Giải Sách Bài Tập Xác Suất Thống Kê Của Trường Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Chương 3 Của Tác Giả Nguyễn Văn Minh

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

2016
Chương 3 SBT ĐH KTQD Version1

TS. Nguyễn Văn Minh - ĐH Ngoại Thương
Hà nội
FTU
9/15/2016


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD  
06/2016 
Bài  tập  có  sự  giúp  đỡ  của  SV  K53,  K54.  Có  nhiều  chỗ  sai  sót  mong  được  góp  ý: 
facebook.com/nnvminh 

§1 Quy luật nhị thức B(n,p)

Bài 3.1

Bắn  5  viên  đạn  vào  mục  tiêu.  Xác  suất  trúng  đích  của  mỗi  lần  bắn  như  nhau  và  bằng  0,2. 
Muốn phá  hủy  mục  tiêu  phải có  ít nhất  3  viên  trúng mục  tiêu,  tìm xác suất mục tiêu bị phá 
hủy. 
Giải: 
Coi mỗi lần bắn là một phép thử ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có hai khả 
năng đối lập là trúng hoặc trượt mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn đều bằng 
0,2 do đó thỏa mãn lược đồ Bernoulli. 
Gọi X là số viên đạn bắn trúng thì X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức với tham 
số n= 5 p=0,2.  
Vậy xác suất mục tiêu bị phá hủy chính là xác suất để  X  3  
Theo công thức Bernoulli: 
P( X  3 ) =  P3  +  P4 +  P5   

=  C35 . 0, 23.0,82  C54 . 0, 24.0,81  C55 . 0, 25.0,80 = 0,0579. 
Bài 3.2 Một gia đình có 5 con. Tìm xác suất sao cho trong số đó có: 
a.

2 con trai 

b.

Không quá 2 con trai 

Giả thiết xác suất sinh con trai là 0,51 
Giải:  

Coi mỗi lần sinh con là 1 phép thử, ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có 2 khả 
năng đối lập xảy ra là sinh con trai hoặc không sinh con trai, xác suất sinh con trai là 0,51. 
Đây là phân phối nhị thức Bernoulli. 

2


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Gọi X là số con trai trong gia đình có 5 người con thì X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật 
nhị thức Bernoulli với các tham số n = 5 và p = 0,51:  X ~ B ( 5, 0.51 ) 
a) Xác suất để có 2 con trai là xác suất để  X = 2: P (X = 2) 
P (X = 2) =  C52 (0,51) 2 (0, 49)3  = 0,306 
b) Xác suất để có không quá 2 con trai là xác suất để  X ≤  2: P (X ≤ 2) 
P (X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)  
    =  C50 (0, 49)5  +  C51 (0, 51)1 (0, 49) 4  + 0,306  

 

                = 0,481 

Kết luận: a) Xác suất để có 2 con trai là 0,306 
   

     b)  Xác suất để có không quá 2 con trai là 0,481 

Bài 3.3 Thống kê cho thấy cứ chào hàng 3 lần thì có 1 lần bán được hàng. Nếu chào hàng 12 
lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì ? Tại sao? 
Giải:  
Gọi A là biến cố bán được hàng, theo giả thiết ta có  

1
2

p  P( A)  , q  P( A)   
3
3
Ta có 12 lần bán hàng, mỗi lần chỉ xảy ra hoặc bán được hàng hoặc không bán được hàng nên 
X tuân theo quy luật B(12,1/3). 
Bài 3.4  Một nữ công nhân quản lý 12 máy dệt. Xác suất để mỗi máy trong khoảng thời gian t 
cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân là 1/3. Tính xác suất: 
 

a) Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân. 

 

b) Trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần sự chăm sóc của nữ công nhân. 

