04 đại số 10 chương IV bđt BPT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 22 trang )
Đại số 10
www.vmathlish.com
CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§1. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Tính chất
Điều kiện
Nội dung
a
a < b ac > bc
a < b và c < d a + c < b + d
a < b và c < d ac < bd
a < b a2n+1 < b2n+1
0 < a < b a2n < b2n
c>0
c<0
a > 0, c > 0
n nguyên
dương
a>0
a
3
a b
(1)
(2a)
(2b)
(3)
(4)
(5a)
(5b)
(6a)
a3b
(6b)
2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a)
a2 0, a .
b) Bất đẳng thức Cô–si:
a2 b2 2ab .
ab
ab . Dấu "=" xảy ra a = b.
2
abc 3
abc . Dấu "=" xảy ra a = b = c.
+ Với a, b, c 0, ta có:
3
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
+ Với a, b 0, ta có:
Điều kiện
Nội dung
x 0, x x, x x
x a a x a
a>0
x a
x a
x a
a b ab a b
d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
www.vmathlish.com
1
Đại số 10
www.vmathlish.com
+ ab c ab ; bc a bc ;
e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
ca b ca.
Với a, b, x, y R, ta có: (ax by)2 (a2 b2 )( x 2 y2 ) .
Dấu "=" xảy ra ay = bx.
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản
Câu 1.
Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2 b2 c2 ab bc ca
b) a2 b2 1 ab a b
c) a2 b2 c2 3 2(a b c)
d) a2 b2 c2 2(ab bc ca)
e) a b c 1 2a(ab a c 1)
a2
b2 c2 ab ac 2bc
f)
4
g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc
h) a2 b2 c2 d 2 e2 a(b c d e)
4
i)
4
2
2
1 1 1
1
1
1
với a, b, c > 0
a b c
ab
bc
ca
k) a b c ab bc ca với a, b, c 0
HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 0
b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0
c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0
2
2 2
2
d) (a b c)2 0
2
a
f) (b c) 0
2
2
e) (a b ) (a c) (a 1) 0
g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 0
2
2
2
2
a
a
a
a
h) b c d e 0
2
2
2
2
2
2
2
1
1 1
1 1
1
i)
0
a
b
b
c
c
a
2
Câu 2.
2
2
k) a b b c c a 0
Cho a, b, c R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3
a3 b 3 a b
a)
; với a, b 0
2
2
b) a4 b4 a3b ab3
c) a4 3 4a
d) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > 0.
e) a 4 b 4
g)
a2 3
2
a 2
a6
b2
2
HD: a)
b6
a2
; với a, b 0.
f)
1
1 a2
1
1 b2
2
; với ab 1.
1 ab
h) (a5 b5 )(a b) (a4 b4 )(a2 b2 ) ; với ab > 0.
3
(a b)(a b)2 0
8
b) (a3 b3 )(a b) 0
c) (a 1)2 (a2 2a 3) 0
2
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
3
3
3
2
2
d) Sử dụng hằng đẳng thức a b (a b) 3a b 3ab .
BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) 0 .
2
2 2
4
2 2
4
(b a)2 (ab 1)
0
e) (a b ) (a a b b ) 0
f)
g) (a2 1)2 0
h) ab(a b)(a3 b3 ) 0 .
(1 ab)(1 a2 )(1 b2 )
Câu 3. Cho a, b, c, d R. Chứng minh rằng a2 b2 2ab (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng
thức sau:
a) a4 b4 c4 d 4 4abcd
b) (a2 1)(b2 1)(c2 1) 8abc
c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d 2 4) 256abcd
HD:
a) a4 b4 2a2b2 ; c2 d 2 2c2d 2 ; a2 b2 c2 d 2 2abcd
b) a2 1 2a; b2 1 2b; c2 1 2c
c) a2 4 4a; b2 4 4b; c2 4 4c; d 2 4 4d
Câu 4.
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu
a
a ac
1 thì
(1). Áp dụng chứng minh các
b bc
b
bất đảng thức sau:
a
b
c
2
a)
ab bc ca
a
b
c
d
2
b) 1
abc bcd cd a d ab
ab
bc
cd
da
3
c) 2
abc bcd cd a d ab
HD: BĐT (1) (a – b)c < 0.
a
ac
b
ba
c
cb
a) Sử dụng (1), ta được:
,
,
.
ab abc bc abc ca abc
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
a
a
a
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
abcd abc ac
b
b
b
Tương tự,
abcd bcd bd
c
c
c
abcd cd a ac
d
d
d
abcd d ab d b
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
ab
ab
abd
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
abcd abc abcd
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Câu 5. Cho a, b, c R. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
3
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
a2 b2 c2 a b c
3
3
2
a) (a b c)2 3(a2 b2 c2 )
b)
c) (a b c)2 3(ab bc ca)
d) a4 b4 c4 abc(a b c)
e)
abc
ab bc ca
với a,b,c>0.
