03 giải tích 12 chương III nguyên hàm tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.02 MB, 24 trang )
Giải tích 12
www.vmathlish.com
CHƯƠNG III. NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ
ỨNG DỤNG
§1. NGUN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x ) f ( x ) , x K
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
f ( x )dx F( x ) C , C R.
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
f '( x )dx f ( x ) C f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx kf ( x )dx k f ( x )dx (k 0)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
0dx C
dx x C
ax
C (0 a 1)
ln a
cos xdx sin x C
a x dx
x 1
C,
( 1)
sin xdx cos x C
1
1
1
dx ln x C
2 dx tan x C
x
cos1 x
e x dx e x C
2 dx cot x C
sin x
1
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)
eax b dx eax b C , (a 0)
a1
a1
1
dx ln ax b C
sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)
a
ax b
a
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
Nếu f (u)du F (u) C và u u( x ) có đạo hàm liên tục thì:
x dx
f u( x ) .u '( x )dx F u( x ) C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
1
www.vmathlish.com
Giải tích 12
Câu 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f ( x ) x 2 –3 x
d) f ( x )
b) f ( x )
( x 2 1)2
x
2
g) f ( x ) 2 sin 2
k) f ( x )
1
x
x
2
1
www.vmathlish.com
2x4 3
x
2
c) f ( x )
x 1
x2
1
e) f ( x ) x 3 x 4 x
f) f ( x )
h) f ( x ) tan2 x
i) f ( x ) cos2 x
2
3
x
cos 2 x
m) f ( x ) 2 sin 3 x cos 2 x
sin 2 x.cos2 x
e x
n) f ( x ) e x e x – 1
o) f ( x ) e x 2
p) f ( x ) e3 x 1
2
cos x
Câu 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
sin 2 x.cos2 x
a) f ( x ) x 3 4 x 5;
c) f ( x )
e) f (x )=
3 5x 2
;
x
x3 1
x
2
;
g) f ( x ) sin 2 x.cos x;
i) f ( x )
l) f ( x )
x
F(1) 3
b) f ( x ) 3 5 cos x;
F (e) 1
d) f ( x )
F (2) 0
f) f ( x ) x x
F ' 0
3
h) f ( x )
x3 3x 3 3x 7
2
;
F (0) 8
x2 1
;
x
F ( ) 2
F (1)
1
x
;
3x 4 2 x3 5
x2
x
k) f ( x ) sin2 ;
2
3
2
F (1) 2
; F (1) 2
F
2 4
( x 1)
Câu 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) x cos x x 2 ; f ( x ) x sin x;
F 3
2
b) g( x) x sin x x 2 ; f ( x ) x cos x;
F( ) 0
c) g( x ) x ln x x 2 ; f ( x) ln x;
F(2) 2
Câu 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
F( x ) (4 x 5)e x
F( x ) tan 4 x 3x 5
a)
b)
x
5
3
f ( x ) (4 x 1)e
f ( x ) 4 tan x 4 tan x 3
x2 4
x2 x 2 1
F
(
x
)
ln
F ( x ) ln
2
x2 x 2 1
x
3
c)
d)
2
2 x
f (x)
f ( x ) 2 2( x 1)
( x 2 4)( x 2 3)
x4 1
Câu 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
F ( x ) ln x 2 mx 5
F( x ) mx 3 (3m 2) x 2 4 x 3
. Tìm m.
a)
. Tìm m. b)
2x 3
2
f
(
x
)
f
(
x
)
3
x
10
x
4
x 2 3x 5
2
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
F ( x ) (ax 2 bx c) x 2 4 x
F( x ) (ax 2 bx c)e x
. Tìm a, b, c. d)
c)
. Tìm a, b, c.
x
2
f
(
x
)
(
x
3)
e
f ( x ) ( x 2) x 4 x
F( x ) (ax 2 bx c)e2 x
F( x ) (ax 2 bx c)e x
e)
f)
.
Tìm
a
,
b
,
c
.
. Tìm a, b, c.
2
2 x
2
x
f ( x ) (2 x 8x 7)e
f ( x ) ( x 3x 2)e
b
c
g) F ( x ) (a 1)sin x 2 sin 2 x 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
f ( x ) cos x
F ( x ) (ax 2 bx c) 2 x 3
h)
. Tìm a, b, c.
20 x 2 30 x 7
f
(
x
)
2x 3
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm
f ( x )dx
bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u( x ) .u '( x ) thì ta đặt t u( x ) dt u '( x )dx .
Khi đó:
f ( x )dx
= g(t )dt , trong đó g(t )dt dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x).
Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
Cách đổi biến
2
2
2
2
a x
a x
x a sin t,
t
2
2
0t
hoặc x a cos t,
x a tan t,
t
g)
x 2 1.xdx
k) sin 4 x cos xdx
n)
e x dx
x
e 3
e) ( x 3 5)4 x 2 dx
h)
2
2
0t
hoặc x a cot t,
Câu 6. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
dx
a) (5 x 1)dx
b)
(3 2 x )5
d) (2 x 2 1)7 xdx
3x 2
3
5 2x
sin x
dx
l)
cos5 x
o) x.e x
2
1
dx
dx
c)
f)
i)
m)
p)
5 2xdx
x
dx
x2 5
dx
x (1 x )2
tan xdx
e
cos2 x
x
x
dx
3
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
3
ln x
dx
dx
r)
x
x
e 1
Câu 7. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
dx
dx
a)
b)
(1 x 2 )3
(1 x 2 )3
q)
d)
g)
dx
e) x 2 1 x 2 .dx
4 x2
x 2 dx
h)
1 x2
dx
s)
c)
f)
e
tan x
cos2 x
dx
1 x 2 .dx
dx
1 x2
i) x 3 x 2 1.dx
2
x x 1
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
x
P( x ).cos xdx P( x ).sin xdx
P( x ).e dx
u
dv
P(x)
x
e dx
P( x ).ln xdx
P(x)
P(x)
lnx
cos xdx
sin xdx
P(x)
Câu 8. Tính các nguyên hàm sau:
a) x.sin xdx
b) x cos xdx
c) ( x 2 5)sin xdx
d) ( x 2 2 x 3) cos xdx
e) x sin 2 xdx
f)
g) x.e x dx
h) x 3e x dx
i) ln xdx
k) x ln xdx
l) ln2 xdx
m) ln( x 2 1)dx
n) x tan2 xdx
o) x 2 cos2 xdx
p) x 2 cos 2 xdx
q) x ln(1 x 2 )dx
r)
x.2
x
x cos 2 xdx
s) x lg xdx
dx
Câu 9. Tính các nguyên hàm sau:
a) e
x
b)
dx
d) cos x dx
ln(ln x )
dx
x
Câu 10. Tính các nguyên hàm sau:
g)
a) e x .cos xdx
d)
g)
2
ln(cos x )
dx
cos2 x
x ln x x 2 1
x2 1
ln xdx
c) sin x dx
x
e) x.sin x dx
f) sin 3 xdx
h) sin(ln x )dx
i) cos(ln x )dx
b) e x (1 tan x tan2 x )dx
c) e x .sin 2 xdx
e)
dx
h)
ln(1 x )
x
2
x3
1 x2
dx
f)
x
cos2 x
dx
2
dx
ln x
i)
dx
x
4
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số
f(x) g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x).
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là:
F( x ) G( x ) A( x ) C1
(*)
F( x ) G( x ) B( x ) C2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x )
1
A( x ) B( x ) C là nguyên hàm của f(x).
2
Câu 11. Tính các nguyên hàm sau:
sin x
cos x
dx
dx
a)
b)
sin x cos x
sin x cos x
e)
sin 4 x
4
4
sin x cos x
ex
i)
dx
e x e x
dx
f)
cos4 x
4
4
sin x cos x
e x
k)
dx
e x e x
c)
sin x
sin x cos x dx
dx g) 2sin2 x.sin 2 xdx
l)
ex
e x e x
d)
h) 2 cos2 x.sin 2 xdx
m)
dx
cos x
sin x cos x dx
e x
e x e x
dx
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x )
P( x )
Q( x )
– Nếu bậc của P(x) bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.
– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích
f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh).
1
A
B
Chẳng hạn:
( x a)( x b) x a x b
1
2
( x m)(ax bx c)
1
( x a)2 ( x b)2
A
Bx C
, với b2 4ac 0
2
x m ax bx c
A
B
C
D
x a ( x a)2 x b ( x b)2
2. f(x) là hàm vô tỉ
ax b
+ f(x) = R x, m
cx d
đặt t m
ax b
cx d
1
+ f(x) = R
đặt t x a x b
( x a)( x b)
f(x) là hàm lượng giác
Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn:
+
sin ( x a) ( x b)
1
1
,
.
sin( x a).sin( x b) sin(a b) sin( x a).sin( x b)
sin(a b)
sử dụng 1
sin(a b)
5
www.vmathlish.com
Giải tích 12
+
+
www.vmathlish.com
sin ( x a) ( x b)
sin(a b)
1
1
, sử dụng 1
.
sin(a b)
cos( x a).cos( x b) sin(a b) cos( x a).cos( x b)
cos ( x a) ( x b)
cos(a b)
1
1
, sử dụng 1
.
