04 đại số+GT 11 chương IV giới hạn

Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:
1
1
lim  0 ;
lim
 0 (k  Z  )
k
n n
n  n
n

lim q  0 ( q  1) ;

n

lim C  C

lim nk   (k  Z  )

lim n  

lim qn   (q  1)

n

2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
 lim (un + vn) = a + b
 lim (un – vn) = a – b
 lim (un.vn) = a.b
u
a
 lim n  (nếu b  0)
vn b
b) Nếu un  0, n và lim un= a
thì a  0 và lim

Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:

un  a

c) Nếu un  vn ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì lim un  a
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q  1
1 q

2. Định lí:
a) Nếu lim un   thì lim

1
0
un

b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim

un
vn

=0

c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0
u

neáu a.vn  0
thì lim n = 
neáu a.vn  0
vn

d) Nếu lim un = +, lim vn = a

neáu a  0
thì lim(un.vn) = 
neáu a  0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô
0 
định: , ,  – , 0. thì phải tìm cách khử
0 
dạng vô định.

Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
 Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
 Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức



a  b  a  b   a  b;

 3 a  3 b   3 a2  3 ab  3 b2   a  b

 Dùng định lí kẹp: Nếu un  vn ,n và lim vn = 0

thì

lim un = 0

Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
 Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
 Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao
nhất của tử và của mẫu.

1
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và
mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Câu 1. Tính các giới hạn sau:
a) lim
d) lim

2n2  n  3
3n2  2n  1
n4

(n  1)(2  n)(n2  1)
Câu 2. Tính các giới hạn sau:

a) lim
d) lim

1  3n

d) lim

e) lim

b) lim

4  3n
2n  5n1

1  5n
Câu 3. Tính các giới hạn sau:

a) lim

b) lim

4n2  1  2n  1
n2  4n  1  n
4n2  1  2n

e) lim

2n  1
n3  4 n 2  3

n2  1

f) lim

2n 4  n  1

4.3n  7n1

3n3  2n2  n
n3  4
2n 4  n2  3
3n3  2n2  1

c) lim

2.5n  7n
1  2.3n  7n

f) lim

5n  2.7n
n2  3  n  4

b) lim
e) lim

c) lim

5n  8n
1  2.3n  6n

2n (3n1  5)

c) lim

n2  2  n

(2n n  1)( n  3)
(n  1)(n  2)

f) lim

4n1  6n2

3

n2  1  n6

n 4  1  n2
n2  4n  4n2  1

n2  4n  1  n
3n2  1  n
Câu 4. Tính các giới hạn sau:
 1

 1
1
1
1
1 
a) lim 

 ... 

 ... 
 b) lim 

(2n  1)(2n  1) 
n(n  2) 
 1.3 3.5
 1.3 2.4


 1
1 
1
1 

1
1 
c) lim  1   1   ...  1  
d) lim 

 ... 

n(n  1) 
 22  32 
 n2 
 1.2 2.3

e) lim

1  2  ...  n

Câu 5. Tính các giới hạn sau:

 n2  2n  n  1
d) lim 1  n2  n4  3n  1 
a) lim

g) lim

4n2  1  2n  1

n2  4n  1  n
Câu 6. Tính các giới hạn sau:

a) lim

d) lim

f) lim

n2  3n

2 cos n2
2

n 1
3sin6 n  5cos2 (n  1)

h) lim

1  3  32  ...  3n

n2  n  n2  2
n2  n  n



3

n2  1  n6
n 4  1  n2

(1)n sin(3n  n2 )
b) lim
3n  1

e) lim

3sin 2 (n3  2)  n2



c) lim
f) lim
i) lim

 3 2n  n3  n  1
1
n2  2  n2  4
n2  4n  4n2  1
3n2  1  n

c) lim

2  2n cos n
3n  1

f) lim

3n2  2n  2
n(3cos n  2)

2  3n2

1 
1 

1 
Câu 7. Cho dãy số (un) với un =  1   1   ...  1   , với  n  2.
2
2
 2  3   n2 
www.vmathlish.com

n2  1


e) lim 
b) lim

1  2  22  ...  2 n

2


Đại số & Giải tích 11
a) Rút gọn un.

www.vmathlish.com

b) Tìm lim un.
1
1
1


Câu 8. a) Chứng minh:

(n  N*).
n n  1  (n  1) n
n
n 1
1
1
1

 ... 
b) Rút gọn: un =
.
1 2 2 1 2 3 3 2
n n  1  (n  1) n
c) Tìm lim un.
u1  1

Câu 9. Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
.
1
un1  un  n (n  1)

2
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
u  0; u2  1
Câu 10. Cho dãy số (un) được xác định bởi:  1
2un2  un1  un , (n  1)
1
a) Chứng minh rằng: un+1 =  un  1 , n  1.