3
3
f) a4 b4 c4 abc nếu a b c 1
HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 .
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1)
b, c) Vận dụng a)
d) Sử dụng (1) hai lần
e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)
f) Sử dụng d)
Câu 6. Cho a, b 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 a2 b b2 a ab(a b) (1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
1
1
1
1
a)
;
với a, b, c > 0.
3
3
3
3
3
3
a b abc b c abc c a abc abc
1
1
1
1;
b)
với a, b, c > 0 và abc = 1.
3
3
3
3
3
a b 1 b c 1 c a3 1
1
1
1
1;
c)
với a, b, c > 0 và abc = 1.
a b 1 b c 1 c a 1
d)
e*)
3
4(a3 b3 ) 3 4(b3 c3 ) 3 4(c3 a3 ) 2(a b c) ;
3
sin A 3 sin B 3 sin C 3 cos
với a, b, c 0 .
A 3
B
C
cos 3 cos ;
2
2
2
với ABC là một tam giác.
HD: (1) (a2 b2 )(a b) 0 .
1
1
.
a b abc ab(a b c)
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b, c) Sử dụng a).
a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c)
3
3
d) Từ (1) 3(a3 b3 ) 3(a2 b ab2 ) 4(a3 b3 ) (a b)3 (2).
Từ đó: VT (a b) (b c) (c a) 2(a b c) .
e) Ta có:
sin A sin B 2 cos
C
AB
C
.cos
2 cos .
2
2
2
Sử dụng (2) ta được: a b 3 4(a3 b3 ) .
3
sin A 3 sin B 3 4(sin A sin B) 3 4.2.cos
Tương tự,
Câu 7.
3
sin B 3 sin C 2 3 cos
A
,
2
3
C
C
2 3 cos
2
2
sin C 3 sin A 2 3 cos
B
2
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
Cho a, b, x, y R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
a2 x 2 b2 y 2 (a b)2 ( x y )2 (1)
4
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
1 a2 1 b2 5 .
a) Cho a, b 0 thoả a b 1 . Chứng minh:
b) Tìm GTNN của biểu thức P =
a2
1
b2
1
b2
a2
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1 . Chứng minh:
x2
1
x2
y2
1
y2
z2
.
1
z2
82 .
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 3 . Tìm GTNN của biểu thức:
P=
223 x 2 223 y 2 223 z2 .
(a2 b2 )( x 2 y 2 ) ab xy (*)
HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)
Nếu ab xy 0 thì (*) hiển nhiên đúng.
Nếu ab xy 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) (bx ay)2 0 (đúng).
1 a2 1 b2 (1 1)2 (a b)2 5 .
a) Sử dụng (1). Ta có:
b) Sử dụng (1). P
2
2
1 1
4
(a b) (a b)2
17
a b
ab
2
1 1
4
(với a, b > 0).
a b ab
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:
Chú ý:
1 1 1
x
y
z
( x y z)
2
2
2
x
y
z
x y z
2
1
2
1
1
2
2
2
2
9
82 .
xyz
( x y z)2
Chú ý:
1 1 1
9
(với x, y, z > 0).
x y z xyz
d) Tương tự câu c). Ta có: P
Câu 8.
3
2
223 ( x y z)2 2010 .
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) ab bc ca a2 +b2 c2 <2(ab bc ca)
b) abc (a b c)(b c a)(a c b)
c) 2a2 b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c4 0
d) a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2 a3 b3 c3
HD:
a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a2 b2 2bc c2 .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b) Ta có: a2 a2 (b c)2 a2 (a b c)(a b c) .
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
c) (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 0 .
5
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
d) (a b c)(b c a)(c a b) 0 .
Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
Một số BĐT thường dùng:
+ A2 0
+ A2 B 2 0 + A.B 0 với A, B 0.
+ A2 B 2 2 AB
Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra.
Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1. Bất đẳng thức Cô–si:
ab
ab . Dấu "=" xảy ra a = b.
2
abc 3
abc . Dấu "=" xảy ra a = b = c.
