CHUYÊN đề đạo hàm

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

CHUYÊN ĐỀ : ĐẠO HÀM
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
y = f ( x)
1.1.

1.2.

Định nghĩa : Cho hàm số
hàm số tại điểm x0 là :
Chú ý :

a ; b)
x ∈ a ; b)
xác định trên khoảng (
và 0 (
, đạo hàm của

f ' ( x0 ) = lim

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

x→ x0

• Nếu kí hiệu ∆x = x − x0 ; ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) thì :
f ' ( x0 ) = lim

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
x − x0

x → x0

• Nếu hàm số

y = f ( x)

Ý nghĩa hình học: Cho hàm số
•

f ' ( x0 )

∆y
∆x → 0 ∆x
.

= lim

có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1.

.

y = f ( x)

C
có đồ thị ( )

C
y = f ( x)
M x ,y ∈ C
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị ( ) của hàm số
tại 0 ( 0 0 ) ( ) .

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x)

tại điểm

y = f ' ( x0 ) ×( x − x0 ) + y0

2.2.

M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C )

là :

.

Ý nghĩa vật lí :

• Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s ( t ) tại thời điểm

t0 là v ( t0 ) = s ' ( t0 ) .

• Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q ( t ) tại thời điểm t0 là : I ( t0 ) = Q ' ( t0 ) .
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
u = u ( x) ; v = v ( x) ; C :
3.1.

Các quy tắc :

• ( u ± v ) ' = u '± v '

Cho

• ( u.v ) ' = u '.v + v '.u
•

3.2.

là hằng số .

⇒ ( C.u ) ′ = C.u′

C.u′
 u  u '.v − v '.u
 C ′
,
v
≠
0
⇒

=
−
(
)
 ÷=

÷
v2
u2
v
u

( )
• Nếu
Các công thức :

y = f u , u = u ( x)

⇒ y′x = yu′ .u′x

.

′
′
• ( C ) = 0 ; ( x) = 1
1


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội

Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

•

( x ) ′ = n.x

•

( x )′ = 2 1x

n

( ) ′ = n.u

n −1

⇒ un
, ( x > 0) ⇒

n −1

.u ′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 )

( u ) ′ = 2u′u

, ( u > 0)

′

• ( sin x ) = cos x

⇒ ( sin u ) ′ = u.′ cos u

′
• ( cos x ) = − sin x

⇒ ( cos u ) ′ = −u ′.sin u

•
•

( tan x ) ′ =

1

⇒ ( tan u ) ′ =

2

cos x

( cot x ) ′ = −

1
sin 2 x

u′

cos 2 u

u′
⇒ ( cot u ) ′ = − 2
sin u .

4. Vi phân
4.1.

Định nghĩa :
•

y = f ( x)

Cho hàm số

• Cho hàm số

df ( x0 ) = f ′ ( x0 ) .∆x

y = f ( x)

y = f ( x)

4.2.

y = f ( x)
có đạo hàm tại x0 vi phân của hàm số
tại điểm x0 là :

có đạo hàm

f ′( x)

thì tích

.

f ′ ( x ) .∆x

được gọi là vi phân của hàm số

df x = f ′ ( x ) .∆x = f ′ ( x ) .dx
. Kí hiệu : ( )
hay dy = y′.dx .
Công thức tính gần đúng :

f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) .∆x

.

5. Đạo hàm cấp cao
5.1.

Đạo hàm cấp 2 :
• Định nghĩa :

f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′

• Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
.

s = f ( t)

a t = f ′′ ( t0 )
tại thời điểm t0 là ( 0 )

′
n
n−1
f ( ) ( x ) =  f ( ) ( x )  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 )


5.2. Đạo hàm cấp cao :
.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
1 Tìm đạo hàm theo định nghĩa
5.3.

Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :

• Cách 1 : Theo quy tắc
o

Bước 1 : Cho x một số gia ∆x và tìm số gia ∆y tìm

∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x )

∆y
. Lập tỉ số ∆x
2

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
∆y
Bước 2 : Tìm giới hạn ∆x→ 0 ∆x
lim

o

x − x0

x → x0

• Cách 2 : Áp dụng công thức:
5.4.

f ( x ) − f ( x0 )

f ' ( x0 ) = lim

.

Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:

f ( x ) = x3 − 2x + 1

2x −1
x + 2 tại x0 = 1 .

f ( x) =

x =2
tại 0

a)
;
b)
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
 x 3 − 2 x khi x ≥ 2

f ( x ) = 3 3x + 4

f ( x) = 
10 x − 16

x =3
tại 0

a)
;
b)
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
3
2
a) y = x − 2 x + 1

5.5.

;

b)

khi x < 2

x = 2.
tại 0

y = f ( x ) = x2 − 3x + 2

.

Bài tập áp dụng :

Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra :
a)

f ( x ) = x 2 − 3x + 1
f ( x) =

x =3
tại 0

;

b)

x 2 − 3x + 3
x =4
x+2
tại 0

f ( x) = 2x − x2

x =1 ;
tại 0

f ( x ) = cos x

x0 =

2

π
4

c)
;
d)
tại
Bài 2. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên ¡ .

;

 x2 − 4x + 3


khi x > 1
 2 x 2 + a khi x ≤ 0
f ( x) =  x −1
f ( x) = 
3
3 x − 5
khi x ≤ 1

 − x + bx khi x > 0 ;
a)
; b)

f ( x ) = x 2 − 3x + 2

c)
; d)
Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)

f ( x ) = x3 − 3x 2 + 2 x + 1

x −1
f ( x) =
x +1
c)

;

b)

f ( x) = 3 x

;
d)
Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)

f ( x ) = x − 4x

c)

f ( x ) = x + 3x

3

4

( C) : y = x

5

.

;

f ( x) =

1
sin x ;

;
;

d)

2

Bài 5. Có bao nhiêu tiếp tuyến của

x

sin x + cos x khi x > 0
f ( x) = 
khi x ≤ 0
2 x + 1
b)
;

2

3

f ( x) =

f ( x ) = tan 3 ( 2 x + 1)

.

2

− 3x + 6 x − 5

có hệ số góc âm ?

.
5.6.

Các ví dụ minh họa :
3


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
1Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

1
y = 2x4 − x3 + 2 x − 5
3
a)

3
2
b) y = (x − 2)(1− x ) .

;

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y=

2x + 1
1− 3x

y=

x2 − 3x + 3
x−1

;

a)
;
b)
Ví dụ 5. Chứng minh các công thức tổng quát sau

a b

a)

x2 + 2

1+ x − x2
1− x + x2 .

a c
b c
x+

a1 c1
b1 c1

 ax 2 + bx + c ′ a1 b1
=

÷
2
÷
a
x
+
b
x
+
c
1
1
 1
a1x 2 + b1x + c1

(

c)

y=

)

2

;

b c
2
a
.
a
x
+
2
a
.
b
x
+
′
1
1
 ax 2 + bx + c 
a1 b1
=

÷
2
÷
a1x + b1 
( a1x + b1 )
b) 

;

(

a , b , c , a1 , b1 , c1 là hằng số) .

(

a , b , c , a1 , b1 là hằng số) .

Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
2
4
a) y = (x + x + 1)
;
b)
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y=

(x + 1)2

y=

(x − 1)3

;

c)

1
(x2 − 2x + 5)2 .

2
(
)
b) y = (x − 2) x + 3 ; c) y = 1+ 1− 2x .
3

2
a) y = 2x − 5x + 2 ;

Ví dụ 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = 2 sin 3 x cos 5 x ; b)

•

y=

2
1 + tan 3 x
y=
2
1 − tan 3 x .
; c)

sin x + cos x
sin x − cos x

Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các

hàm số có chứa các hàm số lượng giác.

