Chuyên đề giới hạn

CHUYÊN ĐỀ
GIỚI HẠN và hàm số liên tục


Giới hạn là gì?

 

Điểm phân cách

Hạn

Hữu hạn

Khoảng tồn tại của

Giới hạn

một hàm số


LÀ ĐẠI LƯỢNG VÔ HÌNH MANG
TÍNH TƯƠNG ĐỐI


KHOẢNG TỒN TẠI

BIẾN (X)

TẬP XÁC ĐỊNH
( các tập số Q,I,R,..)

HÀM f(x)

TẬP GIÁ TRỊ
( GILN, GTNN, Min,Max,...)


GIỚI
GIỚI HẠN
HẠN TRÊN
TRÊN
KHOẢNG
KHOẢNG

GIỚI HẠN

GIỚI
GIỚI HẠN
HẠN TẠI
TẠI ĐIỂM
ĐIỂM


 

GIỚI HẠN TẠI ĐIỂM
xác định )

 

=f(

 

Giá trị của hàm số tại

HỌC


HOW ?

START ?


Hàm f(x)

•

f(

Biến (x)

•x
•x

Lim

• Kí hiệu
• Giới hạn

x
 

Lim

f(x)


HÀM f(x)


PHÂN LOẠI GIỚI HẠN

CHỦ ĐỀ 1

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

CHỦ ĐỀ 2

GIỚI HẠN CỦA HÀM SÔ

CHỦ ĐỀ 3

HÀM SỐ LIÊN TỤC




 

Dãy số là một tập hợp các số mà chỉ số chạy từ 1 đến n ( VÔ CỰC)
Khi xét dãy số ta thường xét số hạng tổng quát

 

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

 

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x =>


GIỚI HẠN CỦA
HÀM SỐ


Giới hạn của hàm số tại một điểm

Nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm?

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x 0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x 0}.

∀
 ( xn ) , xn ∈ ( a; b ) , xn ≠ x0
lim f ( x) = L ⇔ 
x → x0
 lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L


ví dụ minh họa

Bµi 1: TÝnh c¸c giíi h¹n sau:

x2 + 2x − 8
( x + 4)( x − 2)
x+4
a ) lim 2
= lim
= lim
=2
x→2 x − x − 2
x → 2 ( x + 1)( x − 2)
x→2 x + 1

b) lim
x →1

c ) lim
x →3

x+3 −2
x −1
1
1
=
lim
=
lim
=
x 2 + x − 2 x →1 ( x − 1)( x + 2)( x + 3 + 2) x →1 ( x + 2)( x + 3 + 2) 12

x +1 − 2
( x − 3)( x + 6 + 3)
= lim
= lim
x
→
3
x →3
x +6 −3
( x − 3)( x + 1 + 2)

x+6 +3 6 3
= =
4 2
x +1 + 2

x −1
( x − 1)( 3x + 1 + 2)
3x + 1 + 2
4
d ) lim
= lim
= lim
=
x →1 3 x + 1 − 2
x →1
3( x − 1)( 3 x 2 + 3 x + 1) x→1 3(3 x 2 + 3 x + 1) 9
3

GIỚI HẠN MỘT BÊN
1. Giới hạn hữu hạn:

Định nghĩa 1: Giới hạn bên phải của hàm số tại điểm x0
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x 0; b).

∀ ( xn ) , xn ∈ ( x0 ; b )
lim+ f ( x) = L ⇔ 
x → x0
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
x0
(

b
)

Định nghĩa 2: Giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x0
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; x 0).

∀ ( xn ) , xn ∈ ( a; x0 )
lim− f ( x) = L ⇔ 
x → x0
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = L
a

(

x0
)

Ví dụ 1: Gọi d là hàm dấu

i x <0
−1 vôù

d ( x ) = 0 vôù
i x =0
1 vôù
i x >0


Tìm lim− d ( x ) , lim+ d ( x ) , lim d ( x ) (neá
u coù
).
x →0

x →0

x →0

y
1

Biểu diễn đồ thị
0

•

x

-1


3.