+ Với a, b, c 0, ta có:
3
+ Với a, b 0, ta có:
2
3
ab
abc
2. Hệ quả:
+
+
ab
abc
2
3
3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất x = y.
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất x = y.
Câu 9.
Cho a, b, c 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) (a b c)(a2 b2 c2 ) 9abc
a) (a b)(b c)(c a) 8abc
3
c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 3 abc
d)
bc ca ab
a b c ; với a, b, c > 0.
a
b
c
e) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c2 (1 a2 ) 6abc
ab
bc
ca
abc
; với a, b, c > 0.
ab bc ca
2
a
b
c
3
; với a, b, c > 0.
g)
bc ca ab 2
f)
HD: a) a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca đpcm.
3
b) a b c 33 abc ; a2 b2 c2 3 a2b2c2 đpcm.
c)
(1 a)(1 b)(1 c) 1 a b c ab bc ca abc
a b c 33 abc
3
ab bc ca 3 a2 b2c2
3
3
(1 a)(1 b)(1 c) 1 33 abc 3 a2 b2c2 abc 1 3 abc
d)
www.vmathlish.com
bc ca
abc2
2
2c ,
a
b
ab
6
Đại số 10
www.vmathlish.com
ca ab
a2 bc
2
2a ,
b
c
bc
ab bc
ab2c
2
2b đpcm
c
a
ac
3
e) VT 2(a2 b b2c c2 a) 6 a3b3c3 6abc .
f) Vì a b 2 ab nên
Tương tự:
ab
ab
ab
.
a b 2 ab
2
bc
bc ca
ca
;
.
bc
2 ca
2
ab
bc
ca
ab bc ca a b c
ab bc ca
2
2
(vì ab bc ca a b c )
a
b
c
g) VT =
1
1
1 3
bc ca ab
1
9
3
1
1
1
= (a b) (b c) (c a)
3 3 .
2
2
2
bc ca ab
Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
3
1 x y z x z y 1
Khi đó, VT = 3 (2 2 2 3) .
2
2 y x x z y z 2
Câu 10. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1 1
a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2
a b c
b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c2 )
c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3
a3 b3 b3 c 3 c 3 a3
HD: a) VT = a b c .
a c
b a
c
b
2
2
2
a3 b3
2 a2 b2 2ab . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
Chú ý:
b
a
b) 2(a3 b3 c3 ) a2 b b2 a b2c bc2 c2 a ca2 .
Chú ý: a3 b3 ab(a b) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3 ) 3(a b c)(a2 b2 c2 ) .
Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm.
1 1
4
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b ab
1
1 1 1
1
1
a) 2
; với a, b, c > 0.
a b c
ab bc ca
1
1
1
1
1
1
b)
2
; với a, b, c > 0.
ab bc ca
2a b c a 2b c a b 2c
Câu 11. Cho a, b > 0. Chứng minh
7
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
1 1 1
1
1
1
1
4 . Chứng minh:
2a b c a 2b c a b 2c
a b c
ab
bc
ca
abc
d)
; với a, b, c > 0.
ab bc ca
2
2 xy
8yz
4 xz
6.
e) Cho x, y, z > 0 thoả x 2 y 4 z 12 . Chứng minh:
x 2 y 2 y 4z 4z x
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
1
1
2 .
pa pb pc
a b c
1 1
HD: (1) (a b) 4 . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
a b
1 1
4
1 1
4 1 1
4
;
;
a) Áp dụng (1) ba lần ta được:
.
a b ab b c bc c a ca
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
b) Tương tự câu a).
1 1 1
1
1
1
c) Áp dụng a) và b) ta được: 4
.
a b c
2a b c a 2b c a b 2c
ab
1
1
11 1
(a b) .
d) Theo (1):
ab 4
ab 4a b
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12 đpcm.
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
1
1
4
4
.
Áp dụng (1) ta được:
p a p b ( p a) ( p b) c
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.
1 1 1
9
Câu 12. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b c abc
1
1
1 3
a) (a2 b2 c2 )
(a b c ) .
ab bc ca 2
b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 .
c) Cho a, b, c > 0 thoả
x
y
z
.
x 1 y 1 z 1
c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Tìm GTNN của biểu thức:
1
1
1
P=
.