Ví dụ 9. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = (sin x + cos x)

2

;

b) y =

tan x + cot x ;

(

)

2
1
y = tan2x + tan3 2x + tan5 2x
3
5
c)
;

y = tan 2 sin cos3 2 x 

.
d)

y = f ( x) =

1 3
x − 2 x 2 + mx + 5
3
. Tìm m để :
f ′ ( x ) > 0 , ∀x ∈ ( 0; + ∞ )

Ví dụ 10.
a)
c)

Cho hàm số :

f ′ ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ ¡

f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ ( 0; 2 )

;

;

d)

b)

f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ ( − ∞ ; 2 )

;

.

m
m
f ( x ) = x 3 − x 2 + ( 4 − m ) x + 5m + 1
3
2
Ví dụ 11.
Cho hàm số :
. Tìm m để :
f ′ ( x ) < 0 , ∀x ∈ ¡
f ′( x) = 0
a)
;
b)
có hai nghiệm cùng dấu.

•
4


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Bài 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y=
a)

y=
c)

y=

1
2

x

2

x +
5

4

4

−

3

x

x −x −
4

3

3

3

x

+

3
2

y=

x + 4x − 5
2

;

1

1

−

3

x + x − 0,5 x
2

4

b)

4

;

d) y = x − 4 x + 2 x − 3 x ;

;

2

2

−x

5

3

x b
a2 3
+ 2 +c x +
− b
a x
2
( a , b , c là hằng số) .

e)
Bài 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
5

a) y = (2 x − 3)( x − 2 x)

y=
d)

;

b) y = x (2 x − 1)(3 x + 2) ;

2x − 1
x −1

;

2x − 4x + 5

2x + 1
g)
;
h)
Bài 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = (2 x − 3 x − 6 x + 1)
3

2

y = x +1−

2
x + 1 ; i)

y=

2

;

c)

(

b)

)

 1

x +1 
− 1÷
 x 

;

x + x −1
2

3
y=
2x − 5
e)

2

y=

y=

y=
;

f)

5x − 3

y=

x + x +1
2

y=
;

k)

x −1

;

x + x +1
x2 − x + 1
2

.

1
( x − x + 1)5
2

2

c)

y = ( x 2 − x + 1)3 ( x 2 + x + 1) 2 ;

e) y =
g)

y=

1 + 2 x − x2
x+

x+

x

d)

1 

y= x −
÷
x


;

f) y =

;

h) y =

x2 + 1 − 1 − x2 ;
3

x3 − 3 x + 1 ;

2

 2x − 1 
y=3
÷
 x+3 
i)

;

;

k)

(

y = x + x2 + 1

)

5

.

Bài 9. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

y=
a)
c)

sin x
x

+

x
sin x

sin 2 x + cos 2 x
y=
2 sin 2 x − cos 2 x

y=

sin x + cos x ;
d) y = 4sin x cos 5 x.sin 6 x ;

;

b)

;

sin 2 x + cos 2 x

sin 2 x − cos 2 x
x +1
y = tan
2
g)
e)

y=

sin 3 x + cos3 x

y=
;

f)
;

sin x − x cos x
cos x − x sin x ;
h) y = tan 3 x − cot 3 x ;
5


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

y=

1 + tan 2 x
;

k) y = cot

l) y = cos x + sin x

;

m)

n)

;

o)

i)

1 − tan 2 x
4

x2 + 1

;

4

y = sin 2 x cos 2 x
3

3

y = (sin x + cos x) 3

y = sin ( cos3 x )

;

;

 2  x − 3 2 

5
y
=
cot
 cos 
÷
y = sin 2 cos 2 ( cos3x ) 
x
+
2

 




p)
;
q)
.
π  π 
cos x
f ' ( 0) ; f ' ( π ) ; f '  ; f '  
f ( x) =
2 4 .
1 + sin x . Tính
Bài 10. a) Cho hàm số
π 
π 
cos 2 x

f  ÷− 3 f '  ÷ = 3
y = f ( x) =
2
3
1 + sin x . Chứng minh:  4 
b) Cho hàm số
Bài 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)

(

) (

y = 3 sin 4 x + cos 4 x − 2 sin 6 x + cos6 x

y = cos x ( 2cos x − 3) + sin x ( 2sin x − 3 )
4

b)

2

d)

4

y=

8

6

;

6

sin x + 3cos x − 1
sin x + cos6 x + 3cos 4 x − 1 ;
4

;

4

6

 2π

 2π

y = cos 2 x + cos 2 
+ x ÷+ cos 2 
− x÷
 3

 3

e)
sin x + sin 2 x + sin 3x + sin 4 x
cos x + cos 2 x + cos3 x + cos 4 x

g)
;
Bài 12. Cho hàm số
chứng minh :
y = x sin x
y=

a)