cos(a b)
sin( x a).cos( x b) cos(a b) sin( x a).cos( x b)
+ Nếu R( sin x , cos x ) R(sin x , cos x ) thì đặt t = cosx
+ Nếu R(sin x , cos x ) R(sin x , cos x ) thì đặt t = sinx
+ Nếu R( sin x , cos x ) R(sin x, cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Câu 12. Tính các nguyên hàm sau:
a)
dx
x( x 1)
e)
dx
2
x 6x 9
x3
dx
b)
dx
( x 1)(2 x 3)
f)
k)
x2 1
2 dx
x 1
x
dx
g)
( x 1)(2 x 1)
c)
dx
2
x 4
dx
x ( x 2 1)
x 2 3x 2
Câu 13. Tính các nguyên hàm sau:
1
x 1
a)
b)
dx
dx
1 x 1
x x 2
x
e)
i)
3 1 x
3
x x
f)
dx
1 x dx
x
k)
3
x
x( x 1)dx
dx
(2 x 1)2 2 x 1
dx
l)
c)
1 3 x 1dx
g)
l)
1 x3
1
dx
3
4
x x 2 x
dx
x 2 5x 6
d)
h)
m)
dx
d)
h)
m)
x 2 7 x 10
x
2 x 2 3x 2
dx
i)
x
dx
x3 1
1
x4 x
dx
1 x dx
1 x x
dx
x2 6x 8
Câu 14. Tính các nguyên hàm sau:
a) sin 2 x sin 5 xdx
b) cos x sin 3 xdx
dx
2 sin x 1
dx
i)
cos x cos x
4
e)
f)
dx
cos x
c) (tan2 x tan 4 x )dx
g)
k) cos x cos 2 x cos3 xdx
1 sin x
cos x dx
l) cos3 xdx
cos 2 x
d)
1 sin x cos x dx
h)
sin3 x
cos x dx
m) sin 4 xdx
www.vmathlish.com
VanLucNN
www.facebook.com/VanLuc168
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
6
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
§2. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
b
f ( x )dx .
a
b
f ( x)dx F(b) F(a)
a
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b
b
b
a
a
a
f ( x)dx f (t)dt f (u)du ... F(b) F(a)
Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
b
S f ( x )dx
a
2. Tính chất của tích phân
0
f ( x )dx 0
0
b
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì
a
b
a
b
f ( x )dx 0
b
kf ( x )dx k f ( x )dx (k: const)
f ( x )dx f ( x )dx
a
c
b
a
c
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì
a
b
b
a
a
f ( x )dx g( x )dx
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b
u( b )
a
u( a )
f u( x ).u '( x)dx
f (u)du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác
đònh trên K, a, b K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b K thì:
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b
b
a
a
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho vdu dễ tính hơn udv .
7
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x)
của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b
f ( x)dx F(b) F(a)
a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Câu 1. Tính các tích phân sau:
a)
2
(x
2
3
2 x 1)dx
1
d)
2
x
1 x
2
2
2
e)
dx
1
k)
x2 2x
x3
1
1
x
4
2
g) ( x 1)( x x 1)dx
2
3
b) ( x e 3 x 1 )dx
x
1
2
2
4
dx
x2
2
1
x 1
dx
x2
e
2
f) ( x
1
3
h) ( x x x x )dx
i)
1
l)
dx
c)
2
1 1
x 2 )dx
2
x x
4
x 23 x 44 x dx
1
e2
2 x 5 7x
dx
x
7
dx
1
8
1
m) 4 x
3
1
3 x2
dx
Câu 2. Tính các tích phân sau:
a)
2
b)
x 1dx
d)
0
x2 x 2
2
1
3
xdx
2
dx
4 x
Câu 3. Tính các tích phân sau:
e)
2
2
0 3
3x 2
1 x
3
dx
c) ( x 2 x x 3 x )dx
1
f)
a) sin( 2 x
0
6
)dx
b)
2
(2sin x 3cosx x )dx
c)
4
x 2 9dx
0 x
6
sin 3x cos 2 x dx
0
3
d)
4
3
0
tan x .dx
2
cos x
e)
2
dx
1 sin x
0
f)
h)
4
(2 cot
4
6
g)
2
3tan x dx
2
1 cos x
1 cos x dx
0
i)
2
sin
2
2
x 5) dx
x.cos2 xdx
0
8
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
3
2
k)
(tan x cot x )2 dx
l)
2
6
sin( x )
4
dx
m)
sin( x )
4
4
4
x dx
d)
ln 2
cos
0
Câu 4. Tính các tích phân sau:
a)
1 x
e e x
0e
x
e x
2 x
e (1
1
e)
i)
e
1
b)
dx
2
( x 1).dx
x 2 x ln x
1
e x
)dx
x
f)
1 ln x
dx
x
k)
1e
0
x
2x
x
0
2x
4
ex 2
dx
dx
e ln x
1
c)
1e
dx
2 e cos x
0
g)
l)
1
0
sin xdx
2
xe x dx
h)
m)
0
4e
1
1
ex
dx
ex 1
x
x
dx
1
x
0 1 e
dx
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
b
Dạng 1: Giả sử ta cần tính g( x )dx .
a
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x ) f u( x ) .u '( x ) thì
Dạng 2: Giả sử ta cần tính
b
u(b )
a
u(a )
g( x )dx
f (u)du
f ( x )dx .
Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b)
b
b
a
a
g(t) f x(t).x '(t)
f ( x )dx f x(t) x '(t)dt g(t)dt
thì
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
f(x) có chứa
2
a x
2
a x
Cách đổi biến
x a sin t,
2
hoặc x a cos t,
x a tan t,
2
hoặc x a cot t,
a
,
sin t
a
x
,
cos t
x
x 2 a2
hoặc
t
2
2
0t
t
2
2
0t
t ; \ 0
2 2
t 0; \
2
9
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
Câu 5. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
1
1
x3
a) x(1 x)19 dx
b)
2 3
0 (1 x )
0
d)
1
2 3
5
k)
dx
e dx
n)
l)
e 1
0
3
x
1
2
2
sin 2 x
o)
dx
0
3
i)
dx
1 x2
a)
1
2
dx
1 x2
0
d)
3
x
0
g)
b)
0
1
dx
3
e)
h)
x2 2x 2
cos x. sin x
0 1 sin 2 x dx
3
k)
2
1
dx
l)
x x2 1
dx
1 3 ln x ln x
dx
x
e
(x
2
2
2
0
2
x
2
4 x 2 dx
1
1
x
f)
4
0
x 1
dx
x3
2
1 x2
sin 2 x
dx
x cos 2 x
2
2
c)
dx
1)( x 2 2)
x2
2 sin
0
4 x2
1
6
p)
x 2 dx
1
2
1 ex
0
dx
ex
1
3
0
2
m)
cos 2 x 4 sin 2 x
Câu 6. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
0
ln 2
0
2 ln x dx
2x
e
x 2x
5
0
x
h)
x x2 4
ln3
f) x 3 1 x 2 dx
0
3
x5
0 x 2 1 dx
1
e) x 1 x 2 dx
2x 1
0
g)
1
xdx
1
c)
i)
1
xdx
x2 1
dx
1 x
2 5
0
2
m) x 2 x x 2 dx
dx
0
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b
P( x ).e
x
a)
4
x sin 2 xdx
0
b
a
a
a
P( x ).sin xdx
P(x)
P(x)
P(x)
e x dx
cos xdx
sin xdx
Câu 7. Tính các tích phân sau:
b
P( x ).cos xdx
dx
a
u
dv
b
P( x ).l n xdx
lnx
P(x)
2
b) ( x sin 2 x) cos xdx
0
c)
2
x
2
cos xdx
0
10
www.vmathlish.com
Giải tích 12
4
d)
www.vmathlish.com
2
x cos
xdx
e)
3
x tan
2
1
f) ( x 2)e 2 x dx
xdx
0
0
4
g)
ln 2
xe dx
h)
x
3
x ln xdx
i) ln( x 2 x)dx
1
0
2
2
e
2
k) e 3 x sin 5 xdx
l) e cos x sin 2 xdx
0
o)
e
m) ln 3 xdx
1
0
e
x
3
p)
ln 2 xdx
1
e
ln x
dx
2
1 x
q)
0
x (e
2x
3 x 1)dx
1
e
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân
đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Câu 8. Tính các tích phân sau:
a)
d)
g)
2
b)
x 2 dx
2
c)
x 2 x dx
2
x
0
0
0
3
5
3
3
4
x 2 1 dx
e)
f)
( x 2 x 2 )dx
2
x 2 6 x 9dx
h)
1
3
i)
x 3 4 x 2 4 x dx
2
0
1
2
2 x 3 dx
x
4 dx
4 x dx
1
0
Câu 9. Tính các tích phân sau:
a)
d)
g)
2
1 cos 2 x dx
b)
1 sin 2 x .dx
0
0
2
e)
1 sin xdx
0
2
2
tan x cot x 2dx
6
h)
3
3
2
c)
f)
1 cos xdx
sin x dx
2
1 cos 2xdx
0
3
cos x cos x cos xdx i)
2
1 sin xdx
0
2
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
11
www.vmathlish.com
Giải tích 12
Câu 10. Tính các tích phân sau:
a)
d)
3
dx
1 x x 3
1
www.vmathlish.com
b)
x
1 2 x
3
e)
dx
k)
4
dx
2 x(x 1)
0
h)
x 2 3x 2
1
3
1 x
x
d)
dx
l)
3
g)
k)
dx
0 x 2 2x 2
1
2
2
0 ( x 2) ( x 3)
2
1
4
1 x (1 x )
2
0
1
b)
x3 3x 2
dx
e)
h)
l)
dx
4 x2
3x
dx
c)
x3 x 1
dx
2
x
1
0
f)
2
1
2
1 x 2008
2008
)
1 x (1 x
2
1 x2
1 1
x4
4
x
2
dx
i)
x3 x 1
x 1 dx
0
1
x2
3
0 (3 x 1)
dx
x 3 2x 2 4x 9
dx
0
x2 4
2
1
x
4
