01 giải tích 12 chương i đồ thị hàm số

Giải tích 12

www.vmathlish.com

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO
SÁT HÀM SỐ

§1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghòch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghòch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghòch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch biến của
hàm số.
Câu 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
x2
5
x

4
4

a) y   2 x 2  4 x  5

b) y 

d) y  x3  2 x 2  x  2

e) y  (4  x )( x  1)2

f) y  x 3  3x 2  4 x  1
i) y 

g) y 

1 4
x  2x2 1
4

h) y   x 4  2 x 2  3

k) y 

2x 1
x5

l) y 

x 1

2 x

c) y  x 2  4 x  3

1 4 1 2
x  x 2
10
10

m) y  1 

1
1 x

1
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com
2

1
2 x  x  26
o) y   x  3 
1 x
x2
Câu 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

n) y 

a) y  6 x 4  8x3  3x 2  1
d) y 

2x 1

b) y 
e) y 

x2

x2  1

c) y 

x2  4
x
x 2  3x  2

h) y  x 2  x 2

g) y  2 x  1  3  x
 

x 
2
 2

k) y  sin 2 x  

p) y 

2

4 x  15 x  9
3x

x2  x  1
x2  x  1

f) y  x  3  2 2  x
i) y  2 x  x 2

 

x 
2
 2

l) y  sin 2 x  x  

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số y  f ( x , m ) , m là tham số, có tập xác đònh D.

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.
 Hàm số f nghòch biến trên D  y  0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.
Chú ý:

1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y '  ax 2  bx  c thì:

 a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   
 a  0
   0

 a  b  0
 c  0
 y '  0, x  R   
 a  0
   0

3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.
b
)
2a
 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài
khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x )  ax 2  bx  c với số 0:

  0


 x1  x2  0   P  0
 S  0

  0

 0  x1  x2   P  0
 S  0

 x1  0  x2  P  0

5) Để hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x1; x2) bằng d thì ta thực hiện
các bước sau:
 Tính y.
 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:

2
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

a  0
  0


(1)

 Biến đổi x1  x2  d thành ( x1  x2 )2  4 x1x2  d 2

(2)

 Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Câu 3. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh)
của nó:
a) y  x 3  5x  13

b) y 

x3
 3x 2  9 x  1
3

c) y 

2x 1
x2

x2  2x  3
x 2  2mx  1
e) y  3 x  sin(3 x  1)
f) y 
x 1
xm
Câu 4. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc tập xác
đònh) của nó:

d) y 

a) y  5 x  cot( x  1)

b) y  cos x  x

c) y  sin x  cos x  2 2 x

Câu 5. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác đònh (hoặc từng khoảng xác đònh) của
nó:
a) y  x 3  3mx 2  (m  2) x  m b) y 
d) y 

mx  4
xm

e) y 

x 3 mx 2

 2x  1
3
2

c) y 

xm
xm

x 2  2mx  1

xm

f) y 

x 2  2mx  3m 2
x  2m

Câu 6. Tìm m để hàm số:
a) y  x 3  3x 2  mx  m nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
b) y 

1 3 1 2
x  mx  2mx  3m  1 nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.
3
2

1
c) y   x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
3
Câu 7. Tìm m để hàm số:

x3
 (m  1) x 2  (m  1) x  1 đồng biến trên khoảng (1; +).
a) y 
3

b) y  x 3  3(2m  1)x 2  (12m  5)x  2 đồng biến trên khoảng (2; +).
c) y 

mx  4

(m  2) đồng biến trên khoảng (1; +).
xm

d) y 

xm
đồng biến trong khoảng (–1; +).
xm

e) y 

x 2  2mx  3m 2
đồng biến trên khoảng (1; +).
x  2m

f) y 

2 x 2  3 x  m
nghòch biến trên khoảng
2x  1

 1

  ;   .
 2


3
www.vmathlish.com

Giải tích 12

www.vmathlish.com

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác đònh do đề bài
chỉ đònh.
 Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
 Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Câu 8. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) x 

x3
 sin x  x , với x  0
6

c) x  tan x , với 0  x 

b)