2
2
2
a 2bc b 2ac c 2ab
1
1
1 1
30 .
d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1 . Chứng minh:
2
2
2
ab bc ca
a b c
1
1
1
6
.
e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh:
2 cos 2 A 2 cos 2 B 2 cos 2C 5
1 1 1
HD: Ta có: (1) (a b c) 9 . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
a b c
Tìm GTLN của biểu thức: P =
8
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
a) Áp dụng (1) ta được:
VT
1
1
1
9
.
a b b c c a 2(a b c)
9(a2 b2 c2 ) 3 3(a2 b2 c2 ) 3
.
(a b c)
2(a b c)
2
abc
2
Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
1
x 11 y 11 z 11
1
1
P=
= 3
x 1
y 1
z 1
x 1 y 1 z 1
9 3
1
1
1
9
9
. Suy ra: P 3 .
Ta có:
4 4
x 1 y 1 z 1 x y z 3 4
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN của biểu thức: P
=
x
y
z
.
kx 1 ky 1 kz 1
c) Ta có: P
9
a2 2bc b2 2ca c2 2ab
1
9
d) VT
2
2
2
ab bc ca
a b c
9
(a b c)2
9.
1
1
1
7
=
a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca
9
7
9 7
30
(a b c)2 ab bc ca 1 1
3
1
1
Chú ý: ab bc ca (a b c)2 .
3
3
1
1
1
9
e) Áp dụng (1):
2 cos 2 A 2 cos 2 B 2 cos 2C 6 cos 2 A cos 2 B cos 2C
9
6
.
3 5
6
2
3
Chú ý: cos 2 A cos 2 B cos 2C .
2
Câu 13. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
x 18
x
2
3x
1
; x 1.
; x 1 .
a) y ; x 0 .
b) y
c) y
2 x 1
2 x 1
2 x
d) y
x
5
1
;x
3 2x 1
2
x2 4x 4
; x0
g) y
x
HD:
a) Miny = 6 khi x = 6
e) y
x
5
; 0 x 1
1 x x
h) y x 2
2
x3
f) y
x3 1
x2
; x0
; x0
b) Miny =
3
khi x = 3
2
9
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
c) Miny =
6
3
6
1
khi x =
2
3
d) Miny =
5 5
4
f) Miny =
e) Miny = 2 5 5 khi x
g) Miny = 8 khi x = 2
30 1
khi x =
3
3
3
h) Miny =
4
5
5
khi x =
3
khi x =
2
5
27
Câu 14. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y ( x 3)(5 x ); 3 x 5
b) y x (6 x ); 0 x 6
c) y ( x 3)(5 2 x ); 3 x
e) y (6 x 3)(5 2 x );
g) y
5
2
d) y (2 x 5)(5 x );
1
5
x
2
2
f) y
x
x2 2
30 1
2
3
5
x5
2
; x0
x2
x 2 2 3
HD:
a) Maxy = 16 khi x = 1
121
1
c) Maxy =
khi x =
8
4
b) Maxy = 9 khi x = 3
625
5
d) Maxy =
khi x =
8
4
1
f) Maxy =
khi x = 2 ( 2 x 2 2 2 x )
2 2
e) Maxy = 9 khi x = 1
2
2
3
g) Ta có: x 2 x 1 1 3 x
Maxy =
2
2
3
2
( x 2) 27x
x2
2
3
( x 2)
1
27
1
khi x = 1.
27
VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki
Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)
Với a, b, x, y R, ta có: (ax by)2 (a2 b2 )( x 2 y2 ) . Dấu "=" xảy ra ay = bx.
Với a, b, c, x, y, z R, ta có: (ax by cz)2 (a2 b2 c2 )( x 2 y2 z2 )
Hệ quả:
(a b)2 2(a2 b2 )
(a b c)2 3(a2 b2 c2 )
Câu 15. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 3a2 4b2 7 , với 3a 4 b 7
c) 7a2 11b2
2464
, với 3a 5b 8
137
e) 2a2 3b2 5 , với 2a 3b 5
b) 3a2 5b2
d) a2 b2
735
, với 2a 3b 7
47
4
, với a 2b 2
5
f) ( x 2 y 1)2 (2 x 4 y 5)2
9
5
10
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
3, 4, 3a, 4b .
2
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
3
3
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
7
,
3
5
5
,
, 3a, 5b .
11
, 7a, 11b .
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,2, a, b .
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
2, 3, 2a, 3b .
f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a–b=–3 và BĐT a2 b2
9
.
5
Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.
Câu 16. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
a) a2 b2 , với a b 1 .
b) a3 b3 , với a b 1 .
2
4
1
c) a 4 b 4 , với a b 1 .
d) a4 b4 2 , với a b 2 .
