04 đại số 08 chương IV BPT bậc nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (948.65 KB, 12 trang )
Đại số 8
www.vmathlish.com
-----
CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
I. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Bất đẳng thức
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của
bất đẳng thức.
2. Tính chất
Điều kiện
c>0
c<0
a > 0, c > 0
n nguyên
dương
Nội dung
a
a < b ac > bc
a < b và c < d a + c < b + d
a < b và c < d ac < bd
a < b a2n+1 < b2n+1
0 < a < b a2n < b2n
ab > 0
ab < 0
1 1
a b
1 1
a>b
a b
a>b
(1)
(2a)
(2b)
(3)
(4)
(5a)
(5b)
(6a)
(6b)
3. Một số bất đẳng thức thông dụng
a) a2 0, a . Dấu "=" xảy ra a = 0 .
a2 b2 2ab . Dấu "=" xảy ra a = b.
b) Bất đẳng thức Cô–si:
ab
ab . Dấu "=" xảy ra a = b.
Với a, b 0, ta có:
2
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện
Nội dung
x 0, x x, x x
x a a x a
a>0
x a
x a
x a
a b ab a b
1
www.vmathlish.com
Đại số 8
d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ ab c ab ; bc a bc ; ca b ca .
4. Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh một BĐT là lập luận để khẳng định tính đúng đắn của BĐT đó.
Để chứng minh một BĐT ta thường sử dụng:
– Tính chất của quan hệ thứ tự các số.
– Tính chất của bất đẳng thức.
– Một số BĐT thông dụng.
www.vmathlish.com
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
Một số BĐT thường dùng:
+ A2 0
+ A2 B 2 0
+ A.B 0 với A, B 0.
+ A2 B 2 2 AB
Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm
GTLN, GTNN của biểu thức.
Câu 1. Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2 b2 c2 ab bc ca
b) a2 b2 1 ab a b
c) a2 b2 c2 3 2(a b c)
d) a2 b2 c2 2(ab bc ca)
e) a4 b4 c2 1 2a(ab2 a c 1)
f)
g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc
h) a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)
HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 0
b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0
c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0
2
2 2
2
a2
b2 c2 ab ac 2bc
4
d) (a b c)2 0
2
a
f) (b c) 0
2
2
e) (a b ) (a c) (a 1) 0
g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 0
2
2
2
2
a
a
a
a
h) b c d e 0
2
2
2
2
Câu 2. Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
3
ab
a2 b2
a) ab
2
2
a3 b 3 a b
b)
; với a, b 0
2
2
c) a4 b4 a3b ab3
d) a4 3 4a
2
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
e) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > 0.
g)
1
1 a
2
1
1 b
2
2
; với ab 1.
1 ab
f) a 4 b 4
a
6
b
2
b
6
a2
; với a, b 0.
h) (a5 b5 )(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > 0.
2
2
ab
(a b)2
a2 b2 a b
(a b)2
ab
0
0
HD: a)
;
2
4
2
2
4
3
b) (a b)(a b)2 0
c) (a3 b3 )(a b) 0
d) (a 1)2 (a2 2a 3) 0
8
e) Chú ý: a3 b3 (a b)3 3a2 b 3ab2 .
BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) 0 .
2
2 2
4
2 2
4
f) (a b ) (a a b b ) 0
g)
(b a)2 (ab 1)
(1 ab)(1 a2 )(1 b2 )
0
h) ab(a b)(a3 b3 ) 0 .
Câu 3. Cho a, b, c, d R. Chứng minh rằng a2 b2 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng
thức sau:
a) a4 b4 c4 d 4 4abcd
b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc
c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d 2 4) 256abcd
HD:
a) a4 b4 2a2b2 ; c2 d 2 2c2d 2 ; a2 b2 c2 d 2 2abcd
b) a2 1 2 a ; b2 1 2 b ; c2 1 2 c
c) a2 4 4 a ; b2 4 4 b ; c2 4 4 c ; d 2 4 4 d
Câu 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
a
a ac
1 thì
(1). Áp dụng chứng minh các
b bc
b
bất đẳng thức sau:
a
b
c
a) 1
2
ab bc ca
a
b
c
d
2
b) 1
abc bcd cd a d ab
ab
bc
cd
da
3
c) 2
abc bcd cd a d ab
HD: BĐT (1) (a – b)c < 0.
a
a
ac
b
b
ba
a) Sử dụng (1), ta được:
;
;
abc ab abc abc bc abc
c
c
cb
.
abc ca abc
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
a
a
a
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
abcd abc ac
b
b
b
c
c
c
Tương tự:
;
;
abcd bcd bd
abcd cd a ac
www.vmathlish.com
3
Đại số 8
www.vmathlish.com
d
d
d
abcd d ab d b
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
ab
ab
abd
abcd abc abcd
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Câu 5. Cho a, b, c R. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1). Áp dụng chứng
minh các bất đẳng thức sau:
2
a) (a b c) 3(a b c )
a2 b2 c2 a b c
b)
3
3
c) (a b c)2 3(ab bc ca)
d) a4 b4 c4 abc(a b c)
2
2
2
2
HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 .
