GT 12 - Chương III : Bài 1 : Nguyên hàm

Chửụng III :
Nguyeõn haứm - Tớch phaõn vaứ ửựng duùng
Bi 1
Biờn son :
Phm Quc Khỏnh
Chng trỡnh sỏch giỏo khoa mi ca b GD T 2008
click
(Khi s dng nờn chuyn v ch : on click ch ng x lý)

I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm :
Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :
( ) ( ) ( )
2
2
1
) 3 ; ) ;
cos 2 2
a f x x x b f x x
x
π π
 
= ∈ −∞ +∞ = ∈ −
 ÷
 
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R .
Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K
Nếu F’(x) = f(x) với mọi x ∈ K
Ví dụ 1 :

a) Hàm số F(x) = x
3
là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x
2
trên (-∞ ; +∞) , vì
F’(x) = (x
3
)’ = 3 x
2
với mọi x ∈ (-∞ ; +∞)
b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1
;
cos 2 2
f x x
x
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
Vì
( ) ( )
2
1
' tan ' ;
cos 2 2
F x x x

x
π π
 
= = ∈ −
 ÷
 
Nêu thêm một số ví dụ khác :
c) Hàm số F(x) = 3x
2
+ 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R
d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số :
( ) ( )
1
0;f x x
x
= ∈ +∞
click

Định lý 1 :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số
C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .
Hãy tự chứng minh định lý này .
Định lý 2 :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm
của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số .
Chứng minh :

Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x
∈ K . Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x ∈ K
Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C

Hay G(x) = F(x) + C mọi x ∈ K
F(x) + C , C ∈ R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :
( ) ( )
∫
f x dx = F x + C
Chú ý ;
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
Ví dụ 2 :
a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) ,
2
2xdx x C= +
∫
Chú ý ;
Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx
a) Với x ∈ (- ∞ ; + ∞ ) ,
2
2xdx x C= +
∫
b) Với x ∈ ( 0 ; + ∞ ) ,
1
lndx x C
x
= +
∫
c) Với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) ,
cos . sinx dx x C= +
∫
click

2. Tính chất của nguyên hàm :

Tính chất 1 :
( ) ( )
'
∫
f x dx = f x + C
Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm .

Ví dụ 3 :
( ) ( )
cos '. sin . cosx dx x dx x C= − = +
∫ ∫
Tính chất 2 :
( ) ( )
k k
∫ ∫
f x dx = f x dx
Chứng minh :

Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x)
Vì k ≠ 0 nên
( ) ( )
'
1 1
'( )f x F x F x
k k
 
= =
 ÷
 
Theo t/c 1 ta có :

( )
'
1
( )k f x dx k F x dx
k
 
=
 ÷
 
∫ ∫
( ) ( ) ( )
1 1 1
1
k F x C F x kC C R
k
 
= + = + ∈
 ÷
 
( )
F x C= +
( )
.k f x dx=
∫
Tính chất 3 :
( ) ( ) ( ) ( )
± ±
 
 
∫ ∫ ∫

f x g x dx = f x dx g x dx
Tự chứng minh t/c này
click

Ví dụ 4 :
Tìm nguyên hàm của hàm số

( ) ( )
2
3sin 0;f x x
x
= + +∞
Giải :
Với x ∈ ( 0 ; + ∞) , ta có :
2 1
3sin 3 sin 2 3cos 2 lnx dx xdx dx x x C
x x
 
+ = + = − + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
3. Sự tồn tại của nguyên hàm :
Định lý 3 :
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K .
Công nhận định lý này .
Ví dụ 5 :
a) Hàm số
( )
2

3
f x x=
Có nguyên hàm trên ( 0 ; + ∞ )
2 5
3 3
3
. .
5
x dx x C= +
∫
b) Hàm số
( )
2
1
sin
g x
x
=
Có nguyên hàm trên ( kπ ; (k+1)π ) , k∈Z
2
1
. cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
click