11 PP the giai he pt p1 BG

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

11. PP THẾ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

2 x + 3 y = 5
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
2
3x − y + 2 y = 4
Lời giải:
5 − 3y
Từ (1) ta có x =
thế vào (2) ta được
2

(1)
(2)

 5 − 3y 
2
3
 − y + 2y − 4 = 0
2


2

⇔ 3(25 − 30 y + 9 y 2 ) − 4 y 2 + 8 y − 16 ⇔ 23 y 2 − 82 y + 59 = 0 ⇔ y = 1, y =

59
23


 31 59  
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là (1;1) ;  − ;  
 23 23  

 x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
 x + 2 xy = 6 x + 6
Lời giải:
Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn (2)

(1)
(2)

2

 6 x + 6 − x2  2  6 x + 6 − x2 
6 x + 6 − x2
x ≠ 0, (2) ⇔ y =
thế vào (1) ta được x 4 + 2 x3 
+ x 
 = 2x + 9
2x
2x
2x





⇔ x 4 + x 2 (6 x + 6 − x 2 ) +

x = 0
(6 x + 6 − x 2 ) 2
= 2 x + 9 ⇔ x( x + 4)3 = 0 ⇔ 
4
 x = −4

17 

Do x ≠ 0 nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất  −4; 
4




Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 




1
1
+ 2− = 2
y
x

(1)

1
1
+ 2− = 2
x
y

(2)

Lời giải:
1
1
ĐK: x ≥ , y ≥ .
2
2

1
1
1
1
−
+ 2− − 2− = 0
y
x
x
y
1 
1
2− −2− 
y− x

y−x
y−x
y 
x
⇔
+
=0⇔
+
=0

xy
1
1
1
1
xy x + y
2− + 2−
xy  2 − + 2 − 
y
x
y
x

1
1
TH1: y − x = 0 ⇔ y = x thế vào (1) ta được
+ 2− = 2
x
x
2 − t ≥ 0

t ≤ 2
1
Đặt t =
, t > 0 ta được 2 − t 2 = 2 − t ⇔ 
⇔
⇔ t = 1 ⇒ x = 1 và y = 1
2
2
2
x
2 − t = 4 − 4t + t
t − 2t + 1 = 0
Trừ vế hai pt ta được

(

)

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

1

1

= 0 . Trường hợp này vô nghiệm do ĐK.

1

1
xy  2 − + 2 − 
y
x

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; 1)


1 
 3x 1 +
=2

 x+ y
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 7 y 1 − 1  = 4 2



 x+ y

Lời giải:
Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt thứ nhất cho
hai vế pt thứ hai cho 7 y .
Lời giải. ĐK: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≠ 0 .
Dễ thấy x = 0 hoặc y = 0 không thỏa mãn hệ pt. Vậy x > 0, y > 0
TH2:

xy

(

x+ y

)

+

Facebook: LyHung95


 1
2
4 2
2 2
+
+
=1
2 =

3x
7y
7y

 3x
⇔
⇔
4 2
 2 = 2 −4 2
 1 −2 2 = 1
x+ y

 3x
7y
3x
7y
7y x + y


 1
2 2  1
2 2
1
Nhân theo vế hai pt trong hệ ta được 
+
−


 =
 3x


7 y   3x
7y  x + y

 y = 6x
1
8
1
2
2
⇔

−
=
⇔ 7 y − 38 xy − 24 x = 0 ⇔ 
4
y = − x
3x 7 y x + y
7


1 
1 +
=
 x + y 
Hệ ⇔ 
1 − 1  =


 x + y 

2
3x

TH1: Với y = 6x thế vào pt (1) ta được

3x và chia

(1)

1
2

11 + 4 7
22 + 8 7
+
=1⇔ x =
⇒y=
21
7
3x
21x

4
TH2: Với y = − x không xảy ra do x > 0, y > 0 .
7
 11 + 4 7 22 + 8 7 
Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất ( x; y ) = 
;
 .
21
7


2
2
( x − y ) ( x + y ) = 13

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2
( x + y ) ( x − y ) = 25
 x − 2 y − xy = 0

Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x − 1 + 4 y − 1 = 2
 y 3 − x 3 = y − x
Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
2
 y + x = x − y
2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 6
Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
( x + 2) y + 1 = ( x + 1)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x

2 + 6 y = y − x − 2 y
Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 

 x + x − 2 y = x + 3y − 2

Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

 x3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0

 x − y + x + y = 2
 3x − 2 y + 4 x + y = 5


2 y2
=0
2 x − 5 y +
x

 x3 − 6 y 3 − x 2 y + xy 2 = 0

 x + 2 y − 3 x + 3 = − y − x + 2
 y 2 = (5 x + 4)(4 − x)
 2
2
 y = 5 x + 4 xy − 16 x + 8 y − 16

 4 
Đ/s: ( 0; 4 ) , ( 4; 0 ) ,  − ;0 
 5 
3
 x ( 2 + 3 y ) = 1
Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 

3
 x ( y − 2 ) = 3
1 1
4
4
 x − 2y = 2( y − x )

Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 1 + 1 = ( x 2 + 3 y 2 )( 3 x 2 + y 2 )
 x 2 y

 x3 − 8 x = y 3 + 2 y
Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2
2
 x − 3 = 3 ( y + 1)
 x3 + y 3 − xy 2 = 1
Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  4
4
4 x + y = 4 x + y
 xy + x + y = x 2 − 2 y 2
Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!