Giải:
Gọi X là số máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân trong khoảng thời gian t nên ta có X 
~ B(n = 12; p = 1/3). 
a) Xác suất để trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân là:  

2 1
Pa  = P(X=4) = ( )8 ( ) 4 C124  = 0.2384 
3 3
b) Xác suất để trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần sự chăm sóc của nữ công nhân 

là:  

3


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Pb  = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) 

2 1
2 1
2 1
2 1
=  ( )9 ( )3 C123  + ( )8 ( ) 4 C124  +  ( )7 ( )5 C125  +  ( )6 ( )6 C126  
3 3
3 3
3 3
3 3
= 0.212 + 0.238 + 0.190 + 0.111 
= 0.751 

Bài 3.5 Việc sản xuất ra các sản phẩm được tiến hành độc lập. Hỏi phải sản xuất mỗi đợt bao 
nhiêu sản phẩm để trung bình có được 10 sản phẩm đạt tiêu chuẩn biết rằng xác suất có được 
sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8.
Giải:
Gọi k là số sản phẩm cần sản xuất trong 1 đợt. 
Ta coi mỗi lần sản xuất là 1 phép thử nên có k phép thử độc lập. 
Mỗi  phép  thử  chỉ  quan  tâm  có  sản  xuất  được  sản  phẩm  đạt  tiêu  chuẩn  hay  không,  mà  mỗi 
phép thử xác suất sản xuất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8. 
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n=k và p=0,8. 
Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số k sản phẩm: X ~ B(n=k; p=0,8) 
Ta có: E(X) = np = k.0,8 ≥ 10 
hay k ≥ 10/0,8 = 12,5 suy ra k = 13. 

Vậy cần sản xuất 13 sản phẩm 1 đợt. 
Bài 3.6 Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 
5 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được. 
a) X tuân theo quy luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật 
b) Tìm E(X) và V(X) 
c) Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó 
Giải
a) X tuân theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5 và p = 0,8 
Biểu thức xác suất tổng quát của quy luật là  
 

P ( X  k )  C5k 0,8k 0, 25 k  

b) Ta có: E(X) = n.p = 5.0,8 = 4 
V(X) = n.p.q = 5.0,8.0,2 = 0,8 
c) E(X) = 4 
4


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

P( X  4)  C54 0,84 0, 25 4  0, 4096  

Bài 3.7 Xác suất để sản phẩm sản xuất ra bị hỏng bằng 0,1. 
a) Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm sản xuất ra có không quá 2 sản phẩm hỏng. 
b) Tìm số sản phẩm hỏng trung bình trong 5 sản phẩm đó. 
c) Tìm số sản phẩm hỏng có khả năng xảy ra nhiều nhất. 
Giải:
a) Gọi A là biến cố trong 5 sản phẩm lấy ra có không quá 2 sản phẩm hỏng 
Ta có A có 3 trường hợp: 0; 1; 2 sản phẩm bị hỏng 
 

P  A   C50 . 0,10.0,95   C51. 0,11.0,94   C52 . 0,12.0,93   

          =  0,99144 
b) X = số sản phẩm bị hỏng trong 5 sản phẩm = 0; 1; 2; 3; 4; 5 
 

X 0  0  P0   C50 .0,10.0,95   0,59049  

 

X 1  1  P1   C51.0,11.0,94   0, 32805  

 

X 2  2  P2   C52 .0,12.0, 93   0, 0729  

 

X 3  3  P3   C53 .0,13.0,92   0, 0081  

 

X 4  4  P4   C54 .0,14.0, 91   0, 00045  

 

X 5  5  P5   C55 .0,15.0,90   0, 00001  

 

 E  X     X i .Pi  0, 5  

5

i 0

c)  Mod  X   0 do tại  X 0  0, P0  0, 59049  là giá trị lớn nhất 
Bài 3.8 Gieo 10.000 hạt giống với xác suất để mỗi hạt nảy mầm là 0,85. Gọi X là số hạt nảy 
mầm. 
a) X tuân theo quy luật gì? 
b) Tìm E(X) và V(X) 
Giải: 
a) Gọi A là biến cố hạt nảy mầm   P (A) = 0,85   P( A)  0,15  
X là số hạt nảy mầm hay X là “số lần xuất hiện biến cố A trong 10.000 phép thử độc lập”. 
Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể nhận là X = 0,1,2,…,10000. 
5

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Theo công thức Bernoulli: 
k
Pk  C10000
.0,85k .0,1510000 k   với  k = 0,1,2,3…,10000 

Đây là quy luật nhị thức được kí hiệu là B(10000;0,85). 