;

2

y = 3 ( sin x − cos x ) + 4 ( cos x − 2sin x ) + 6sin 4 x
8

c)

)

xy − 2 ( y '− sin x ) + x ( 2cos x − y ) = 0

π x 
tan  − ÷. ( 1 + sin x )
 4 2
y=
sin x
;
f)
;


 π 
y = 2 + 2 + 2 + 2cos x ,  x ∈  0 ; ÷÷
2  .


h)

;

y'
− x = tan x
b) cos x
.

4
4
6
6
Bài 13. Cho các hàm số : f ( x ) = sin x + cos x , g ( x ) = sin x + cos x . Chứng minh : 3 f ' ( x ) − 2 g ' ( x ) = 0 .

Bài 14. a) Cho hàm số y =

x + 1 + x 2 . Chứng minh : 2 1 + x 2 . y ' = y .
2
b) Cho hàm số y = cot 2 x . Chứng minh : y '+ 2 y + 2 = 0 .

6

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Bài 15. Giải phương trình y ' = 0 biết :
b) y = cos x + sin x ;
2

a) y = sin 2 x − 2 cos x

;

c) y = 3sin 2 x + 4 cos 2 x + 10 x

;

d)

y = ( m − 1) sin 2 x + 2cos x − 2mx

.

1
y = x3 − ( 2m + 1) x 2 + mx − 4
3
Bài 16. Cho hàm số
. Tìm m để :
a) y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt ;
b) y ' có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;

c) y ' ≥ 0 , ∀x ∈ ¡ ;
d)

y ' < 0 , ∀x ∈ ( 1 ; 2 )

e) y ' > 0 , ∀x > 0 .

;

1
y = − mx 3 + ( m − 1) x 2 − mx + 3
3
Bài 17. Cho hàm số
. Xác định m để :
a) y ' ≤ 0 , ∀x ∈ ¡ .
b) y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;

c) y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện :

y=

x12 + x22 = 3

.

mx + 6 x − 2
( 1 ; + ∞) .
x+2
. Xác định m để hàm số có y ' ≤ 0, ∀x ∈
2

Bài 18. Cho hàm số
Bài 19. Tìm các giá trị của tham số

m

để hàm số:

y = x 3 + 3x 2 + mx + m

có y ' ≤ 0 trên một đoạn có độ dài bằng 1 .
Bài 20. Cho hàm số
biệt . \

2

y = mx4 + ( m2 − 9) x2 + 10 ( 1) ( m laøtham soá)

. Xác định m để hàm số có y ' = 0 có 3 nghiệm phân

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

5.7.

Phương pháp :

• Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) tại M ( x0 ; y0 ) , có phương trình là :
y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0

(1).

• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc là k thì
ta gọi

M 0 ( x0 ; y0 )

là tiếp điểm

⇒ f ' ( x0 ) = k

(1)

 Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0 = f ( x0 )
7


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng :
 Chú ý :
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại

y = k ( x − x0 ) + y0

M ( x0 , y0 ) ∈ ( C )

là

k = f ′ ( x0 ) = tan α

Trong đó

α

là góc giữa

chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến .
 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng −1 .
• Biết tiếp tuyến đi qua điểm

A ( x1 ; y1 )

 Viết phương trình tiếp tuyến của
 Vì tiếp tuyến đi qua

:

y = f ( x)

tại

M 0 ( x0 ; y0 )

:

y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0

( 1)

A ( x1 ; y1 ) ⇒ y1 = f ' ( x0 ) . ( x1 − x0 ) + f ( x0 ) ( *)

 Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .
5.8.

Các ví dụ minh họa :

( C ) : y = f ( x ) = x3 − 3x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C )
M 0 ( 1 ; − 2)
a) Tại điểm
;
( C ) và có hoành độ x0 = −1 ;
b) Tại điểm thuộc
( C ) với trục hoành .
c) Tại giao điểm của
A ( −1 ; − 4 )
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
.