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1)
b, c) Vận dụng a)
3
d) Sử dụng (1) hai lần
3
Câu 6. Cho a, b 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a b a2 b b2 a ab(a b) (1). Áp dụng
chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
1
1
a)
;
với a, b, c > 0.
a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc
1
1
1
1;
b)
với a, b, c > 0 và abc = 1.
3
3
3
3
3
a b 1 b c 1 c a3 1
1
1
1
1;
c)
với a, b, c > 0 và abc = 1.
a b 1 b c 1 c a 1
HD: (1) (a2 b2 )(a b) 0 .
1
.
a3 b3 abc ab(a b c)
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b, c) Sử dụng a).
Câu 7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c)
1
a) ab bc ca a2 +b2 c2 <2(ab bc ca)
b) abc (a b c)(b c a)(a c b)
c) 2a2 b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c4 0
d) a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2 a3 b3 c3
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a2 b2 2bc c2 .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b) Ta có: a2 a2 (b c)2 a2 (a b c)(a b c) .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
c) (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 0 .
d) (a b c)(b c a)(c a b) 0 .
Câu 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
1
1
1
a)
cũng là độ dài các cạnh của một tam giác khác.
;
;
ab bc ca
4
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
1
1
1
1 1 1
.
abc bca cab a b c
HD: a) Sử dụng tính chất phân số và BĐT các cạnh trong tam giác.
1
1
1
1
2
1
Ta có:
>
ab bc abc abc caca ca
Tương tự, chứng minh các BĐT còn lại.
1 1
4
b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > 0 ta có:
.
x y xy
1
1
4
2
Ta có:
.
a b c b c a (a b c) (b c a) b
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b)
VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội
Dùng các tính chất của bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tổng hữu hạn hoặc
tích hữu hạn.
Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
S = u1 u2 .... un
Ta biến đổi số hạng tổng quát uk về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
Khi đó:
uk ak ak 1
S = a1 a2 a2 a3 .... an an 1 a1 an 1
Phương pháp chung về tính tích hữu hạn:
P = u1u 2 ....u n
uk
Ta biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:
Khi đó:
P=
ak
ak 1
a
a1 a2
a
. ..... n 1
a2 a3
an 1 an1
Câu 9. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 , ta có:
1
1
1
1
1
1
1
3
....
2 n 1 1
....
a)
b) 1
2 n 1 n 2
nn 4
2
3
n
1
1
1
1
1
1
1
c) 1
d)
.......
1
...
2
2
2
2
1.2 2.3 3.4
(n 1).n
2
3
n
1
1
1
HD: a) Ta có:
,
với k = 1, 2, 3, …, n –1.
n k n n 2n
1
2
2
2 k 1 k , với k = 1, 2, 3, …, n.
b) Ta có:
k 2 k
k k 1
1
1
1
1
, với k = 2, 3, …, n.
c) Ta có: 2
k
k k 1 k 1 k
1
1
1
d) Ta có:
, với k = 2, 3, …, n.
(k 1).n k 1 k
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1. Bất đẳng thức Cô–si:
5
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
ab
ab . Dấu "=" xảy ra a = b.
2
2. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.
+ Với a, b 0, ta có:
Câu 10. Cho a, b, c 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a b)(b c)(c a) 8abc
bc ca ab
a b c ; với a, b, c > 0.
a
b
c
ab
bc
ca
abc
c)
; với a, b, c > 0.
ab bc ca
2
a
b
c
3
; với a, b, c > 0.
d)
bc ca ab 2
b)
HD: a) a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca đpcm.
b)
bc ca
abc2
ca ab
a2 bc
ab bc
ab2c
2
2c ,
2
2a ,
2
2b đpcm
a
b
ab
b
c
bc
c
a
ac
c) Vì a b 2 ab nên
bc
bc ca
ca
ab
ab
ab
;
. Tương tự:
.
bc
2 ca
2
a b 2 ab
2
ab
bc
ca
ab bc ca a b c
(vì ab bc ca a b c )
ab bc ca
2
2
a
b
c
d) VT =
1
1
1 3
bc ca ab
1
9
3
1
1
1
= (a b) (b c) (c a)
3 3 .