b) Vậy E(X) = 10000. 0,85 = 8500 
 

 V(X) = 10000. 0,85. 0,15 = 1275 

Bài 3.9 Xác xuất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm có khả năng xảy ra 
nhiều nhất trong 855 hành khách. 
Giải:
Nếu coi mỗi hành khách là một phép thử thì ta có 855 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử 
chỉ có hai trường hợp là chậm hoặc không chậm. Xác xuất chậm của mỗi hành khách là 0,02. 
Như vậy ta có 1 lược đồ bernoulli  và gọi X là số khách chậm thì X tuân theo quy luật nhị 
thức với n=855 và p=0,02. Vậy số hành khách chậm có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 

người chính là giá trị mốt. Theo công thức mốt ta có: 
    np-q ≤ m0 ≤ np + p 
   16,12 ≤ m0 ≤ 17,12 
Vậy m0=17. Tức số khách chậm có khả năng xảy ra nhiều nhất là 17 người 
Bài 3.10 Xác suất để khỏi bệnh khi dùng loại thuốc A là  

3
. Có 5 người mắc bệnh B dùng 
4

thuốc A. Tìm xác suất: 
a) Có 3 người khỏi bệnh 

b) Có ít nhất 1 người khỏi bệnh 
c) Có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh 
Giải: 
Coi việc người mắc bệnh B dùng thuốc A là một phép thử thì có 5 phép thử độc lập. 

3
Trong mỗi phép thử thì xác suất để khỏi bệnh khi dùng loại thuốc A là    
4

3
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 5; p =   
4

3
Gọi X là số người khỏi bệnh B khi dùng thuốc A: X    B(n = 5; p =  ). 
4
a) Xác suất để có 3 người khỏi bệnh là: 
6


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

3

2

3 1
P  X  3  C      0, 263  
4 4
3
5

 

b) Xác suất để có ít nhất 1 người khỏi bệnh là: 
5

 

1
P  X  1  1  P  X  0   1  C50    0,99902  
4

c) Xác suất để có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh là: 
i

2

 

3 1
P  X  2   C    
4 4
i 0
i
5

5 i

 0,1035  

Bài 3.11 Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép 
thử độc lập và P(A) = p trong mỗi phép thử, biết rằng E(X) = 1,2 
Giải: Do X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép thử độc lập Bernoulli và  
P(A) = p nên ta có: 
E(X) = np lại có E(X) = 1,2    np = 1,2    p = 0,6  
Mà q = 1 - p   q = 0,4 
V(X) = npq = 2.0,6.0,4 = 0,48 
Bài 3.12 Tiến hành các phép thử độc lập với xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử 
đều bằng p. Tìm p nếu phương sai của số lần xuất hiện biến cố trong 3 phép thử độc lập là 

0,63. 
Giải:  
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 3 ; p 
Gọi X là số lần xuất hiện biến cố đang xét => X ~ B (n = 3 ;p) 
=> V(X) = npq = 3p(1 – p) = 0,63 
 p2 – p + 0,21 = 0  
 p = 0,3 hoặc p = 0,7 
Bài 3.13 Một kho hàng chuyên cung cấp hàng cho 12 cửa hàng. Xác suất để mỗi cửa hàng đặt 
hàng cho kho đó trong ngày là 0,3. Tìm số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất cho mọt ngày 
và xác suất tương ứng với nó. 
Giải: 
n=12;p=0,3 

Gọi X là số đơn đặt hàng trong 1 ngày: X ~ B(12;0,3) 
Số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất trong 1 ngày là  m0  thỏa mãn 
     np + p – 1    m0     np + p 

7


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

  12.0,3 + 0,3 – 1     m0     12.0,3 + 0,3 
   m0  = 3 

       P(X=3) = C123 .0, 33.0, 7 9  = 0,2397 
 Bài 3.14 Bia bắn được chia làm 2 vòng, xác suất bắn trúng vòng trong là 0.7 còn trúng vòng 
ngoài là 0.3. Tìm xác suất sao cho bắn 3 viên đạn thì được ít ra là 29 điểm biết rằng bắn trúng 
vòng trong thì được 10 điểm, trúng vòng ngoài thì được 9 điểm. 
Giải: 
Gọi X là số viên đạn bắn trúng vòng trong nên ta có X ~ B(n = 3; p = 0.7). 
Xạ thủ đạt được ít nhất 29 điểm khi có ít nhất hai lần bắn trúng vòng trong, vậy có thể xảy ra 
hai trường hợp: 