2
Câu 9. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

tan a a

 , với 0  a  b 
tan b b
2

2
1

sin x  tan x  x , với 0  x 
3
3
2

d) sin x  tan x  2 x , với 0  x 


2

b) a  sin a  b  sin b, với 0  a  b 

c) a  tan a  b  tan b, với 0  a  b 


2


2

Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) sin x 

2x



, với 0  x 



b) x 

2

c) x sin x  cos x  1, với 0  x 

x3
x3 x5
 sin x  x  
, với x  0
6
6 120


2

Câu 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) e x  1  x, với x  0
c) ln(1  x )  ln x 

1
, với x  0
1 x

b) ln(1  x )  x , với x  0

Câu 12. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
7
a) tan 550  1,4
b)  sin 200 
3
20
HD:





d) 1  x ln x  1  x 2  1  x 2

c) log2 3  log3 4

a) tan 550  tan(450  100 ) . Xét hàm số f ( x ) 

1 x
.
1 x

b) Xét hàm số f ( x)  3x  4 x3 .

 1 1
 1 1
1
7
f(x) đồng biến trong khoảng   ;  và ,sin 20 0 ,    ;  .
3
20  2 2 
 2 2

4
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

c) Xét hàm số f ( x )  log x ( x  1) với x > 1.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
 Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
 Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số
nghòch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất
của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Câu 13. Giải các phương trình sau:
a)

x  x 5  5

b) x 5  x 3  1  3 x  4  0

c)

x  x  5  x  7  x  16  14

d)

x 2  15  3 x  2  x 2  8

Câu 14. Giải các phương trình sau:
a)

5

x 1  5 x  2  5 x  3  0

b) ln( x  4)  5  x

c) 3x  4 x  5 x
Câu 15. Giải các bất phương trình sau:
a)

x  1  3 5 x  7  4 7 x  5  5 13 x  7  8

d) 2 x  3 x  5 x  38
b) 2 x  x  x  7  2 x 2  7 x  35

Câu 16. Giải các hệ phương trình sau:
2 x  1  y 3  y 2  y

a) 2 y  1  z3  z2  z
2 z  1  x 3  x 2  x


 x  y3  y 2  y  2

b)  y  z3  z2  z  2
z  x3  x 2  x  2


tan x  tan y  y  x

5
d) 2 x  3y 

4
 

  x , y 
 2
2
 cot x  cot y  x  y


g) 5 x  7 y  2
 0  x , y  

sin x  sin y  3 x  3y


e)  x  y 
5

 x , y  0

HD: a, b) Xét hàm số f (t)  t3  t 2  t

 y 3  6 x 2  12 x  8

c)  z3  6 y 2  12 y  8
 x 3  6 z2  12 z  8


sin 2 x  2 y  sin 2 y  2 x
f) 2 x  3y  

0  x, y  

2

c) Xét hàm số f (t)  6t 2  12t  8

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

5
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

§2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. Khái niệm cực trò của hàm số
Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D  R) và x0  D.
a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trò cực đại (cực đại) của f.
b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x0 là điểm cực trò của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trò của đồ thò hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trò
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trò tại điểm đó thì f (x0) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo
hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò
1. Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a;
b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.
2. Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0, f (x0) = 0 và có đạo
hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i =1,2 ,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi.
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

6
www.vmathlish.com


Giải tích 12
Câu 1. Tìm cực trò của các hàm số sau:
a) y  3x 2  2 x 3

www.vmathlish.com

b) y  x 3  2 x 2  2 x  1

1
c) y   x 3  4 x 2  15 x
3

f) y  

d) y 

x4
 x2  3
2

e) y  x 4  4 x 2  5

g) y 

 x 2  3x  6
x2

h) y 

3x 2  4 x  5
x 1

i) y 

x4
3
 x2 
2
2

x 2  2 x  15
x 3

Câu 2. Tìm cực trò của các hàm số sau:
4x2  2x 1

a) y  ( x  2)3 ( x  1)4

b) y 

d) y  x x 2  4

e) y  x 2  2 x  5

2x2  x  3

c) y 

3x 2  4 x  4
x2  x  1

f) y  x  2 x  x 2

Câu 3. Tìm cực trò của các hàm số sau:
3

3

x2
2x  1

a) y  x 2  1

b) y 

d) y  x 2  5x  5  2 ln x

e) y  x  4sin2 x

c) y  e x  4e x
f) y  x  ln(1  x 2 )