2
2
2
bc ca ab
Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
3
1 x y z x z y 1
Khi đó, VT = 3 (2 2 2 3) .
2
2 y x x z y z 2
Câu 11. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1 1
a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2
a b c
b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c2 )
c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3
a3 b3 b3 c 3 c 3 a3
HD: a) VT = a2 b2 c2 .
a c
b a
c
b
Chú ý:
a3 b3
2 a2 b2 2ab . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
b
a
b) 2(a3 b3 c3 ) a2 b b2 a b2c bc2 c2 a ca2 .
Chú ý: a3 b3 ab(a b) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
6
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
3
3
3
2
2
2
c) Áp dụng b) ta có: 9(a b c ) 3(a b c)(a b c ) .
Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm.
1 1
4
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b ab
1
1 1 1
1
1
a) 2
; với a, b, c > 0.
a b c
ab bc ca
1
1
1
1
1
1
b)
2
; với a, b, c > 0.
ab bc ca
2a b c a 2b c a b 2c
1 1 1
1
1
1
1
c) Cho a, b, c > 0 thoả 4 . Chứng minh:
2a b c a 2b c a b 2c
a b c
ab
bc
ca
abc
d)
; với a, b, c > 0.
ab bc ca
2
2 xy
8yz
4 xz
6.
e) Cho x, y, z > 0 thoả x 2 y 4 z 12 . Chứng minh:
x 2 y 2 y 4z 4z x
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
1
1
2 .
pa pb pc
a b c
1 1
HD: (1) (a b) 4 . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
a b
1 1
4
1 1
4 1 1
4
;
;
a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
.
a b ab b c bc c a ca
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
b) Tương tự câu a).
1 1 1
1
1
1
c) Áp dụng a) và b) ta được: 4
.
a b c
2a b c a 2b c a b 2c
ab
1
1
11 1
(a b) .
d) Theo (1):
ab 4
ab 4a b
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12 đpcm.
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
1
1
4
4
.
Áp dụng (1) ta được:
p a p b ( p a) ( p b) c
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.
1 1 1
9
Câu 13. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b c abc
1
1
1 3
a) (a2 b2 c2 )
(a b c ) .
ab bc ca 2
x
y
z
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 . Tìm GTLN của biểu thức: P =
.
x 1 y 1 z 1
c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Tìm GTNN của biểu thức:
1
1
1
P=
.
a2 2bc b2 2ac c2 2ab
Câu 12. Cho a, b > 0. Chứng minh
7
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Chứng minh:
1
a2 b2 c 2
1
1
1
30 .
ab bc ca
1 1 1
HD: Ta có: (1) (a b c) 9 . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
a b c
1
1
1
9
a) Áp dụng (1) ta được:
.
a b b c c a 2(a b c)
9(a2 b2 c2 ) 3 3(a2 b2 c2 ) 3
VT
.
(a b c)
2(a b c)
2
abc
2
Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
1
x 11 y 11 z 11
1
1
P=
= 3
x 1
y 1
z 1
x 1 y 1 z 1
9 3
1
1
1
9
9
. Suy ra: P 3 .
Ta có:
4 4
x 1 y 1 z 1 x y z 3 4
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN
của biểu thức: P =
c) Ta có: P
x
y
z
.
kx 1 ky 1 kz 1
9
2
2
2
a 2bc b 2ca c 2ab
1
9
d) VT
2
2
2
ab bc ca
a b c
9
(a b c)2
9.
1
1
1
7
=
2
2
2
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
a b c
9
7
9 7
30
2
ab bc ca 1 1
(a b c )
3
1
1
Chú ý: ab bc ca (a b c)2 .
3
3
Câu 14. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
x 18
x
2
; x 1.
a) y ; x 0 .
b) y
2 x 1
2 x
3x
1
x
5
1
; x 1 .