-  Trường  hợp  1:  Có  hai  lần  bắn  trúng  vòng  trong  và  chỉ  một  lần  duy  nhất  bắn  trúng  vòng 
ngoài → X = 2. 
- Trường hợp 2: Cả ba lần bắn đều trúng vòng trong → X = 3. 
Vậy xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 29 điểm là:  
P = P(X = 2) + P(X = 3)  
=  (0.3)1 (0.7) 2 C32  +  (0.3)0 (0.7)3 C33  
= 0.441 + 0.343 
= 0.784 
Bài 3.15 Một nghiên cứu cho thấy 70% công chức cho rằng việc nghỉ làm hai ngày một tuần 
sẽ nâng cao được hiệu suất công tác. Nếu chọn ngẫu nhiên 15 công chức ở một bộ để phỏng 
vấn thì xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là bao nhiêu? 
Giải: 

Xác suất công nhân đồng ý với ý kiến trên là p = 70% = 0,7  
Xác suất công nhân không đồng ý với ý kiến là q = 1 – 0,7 = 0,3 
Gọi X là số người đồng ý kiến với ý kiến đó, X  B (n=15, p=0,7) 
Do đó xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là P[X ≥ 10] 
Ta có P[X ≥ 10] = P10 + P11 + P12 + P13+ P14 + P15  
10
11
12
=  C15
.(0,7)10.(0,3)5  +  C15
.(0,7)11.(0,3)4  +  C15
.(0,7)12.(0,3)3  +  C1513 .(0,7)13.(0,3)2  +  C1514

15
.(0,7)14.(0,3) +  C15
.(0,7)15 

8


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh
= 

ĐH Ngoại Thương Hà nội

0,7216 

Đáp số: 0,7216 

§2 Quy luật siêu bội - M(N,n)

Bài 3.16 Trong kho có 10 cái lốp xe, trong đó có 3 cái hỏng. Lấy ngẫu nhiên 4 cái lốp để lắp 
cho 1 xe. Nếu gọi X là số lốp xe bị hỏng có thể được lấy ra thì X tuân theo quy luật nào? Hãy 
giải thích? 

Giải: 
Gọi biến cố X là số lốp xe bị hỏng trong 4 lốp xe. 
Với X = 0 thì  P ( X  0) 

C30C74
 
C104

Với X = 1 thì  P ( X  1) 

C31C73
 

C104

Với X = 2 thì  P ( X  2) 

C32C72
 
C104

Với X = 3 thì  P( X  3) 

C33C71
 

C104

Với X = 4 thì  P( X  4)  0  
Suy ra X tuân theo quy luật siêu bội: X ~ M (N, n) 
Bài 3.17 Trong số 20 công nhân của một công ty có 12 người có tay nghề khá. Tìm xác suất 
để khi kiểm tra ngẫu nhiên tay nghề của 5 công nhân thì có ít nhất 4 người có tay nghề khá. 
Giải: 
Gọi X là số người có tay nghề khá trong 5 người thì X ~ M(N=20; M=12; n=5) 
P  P  X  4  P  X  5 

C124 C81 C125 C80
 5 . 

5
C20
C20

Bài 3.18 Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp 5 tờ 50 ngàn 
tiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ giấy bạc đem đi kiểm tra và giao 
hẹn nếu phát hiện có bạc giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiền 
phạt mà khách có thể phải trả. 

9

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Giải: 
Gọi X là số tờ bạc giả mà chủ cửa hàng có thể kiểm tra thấy. 
X = 0,1,2,3. 
X phân phối theo quy luật siêu bội với N=20, M=5, n=3. 
Ta có bảng phân phối xác suất 
X 

0 

1 

2 

3 

P 

C153 C50

 
3
C20

C152 C51
 
3
C20

C151 C52
 
3

C20

C150 C53
 
3
C20

Số tiền giả trung bình trong 3 tờ là: 
E(X)=  n.

M
5

 3.  0, 75  (ngàn) 
N
20

Gọi Y là số tiền khách hàng phải trả nếu phát hiện tiền giả 
 thì Y= 2.50.X=100X 
Do đó E(Y)=E(100X)=100E(X)=100.0,75= 75 (ngàn) 
Vậy số tiền phạt mà khách có thể phải trả là 75 ngàn đồng. 
 
