01 mo dau ve BDT BG

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b

a) a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c)

Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ 0
b) BDT ⇔ (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ 0

Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2 + b2 + c 2 ≥ 2(ab + bc − ca)

b) a 4 + b 4 + c 2 + 1 ≥ 2a(ab2 − a + c + 1)
Hướng dẫn giải:

a) BDT ⇔ (a − b + c)2 ≥ 0
b) BDT ⇔ (a2 − b2 )2 + (a − c)2 + (a − 1)2 ≥ 0
Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c, d , e . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

a2
+ b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc
4

b) a2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)

Hướng dẫn giải:

2

a

a) BDT ⇔  − (b − c)  ≥ 0
2

2

2

2

2

a
 a
 a
 a

b) BDT ⇔  − b  +  − c  +  − d  +  − e  ≥ 0
2
 2
 2
 2

Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

1 1 1
1
1
1
+ + ≥
+
+
a b c
ab
bc
ca

b) a + b + c ≥ ab + bc + ca với a, b, c ≥ 0
Hướng dẫn giải:

2

2

2

 1
1   1
1   1
1 
a) BDT ⇔ 
−
−
−

 +
 +
 ≥0
b  b
c  c
a
 a
2

2

2

b) BDT ⇔ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0
Bài 5: [ĐVH]. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3

a3 + b3  a + b 
a)
≥
 ; với a, b ≥ 0
2
 2 

b) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc , với a, b, c > 0.
Hướng dẫn giải:

3
a) BDT ⇔ (a + b)(a − b) 2 ≥ 0
8

b) Sử dụng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 − 3a2 b − 3ab2 .
Khi đó, BĐT ⇔ (a + b + c)  a2 + b2 + c2 − (ab + bc + ca) ≥ 0 .

Bài 6: [ĐVH]. Cho các số thực a, b . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!


Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a) a 4 + 3 ≥ 4a

b) a 4 + b 4 ≤

a6
b2

Facebook: LyHung95

+

b6
a2

; với a, b ≠ 0.

Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔ (a − 1) (a + 2a + 3) ≥ 0
2

2

b) BDT ⇔ (a 2 − b 2 ) 2 (a 4 + a 2b 2 + b 4 ) ≥ 0
Bài 7: [ĐVH]. Cho các số thực a, b, c, d , e . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

a2 + 3
a2 + 2

b) (a5 + b5 )(a + b) ≥ (a 4 + b 4 )(a2 + b2 ); ab > 0

>2

Hướng dẫn giải:
a) BDT ⇔ (a 2 + 1) 2 > 0
b) BDT ⇔ ab(a − b)(a 3 − b3 ) ≥ 0

Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng a2 + b2 ≥ 2ab (1).
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ≥ 4 abcd
b) (a2 + 1)(b2 + 1)(c 2 + 1) ≥ 8abc
c) (a2 + 4)(b2 + 4)(c 2 + 4)(d 2 + 4) ≥ 256abcd
Hướng dẫn giải:

a) a 4 + b 4 ≥ 2a2 b2 ; c 2 + d 2 ≥ 2c 2 d 2 ; a2 b2 + c 2 d 2 ≥ 2abcd
b) a2 + 1 ≥ 2a; b2 + 1 ≥ 2b; c2 + 1 ≥ 2c
c) a2 + 4 ≥ 4a; b2 + 4 ≥ 4b; c2 + 4 ≥ 4c; d 2 + 4 ≥ 4d
Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c ∈ R. Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (1). Áp dụng chứng
minh các bất đảng thức sau:
2

a) (a + b + c) ≤ 3(a + b + c )

a2 + b2 + c2  a + b + c 
b)
≥

3
3



c) (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca)

d) a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c)

2

e)

2

2

2

a+b+c
ab + bc + ca
với a, b, c > 0.
≥

3
3

f) a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc nếu a + b + c = 1

Bài 10: [ĐVH]. Cho a, b ≥ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab(a + b) (1).
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
1
1
a) 3 3
+ 3 3
+ 3 3
≤
; với a, b, c > 0.
a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc
1
1
1
b) 3 3
+ 3 3
+ 3
≤ 1 ; với a, b, c > 0 và abc = 1.
a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1
1
1
1
c)
+

+
≤ 1 ; với a, b, c > 0 và abc = 1.
a + b +1 b + c +1 c + a +1

d)

3

4(a3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a3 ) ≥ 2(a + b + c) ; với a, b, c ≥ 0 .

Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!