2
2
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
3

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

3
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:

lim x  x0 ;

x x0

lim c  c (c: hằng số)

x  x0

2. Định lí:
a) Nếu lim f ( x )  L và lim g( x )  M
x  x0

x  x0

thì: lim  f ( x )  g( x )  L  M
x  x0

lim  f ( x )  g( x )  L  M

x  x0

lim  f ( x ).g( x )  L.M

x  x0

f (x) L

(nếu M  0)
x  x0 g( x )
M
b) Nếu f(x)  0 và lim f ( x )  L
lim

x  x0

thì L  0 và lim

x  x0

f ( x)  L

c) Nếu lim f ( x )  L thì lim f ( x )  L
x  x0

x  x0

Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực
1. Giới hạn đặc biệt:
 nếu k chẵn
lim x k   ; lim x k  
x 
x 
 nếu k lẻ
c
1
lim
0
lim   ;
lim c  c ;

k
x  x
x 
x 0 x
1
1

1
lim
 lim
 
lim  



x 0 x
x 0 x
x 0 x
2. Định lí:
Nếu lim f ( x )  L  0 và lim g( x )   thì:
x  x0

x  x0

 nếu L và lim g( x ) cùng dấu

x  x0
lim f ( x )g( x )  
g( x ) trái dấu
x  x0
 nếu L và xlim
 x0

0 nếu lim g( x )  
x  x0
f ( x ) 
lim

  nếu lim g( x )  0 và L.g( x )  0
x  x0 g( x )
x  x0

g( x )  0 và L.g( x )  0
 nếu xlim
 x0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định:
0 
, ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ
0 
định.

3. Giới hạn một bên:
lim f ( x )  L  lim  f ( x )  lim  f ( x )  L
x  x0

x  x0

x  x0

Một số phương pháp khử dạng vơ định:
0
1. Dạng
0
P( x )
a) L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0)= Q(x0) = 0
x  x0 Q( x )

Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
P( x )
b) L = lim
với P(x0)=Q(x0)=0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
x  x0 Q( x )
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.

4
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

P( x )
với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc
x  x0 Q( x )

c) L = lim

Giả sử: P(x) =

m u( x )  n

Ta phân tích P(x) =

v( x ) vôùi

m u( x

0)

 n v( x 0 )  a .

 m u( x)  a    a  n v( x)  .


P( x )
: L = lim
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
x  Q( x )

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân
lượng liên hợp.
3. Dạng  – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
4. Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.

2. Dạng

Câu 1. Tìm các giới hạn sau:
1  x  x2  x3
a) lim
x 0
1 x

d) lim

x 1

x 1

x4  x  3

x 8 3
g) lim
x 1
x 2
Câu 2. Tìm các giới hạn sau:

a) lim

x 1

d) lim

x 3

x3  x2  x  1
x 2  3x  2
x3  5x 2  3x  9
x 4  8x 2  9

(1  x )(1  2 x )(1  3 x )  1
x 0
x
Câu 3. Tìm các giới hạn sau:

g) lim

a) lim

x 2

d) lim

x 2

g) lim

4x  1  3
x2  4

x 2 2
x 7 3
1 x 1

x 0 3 1  x

1
Câu 4. Tìm các giới hạn sau:

3x 2  1  x
x 1

b) lim

x 1

x2  x  1
x 1

e) lim

x 2

e) lim

x4 1
x3  2 x2  1
x  5x 5  4 x 6

(1  x )2

x 1

x  x 2  ...  x n  n
x 1
x 1

b) lim

x 1 3

x 1

4x  4  2

.