Bài 3.19 Trong 20 giấy thông báo thuế thu nhập có 3 giấy mắc sai sót. Nhân viên kiểm tra lấy 
ngẫu nhiên 5 giấy thông báo để kiểm tra. 
a) Thiết lập phân phối xác suất của số giấy thông báo có lỗi. 

b) Tìm trung bình và phương sai của số giấy thông báo có lỗi được kiểm tra. 
Giải: 
a) Gọi X là số giấy thông báo lỗi của phép thử. 
C k . C 5k
P  X  k     3 5 17  
C20

 
  X  ~ B   N  20; M  3; n  5   
Bảng phân bố xác suất: 
X 

0 

1 

2 

p 

0.3991  0.4605  0.1316  0.0088 

  

10

3 


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

0   x  0


 0.3991   0  x   1

 F ( x)   0.8596 1   x  2  
0.9912  2  x  3

1   3  x

3
M
b) p 
 ; E(X) =   pi .xi  0, 75  hoặc có thể tính bởi công thức  E ( X )  np  

N
i 1
 
V(X) = p1. (x1 – 0.75)2 + p2. (x2 – 0.75)2 + p1. (x3 – 0.75)2 + p1. (x4 – 0.75)2 = 0.50345 

hoặc có thể tính bởi công thức  V ( X )  npq

N n
. 
N 1

Bài 3.20 Trong 100 bóng đèn có 40 bóng hỏng. Tìm xác suất để lấy được 3 bóng hỏng trong 5 

bóng được kiểm tra ngẫu nhiên. 
Giải: 
Ta có: N = 100; M = 40; n = 5 
Gọi X là số bóng hỏng trong 5 bóng được kiểm tra:  X   M(N = 100; n = 5). 
Vậy xác suất để lấy được 3 bóng hỏng trong 5 bóng được kiểm tra ngẫu nhiên là: 
P  X  3 

 

2
C60
C340

 0, 23228  
5
C100

§3 Quy luật Poisson - P( )

Bài 3.21 Một xe tải vận chuyển 1000 chai rượu vào kho. Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai 
bị vỡ là 0,004. Tìm xác suất để sau khi vận chuyển có 5 chai rượu bị vỡ. 
Giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernouli nên gọi X là số chai rượu bị vỡ khi vận chuyển thì 
X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức. Song vì n quá lớn, p quá nhỏ nên ta có thể 
coi x phân phối xấp xỉ Poisson với tham số   = np= 1000. 0,004 = 4 
Vậy xác suất để 5 chai rượu bị vỡ là: P5 = e-4.

45
= 0,1562. 
5!

Bài 3.22  Tổng  đài điện thoại  phục  vụ  100 máy điện thoại.  Xác suất để  trong  mỗi phút  mỗi 
máy gọi đến tổng đài là 0,02. Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút 
Giải: 
Gọi X là số máy gọi đến tổng đài 
Ta có n=100 (máy điện thoại), p=0,02 
11

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Do n quá lớn, p quá nhỏ nên, X phân phối Poisson với tham số là λ=n.p=100.0.2=2 
Số máy gọi tới tổng đài trung bình trong  phút là E(X)=λ=2 (máy điện thoại). 
 
Bài 3.23 Số khách vào một cửa hàng bách hóa trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy 
luật Poisson với mật độ (số khách trung bình) là 8 khách trong một giờ. Tìm xác suất để trong 

một giờ nào đó có hơn 4 khách vào. 
Giải: 
Gọi X là số khách vào trong một giờ thì X~P (λ) 
Ta có E(X) = λ=8 
P(X>4) =1-P(X  4) = 1-  e8 -  e8   .

81
82
83
84
  -  e8   .  - e8   .  - e8   .  = 0,90037
1!

2!
3!
4!

Bài 3.24 Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Người ta kiểm tra 150 sản phẩm của lô hàng đó 
nếu trong đó có không quá 2  sản phẩm phế phẩm thì được chấp nhận. Tính xác suất lô hàng 
được chấp nhận. 
Giải: 
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n= 150, p= 0,04  
Gọi X là số phế phẩm trong 150 sản phẩm => X ~  B (n = 150; p = 0,04) 
Do n và p thỏa mãn n.p = 150 x 0,04 = 6  n.p.(1 – p) Nên  có thể coi X  ~ P(  6)   
Xác suất lô hàng được chấp nhận là:  

P (X   2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) =  e6  +  e 6

61
62
 +  e6  = 0,06197 
1!
2!