8
HD: a) 1 (1a 1b)2 (12 12 )(a2 b2 ) đpcm.
b) a b 1 b 1 a b3 (1 a)3 1 3a 3a2 a3
2
1 1 1
b a 3 a .
2 4 4
3
3
1
đpcm.
4
c) (12 12 )(a 4 b 4 ) (a2 b2 )2
d) (12 12 )(a2 b2 ) (a b)2 4 a2 b2 2 .
(12 12 )(a4 b4 ) (a2 b2 )2 4 a4 b4 2
Câu 17. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P 1 x 1 y 1 z .
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:
P 1 1 1. (1 x ) (1 y) (1 z)
Dấu "=" xảy ra 1 x 1 y 1 z x y z
6
1
.
3
1
.
3
Câu 18. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 . Chứng minh rằng:
Vậy Max P =
6 khi x y z
x2
1
x
2
y2
1
y
2
z2
1
z2
82
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:
2
2 1 2
9
2
x 2 (1 9 ) x
x
x
1
1
9
Tương tự ta có: y 2 2
y
y
82
y
x2
1
x
2
(2),
1
9
x
x
82
z2
1
z
2
(1)
1
9
z
z
82
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
11
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
1 1 1
1
1
1 1 1 1 80 1 1 1
( x y z) 9 =
( x y z)
9 x y z 9 x y z
82
82
x y z
1 1 1 80
1 2
9
( x y z) .
82 .
82 3
x y z 9 x y z
1
Dấu "=" xảy ra x y z .
3
P
Câu 19. Cho a, b, c
1
thoả a b c 1 . Chứng minh:
4
(1)
(2)
7 4a 1 4b 1 4c 1 21 .
HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c 1 (2).
x y z x y z . Dấu "=" xảy ra x = y = z = 0. Từ đó (1)
Chú ý:
Câu 20. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
4 1
2 3
a) A
, với x + y = 1
b) B x y , với 6
x 4y
x y
2
HD:
2
2 1
a) Chú ý: A =
.
x 2 y
Áp dụng BĐT (B) với 4 số:
x;
2
x
; y;
1
2 y
ta được:
2
4 1
25
2
1
x.
y.
( x y)
4
x
2 y
x 4y
4
1
25
4
1
Dấu "=" xảy ra x ; y . Vậy minA =
khi x ; y .
5
5
4
5
5
2
2
2 3 2 3
b) Chú ý:
.
x y x y
Áp dụng BĐT (B) với 4 số:
x ; y;
2
;
x
3
ta được:
y
2
2
2
2 3
2 3
2
3
( x y) x .
y.
.
2 3 x y
x
y
6
x y
Dấu "=" xảy ra x
2 3 3 2
6 3
; y
2 3 3 2
6 2
. Vậy minB =
2 3
6
2
.
Câu 21. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A x 1 y y 1 x , với mọi x, y thoả x 2 y 2 1 .
HD: a) Chú ý: x y 2( x 2 y 2 ) 2 .
A
( x 2 y 2 )(1 y 1 x ) x y 2
Dấu "=" xảy ra x y
2 2 .
2
.
2
12
www.vmathlish.com
Đại số 10
Câu 22. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a) A 7 x 2 x , với –2 x 7
www.vmathlish.com
b) B 6 x 1 8 3 x , với 1 x 3
x2 y2
1.
c) C y 2 x 5 , với 36 x 16y 9
d) D 2 x y 2 , với
4
9
5
HD: a) A (12 12 )(7 x x 2) 3 2 . Dấu "=" xảy ra x .
2
2
2
A (7 x ) ( x 2) 3 . Dấu "=" xảy ra x = –2 hoặc x = 7.
5
2
maxA = 3 2 khi x ;
b) B
minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.
(62 82 )( x 1 3 x ) 10 2 . Dấu "=" xảy ra x =
43
.
25
B 6 ( x 1) (3 x ) 2 3 x 6 2 . Dấu "=" xảy ra x = 3.
43
; minB = 6 2 khi x = 3.
25
1
1
c) Chú ý: 36 x 2 16 y2 (6 x)2 (4 y)2 . Từ đó: y 2 x .4 y .6 x .
4
3
maxB = 10 2 khi x =
1 1
1
1
5
.4 y .6 x 16 y 2 36 x 2
4
3
4
16 9
5
5
15
25
C y 2x 5 .
y 2x
4
4
4
4
15
2
9
25
2
9
minC =
khi x , y ;
maxC =
khi x , y
.