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f   x0   0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trò tại điểm x 0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x 0 .
Chú ý:

 Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d có cực trò  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân
biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x0) bằng hai cách:
+ y( x0 )  ax03  bx02  cx0  d
+ y( x0 )  Ax0  B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.
ax 2  bx  c
P( x )
 Hàm số y 
=
(aa 0) có cực trò  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân
a' x  b'
Q( x )
b'
.
a'

Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x0) bằng hai cách:
P ( x0 )
P '( x0 )
hoặc y( x0 ) 
y( x0 ) 
Q( x0 )
Q '( x0 )

biệt khác 

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm

ngoại lai.
 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là đònh lí Vi–
et.

7
www.vmathlish.com


Giải tích 12
Câu 4. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:
a) y  x3  3mx 2  3(m2  1)x  m3
c) y 

x 2  m(m 2  1) x  m 4  1
xm

www.vmathlish.com

b) y  2 x3  3(2m  1)x 2  6m(m  1) x  1
d) y 

x 2  mx  m  2
x  m 1

Câu 5. Tìm m để hàm số:
a) y  (m  2) x 3  3x 2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.
b) y  x3  3(m  1) x 2  (2m2  3m  2) x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu.
c) y  x3  3mx 2  (m2  1)x  2 đạt cực đại tại x = 2.
1
d) y  mx 4  2(m  2)x 2  m  5 có một cực đại x  .
2

e) y 

x 2  2mx  2
đạt cực tiểu khi x = 2.
xm

f) y 

x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
có cực đại, cực tiểu.
x 1

x2  x  m
g) y 
có một giá trò cực đại bằng 0.
x 1

Câu 6. Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:
a) y  x3  3x 2  3mx  3m  4

b) y  mx3  3mx 2  (m  1) x  1

 x 2  mx  5
c) y 
x 3

x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
d) y 
x 1

Câu 7. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a) y  ax3  bx 2  cx  d đạt cực tiểu bằng 0 tại x=0 và đạt cực đại bằng

4
1
tại x=
3
27

b) y  ax 4  bx 2  c có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x= 3 .
c) y 

x 2  bx  c
đạt cực trò bằng –6 tại x = –1.
x 1

d) y 

ax 2  bx  ab
đạt cực trò tại x = 0 và x = 4.
bx  a

e) y 

ax 2  2 x  b
x2  1

đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.

Câu 8. Tìm m để hàm số :
a) y  x3  2(m  1)x 2  (m2  4m  1) x  2(m2  1) đạt cực trò tại hai điểm

x1, x2 sao cho:

1 1 1

 (x  x ) .
x1 x2 2 1 2

b) y 

1 3
x  mx 2  mx  1 đạt cực trò tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1  x2  8 .
3

8

www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

1
1
c) y  mx 3  (m  1) x 2  3(m  2) x  đạt cực trò tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1  2 x2  1 .
3
3

Câu 9. Tìm m để hàm số :
a) y 

x 2  mx  m  2
có cực đại, cực tiểu và các giá trò cực đại, cực tiểu cùng dấu.
x  m 1

x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực tiểu đạt giá trò
x 1
nhỏ nhất.

b) y 

 x 2  3x  m
c) y 
có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả M  m  4 .

x4

d) y 

2 x 2  3x  m  2
có yCĐ  yCT  12 .
x2

Câu 10. Tìm m để đồ thò hàm số :
a) y   x 3  mx 2  4 có hai điểm cực trò là A, B và AB 2 

900m 2
.
729

b) y  x 4  mx 2  4 x  m có 3 điểm cực trò là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm
trọng tâm.
x 2  mx  m  2
có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai điểm cực
xm
trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.

c) y 

d) y 

x 2  mx
có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10.
1 x

e) y 

 x 2  2mx  5
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x.
x 1

x2  2x  m  3
f) y 
có hai điểm cực trò và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
xm

Câu 11. Tìm m để đồ thò hàm số :
a) y  2 x3  mx 2  12 x  13 có hai điểm cực trò cách đều trục tung.
b) y  x 3  3mx 2  4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
c) y  x 3  3mx 2  4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d):
3x  2 y  8  0 .
x 2  (2m  1) x  m 2  1
d) y 
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d):
x 1
2 x  3y  1  0 .