;x
c) y
d) y
2 x 1
3 2x 1
2
x3 1
e) y
x
5
; 0 x 1
1 x x
f) y
g) y
x2 4x 4
; x0
x
h) y x 2
HD:
a) Miny = 6 khi x = 6
x2
; x0
2
; x0
x3
3
b) Miny =
khi x = 3
2
8
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
c) Miny =
6
3
6
1
khi x =
2
3
d) Miny =
5 5
4
f) Miny =
e) Miny = 2 5 5 khi x
g) Miny = 8 khi x = 2
h) Miny =
30 1
khi x =
3
3
3
5
4
5
khi x =
3
khi x =
2
5
27
Câu 15. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y ( x 3)(5 x ); 3 x 5
b) y x (6 x ); 0 x 6
c) y ( x 3)(5 2 x ); 3 x
5
2
1
5
x
2
2
a) Maxy = 16 khi x = 1
121
1
c) Maxy =
khi x =
8
4
e) y (6 x 3)(5 2 x );
HD:
e) Maxy = 9 khi x = 1
d) y (2 x 5)(5 x );
30 1
2
3
5
x5
2
x
; x0
x2 2
b) Maxy = 9 khi x = 3
625
5
d) Maxy =
khi x =
8
4
1
f) Maxy =
khi x = 2 ( 2 x 2 2 2 x )
2 2
f) y
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. Định nghĩa
Bất phương trình dạng ax b 0 (hoặc ax b 0, ax b 0, ax b 0 ), trong đó a, b là hai số đã
cho, a 0, đgl bất phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Hai qui tắc biến đổi bất phương trình
Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải
đổi dấu hạng tử đó.
Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
– Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương.
– Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
Câu 16. Giải các bất phương trình sau:
a) 3(2 x 3) 4(2 x ) 13
b) 6 x 1 (3 x+9) 8 x 7 (2 x 1)
c) 8 x 17 3(2 x 3) 10( x 2)
d) 17( x 5) 41x 15( x 4) 1
e) 4(2 3 x ) (5 x ) 11 x
f) 2(3 x ) 1,5( x 4) 3 x
4
3
83
4
18
ĐS: a) x 3
b) x
c) x
d) x
e) x
f) x
3
2
73
5
5
Câu 17. Giải các bất phương trình sau:
2x 1 x 6
5( x 1)
2( x 1)
a)
b)
1
3
2
6
3
9
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
3( x 1)
x 1
3
8
4
1
2
1 1
3
x
2x
x
5
33
5
e) 4
3
5
2
c) 2
d)
3x 5
x2
1
x
2
3
2 x 5 22 7 x 5 2 x
5x 2
x
6
4
3
4
9
14
5
ĐS: a) x 20
b) x 15
c) x
d) x 5
e) x
f) x
5
2
19
Câu 18. Giải các bất phương trình sau:
f)
a) (2 x 3)(2 x 1) 4 x ( x 2)
b) 5( x 1) x(7 x ) x 2
c) ( x 1)2 ( x 3)2 x 2 ( x 1)2
d)
(2 x 1)2 (3 x )2
8
2
( x 2)2 3( x 1)2 x 2 1
x (1,5 x 1) (2 x )2 5 x
2
f)
5
10
2
6
4
2
3
5
9
7
3
ĐS: a) x
b) x
c) x
d) x
e) x
f) x 2
4
2
4
7
10
Câu 19. Giải các bất phương trình sau:
8x
2x 1
1
a) 8x 3 5 3
b) 2 x
3x
2
5
5
x 5 x 1 x 3
5x
x x
c)
d) x
1
3
6
3
2
6
3 6
x 7 2x x 7
e)
15
5 3 15
ĐS: a) x tuỳ ý
b) x tuỳ ý
c) x tuỳ ý
d) vô nghiệm e) vô nghiệm
Câu 20. Với những giá trị nào của x thì:
a) Giá trị của biểu thức 7 3( x 1) không nhỏ hơn giá trị của biểu thức 2( x 3) 4 .
x2
b) Giá trị của biểu thức
x 1 lớn hơn giá trị của biểu thức x 3 .
3
e)
c) Giá trị của biểu thức ( x 1)2 4 không lớn hơn giá trị của biểu thức ( x 3)2 .
3
1
x
2 x
2 nhỏ hơn giá trị của biểu thức
4 2.
d) Giá trị của biểu thức x
4
3
14
3
ĐS: a) x
b) x 2
c) x
d) x 2 .
2
5
Câu 21. Giải các bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)
x 1987 x 1988 x 1989 x 1990
x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6
a)
b)
2002
2003
2004
2005
99
97
95
98
96
94
x-1987 x 1988 x 1989 x 1990
x 1 x 3 x 5 x 2 x 4 x 6
c)
d)
2002
2003
2004
2005
99
97
95
98
96
94
ĐS: a) x 15
b) x 100
Câu 22.
a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2. Tìm số đó biết
rằng nó lớn hơn 21 nhưng nhỏ hơn 36.
b) Tìm số nguyên nằm trong khoảng từ 300 đến 400, biết số đó chia cho 3, 4, 5 đều có số dư là
1
10
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
1.
c) Tìm số nguyên nằm trong khoảng từ 500 đến 600, biết số đó chia cho 5, 8, 10 có các số dư
lần lượt là 2, 5, 7.