0 1 x
3
dx
x4
dx
2
2
2 ( x 1)
1
m)
dx
dx
(1 x)
1
m)
2
dx
2
x 1
3
0
dx
i)
5x 6
3x 2 3x 3
2
2
1
2
x 3 dx
0 x 2 2x 1
1
4 x 11dx
Câu 11. Tính các tích phân sau:
a)
f)
9
1
3
c)
x 2 dx
0
2 x3 6 x2 9x 9
dx
0 x 2 5x 6
2
0
g)
1
2 x4
0 1
x2
dx
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Câu 12. Tính các tích phân sau:
a)
2 2
x x 1dx
2
b)
0
d)
2
g)
10
5
k)
x 1
dx
dx
x 1
3
0
n)
x
x 2 x 1
7
3
2
2
0
x
0
1
1
1
3x 1
dx
e)
h)
6
x3
x2 1
dx
dx
2 2x 1
4x 1
1
3
2
x x 1dx
dx
c)
x 1 x
0
f)
2
x4
x5 1
0
i)
0
l)
1
4x 3
1
2
0
2 3
5
dx
2
x x 4
3
m)
dx
0
3x 1
x5 x3
1 x
2
dx
dx
2
1 x
dx
1 x
o)
3
dx
2
x x2 1
p)
2
1
dx
x x3 1
Câu 13. Tính các tích phân sau:
12
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
1
a) x 2 1 x 2 dx
b)
2
g)
dx
1 1
2
2
k)
h)
x x2 1
dx
l)
dx
(1 x 2 )3
0
1
1 x 2 dx
0
0
2
1
x 3dx
0
x x2 1
f)
dx
i)
x 2 2008
1
(1 x 2 )3
0
x2 x2 1
e) x 3 10 x 2 dx
1
1
1
c)
dx
3
x 2 2008dx
x2 1
1
0
d)
3
2
2
2
x dx
5
4
m)
1 x2
0
12 x 4 x 2 8dx
1
Câu 14. Tính các tích phân sau:
a)
d)
g)
2
cos xdx
2
0
7 cos 2 x
2
cos xdx
0
0
2 cos2 x
2
2
6
b)
1 cos3 x sin x cos5 xdx
e)
2
sin x cos x cos xdx
0
0
3
2
0
cos xdx
h)
2
1 cos x
4
sin 2 x sin x
1 3 cos x
f)
dx
tan x
2
cos x 1 cos x
c)
dx
i)
3
cos xdx
0
2 cos 2 x
2
sin 2 x sin x
0
1 3cos x
dx
Câu 15. Tính các tích phân sau:
a)
ln 3
0
d)
g)
dx
ex 1
ln3
ln2 x
ln 2
x ln x 1
b)
0
e)
dx
ln3
ex
0
(e x 1) e x 1
ln 2
0
e2 x dx
c)
ex 1
e
1
x(e2 x 3 x 1)dx
f)
ln 2
0
1
dx
h)
1
ex
0
e x e x
dx
i)
ln 2
1 3ln x ln x
dx
x
e x dx
(e x 1)3
e x 1dx
0
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Câu 16. Tính các tích phân sau:
4
4
2
a) sin 2 x. cos xdx
0
b)
tan xdx
0
c)
sin x
1 3 cos x dx
0
2
d) sin 3 xdx
0
www.vmathlish.com
e) sin 2 xdx
0
f) cos 2 3 x
0
13
Giải tích 12
www.vmathlish.com
g)
2
sin
2
2
4
h) sin 2 x cos 3 xdx
x cos xdx
0
2
(sin
3
2
x cos x )dx
0
q)
4
3
o)
xdx
3
tan
4
0
sin3 x
2
1 cos x
4
p)
xdx
s)
2
1 sin 2 x cos 2 x
sin x cos x dx
0
2
/3
4
3
cos x
x.cos x
tan x
1 cos 2 x
dx
4
6
2
4
4
cos 2 x(sin x cos x)dx
e)
0
g)
dx
/6 sin
c)
d)
sin x.cos3 x
b)
dx
4
cos3 x
r)
dx
1 cos x
0
1 cos 3 x sin x cos 5 xdx
sin 2 x cos x
dx
1 cos x
0
3
Câu 17. Tính caùc tích phaân sau:
a)
x cos5 xdx
2
m)
2
dx
4
3
0
sin
tan
2
2
0
cos x
l)
dx
cos x 1
0
3
n)
i)
0
k)
4
0
(tan x e sin x cos x)dx
f)
1 sin x
2
3
2
sin 2 xdx
0
3
h)
sin x.ln(cos x )dx
0
4
3
sin x
2
2
5
(tan x 1) .cos x
0
dx
3
i)
1
3
2
sin x 9 cos2 x
dx
Câu 18. Tính caùc tích phaân sau:
a)
2
2
1
sin x dx
b)
dx
2 cos x
0
2
c)
1
2 sin x dx
0
3
d)
2
2
cos x
1 cos x dx
0
e)
k)
0
1
sin x cos x 1 dx
0
2
h)
2
3
0
(1 sin x ) cos x
2
(1 sin x )(2 cos x )
dx
l)
sin x
2 sin x dx
0
sin x cos x 1
dx
sin x 2 cos x 3
i)
2
4
dx
0
cos x cos( x )
4
dx
sin x cos( x )
4
4
2
f)
2