1Cho đường cong

2Cho đường cong

( C) : y =

trong các trường hợp sau :

3x + 1
1− x

( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : x − 4 y − 21 = 0 ;
( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) : 2 x + 2 y − 9 = 0 ;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( C ) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
a) Viết phương trình tiếp tuyến của

x − 2 y + 5 = 0 một góc 300 .
y = x 3 + 3x 2 − 9 x + 5

Ví dụ 12.
Cho hàm số
số góc nhỏ nhất.

y=

x+2
2x + 3

( C ) . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ( C ) , hãy tìm tiếp tuyến có hệ

( 1)

Ví dụ 13.
Cho hàm số
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
(Khối A – 2009) .
Ví dụ 14.
Cho hàm số
. Tìm các điểm thuộc đồ thị
mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp

y = − x 3 + 3x 2 − 2 ( C )

tuyến với đồ thị

( C)

( C)

.
(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)
8


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

( C)

Ví dụ 15.
Cho

là đồ thị của hàm số y = 6 x − x . Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của
tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .
5.9.

2

( C)

cắt trục

Bài tập áp dụng:

Bài 21. Cho hàm số

( C ) : y = x 2 − 2 x + 3 . Viết phương trình tiếp với ( C ) :

x =2 ;
a) Tại điểm có hoành độ 0

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 x − y − 9 = 0 ;
c) Vuông góc với đường thẳng : 2 x + 4 y − 2011 = 0 ;
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm

A( 1 ; 0)

3x + 1
y=
1− x
Bài 22. Cho hàm số :

( C)

.

.

( C ) tại điểm M ( −1 ; −1) ;
( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục hoành;
b) Vết phương trình tiếp tuyến của
( C ) tại giao điểm của ( C ) với trục tung ;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
( C ) bết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( d ) : 4 x − y + 1 = 0 ;
d) Viết phương trình tiếp tuyến của
( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) : 4 x + y − 8 = 0 .
e) Viết phương trình tiếp tuyến của
a) Viết phương trình tiếp tuyến của

Bài 23. Cho hàm số :

( C)

y = x3 − 3 x 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( C)

tại điểm

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị

Bài 24. Cho hàm số

y = 1− x − x

a) Tại điểm có hoành độ

x0 =

2

y = x3 + 3mx 2 + ( m + 1) x + 1

Tìm các giá trị của

m

Bài 26. Cho hàm số

y=
(1) tại điểm

.

( C ) không đi qua I

.

( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với ( C ) :

1

2 ;
( d ) : x + 2y = 0

b) Song song với đường thẳng :
Bài 25. Cho hàm số

I ( 1 ; − 2)

.

( 1)

,

m

là tham số thực .

để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ

3x + 1
x +1

M ( −2 ; 5 )

x = −1

đi qua điểm

A( 1 ; 2)

.

(Dự bị A1 - 2008)
. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số

( 1)

.

(Dự bị D1 - 2008)

9


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Bài 27. Cho hàm số

( d) :

y = 3x3 + 4 ( C )

3y − x + 6 = 0

Bài 28. Cho hàm số

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

y=

Bài 29. Cho hàm số
với đường thẳng IM .

biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng

0
góc 30 .

y = − x3 − 3 x 2 + 9 x − 5 ( C )

lớn nhất.

( C)

2x − 1
x −1

( C)

. Gọi

. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị

I ( 1 ; 2)

. Tìm điểm

M ∈( C)

sao cho tiếp tuyến của

(Dự bị B2 - 2003)
Bài 30. (*) Cho hàm số

y=

2x
( C)
x +1

giác OAB có diện tích bằng

1
2

. Tìm điểm

M ∈( C)

( C)

, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc

, biết tiếp tuyến của

( C ) tại

( C)

tại M vuông góc

M cắt hai trục tọa độ tại A , B và tam

.