2 x  2  3x  1
e) lim
x 1
x 1

h) lim

x 3

x  3  2x
x 2  3x

i) lim x 2 sin
x 0

1
2

x5  1

c) lim

x 1

x3  1

xm 1

f) lim

xn 1

x 1

h) lim

3

x2  2x  3
x 1

x 1

3x 2  4  3x  2
h) lim
x 2
x 1

x 1

2

f) lim

3

b) lim



sin  x  

4
c) lim

x
x

i) lim

x 4  16

x 2

x3  2 x2

1  x2 1
c) lim
x 0
x
f) lim

x 0

i) lim

x 0

x2  1  1
x 2  16  4
x  9  x  16  7
x

5
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11
3

1 x  1 x
x

a) lim

x 0

1 4x  3 1 6x

d) lim

x2
1 4x . 1 6x 1
g) lim
x 0
x
Câu 5. Tìm các giới hạn sau:

x 0

x2  1

a) lim

2x2  x  1

x 

x2  2x  3  4x  1

d) lim

x 

g) lim

4x2  1  2  x

(2 x  1) x 2  3

x 

x  5x 2

www.vmathlish.com

b) lim
e) lim

x 2

f) lim

x2  1
3
x 1  1 x
i) lim
x 0
x
c) lim

x 

4x2  2x  1  2  x

e) lim

x 

h) lim

x 

3

5  x3  x2  7

x 1

2x2  x  1
b) lim
x 
x 2

f) lim

9 x 2  3x  2 x

x 

x 2  2 x  3x

2x2  1
x 3  3x 2  2

x x 1
x2  x  1

x 2  5x  2
i) lim
x  2 x  1

4x2  1  x  2

b) lim  2 x  1  4 x 2  4 x  3 
x  




d) lim  x  x  x  x 
x  


 3 2x 1  3 2x  1

x  15
x 2

8 x  11  x  7

2 x 2  5x  2
1  2 x .3 1  4 x  1
h) lim
x 0
x

f) lim

x 

 1
3 
g) lim 


x 1  1  x 1  x 3 
Câu 7. Tìm các giới hạn sau:
a) lim

3

2 1 x  3 8  x
c) lim
x 0
x

x 2

3
c) lim  x 2  1  x 3  1 
x  

x 

8 x  11  x  7
x 2  3x  2

x 2

Câu 6. Tìm các giới hạn sau:
a) lim  x 2  x  x 
x  


e) lim

3

 3 3x3  1 

x2  2





1
1
h) lim 


2
2
x 2  x  3 x  2 x  5 x  6 
b) lim

x 2

x  15
x 2

1  3x  2 x 2
x 3
x 3

c) lim

x2  4

2 x
2 x
e) lim
f) lim
x 2
x 2
x 2 2 x 2  5 x  2
x 2 2 x 2  5 x  2
Câu 8. Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 1 x 1
 9  x2
khi x  0
 3

taïi x  3
a) f ( x )   1  x  1
b) f ( x )   x  3 khi x  3
taïi x  0

3
khi x  0
1  x khi x  3
 2
 x2  2x
 x 2  3x  2
khi x  2

khi x  1

3



2
taïi x  2
c) f ( x )   8  x
d) f ( x )   x  1
taïi x  1
4
x
x

16


khi x  1
khi x  2
 x  2

 2
Câu 9. Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::

d) lim

6
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

 x3  1

a) f ( x )   x  1 khi x  1
mx  2 khi x  1

taïi x  1

x  m
khi x  0
 2
c) f ( x )   x  100 x  3
taïi x  0
khi x  0

x 3

 1
3

khi x  1

b) f ( x )   x  1 x 3  1
taïi x  1
2
2
m x  3mx  3 khi x  1


 x  3m

khi x  1
d) f ( x )   2
taïi x  1
 x  x  m  3 khi x  1

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

7
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

§3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0  lim f ( x)  f ( x0 )
x x0