cos x
dx
2 cos x
g)
m)
3
dx
sin x sin( x )
6
6
Câu 19. Tính caùc tích phaân sau:
14
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
2
4
3
a) (2 x 1) cos xdx
0
d)
xdx
b)
1 cos 2 x
0
2
2
e)
0
2
g) cos(ln x )dx
k)
2x
2
e sin xdx
l)
0
3
ln(sin x )
2
cos x
6
i)
dx
4
2
sin
e
2
x
sin x cos3 xdx
o)
0
2
xdx
2
xdx
(2 x 1) cos
m)
x sin x cos
0
dx
0
x tan 2 xdx
2 x 1
2
0
0
n)
sin 2 x.e
dx
x
2
f)
0
1
x 2 cos xdx
h)
2
0
3
sin xdx
x
cos
c)
4
4
dx
cos
p)
ln(1 tan x )dx
0
4
0
x
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
Câu 20. Tính các tích phân sau:
a)
d)
1
e x dx
0 1 e x
ln 8
ln 3
g)
k)
2
ex 1
1
x
ln 2
dx
x
e 5
0
ex
1 1 e
e
b)
e)
dx
2
1 x (ln x 1)
ln 3
x
0e 4
ln 2
f)
e 1.e dx
x
2x
1
0
h)
dx
ln x
ln 8
1
c)
dx
l)
2
e2 x
0e
1
x
1
e x
0e
x
i)
dx
m)
e2 x
x
1
0e
1 ex
dx
1 ex
1
dx
dx
1
ln3
dx
1
x
e 1
0
dx
Câu 21. Tính các tích phân sau:
2
a) e x sin xdx
b)
0
2
2x
xe dx
c)
0
2
0
g)
e2
e
e)
1
x ln 1 x dx
f)
ln x
ln 2
h)
1 x ln x 1
e
e
1
0
ln x ln(ln x )
dx
x
xe
x
dx
0
d) (e x cos x) cos xdx
1
x dx
i)
1 ln2 x
dx
x
e3
ln(ln x )
dx
x
e2
15
www.vmathlish.com
Giải tích 12
k)
2
1
www.vmathlish.com
ln x
x
2
l)
dx
3
ln(sin x )
dx
cos2 x
m)
1
ln( x 1)
0
x 1
dx
6
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
a
f ( x )dx 0
a
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì
a
a
a
f ( x )dx 2 f ( x )dx
0
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng
này ta có thể chứng minh như sau:
a
0
a
0
a
J f ( x )dx; K f ( x )dx
Bước 1: Phân tích I f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a
a
0
a
0
Bước 2: Tính tích phân J
0
f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
a
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
f ( x)
x dx f ( x )dx
a 1
0
(với R+ và a > 0)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
0
0
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
I
dx
dx
dx
J
dx; K
dx
x
x
x
x
x
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
0
0
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0; thì
2
2
f (sin x )dx
0
Để chứng minh tính chất này ta đặt: t
2
f (cos x )dx
0
x
2
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và f (a b x ) f ( x ) hoặc f (a b x ) f ( x )
thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt,
nếu a + b =
thì đặt
t=–x
nếu a + b = 2
thì đặt
t = 2 – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các
hàm số f(x) g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước
như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
16
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x), tức là:
F( x ) G( x ) A( x ) C1
(*)
F( x ) G( x ) B( x ) C2
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x )
1
A( x ) B( x ) C là nguyên hàm của f(x).