(Khối D - 2007)

x
y=
x −1
Bài 31. (*) Cho hàm số :

( C)

. Viết phương trình tiếp tuyến

( d1 ) : x = 1 ; ( d2 ) : y = 1 cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Bài 32. Cho hàm số

y = x+
đó vuông góc với nhau.
Bài 33. (*) Cho hàm số

1
( C)
x +1

. Chứng minh rằng qua điểm

1
y = x3 − 2 x 2 + 3x ( C )
3

. Qua điểm

A ( 1; −1)

4 4
A ; ÷
9 3

( ∆)

của

( C ) sao

cho

kẻ được hai tiếp tuyến với

( ∆)

( C)

và hai đường

(Dự bị D2 - 2007)
và hai tiếp tuyến

có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị

( C)

. Viết

phương trình các tiếp tuyến ấy .
Bài 34. (*) Cho hàm số

y=

x2 + 2 x + 2
(C )
I ( −1 ; 0 )
x +1
. Gọi
.Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của

( C)

đi qua

điểm I .
Bài 35. (*) Cho hàm số
tuyến với đồ thị

3

( C)

y = − x4 + 2 x2 −1 ( C )

(Dự bị B2 - 2005).
. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp

.

Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân
10


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

5.10. Phương

pháp :

Dựa theo định nghĩa và công thức sau :

′
′
• Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) thì tích f ( x ) .∆x được gọi là vi phân của hàm số

y = f ( x)

.

′
′
Kí hiệu : df ( x ) = f ( x ) .∆x = f ( x ) .dx hay dy = y′.dx

f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) .∆x

•
5.11. Các

ví dụ minh họa :

1Tìm vi phân của các hàm số sau :

x 2 − 3x + 5
x −1

y=

a)
;
2Tìm vi phân của các hàm số sau :

b)

y=

(x

2

+ 1) ( 2 x3 − 3 x )

.

sin x
x
+
x
sin x

1
y = tan 3 x − cot 2 3x
2
a)
;
b)
.
3Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :
0
a) 8,99
;
b) cos 46
;

y=

5.12. Bài

0

c) tan 59 45' .

tập áp dụng:

Bài 36. Tìm vi phân của các hàm số sau :

y=
a)

2x + 3
2

y=

b) y = ( x − x )

;

 1 + cos 2 x 
y=
÷
 1 − cos 2 x  ;
d)
y = sin(cos x) + cos(sin x) .
f)

x2 + 1

;
2

x

c)
e)

;

2 32

x − 5x + 5

;

π
y = cot (2 x + )
4
3

sin 3 x − cos3 x
1 + sin x.cos x .
Bài 37. Cho hàm số
Chứng minh đẳng thức : y.dy − cos 2 x.dx = 0 .
y=

Bài 38. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :
a)

4

4,02

;

0
b) tan 44 30'

;

c)

3

7,97 .

Đạo hàm cấp cao

5.13. Phương

•

pháp :
Dựa theo các định nghĩa sau :
11

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

 Đạo hàm cấp 2 :

f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) ′

′
n
n−1
f ( ) ( x ) =  f ( ) ( x )  , ( n ∈ ¥ , n ≥ 2 )


 Đạo hàm cấp cao :
.
•

Chú ý :
Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự
đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .

5.14. Các

ví dụ minh họa :

1 Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

1 4 2 3
x − x + 5x2 − 4x + 7
′′
′′′
4
3
a)
. Tìm y , y ;
x− 3
y=
( 4)
3
′′
x + 4 . Tìm y′′ , y′′′ , y
b)
;
c) y = 3x − x . Tìm y .
y=

Ví dụ 16.

Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:

3

′′
a) y y + 1 = 0 khi y =

(

2

b)

x y′′ − 2 x + y

2

) ( 1 + y ) = 0 khi

;

y = x.tan x

.

*
Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng ∀n ∈ ¥ :

Ví dụ 17.
a)

2

2x − x2

( sinax) (

n)


nπ 
= an sin ax +
÷
2


( n)

 1 

÷
 ax + b 

c)
Ví dụ 18.

;

b)

( cosax) (

n)


nπ 
= cos ax +
÷

2 ;


( −1) a n!
n+1
( ax + b) .
n n

=

Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau :

y=

a)
Ví dụ 19.

4x +1
2x −1

;

b)

y=

x 2 − 3x + 5
x +1
.

Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau :
4
4
a) y = sin x + cos x
;
b) y = 8sin x.cos3 x.cos 4 x .
• Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành tổng của các hàm

1
; sinax ; cosax
số có một trong các dạng : ax + b
rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đoán ra công thức
đạo hàm cấp n của hàm số đã cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) .
5.15. Bài

tập áp dụng:

Bài 39. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

′′
a) y = x.cos 3 x tìm y
c)

y=

( 2 x + 1)

5

( 5)

tìm y

b) y = sin

;
y=
;

d)

2

2x

x 2 + 3x + 1
x−2

′′′
tìm y ;

( 4)
tìm y .
12


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau :
a)

xy − 2 ( y '− sin x ) + xy " = 0

nếu y = x sin x ;

2
b) 18( 2 y − 1) + y" = 0 nếu y = cos 3 x ;

c) y"+ y = 0 nếu

y=

sin3 x + cos 3 x
1 − sin x cos x ;

(

)

2

[ 4] + 2 xy′′′ − 4 y′′ = 40
y = x2 − 1
y
d)
nếu
;
x−3

y=
2
x+4 ;
e) 2 y ' = ( y − 1) y" nếu

(

)

2
f) 4 x + 1 . y"+4 x. y '− y = 0 nếu y =

( 1 + x ) y "+ xy '− k
g)
2

2

y=0

x + 1+ x2 ;

)

(

2
( k ∈¥) .
nếu y = x + x + 1 ,

Bài 41. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau :
a)

y=

y=

2x − 1
x+2
x+2

x2 − 2 x + 1 ;
4 x2 − 5x + 3
y= 2
2 x − 3x + 1
d)
y = sin 6 x + cos 6 x ;

y(
f) Cho y = cos3 x . Chứng minh

2n )

k

y=

3
x2 − x − 2

;

b)

;

d) y = 8sin x.sin 2 x.sin 3 x

= ( −1) 32 n y

;

;

c)

e)

n

.

6. Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn
6.1.

Phương pháp :
f ' ( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( 0)
x − x0

Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm :
để tính các giới hạn có dạng vô định . Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng :
lim

x→ x0

f ( x ) − f ( 0)
x − x0
, sau đó tính đạo hàm của hàm f ( x ) tại điểm x0 rồi áp dụng định nghĩa đạo

hàm suy ra kết quả của giới hạn .
6.2.

Các ví dụ minh họa :

1Tìm các giới hạn sau :
3

lim
a)

x →0

1 + 4x − 1
x

;

5 − x3 − 3 x2 + 7
lim
x2 −1
b) x →1
.

13


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
Ví dụ 20.

Tìm các giới hạn sau :

x + x2 + L + xn − n
lim
x−1
a) x→1
Ví dụ 21.

a)
6.3.

;

x n − nx + n − 1
lim
x →1
( x − 1) 2
b)

;

π

sin − x 
4

lim 
π
2 sin x
x→ 1 −
4

.

Tìm các giới hạn sau :

π

lim tan 2 x. tan  − x 
π
x→
4


4

b)

.

Bài tập áp dụng:

Bài 42. Tìm các giới hạn sau :

lim
a)

x →1

x+8 −3

lim

x + 2x − 3

1− 2x + 1 + sin x
lim
x→ 0
3x + 4 − 2− x
c)
lim

b)

;

3 3 4 x3 − 24 + x + 2 − 8 2 x − 3
lim
4 − x2
d) x→2
;
n

x −1
e)
Bài 43. Tìm các giới hạn sau :
x →1 4

a)

x→ a

;

πx
, ( a ≠ 0)
2a
;

b)

f)

x →0

cos5 x − cos3x
x.sin 2 x
c) x→0

;

1 − cos 3 x
e) x →0 x sin x
x →0

lim

x →0

1+ 2x −1
1 + 3x − 1 ;

lim

lim

g)

lim m

;

2x + 1 − 3 x 2 + 1
sin x

;

lim

lim

lim

x −1

x →1

;

x −1

lim(a − x)tan

3x − 2

3

2

3

x −

d)

;

2 x2 + 1 − 3 4x2 + 1
1 − cos x

;

h)

f)

lim
x →0

x →1

limπ
x→

2

x + 3 − 2x
tan( x − 1) ;

cos 3 x + 1 + sin 3 x
1 + sin 3x

1 + tan x − 1 + sin x
x3
;

x2 + 3 + 2x2 + 4x + 19 − 3x2 + 46

i) x→1

x2 − 1

.