Câu 12. Tìm m để đồ thò hàm số :
a) y 

x 2  (m  1) x  2m  1
có hai điểm cực trò ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ.
xm

9

www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com
2

2

2

2mx  (4m  1) x  32m  2m
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm
x  2m
kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.

b) y 

mx 2  (m 2  1) x  4m 2  m
c) y 
có một điểm cực trò nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia
xm
nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.

d) y 

x 2  (2m  1) x  m 2  1
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành (tung).
x 1

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y  f ( x )  ax3  bx 2  cx  d .
 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trò thì:
 y1  f ( x1 )  Ax1  B

 y2  f ( x2 )  Ax2  B

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
P( x ) ax 2  bx  c

.
Q( x )
dx  e
P '( x0 )
 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trò thì y0 
.
Q '( x0 )

2) Hàm số phân thức y  f ( x ) 

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò ấy là:
y

P '( x ) 2ax  b
.

Q '( x )
d

Câu 13. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số :
a) y  x3  2 x 2  x  1
d) y 

2x2  x  1
x3

b) y  3x 2  2 x 3
e y

c) y  x 3  3x 2  6 x  8

x2  x  1
x 2

Câu 14. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ
thò hàm số:
a) y  x3  3mx 2  3(m2  1)x  m3

b) y 

x 2  mx  6
xm

c) y  x 3  3(m  1)x 2  (2m2  3m  2)x  m(m  1)

d) y 

x 2  mx  m  2

x  m 1

Câu 15. Tìm m để hàm số:
a) y  2 x3  3(m  1)x 2  6(m  2)x  1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song với đường
thẳng y = –4x + 1.
b) y  2 x 3  3(m  1)x 2  6m(1  2m) x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên đường
thẳng y = –4x.
c) y  x3  mx 2  7x  3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường

10
www.vmathlish.com


Giải tích 12
thẳng y = 3x – 7.

www.vmathlish.com

d) y  x3  3x 2  m2 x  m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ():
y

1
5
x .
2
2

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

11
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
1. Đònh nghóa:
Giả sử hàm số f xác đònh trên miền D (D  R).
 f ( x )  M , x  D
a) M  max f ( x )  
D
x0  D : f ( x0 )  M

 f ( x )  m, x  D
b) m  min f ( x )  
D
x0  D : f ( x0 )  m
2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (b), min f ( x )  f (a) .
[a;b ]

[a;b ]

b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì max f ( x )  f (a), min f ( x )  f (b) .
[a;b ]

[a;b ]

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
 Tính f (x).
 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).
 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).
 So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M  max f ( x )  max  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

m  min f ( x)  min  f (a), f (b), f ( x1), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a;b]

Câu 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y  x 2  4 x  3

b) y  4 x 3  3x 4

d) y  x 2  x  2

e) y 

1
g) y  x  ( x  0)
x
2

h) y 

x 1
x2  2x  2
x2  x  1

x2  x  1
Câu 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y  2 x3  3x 2  12 x  1 trên [–1; 5]

c) y  x 4  2 x 2  2
f) y 
i) y 

2x2  4x  5
x2  1
x4  x2  1
x3  x

( x  0)

b) y  3x  x3 trên [–2; 3]

12
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

4

2

4

c) y  x  2 x  3 trên [–3; 2]

d) y  x  2 x  5 trên [–2; 2]

e) y 

3x  1
trên [0; 2]
x 3

f) y 

g) y 

4 x2  7x  7
trên [0; 2]

x2

h) y 

i) y  100  x 2 trên [–6; 8]

x 1
trên [0; 4]
x 1

1  x  x2
1  x  x2

trên [0; 1]

k) y  2  x  4  x

Câu 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
2 sin x  1
1
a) y 
b) y 
2
sin x  2
cos x  cos x  1
d) y  cos 2 x  2 sin x  1