2
Câu 22. Tính các tích phân sau (dạng 1):
7
4
a)
4
cos x
dx
e)
1
5
2
g)
sin x
1 cos x
x dx
f)
2
2
1
1
xdx
1 x
cos x.ln
dx
1 x
1
4
2
1 x x 1
2
2
c)
2
1
h)
dx
cos x ln( x 1 x 2 )dx
ln x 1 x 2 dx
2
b)
4
1
1
2
3
x x x x 1
d)
5
i)
4 sin2 x
2
2
x 4 sin x
x2 1
dx
x cos x
4 sin2 x
dx
Câu 23. Tính các tích phân sau (dạng 2):
a)
1
x4
b)
dx
1 2 1
x
d)
g)
1 x2
1 2
1
sin2 x
1
e)
dx
3x 1
x
c)
dx
x2 1
x dx
3 1 2
3
f)
2
sin x sin 3 x cos5 x
4
sin x cos x
1 ex
6x 1
dx
h)
2
6
6
1
1 (e
i)
1)( x 2 1)
dx
1 (4
x
1)( x 2 1)
2
x 2 sin2 x
1 2x
4
x
1
dx
dx
dx
2
Câu 24. Tính các tích phân sau (dạng 3):
2
a)
0
cos x
n
n
cos x sin x
d)
2
0
n
sin
2009
dx (n N*) b)
x
sin2009 x cos2009 x
sin x
7
e)
2
0
7
sin x cos x
0
dx
7
2
4
cos x
cos4 x sin 4 x
dx
dx
c)
f)
2
sin x
0
sin x cos x
2
0
sin 4 x
cos4 x sin 4 x
dx
dx
Câu 25. Tính các tích phân sau (dạng 4):
a)
0
x.sin x
2
4 cos x
dx
b)
d)
4
ln(1 tan x )dx
0
0
e)
x cos x
4 sin x
2
0
2
3
dx
x.cos xdx
c)
2
1 sin x
ln 1 cos x dx
0
f)
x.sin
3
xdx
0
17
www.vmathlish.com
Giải tích 12
g)
www.vmathlish.com
x
h)
1 sin x dx
0
x sin x
i)
2 cos x dx
0
k)
4
l)
sin 4 x ln(1 tan x )dx
0
0
x sin x
2
9 4 cos x
0 1 cos
2
x
dx
m)
dx
x sin x
x sin x cos
4
xdx
0
Câu 26. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
2
sin x
sin x cos x dx
0
b)
2
2
g)
e)
sin x
6
6
sin x cos x
h)
dx
2 cos
2
l)
x.sin 2 xdx
0
n)
1
1 e
ex
x
e x
sin x
sin 4 x cos4 x
o)
dx
cos x
6
6
sin x cos x
1
1 e
1
ex
x
1 e
e x
x
0
dx
e x
cos4 x
2
f)
0
dx
dx
e x
sin x
sin x cos x dx
sin 4 x cos4 x
dx
6
2
0
2
0
2
c)
4
6
2
0
k)
cos x
sin x cos x dx
0
cos x
d)
dx
sin x cos x
0
i)
2
2sin
2
x.sin 2 xdx
0
m)
1
1 e
e x
x
e x
dx
dx
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
b
Giả sử cần tính tích phân I n f ( x , n)dx (n N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta thường gặp một
a
số yêu cầu sau:
Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 k n).
Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
Tính một giá trò I n cụ thể nào đó.
0
Câu 27. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
2
a) I n sin n xdx
0
2
b) I n cosn xdx
0
n1
Đặt u sin x
dv sin x.dx
n1
Đặt u cos x
dv cos x.dx
4
c) I n tan n xdx
Phân tích: tann x tann2 x tan2 x 1 tann2 x
0
18
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
d) I n
2
x
n
0
n
cos x.dx Ñaët u x
dv cos x.dx
Jn
2
x
n
0
n
sin x.dx Ñaët u x
dv sin x.dx
1
n
Ñaët u x x
dv e .dx
e) I n x n e x dx
0
e
n
Ñaët u ln x
dv dx
f) I n ln n x.dx
1
1
g) I n (1 x 2 )n dx
Ñaët x cos t
2n
Ñaët u sin t
dv sin t.dt
0
1
dx
h) I n
Phaân tích
x 2 )n
0 (1
1
(1 x 2 )n
1 x2
(1 x 2 )n
x2
(1 x 2 )n
u x
x
Tính Jn
dx . Ñaët
dv
dx
2 n
(1
x
)
0
(1 x 2 )n
1
x2
1
i) I n x n 1 x .dx
0
n
Ñaët u x
dv 1 x .dx
k) I n
4
0
dx
cosn x
dx
Phaân tích
1
cosn x
cos x
cosn1 x
Ñaët t
1
cosn1 x
19
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG
HÌNH HỌC
1. Diện tích hình phẳng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
– Trục hoành.
– Hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S f ( x ) dx
là:
(1)
a
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b
– Hai đường thẳng x = a, x = b. là: S f ( x ) g( x ) dx
(2)
a
Chú ý:
Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
b
a
f ( x ) dx
b
f ( x )dx
a
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối của hàm số dưới dấu
tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được
2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
b
a
c
d
b
a
c
d
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
=
c
f ( x )dx
a
d
f ( x )dx
c
b
f ( x )dx
d
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thò của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d])
– Hai đường thẳng x = c, x = d.
d
S g( y ) h( y ) dy
c
2. Thể tích vật thể
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các
điểm a và b.