7. Tính các tổng có chứa tổ hợp (NÂNG CAO – DÀNH CHO NHỮNG BẠN CÓ TRÍ THI ĐẠI HỌC)
7.1.

Phương pháp :

Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức
tổ hợp đôi khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính
được tổng cần tính .
7.2.

Các ví dụ minh họa :

1Tính các tổng sau :
a)

S1 = Cn1 + 2Cn2 5 + 3Cn3 52 + L + nCnn 5n−1

;
14

TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn
b)

S2 = 2.1.Cn2 2n−2 − 3.2.Cn3 2n−3 + L + ( −1) .n ( n − 1) .Cnn

.

c)

S3 = 1 .C + 2 .C + 3 .C + L + n .C

d)

n

2

7.3.

1
n

2

2
n

2

3
n

2

n
n

;

S 4 = 2Cn0 + 5Cn1 + 8Cn2 + ..... + ( 3n + 2 ) Cnn

.

Bài tập áp dụng:

Bài 44. Rút gọn các tổng sau :
1
2
n −1
n
S
=
C
+
2
C

+
L
+
(
n
−
1)
C
+
nC
1
n
n
n
n
a)
;
0
1
2
n −1
S = Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCn + (n + 1)Cnn ;
b) 2

S = 2C 0 + 5C 1 + 8C 2 + ..... + ( 3n + 2 ) Cnn

n
n
n
c) 3

Bài 45. (*) Rút gọn các tổng sau :
99

.

100

198

199

0 1
1 1
99  1 
100  1 
a) S1 = 100C100
 ÷ − 101C100  ÷ + L L − 199C100  ÷ + 200C100  ÷
2
2
 2
2 .
2 18
3 17
20
S2 = 2.1.C20
2 − 3.2.C20
2 + L + 380.C20

b)

.

c)

S3 = 1 .C

d)

S 4 = 3C − 5C + 7C − ..... + 4023C

2

1
2009

0
n

− 2 .C
2

1
n

2
2009

+ 3 .C
2

3
2009

2009
− L + 20092.C2009

2
n

2010
2010

Bài 46. Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức

.

.

An3 + Cn3
= 35, ( n ≥ 3)
( n − 1) ( n − 2 )

S = 2 .C − 3 .C + L + ( −1) n .C
2

2
n

2

3
n

n

2

. Tính tổng :

n
n

.
bị B1 – 2008) .
Bài 47. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luôn có :

(Dự

n.2n.Cnn + ( n − 1) .2n−1.Cn1 + ( n − 2 ) .2 n−2.Cn2 + L + 2.Cnn−1 = 2n.3n−1

(Dự bị D1 – 2008) .
Bài 48. Tìm số nguyên dương n sao cho :

C21n+1 − 2.2C22n+1 + 3.22C23n+1 − 4.23C24n+1 + ... + ( 2n + 1) .22nC22nn++11 = 2011
(

Cnk

là số tổ hợp chập k của n phần tử ) .


“Phần lớn chúng ta cân nhắc quá nhiều về cái giá phải trả cho sự thay đổi mà ít
chịu cân nhắc về cái giá phải trả nếu không thay đổi.”

15


TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS
Địa chỉ: Tầng 3 số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà Nội
Hotline: 0986 035 246
Email:
Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn

THÔNG BÁO HỌC PHÍ

Kính gửi phụ huynh em: Lê Đức Tuấn Minh
Lớp 11
Môn học:kl o Toán
Số buổi học: 12 buổi
Học phí: 1.200.000 VNĐ
( Ghi bằng chữ ): Một triệu hai tram ngàn đồng
Kinh mong quý phụ huynh tạo điều kiện cho em đóng tiền đúng hạn ( từ
ngày 25/03/2016 – 5/04/2016 ) theo quy định của Trung tâm để em được
hưởng những quyền lợi xứng đáng. Xin cảm ơn!
Chữ ký PHHS
Trung tâm Đào tạo Tự học WTS

16