2

e) y  sin3 x  cos3 x

g) y  4 x 2  2 x  5  x 2  2 x  3

c) y  2sin2 x  cos x  1
f) y 

x2  1
x4  x2  1

h) y   x 2  4 x  x 2  4 x  3

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.
 Chứng minh một bất đẳng thức.
 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng
thức.
Câu 4. Giả sử D  ( x; y; z) / x  0, y  0, z  0, x  y  z  1 . Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức:
P

x
y
z


.
x 1 y 1 z 1

 1
1
1 

HD: P  3  



 x 1 y 1 z 1
 1
1
1 
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( x  1)  ( y  1)  (z  1) 


9
 x 1 y 1 z 1
3
1
3
 P  . Dấu “=” xảy ra  x = y = z = . Vậy min P  .
D
3
4
4

4 1
5
S 
Câu 5. Cho D = ( x; y) / x  0, y  0, x  y   . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
.
x 4y

4

1 1 1 1 1 
4 1 
HD:  x  x  x  x  4 y         25  4( x  y)     25
 x x x x 4y 
 x 4y 
1
. Vậy minS = 5.
4
Câu 6. Cho D = ( x; y ) / x  0, y  0, x  y  1 . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

 S  5. Dấu “=” xảy ra  x = 1, y =

x2
y2
1
P

xy
.
1 x 1 y
xy

13
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com
2

2

1
1
1
x
y
1


2.
 (1  y) 

2 =
1 x 1 y x  y
1 x
1 y x  y
 1
1
1 
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: (1  x )  (1  y)  ( x  y) 


9
 1 x 1 y x  y 

HD: P  (1  x ) 



1
1
1
9



1 x 1 y x  y 2

P
Câu 7. Cho

P

5
1
5
. Dấu “=” xảy ra  x = y = . Vậy minP = .
3
2
2
D = ( x; y ) / x  0, y  0, x  y  4 . Tìm giá

trò

nhỏ

nhất

của

biểu

thức:

3x 2  4 2  y2
.

4x
y2

HD: P 

 1 y y xy
x 1
  2    
2
4 x
8 8
2
y

Theo bất đẳng thức Cô–si:
1
y

P

2



(1)

x 1
x 1
  2 . 1
4 x
4 x

y y
1 y y 3
  33
. . 
8 8
y2 8 8 4

(2)
(3)

9
9
. Dấu “=” xảy ra  x = y = 2. Vậy minP = .
2
2

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trò tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

 f ( x )  y0
(1)

(2)
x  D
Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy (sau khi
biến đổi) có dạng: m  y0  M
(3)
Vì y0 là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min f ( x )  m; max f ( x )  M
D

D

Câu 8. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) y 

x2  x  1

x2  x  1
2 sin x  cos x  1
c) y 
sin x  2 cos x  3

b) y 

2 x 2  7 x  23

x 2  2 x  10
2sin x  cos x  3

d) y 
2 cos x  sin x  4

14
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x )  m; max f ( x )  M . Khi đó:
D

D

 f ( x)  
1) Hệ phương trình 
có nghiệm  m    M.
x  D
 f ( x)  
2) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  M  .
x  D
 f ( x)  
3) Hệ bất phương trình 
có nghiệm  m  .
x  D
4) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  m  .

5) Bất phương trình f(x)   đúng với mọi x  M  .
Câu 9. Giải các phương trình sau:
a)

4

x 2  4 4 x  2

b) 3x  5x  6 x  2

c) x 5  (1  x )5 

1
16

Câu 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) x  2 x 2  1  m

b)

2  x  2  x  (2  x )(2  x )  m

c)

d)

7  x  2  x  (7  x )(2  x )  m

3  x  6  x  (3  x )(6  x )  m

Câu 11. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R:
a) x  2 x 2  1  m

b) m 2 x 2  9  x  m

c) mx 4  4 x  m  0

Câu 12. Cho bất phương trình: x 3  2 x 2  x  1  m  0 .
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Câu 13. Tìm m để các bất phương trình sau:
a) mx  x  3  m  1 có nghiệm.
b)

(m  2) x  m  x  1 có nghiệm x  [0; 2].

c) m( x 2  x  1)  x 2  x  1 nghiệm đúng với mọi x  [0; 1].