20
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bò cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ x (a x b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là:
b
V S( x )dx
a
Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b
V f 2 ( x )dx
a
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung
quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
d
V g2 ( y )dy
là:
c
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
ln x
1
, y 0, x , x e
a) y x 2 4 x 6, y 0, x 2, x 4
b) y
x
e
c) y
1 ln x
, y 0, x 1, x e
x
d) y
ln x
2 x
, y 0, x e, x 1
1
e) y ln x , y 0, x , x e
f) y x3 , y 0, x 2, x 1
e
1
x
1
, y 0, x 0, x
g) y
h) y lg x , y 0, x , x 10
10
2
1 x4
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
3 x 1
, y 0, x 0
a) y
b) y x , y 2 x, y 0
x 1
c) y e x , y 2, x 1
d) y x , x y 2 0, y 0
e) y 2 x 2 , y x 2 2 x 1, y 2
f) y x 2 4 x 5, y 2 x 4, y 4 x 11
g) y x 2 , y
x2
27
,y
27
x
h) y 2 x 2 , y x 2 4 x 4, y 8
i) y2 2 x, 2 x 2 y 1 0, y 0
k) y x 2 6 x 5, y x 2 4 x 3, y 3x 15
Câu 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
a) y x , y , y 0, x e
b) y sin x 2 cos x , y 3, x 0, x
x
c) y 5x 2 , y 0, y 3 x, x 0
d) y 2 x 2 2 x, y x 2 3x 6, x 0, x 4
21
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
2
2
e) y x , y 0, y 4 x
f) y x 2 x 2, y x 4 x 5, y 1
g) y x , y 2 x, y 0
h) y
a) y 4 x 2 , y x 2 2 x
b) y x 2 4 x 3 , y x 3
1
2 x
, y e x , x 1
e
Câu 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
c) y
1 2
1
x , y x2 3
4
2
e) y x , y 2 x 2
g) y
x2
1
,y
2
1 x2
d) y
1
1 x2
,y
x2
2
f) y x 2 2 x, y x 2 4 x
2
h) y x 3 , y 0
x
i) y x 2 2 x, y x 2
k) y x 2 2, y 4 x
Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x 2 , x y2
b) y2 x 5 0, x y 3 0
c) y2 2y x 0, x y 0
d) y2 2 x 1, y x 1
e) y2 2 x, y x, y 0, y 3
f) y ( x 1)2 , x sin y
g) y2 6 x, x 2 y2 16
h) y2 (4 x )3 , y2 4 x
i) x y3 1 0, x y 1 0
k) x 2 y2 8, y2 2 x
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x.e x ; y 0; x 1; x 2.
b) y x.ln2 x; y 0; x 1; x e.
c) y e x ; y e x ; x 1.
d) y 5x 2 ; y 0; x 0; y 3 x.
e) y ( x 1)5; y e x ; x 1.
1
f) y ln x , y 0, x , x e
e
g) y sin x cos2 x, y 0, x 0, x h) y x sin x; y x; x 0; x 2.
i) y x sin2 x; y ; x 0; x .
k) y sin2 x sin x 1, y 0, x 0, x
2
Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
a) (C ) : y x
, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
2x2
x2 2x 1
, y 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
b) (C ) : y
x2
c) (C) : y x 3 2 x 2 4 x 3, y 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) (C) : y x3 3x 2, x 1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) (C) : y x 2 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Câu 8. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục
Ox:
22
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
a) y sin x , y 0, x 0, x
4
b) y
c) y sin6 x cos6 x , y 0, x 0, x
e) y x3 1, y 0, x 1, x 1
g) y
2
1 3
x x 2 , y 0, x 0, x 3
3
d) y x , x 4
f) y x 2 , y x
x2
x3
,y
4
8
h) y x 2 4 x, y x 2
i) y sin x , y cos x , x
2
4
,x
2
k) ( x 2)2 y2 9, y 0
2
l) y x 4 x 6, y x 2 x 6
m) y ln x , y 0, x 2
Câu 9. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục
Oy:
2
a) x , y 1, y 4
b) y x 2 , y 4
y
c) y e x , x 0, y e
d) y x 2 , y 1, y 2
Câu 10. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh:
trục Ox
ii) trục Oy
a) y ( x 2)2 , y 4
c) y
1
2
x 1
, y 0, x 0, x 1
i)
b) y x 2 , y 4 x 2 , y 4
d) y 2 x x 2 , y 0
e) y x.ln x , y 0, x 1, x e
f) y x 2 ( x 0), y 3x 10, y 1
g) y x 2 , y x
h) x – 4 y2 1
x2 y2
1
i)
9
4
k) y x 1, y 2, y 0, x 0
l) x y2 0, y 2, x 0
m) y2 x 3 , y 0, x 1
2
www.vmathlish.com
VanLucNN
www.facebook.com/VanLuc168
Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
23
www.vmathlish.com
Giải tích 12
www.vmathlish.com
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
24
www.vmathlish.com
