x

(1)

Bài giải
x2 − 3x + 2
> 0⇔
♥ Điều kiện:
x

0 < x < 1

 x > 2

(*)

♥ Khi đó:

89


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

( 1) ⇔ log1
2

HĐBM - TỔ TOÁN

x2 − 3x + 2
≥ log1 1
x
2

x − 3x + 2
≤1
x
x2 − 4x + 2
⇔
≤0
x
x < 0
⇔
2 − 2 ≤ x ≤ 2 + 2
⇔

2

2 − 2 ≤ x < 1
♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
r
2 < x ≤ 2 + 2

Tự luyện: Giải các bất phương trình sau
2x + 1
>0
x−1
2x + 1
3) log0,5
≤2
x+ 5
1) log2

3x − 5
≤1
x+1
3x − 1
>1
4) log1
x+ 2
3
2) log3

x2 + x 

<0
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log0,7  log6

x+4 ÷



(1)

Bài giải
 x2 + x
 x2 + x
 x + 4 > 0
 x + 4 > 0
x2 + x
x2 − 4
⇔ 2
⇔
> 1⇔
> 0⇔
♥ Điều kiện: 
2
x+4
x+4
log x + x > 0
x + x > 1
6

x+4
 x + 4
♥ Khi đó:
x2 + x 
x2 + x


< log0,7 1 ⇔ log6
>1
( 1) ⇔ log0,7  log6
x+4 ÷
x+4


x2 + x
x2 + x
⇔ log6
> log6 6 ⇔
>6
x+4
x+4
 −4 < x < −3
x2 − 5x − 24
⇔
> 0⇔ 
x+4
 x > 8
 −4 < x < −3
♥ So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
r
 x > 8
2x + 3 

÷≥ 0
Tự luyện: Giải bất phương trình log1  log2
x+1 

3

 −4 < x < −2

x>2


(*)

b. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình 9 x −1 − 36.3x −3 + 3 ≤ 0

(1)

Bài giải
♥ Biến đổi bất phương trình (1) ta được
90


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

( 1) Û ( 3x- 1 ) - 4.3x- 1 + 3 £ 0
2

(2)

♥ Đặt t = 3x- 1 ( t > 0) , bất phương trình (2) trở thành t 2 - 4t + 3 £ 0

(3)

( 3) Û 1 £ t £ 3
1 £ 3 x- 1 £ 3 Û 0 £ x - 1 £ 1 Û 1 £ x £ 2

Suy ra:

♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [1; 2] r
Bài giải
2) 2 x + 23- x £ 9

1) 22x - 3.2 x+2 + 32 < 0
3) 9 x − 5.3x + 6 < 0
x2 −2x

5) 9

4) 52x+1 > 5x + 4

2x− x2

1
− 2 ÷
 3

≤3

6) 32x+1 − 22x+1 − 5.6x ≤ 0

2
Ví dụ 6: Giải bất phương trình log2 x + log2 x − 2 ≤ 0

(1)

Bài giải
♥ Điều kiện: x > 0
♥ Đặt t = log 2 x , bất phương trình (1) trở thành t 2 + t - 2 £ 0

(2)

( 3) Û - 2 £ t £ 1
Suy ra:

- 2 £ log 2 x £ 1 Û

1
£ x£ 2
4

é1 ù
♥ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ê ; 2úr
ê4 û
ú
ë
Tự luyện: Giải các phương trình sau
2
1) log 2 x − 17 log 2 x + 4 ≤ 0

2

2) 3.log3 x − 14.log

x+3> 0

4
2
5
4) log 1 ( x − 1) + 3 ≥ − log 1 ( x − 1)
5
3
3

3) log 2 x + 2 log x 4 − 5 ≤ 0
5)

3

3. log 1 x + log 4 x 2 − 2 > 0
2

6)

log 21 x + log 1 x - 2 £ 0
2

2

B. Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình
2) log x2 16 + log 2 x 64 = 3

2
1) log x 125 x.log 25 x = 1
log x
log x
3) 25 4 − 5 16

2

+1

= log 3 9 3 − 25log16 x

5) x log x +1 5.log 3 1 ( x + 1) =
5

x−4
x

2
4) x .log x 27.log 9 x = x + 4

x
x +1
6) 8 + 2 log 2 (2 x + 1) = 2 + 4 log 2 (2 x + 1)

91


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Tài liệu ôn thi môn Toán THPTQG

HĐBM - TỔ TOÁN

1
+ log2 x + 2
log2x+1 4 2
4
=1
10) ( 2 - log3 x) .log9x 3 1- log3 x
8) log4 ( x - 1) +

7) 2 log x (4 x + 1) + log 3 x = 2 + log 3 (4 x + 1)
2

9) 4log2 2x - xlog2 6 = 2.3log2 4x

x
x+1
11) log3 ( 3 - 1) .log3 ( 3 - 3) = 6

12)

2
13) log2x−1 ( 2x + x − 1) + logx+1 ( 2x − 1) = 4
2

15)

1

=

logx 7x.log7 x = 1

14) 3 +

1
6
= logx  9x − ÷
log3 x
x


5logx 3 + log9 27 + 8log9x2 9 = 2
9

x

Bài 2: Giải các bất phương trình
1) log 2

(

(

)

(

)

3 x + 1 + 6 − 1 ≥ log 2 7 − 10 − x .

2

2

2) 22x − 4x−2 − 16.22x− x −1 − 2 ≤ 0

)

2
4) log1 2x − 3x + 1 +

2
3) logx 8 + log4 x log2 2x ≥ 0

2

1
1
log2(x − 1)2 ≥
2
2

Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau
ìï x + log 3 y = 3
ï
1) í

ïï ( 2 y 2 - y +12) .3x = 81 y
î

ìï xy + xy
ï 4 = 32
2) ïí
ïï log x - y = 1- log x + y
)
)
3(
3(
ïî

ìï log 4 x + log 4 y = 1 + log 4 9
3) ïí
ïïî x + y = 20

ìï log 3 x - log 3 y = 2
4) ïí 2
ïïî x y - 2 y + 9 = 0

 x − 1 + 2 − y = 1
5) 
2
3
3log9(9x ) − log3 y = 3
1

log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
7)  4

 x 2 + y 2 = 25


6)

1 x −2 y

x− y
( 3 ) = ( )
3

log 2 ( x − y ) + log 2 ( x − y ) = 4

8)


3 4− x
( x + 1 − 1)3y =

x
 y + log x = 1
3


---------------------------Hết----------------------------

92