15
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

§4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
1. Đònh nghóa:
 Đường thẳng x  x0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim f ( x )   ;
lim f ( x )   ;


x  x0

lim f ( x )   ;

x  x0 

x  x0

lim f ( x )  

x  x0 

 Đường thẳng y  y0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất một
trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x )  y0 ;
x 

lim f ( x )  y0

x 

 Đường thẳng y  ax  b, a  0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y  f ( x ) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim  f ( x )  (ax  b)  0 ;
x 

lim

x 

 f ( x)  (ax  b)  0

2. Chú ý:
a) Nếu y  f ( x ) 

P( x )
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q( x )

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thò có tiệm cận đứng x  x0 .
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.
 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công
thức sau:
f ( x)
a  lim
;
b  lim  f ( x )  ax 
x  x
x 
f ( x)
;
b  lim  f ( x )  ax 
hoặc a  lim
x  x
x 

Câu 1. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
2x  5
10 x  3
a) y 
b) y 
1 2x
x 1
x2  4x  3
( x  2)2
e) y 
x 1
1 x
Câu 2. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:

d) y 

a) y 
d) y 

x
x2  4x  5
2 x 2  3x  3

b) y 
e) y 

2 x
9  x2
x3  x  1

x2  x  1
x2  1
Câu 3. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:
www.vmathlish.com

c) y 

2x  3
2 x

f) y 

7x2  4 x  5
2  3x

c) y 
f) y 

x2  4x  5
x2 1
x4  x  4
x3  1

16


Giải tích 12

www.vmathlish.com

a) y  x 2  4 x

b) y 

x 1
d) y  x
x 1

4x  2

c) y 

x2  9
3

2

e) y  3x  x

3

f) y 

1
x2  4x  3

x 2  3x  2
x 2

Câu 4. Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số sau:

a) y 

2x  1

b) y  ln

x

e x  e x
2

c) y  ln( x 2  5x  6)

2 1
Câu 5. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:

a) y 
d) y 

3
4 x 2  2(2m  3) x  m2  1
x 3
2

2

x  2(m  2) x  m  1

b) y 
e) y 

2  x2
3 x 2  2(m  1) x  4
x 1
2

2

x  2(m  1) x  m  2

c) y 
f) y 

x 3
x2  x  m  2
3
2

2 x  2mx  m  1

Câu 6. Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
x 2  (3m  2) x  2m  1
mx 2  (2m  1) x  m  3
b) y 
x5
x2
Câu 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau chắn trên hai trụ c
toạ độ:

a) y 

3x 2  x  1
3 x 2  x  4
x2  x  7
a) y 
b) y 
c) y 
x 1
x2
x 3
Câu 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện
tích S đã chỉ ra:

a) y 

x 2  mx  1
;S=8
x 1

b) y 

x 2  (2m  1) x  2m  3
;S=8
x 1

c) y 

2 x 2  2(2m  1) x  4m  5
; S = 16
x 1

d) y 

2 x 2  mx  2
;S=4
x 1

www.vmathlish.com
VanLucNN

www.facebook.com/VanLuc168

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng

17
www.vmathlish.com


Giải tích 12

www.vmathlish.com

§5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
 Tìm tập xác đònh của hàm số.
 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm số.
 Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ (trong
trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua).
Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a) y  x 3  3x 2  9x  1

b) y  x 3  3x 2  3x  5

x3
1
 x2 
3
3
Câu 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:

c) y   x 3  3x 2  2

d) y  ( x  1)2 (4  x)

e) y 

f) y   x3  3x 2  4 x  2

a) y  x 4  2 x 2  1

b) y  x 4  4 x 2  1

c) y 

d) y  ( x  1)2 ( x  1)2

e) y   x 4  2 x 2  2

f) y  2 x 4  4 x 2  8

Câu 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
x 1
2x  1
a) y 
b) y 
x2
x 1
d) y 

1 2x
1 2x

e) y 

3x  1
x 3

x4
5
 3x 2 
2

2

c) y 

3 x
x4

f) y 

x 2
2x  1

18
www.vmathlish.com