5
20
5
20
4
4
y 2x
x 2 y2
1
2
1
(3 x )2 (2 y)2 . Từ đó: 2 x y .3 x .2 y .
d) Chú ý:
3
2
4
9 36
4 1
2
1
.3x .2 y 9 x 2 4 y 2 5
3
2
9 4
5 2 x y 5 7 D 2 x y 2 3 .
2x y
8
5
minD = –7 khi x , y
9
;
5
8
9
maxD = 3 khi x , y .
5
5
www.vmathlish.com
VanLucNN
www.facebook.com/VanLuc168
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
13
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH MỘT ẨN
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax+b<0
Câu 1. Giải các bất phương trình sau:
3 3 2 x 7
2x 1
3
x
a) 2 x
b) 3
5
3
5
4
5( x 1)
2( x 1)
3( x 1)
x 1
3
1
c)
d) 2
8
4
6
3
Câu 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) m( x m) x 1
b) mx 6 2 x 3m
c) (m 1) x m 3m 4
d) mx 1 m2 x
m( x 2) x m x 1
f) 3 mx 2( x m) (m 1)2
6
3
2
Câu 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
e)
a) m2 x 4m 3 x m2
b) m2 x 1 m (3m 2)x
c) mx m2 mx 4
d) 3 mx 2( x m) (m 1)2
VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Câu 4. Giải các hệ bất phương trình sau:
4x 5
15 x 8
x 3
8 x 5 2
a)
b) 7
2(2 x 3) 5 x 3
3x 8 2 x 5
4
4
x
11 x
4
2x 5
2 x 3
d)
e) 2
2 x 9 19 x
2 3 x 1 x 8
3
2
2
2 x 3 3x 1
3 x 1 3( x 2)
5 3x
1
4 5
4
8
2
g)
h)
5
x
4
x
1
x
1
4
5
x
3 x 8
3
2
3
18
12
9
Câu 5. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
5
1
6 x 7 4 x 7
15 x 2 2 x 3
a)
b)
8
x
3
2( x 4) 3x 14
2 x 25
2
2
4
1
3 12 x x 2
c)
4x 3 2 x
2
3
1
15 x 2 2 x 3
f)
2 x 4 3 x 14
2
3x 1 2 x 7
i)
4 x 3 2 x 19
14
www.vmathlish.com
Đại số 10
Câu 6. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
x m 1 0
x 1 0
a)
b)
3m 2 x 0
mx 3 0
7 x 2 4 x 19
d)
2 x 3m 2 0
www.vmathlish.com
2
c) x 4m 2mx 1
3x 2 2 x 1
mx 1 0
e)
(3m 2) x m 0
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
Câu 7. Giải các bất phương trình sau:
a) ( x 1)( x 1)(3 x 6) 0
c) x 2 x 20 2( x 11)
b) (2 x 7)(4 5 x ) 0
d) 3 x (2 x 7)(9 3 x ) 0
e) x3 8x 2 17 x 10 0
Câu 8. Giải các bất phương trình sau:
(2 x 5)( x 2)
x 3 x 5
0
a)
b)
4 x 3
x 1 x 2
3x 4
2x 5
1
1
d)
e)
x 2
2 x
2x2 x
4
3
1 x
h)
3x 1 2 x
1 2x
Câu 9. Giải các bất phương trình sau:
a) 3 x 2 7
b) 5 x 12 3
x 1
d) 3 x 15 3
e) x 1
2
g) 2 x 5 x 1
h) 2 x 1 x
Câu 10. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
2x m 1
mx m 1
0
0
a)
b)
x 1
x 1
HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương:
a x b1x
(a1x b1 )(a2 x b2 ) 0 , 1
0
a2 x b2 x
g)
– Đặt x1
b1
a1
; x2
b2
a2
f) x 3 6 x 2 11x 6 0
x 3 1 2x
x 5 x 3
2
5
f)
x 1 2x 1
c)
i)
2 x 5 3x 2
3x 2 2 x 5
c) 2x 8 7
x
f) x 2
2
i) x 2 x 1
c)
x 1( x m 2) 0
(hoặc < 0. 0, 0)
. Tính x1 x2 .
– Lập bảng xét dấu chung a1.a2 , x1 x2 .
– Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta
a x b1x
xét dấu của (a1 x b1 )(a2 x b2 ) (hoặc 1
) nhờ qui tắc đan dấu.
a2 x b2 x
3 m
;
m 3 : S (; 1)
2
3
m
a) m 3 : S ;
(1; )
2
m 3 : S R \ { 1}
m 1
;
m 0 : S (;1)
m
m
1
b) m 0 : S
;1
m
m 0 : S (;1)
15
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
m 3 : S (1; )
c)
m 3 : S (m 2; )
16
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
§3. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT
VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Bất phương trình tích
Dạng:
P(x).Q(x) > 0 (1)
(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
P( x )
0 (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
Dạng:
Q( x )
P( x )
. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Q( x )
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc
tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
g( x ) 0
Dạng 1:
f ( x ) g( x )
g( x ) f ( x ) g( x )
Cách giải: Lập bảng xét dấu của
Dạng 2:
g( x ) 0
f ( x ) coù nghóa
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Chú ý: Với B > 0 ta có:
A B B A B ;
A B
.
A B
A B
17
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
§4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
§5. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
1. Dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax 2 bx c (a 0)
<0
a.f(x) > 0, x R
Nhận xét:
b
2a
=0
a.f(x) > 0, x R \
>0
a.f(x) > 0, x (–∞; x1) (x2; +∞)
a.f(x) < 0, x (x1; x2)
ax 2 bx c 0, x R a 0
0
ax 2 bx c 0, x R a 0
0
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2 bx c 0 (hoặc 0; < 0; 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Câu 1.
Xét dấu các biểu thức sau:
a) 3x 2 2 x 1
b) x 2 4 x 5
c) 4 x 2 12 x 9
d) 3x 2 2 x 8
e) x 2 2 x 1
f) 2 x 2 7 x 5
g) (3x 2 10 x 3)(4 x 5)
h) (3x 2 4 x)(2 x 2 x 1)
i)
Câu 2.
(3 x 2 x )(3 x 2 )
4x2 x 3
Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2 5x 2 0
b) 5x 2 4 x 12 0
c) 16 x 2 40 x 25 0
d) 2 x 2 3x 7 0
e) 3x 2 4 x 4 0
f) x 2 x 6 0
g)
Câu 3.
3 x 2 x 4
0
h)
4 x 2 3x 1
0
x 2 3x 5
x 2 5x 7
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) x 2 mx m 3 0
i)
5x 2 3x 8
x2 7x 6
0
b) (1 m) x 2 2mx 2m 0
c) mx 2 2 x 4 0
HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau:
– Lập bảng xét dấu chung cho a và .
– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT.
Câu 4. Giải các hệ bất phương trình sau:
18
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
2
a) 2 2x 9 x 7 0
x x 6 0
x2 4x 3 0
d) 2 x 2 x 10 0
2 x 2 5 x 3 0
g) 4
x2 2x 7
x2 1
1
2
b) 2 x2 x 6 0
3x 10 x 3 0
2
c) 2 x2 5 x 4 0
x 3x 10 0
x 2 4 x 7 0
e) 2
x 2x 1 0
x2 x 5 0
f) 2
x 6x 1 0
h)
1 x2 2x 2
1
13 x 2 5 x 7
i) 1
10 x 2 3 x 2
x 2 3x 2
1
VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai
Câu 5.
Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm
ii) vô nghiệm
a) (m 5) x 2 4mx m 2 0
b) (m 2) x 2 2(2m 3) x 5m 6 0
c) (3 m) x 2 2(m 3) x m 2 0
d) (1 m) x 2 2mx 2m 0
e) (m 2) x 2 4mx 2m 6 0
f) (m2 2m 3) x 2 2(2 3m) x 3 0
Câu 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a) 3x 2 2(m 1) x m 4 0
b) x 2 (m 1) x 2m 7 0
c) 2 x 2 (m 2) x m 4 0
d) mx 2 (m 1) x m 1 0
e) (m 1) x 2 2(m 1)x 3(m 2) 0
f) 3(m 6) x 2 3(m 3) x 2m 3 3
Câu 7.
Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) (m 2) x 2 2(m 1)x 4 0
b) (m 3) x 2 (m 2) x 4 0
c) (m2 2m 3) x 2 2(m 1) x 1 0
d) mx 2 2(m 1)x 4 0
e) (3 m) x 2 2(2m 5)x 2m 5 0
f) mx 2 4(m 1) x m 5 0
VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa
hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
f ( x) 0
C1 g( x ) 0
C2
f ( x ) g( x )
Dạng 1:
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x) 0
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Dạng 2:
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Dạng 3:
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) f ( x ) g( x )
19
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
g( x ) 0
f ( x ) coù nghóa
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Dạng 4:
Chú ý: A A A 0 ;
A A A 0
A B
.