Bài 3.25 Tại sân bay cứ 15 phút có một chuyến ô tô buýt loại 6 chỗ ngồi phục vụ chở khách 
vào trung tâm thành phố. Biết rằng số khách chờ đi ô tô tuân theo phân bố Poisson với mật độ 
trung bình là 8 người một giờ. Tìm xác suất để: 
a) Không có khách nào chờ đi xe. 

b) Xe sẽ chật khách. 
c)  Người  ta  sẽ  tăng  thêm  một  xe  chở  khách  nếu  xác  suất  để  có  hơn  một  người  phải  chờ 
chuyến xe sau lớn hơn 0.1. Vậy có tăng thêm xe chở khách không? 
Giải: 

12


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Gọi X là số khách chờ xe tại sân bay thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Theo bài ra, X phân bố 
theo quy luật Poisson với mật độ trung bình 8 người một giờ. Trong 15 phút trung bình sẽ có 
số người chờ là: 
λ=15/60. 8= 2 (khách) 
a) Xác suất để không có khách nào ngồi chờ xe là: 
P[X=0]= e2  = 0,1353 
b) Xác suất để xe chật khách là: 
P  X  6  1  e2 (1 

2 2 2 23 2 4 25

    )  0,0166 
1! 2! 3! 4! 5!

c) Xác suất để có hơn 1 người phải đợi là: 

P  X  7  P  X  6  P  X  6  0, 0166  e2

26
 0,1  
6!

Do đó không tăng thêm xe chở khách. 

Bài 3.26 Cứ 5000 con cá biển đánh bắt được thì có 1 con bị nhiễm khuẩn có hại cho sức khỏe 
con người. Tìm xác suất để trong một lô cá gồm 1800 con mới đánh bắt về có không quá 2 
con bị nhiễm khuẩn. 
Giải: 
Nếu xem việc kiểm tra mỗi con cá là một phép thử thì ta có 1800 phép thử độc lập. 
Trong mỗi phép thử chỉ quan tâm đến việc con cá đó nhiễm khuẩn hay không. 
Trong mỗi phép thử, xác suất để một con bị nhiễm khuẩn đều là 1/5000. 
Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 1800; p = 1/5000. 
Gọi X là số cá bị nhiễm khuẩn trong 1800 con    X ~ B(n = 1800; p = 1/5000). 
Do n và p thỏa mãn np = 1800.1/5000 = 0,36 ≈ np(1 – p) nên có thể coi như X ~ P(   = 0,36). 
P  X  2  e 0,36 (1 

0,36 0,36 2

)  0, 99405  
1!
2!

Vậy  xác  suất  để  trong  một  lô  cá  gồm  1800  con  không  có  quá  2  con  bị  nhiễm  khuẩn  là 
0,99405. 
§4 Quy luật phân phối đều - U(a,b)

Bài 3.27 Nhu cầu về một loại hàng hóa phân phối đề trong khoảng [30;50] (tấn/tháng) 
a)

Xác định hàm mật độ xác suất 
13


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

b)

Xác định hàm phân bố xác suất 

c)

Tìm kỳ vọng toán và phương sai 

d)

Vẽ đồ thị hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác suất 

e)

Tìm xác suất để nhu cần không vượt quá 45 tấn 

Giải: 

X  ~ U (30;50)         (đơn vị: tấn/tháng) 
Đây là hàm phân bố đều 

a)

X có hàm mật độ là: 
1

 1
         x
  30;50

 
f  x     b  a 20
0                     x  [30;50]

 

b)

X có hàm phân bố xác suất là: 

 0                    x    30
 x  a x  30

F  x    

    30   x    50  
20
b  a
1                   x    50


 

a  b 30   50 
E  X   
 
 40  
2
2
(b  a ) 2 (50  30) 2 100
  
V  X     

 
 
12
12
3

c)

 
Đồ thị hàm mật độ xác suất
y

Đồ thị hàm phân bố xác suất
y 

1
 
20

1 

 

 

   0        30                  50               x 

0            30    50                          x 

                
   