 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim  f ( x ) , lim  f ( x ) )
x x0

x  x0

x  x0

B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) và rút ra kết luận.
x x0

2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim f ( x )  f (a), lim f ( x )  f (b)
x a 

x b 

4.  Hàm số đa thức liên tục trên R.
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
f (x)
 Hàm số y =
liên tục tại x0 nếu g(x0)  0.
g( x )
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c(a;b): f(c)=0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm c (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = min f ( x ) , M = max f ( x ) . Khi đó với mọi T  (m; M)
 a;b
 a;b
luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.
Câu 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:

 x 3 2

khi x  1 taïi x  1
b) f ( x )   x  1
1
khi x  1
 4
 x 5
 2  7 x  5x 2  x 3


khi
x

2
taïi x  2
c) f ( x )   x 2  3 x  2
d) f ( x )   2 x  1  3
1
( x  5)2  3
khi x  2


 x 1
1  cos x khi x  0

e) f ( x )  
f) f ( x )   2  x  1
taïi x  0
khi x  0

 x 1
2 x

Câu 2. Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
 2
khi x  1
a) f ( x )   x
taïi x  1
2
mx

3
khi
x 1

x 3

a) f ( x )   x  1
1

khi x  1

taïi x  1

khi x  1
khi x  5

taïi x  5

khi x  5

khi x  1

taïi x  1

khi x  1

8
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

 x3  x2  2 x  2

khi x  1
b) f ( x )  
taïi x  1
x 1
3x  m
khi x  1
m
khi x  0

2
x  x 6
c) f ( x )  
khi x  0, x  3
taïi x  0 vaø x  3

 x( x  3)
khi x  3

n
 x2  x  2

khi x  2
d) f ( x )   x  2
taïi x  2
m
khi x  2
Câu 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
 x3  x  2
 x 2  3x  4
khi
khi x  1
 3

a) f ( x )   x  1
b) f ( x )  5
khi

4
khi
2 x  1
khi x  1
 3
 x2  2
 x2  4
khi



khi x  2
c) f ( x )   x  2
d) f ( x )   x  2
4

khi x  2
khi
2 2

x2
x 2
x2
x 2
x 2

Câu 4. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
 x2  x
 x2  x  2
khi x  1


khi
x

2
a) f ( x )   x  2
b) f ( x )  2
khi x  1


m
khi x  1
khi x  2
mx  1
 x3  x2  2 x  2
 x2

khi x  1
khi x  1
c) f ( x )  
d)
f
(
x
)


x 1
2
mx

3
khi
x 1

3 x  m
khi x  1
Câu 5. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) x 3  3x  1  0
b) x3  6 x 2  9 x  1  0
c) 2 x  6 3 1  x  3
Câu 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x 5  3x  3  0

c) x 4  x3  3x 2  x  1  0

b) x 5  x  1  0

Câu 7. Chứng minh rằng phương trình: x 5  5x3  4 x  1  0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Câu 8. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m( x  1)3 ( x  2)  2 x  3  0

b) x 4  mx 2  2mx  2  0

c) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b)  0

d) (1  m2 )( x  1)3  x 2  x  3  0

e) cos x  m cos 2 x  0
f) m(2 cos x  2)  2sin 5x  1
Câu 9. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax 2  bx  c  0 với 2a + 3b + 6c = 0

b) ax 2  bx  c  0 với a + 2b + 5c = 0

c) x3  ax 2  bx  c  0

 1

Câu 10. Chứng minh rằng phương trình: ax 2  bx  c  0 luôn có nghiệm x   0;  với a  0 và 2a
 3
+ 6b + 19c = 0.

9
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11

www.vmathlish.com

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Câu 1. Tìm các giới hạn sau:
1  2  3  ...  n
a) lim
3n3
n2  2n

d) lim
g) lim
i) lim

2n2  3n  1



n2  3n  n2  1

 n  2 sin n 

b) lim 


 n  1 2n 
25n1  3

e) lim



2 cos n2

 3 n3  3n2  n 
n

k) lim

2

n 1

(1)n  4.3n

f) lim

35n2  1

g) lim

n 2  2n

3n 2  n  1

c) lim

3n2  1  n2  1

(1)n1  2.3n



3
l) lim  n2  2  n3  2n 
h) lim 1 n2  n4  n

Câu 2. Tìm các giới hạn sau:
x 2  5x  6

a) lim

x 3 x 2

d) lim

 8 x  15

2 x 4  5x 3  3x 2  1

x 1 3 x 4

g) lim

 8x 3  6 x 2  1
x3  2 x  1

x 1 x 5

 2x 1

8x 2  1

b) lim
x

6 x 2  5x  1

1
2

x3  3x  2

e) lim

x 1 x 4

h) lim

x 2  3x

x 3

x3  2 x2  4 x  8

f) lim

 4x  3
x2

x 2 2 x 2

x3  4 x2  4 x  3

c) lim

x 4  8 x 2  16
( x  2)2  1

x 2

 5x  2

i) lim

x2  1

x 1

Câu 3. Tìm các giới hạn sau:

x 2

a) lim

x 2 3 

x 0

x 2

x 4

x 1

3

x 1

x 1
Câu 4. Tìm các giới hạn sau:
x 0

2 x 2  3x  2
a) lim
x2
x 2
d) lim

2 x 2  5x  2
2

( x  2)

x 2

g) lim

x 2

8  2x  2


2x  7  3

e) lim

x 3 2

x 1

x  7  5  x2
x 1

3

g) lim
k) lim

x7

1 2x  3

d) lim

1  x2 1
x

b) lim

x2

3

h) lim

x 0

3

l) lim

1 x  3 1 x
x

x 1

e) lim



x 3

x 2  3x  4

3x  4
3 x

h) lim 
x 3

4  x 2  16
3

i) lim

x 2

x 2

x 1

x 0

2 x  5x  3
2

( x  3)

4x  2
x 2
x 2  x 7 5
x 2

3x 3  4 x  1
c) lim
x 1
x 1
f) lim

2

 2x  3
x2  1  1

f) lim

m) lim

x2

b) lim

x 1 x 2

x 0

1  x2  1

x 0

x 8 3

c) lim



x x
x x

i) lim  x  2 
x 2



x
2

x 4

10
www.vmathlish.com


Đại số & Giải tích 11
Câu 5. Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x 

2 x 3  3x 2  4 x  1
x 4  5x 3  2 x 2  x  3

d) lim

x 

g) lim

x  

k) lim

x 

2 x 4  x3  x
4

2

3x  2 x  7
x2  1  x
5  2x
x 2  2 x  3x
2

www.vmathlish.com

b) lim

x  2 x 2

c) lim



x2  1  x

h) lim



x2  x  3  x

x 

x 

l) lim

x 



khi x  3



trên R

 12  6 x
khi x  2


c) f ( x )   x 2  7 x  10
trên R
2
khi x  2
Câu 7. Tìm a để hàm số liên tục trên R:
2a 2 1
khi x 1
a) f ( x)
x3 x 2 2 x 2
khi x 1
x 1
 x2  x  2

khi x  2
c) f ( x )   x  2
a
khi x  2

 1)(10 x 2  9)

f) lim ( x  x 2  x  1)
x  



5x  3 1  x
x 
1 x

i) lim



x 2  x  2 x 2  1 m) lim

khi x  3

(2 x  3)2 (4 x  7)3

x  (3 x 3

 x 1

e) lim

4x  1  x  2
Câu 6. Xét tính liên tục của hàm số:

1  x

a) f ( x )   x 2  2 x  3
 2 x  6

x2  x  1

x 



x2  2x  x



1  cos x
khi x  0

2
b) f ( x )   sin x
tại x = 0
1
khi x  0
 4


 2
khi x  0 tại x = 0
d) f ( x )   x

1  x khi x  0
 x2  1

b) f ( x )   x  1
 x  a

khi x  1
khi x  1

 x2  4x  3

d) f ( x )   x  1

ax  2

khi x  1
khi x  1

Câu 8. Chứng minh rằng phương trình:
a) x3  6 x 2  9 x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
b) m( x  1)3 ( x 2  4)  x 4  3  0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m.

c) (m2  1)x 4 – x3 –1  0 luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng  1; 2  với mọi m.
d) x3  mx 2  1  0 luôn có 1 nghiệm dương.
e) x 4  3x 2  5x –6  0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
a
b
c

  0 . Chứng minh rằng phương
Câu 9. Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn:
m  2 m 1 m
trình: f ( x )  ax 2  bx  c  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
 m 1 
c2
0
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c  0. Với c  0 thì f (0). f 

m(m  2)
m2

11
www.vmathlish.com

Đại số & Giải tích 11
www.vmathlish.com
………………………….………………………….………………………….………………………….…
……………………….………………………….………………………….………………………….

12
www.vmathlish.com