A B
A B
A B A B AB 0 ; A B A B AB 0
2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ
thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
g( x ) 0
Dạng 1:
f ( x ) g( x )
2
f ( x ) g( x )
f ( x ) 0 (hoaëc g( x ) 0)
Dạng 2:
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
t f ( x ), t 0
Dạng 3:
a. f ( x ) b. f ( x ) c 0 2
at bt c 0
u f ( x )
; u, v 0 đưa về hệ u, v.
f ( x ) g( x ) h( x ) . Đặt
Dạng 4:
v g( x )
f ( x) 0
Dạng 5:
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
f ( x ) g( x )2
g( x ) 0
f ( x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
Dạng 6:
f ( x ) g( x )2
Với B > 0 ta có:
Câu 8.
Giải các phương trình sau:
a) x 2 5x 4 x 2 6 x 5
d) 2 x x 3 3
Câu 9.
A B B A B ;
b) x 2 1 x 2 2 x 8
2
e) x 1 1 x
c) 2 3x 2 6 x 2 0
x2 1 x 1
f)
2
x ( x 2)
Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2 5 x 3 0
b) x 8 x 2 3x 4
c) x 2 1 2 x 0
d) x 2 4 x 3 x 2 4 x 5
e) x 3 x 1 2
f) x 2 3x 2 x 2 2 x
g)
x2 4x
2
x x2
1
h)
2x 5
1 0
x 3
i)
x 2
2
x 5x 6
3
20
www.vmathlish.com
Đại số 10
Câu 10. Giải các phương trình sau:
www.vmathlish.com
a)
2x 3 x 3
b)
5 x 10 8 x
c) x 2 x 5 4
d)
x2 2x 4 2 x
e)
3x 2 9 x 1 x 2
f)
g)
3x 7 x 1 2
h)
x2 9 x2 7 2
i)
3x 2 9 x 1 x 2
21 x 21 x
21 x 21 x
21
x
Câu 11. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)
a)
3
x 5 3 x 6 3 2 x 11
b)
3
x 1 3 3x 1 3 x 1
c) 3 1 x 3 1 x 2
d) 3 x 1 3 x 2 3 x 3 0
Câu 12. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)
a)
x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2
b)
x 5 4 x 1 x 2 2 x 1 1
c) 2 x 2 2 x 1 2 2 x 3 4 2 x 1 3 2 x 8 6 2 x 1 4
Câu 13. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)
a) x 2 6 x 9 4 x 2 6 x 6
b) ( x 4)( x 1) 3 x 2 5x 2 6
c) ( x 3)2 3x 22 x 2 3x 7
d)
( x 1)( x 2) x 2 3 x 4
Câu 14. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
3x 2 5x 8 3x 2 5x 1 1
b)
3
9 x 1 3 7 x 1 4
d)
4
47 2 x 4 35 2 x 4
f)
a)
c)
e)
3
5 x 7 3 5 x 13 1
3
24 x 3 5 x 1
x 2 4356 x
x x 2 4356 x 2 5
x
Câu 15. Giải các bất phương trình sau:
a)
x 2 x 12 8 x
b)
x 2 x 12 7 x
c)
x 2 4 x 21 x 3
d)
x 2 3x 10 x 2
e)
3 x 2 13 x 4 x 2
f)
2x 6x2 1 x 1
g)
x 3 7 x 2x 8
h)
2 x 7 x 3 2 x
i) 2 x 3 x 2 1
Câu 16. Giải các bất phương trình sau:
a)
( x 3)(8 x ) 26 x 2 11x
c) ( x 1)( x 4) 5 x 2 5x 28
Câu 17. Giải các bất phương trình sau:
a)
x2 4x
2
3 x
c) ( x 3) x 2 4 x 2 9
b) ( x 5)( x 2) 3 x( x 3) 0
d)
3x 2 5x 7 3x 2 5x 2 1
b)
2 x 2 15 x 17
0
x 3
d)
x2 x 6
x2 x 6
2x 5
x4
Câu 18. Giải các bất phương trình sau:
21
www.vmathlish.com
Đại số 10
www.vmathlish.com
3
a) x 2 x 2 8
b)
3
3
2 x 2 1 3x 2 1
c)
3
x 1 x 3
www.vmathlish.com
VanLucNN
www.facebook.com/VanLuc168
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
…………………….…………………
22
www.vmathlish.com