Một số định lí về giới hạn hữu hạn:

ĐỊNH LÍ 1:
Giả sử:

lim f và( x ) = L

lim g ( Khi
x )đó:= M , ( L, M ∈  ) .

x → x0

x → x0

a) lim  f ( x ) + g ( x )  = L + M ;
x → x0

c) lim  f ( x ) g ( x )  = LM ;
x → x0

f ( x)
L
d ) lim
= ; M ≠0
x → x0 g ( x )

M
ĐỊNH LÍ 2:

b) lim  f ( x ) − g ( x )  = L − M ;
x → x0

lim cf ( x )  = cL; c: haè
ng soá

x → x0

lim f (khix )đó:= L

Giả sử:

x → x0

a ) lim | f ( x ) |=| L | ;
x → x0

b) lim 3 f ( x ) = 3 L ;
x → x0

c) Nếu f(x) ≥0 với mọi x∈J\{x0}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa x 0 thì L≥0 và

lim

x → x0

f ( x) = L

⇐


Giới hạn đạt tại vô cực
x0
(

b
)

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x0; b).

∀ ( xn ) , xn ∈ ( x0 ; b )
lim+ f ( x) = +∞ ⇔ 
x → x0
lim xn = x0 ⇒ lim f ( xn ) = +∞

Tính

1
lim+
x →0 x


Ví dụ minh họa

1
Tìm lim−
.

x→2
2− x
Hướng dẫn

lim−

x→2

1
= +∞
2− x

vôù
i moïi daõ
y ( xn ) , xn ∈ ( −∞; 2 )

vì 
1
lim xn = 2 ⇒ lim 2 − x = +∞
n



Bài tập1

Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái và giới hạn (nếu có) của hàm số

 x 3 vôù
i x < −1,
f ( x) =  2

i x ≥ -1
2 x − 3 vôù

4

2

khi x dần đến −1.

-1
-10

0

-5

5

-2

-4

-6


Bài Tập 2 <SGK> Tìm các giới hạn sau (nếu có)

a)
b)

lim+

x→2

lim−

x→2

c) lim
x→2

x−2
x−2
x−2
x−2
x−2
x−2


Bài tập 3( SGK ) Tìm các giới hạn sau

x+2 x
a ) lim+
x →0 x −
x
b) lim−
x →3

x 2 − 7 x + 12
9 − x2

Bài tập 4(sgk) Cho hàm số:
Tìm

2 | x | −1 , x ≤ −2
f ( x) = 
2
2
x
+ 1 , x > −2


lim − f ( x ) , lim + f ( x ) , lim f ( x )

x →( −2 )

x →( −2 )

x →−2

Hướng dẫn giải:

lim − f ( x ) = lim − ( 2 | x | −1) = 3

x →( −2 )

x →( −2 )

lim + f ( x ) = lim + 2 x 2 + 1 = 2.4 + 1 = 3

x →( −2 )

x → ( −2 )

lim f ( x ) = 3.

x →−2


GIỚI HẠN CỦA hàm SỐ

Nhóm 1: Tính :

a ) lim

x →−∞

−x −1
2 − 5x

HOẠT ĐỘNG NHÓM
Nhóm 2: Tính :

− x3 + 2 x 2
b) lim
x →+∞ x 4 − 3 x 3 + 1

Giải:

a ) lim

x →−∞

−x −1
= lim
x →−∞
2 − 5x

1
x = 1
2
5
−5
x

−1 −

1
2
+
2
− x3 + 2 x 2
x
x
b) lim
= lim
=0
x →+∞ x 4 − 3 x 3 + 1
x →+∞

3
1
1−
+ 4
x
x
−


GIỚI
GIỚI
HẠN
HẠN
CỦA
CỦA
hàm
hàmSỐSỐ
(T2)

•

CHÚ Ý

a) Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

lim c; = c

x →+∞

;

lim
c=c

x →−∞

;

c
=0
k
x →−∞ x

c
lim
=0
x →+∞ x k

lim

x → x0

b) Định lý 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi
vẫn còn đúng khi
Ví dụ 1: Tìm

hoặc

x → +∞

−2 x 2 − 3x + 1

lim
x →−∞
3x 2 + 1

Giải :
Ta có:

x → −∞

−2 x 2 − 3 x + 1
lim
= lim
2
x →−∞
x →−∞
3x + 1

3
1
+ 2
x
x = −2
1
3
3+ 2
x

−2 −