ĐS: a) 31
b) 301 ( x 1 chia hết cho 3, 4, 5)
c) 557 ( x 3 chia hết cho 5, 8, 10)
III. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Câu 23. Giải các phương trình sau:
a) 4 x x 2
b) 2 x 2 3 x
c) 2 x 3 5 x 6
x 2 x 1 1 x 3
1 5x
d) 2 x 6 x 7 x 8
e)
f)
6 5x
2
3
4
6
3
2 2
9
19
1
ĐS: a) S ;
b) S 0
c) S
d) S
e) S
f) S
5 3
7
20
8
Câu 24. Giải các phương trình sau:
a) x 2 2 x x
b) 2 x 2 5x 3 2 x 2 2
c) x 2 4 x 5 x 2 1
d) 3x 2 7x 2 x 2 5x 6
1
b) S 1;
c) S 3;1
4
ĐS:
a) S 0;1;3
d) S 2
Câu 25. Giải các phương trình sau:
a)
3x 6
x 2
1 2x
b) 2 x 8
x2 6x 8
x 3
c)
x 6
x 2 36
2
2 x 2 7 x 4
x 2 5x 4
f)
4 x
x4
2x 1
x 2 3x 2
5x 2 7 x 2
4
13
3
ĐS: a) S 2 b) S ;4 c) S d) S ;3 e) S 4 f) S 4
2
3
5
Câu 26. Giải các phương trình sau:
a) 2 x 1 x 1
b) 2 5 x 3 x 1
c) 1 4 x 7 x 2 0
d)
x2 4x 3
x 3
d) 2 x 2 5x 10 2 x 2 1
e)
e) x 3 4 6
f) x 2 3x x 2 1
1 3
1
9 9
1
ĐS: a) S 2;0 b) S ; c) S ;1 d) S ;1; e) S 1;5 f) S 1;
2
11
4 5
8 2
Câu 27. Giải các phương trình sau:
a) 2 x 1 5 x 2 3
b) 2 x x 3 1 0
c) x 2 x 3 1
d) x 1 2 x 1 x
e) 2 x 3 x x 1 0
f) x 1 x 1 0
1 3
1
ĐS: a) S
b) S 4
c) 2 x 3
d) S ; e) S f) S
2
2 2
11
www.vmathlish.com
Đại số 8
www.vmathlish.com
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG IV
Câu 28. Giải các bất phương trình sau:
a) 3 x 8 5 x+12
b) 4 x 15 24 7 x
c) x 1 7 2 x
x 1 x 2
x 3
2x 1
x 1 x 2
x 3
d)
e)
f)
1
2 x (2 x 1)
x
2
3
4
2
2
3
4
11
1
ĐS: a) x 10 b) x 3
c) x 2
d) x
e) x
f) x 1
7
2
11x 7 8 x 2
Câu 29. a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của bất phương trình:
b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên âm của bất phương trình:
x2 2x 8 x2 x 1 x2 x 1 x 1
2
6
3
4
4(2 3 x ) (5 x ) 11 x
c) Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình:
d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình: 2(3 x ) 1,5( x 4) 3 x
ĐS: a) 1;2
b) 3; 2; 1
Câu 30. Giải các bất phương trình sau:
x 5 x 15 x 2005 x 1995
1987 x 1988 x 27 x 28 x
a)
b)
4
2005 1995
5
15
15
16
1999
2000
1
1
1
1
1
1
c)
...
...
x
10.110
1.11 2.12
100.110
1.101 2.102
ĐS: a) x 2010 . Trừ 2 vế cho 2
b) x 1972 . Trừ 2 vế cho 4
1
1 1
1
1
1 1
1
c) x 10 . Biến đổi
,
k (100 k ) 100 k 100 k k (k 10) 10 k k 10
Câu 31. Giải các phương trình sau:
a) x 3 5 x 7
d) 4 x 7
b) x 5 2 x 9
7 4x
9
4x 7
5
ĐS: a) S
3
e)
7x2 9 x 2
2 7x
5x 4
14
b) S 4; c) S 1;19
3
c) 2 x 11 x 8
x 2 8 x 15
3x 9
2x2 9x 5
3 15
1 2
d) S ; e) S ; f) S 3
4 4
2 7
f)
www.vmathlish.com
VanLucNN
www.facebook.com/VanLuc168
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
12
www.vmathlish.com