 
50

1

 dx  
20
45

 P  X   45  1  P  X  45  1   

14


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

1 50
                         1     x            0, 75  
20 45
Bài 3.28 Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp chỉ dự kiến được rằng có thể đạt 
được doanh số trung bình 30 triệu đồng/tháng và độ lệch chuẩn là 5 triệu. Tìm xác suất để khi 
thâm nhập vào thị trường đó doanh nghiệp sẽ đạt được doanh số ít nhất là 32 triệu đồng/tháng. 
Giải: 
Doanh số doanh nghiệp đạt được là X ~ U(a,b) với: 

ab

 E ( X )  2  30
a  30  5 3
a  b  60

 
 





2
b

a

10
3
(
b

a
)


b

30

5
3

 

5 
 X

12
Hàm mật độ xác suất của X là 
 1
            x  (30  5 3;30  5 3)

 
f  x   10 3
 0                 x  (30  5 3;30  5 3


Xác suất để doanh nghiệp đạt doanh số ít nhất là 32 triệu là  


P( X  32) 





30  5 3

f ( x)dx 



32

1
30  5 3  32
dx 
 0,3845  
10 3
10 3

§5 Quy luật lũy thừa - E ( )

Bài 3.29 Tuổi thọ của một loại bóng đèn là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật lũy thừa với 
 0                  x  0

hàm mật độ xác suất như sau: f(x) =   1  x /1500
 
  x  0
1500 e

a) Hãy xây dựng hàm phân bố xác suất. 
b) Tìm tỷ lệ các bóng đèn có tuổi thọ dưới 1500 giờ. 
Giải: 
Gọi X là biến cố tỷ lệ các bóng đèn có tuổi thọ dưới 1500 giờ 

a)

Hàm phân phối xác suất của X là:  

15


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

0                   x  0
F(x) =  
 
x

 1   e 1500    x   0 
b)

P(X < 1500)= F(1500) = 1 -  e1500/1500  =  1  e1 = 0,6321. 

Vậy tỷ lệ các bóng đèn có tuổi thọ dưới 1500 giờ là 0,6321. 

Bài 3.30 Thời gian phục vụ mỗi khách hàng tại một cửa hàng mậu dịch là biến ngẫu nhiên X 
tuân theo quy luật lũy thừa với mật độ xác suất như sau: 

5e5x ,   x  0
f x  
 
 0,   x  0

 
Với X được tính bằng phút/khách hàng. 

a) Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến 1 

phút. 
b) Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng. 
Giải: 

5e5x ,   x  0
   5 . 
Ta có:    f(x)  
 0,   x  0
a) Xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến 1 phút là: 
1

1

P  0, 4  X  1   f  x  dx 

 

0,4

 5e

5x

dx   e5x

1
0,4

 0,1286  

0,4

b) Thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng là: 

E X 

1





1
 0, 2  phút 
5

Bài 3.31  Thời gian chờ bốc xếp của các con tàu tại một bến cảng là biến ngẫu nhiên tuân theo 
quy luật lũy thừa với hàm mật độ xác suất là: 

2e2x ,   x  0
f x  
 
 0,   x  0
Với x được tính bằng tháng. Tìm thời gian chờ đợi trung bình của mỗi con tàu để được bốc 
xếp. 
Giải:  
Theo đề bài ta có  λ  = 2 

16

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

1
E(X)=  =0,5 
λ
Vậy thời gian chờ đợi trung bình của mỗi con tàu để được bốc xếp là 0,5 tháng. 
Bài 3.32 Khoảng cách thời gian mà 2 khách hàng kế tiếp đến ngân hàng là biến ngẫu nhiên 

phân phối lũy thừa với trung bình là 3 phút. Giả sử vừa có 1 khách đến. Tìm xác suất để trong 
vòng ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng 
Giải: 
Gọi X là khoảng cách thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng 

1
Trung bình là 3 phút    E(X)=3;  λ   
3
X~E( λ  = 3) 




P(X  2)=   f  x  dx    
2

2

x
 
1  x3
e dx    e 3
= 0,5134 
2

3

§6 Quy luật chuẩn - N (  ,  2 )

Bài 3.33 Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn hóa nhận giá trị: 
a) Trong khoảng (-2,33; 2,33) 
b) Trong khoảng (-2; 1) 
c) Trong khoảng (-0,89; 2,5) 
d) Lớn hơn 3,02 
e) Nhỏ hơn 2,5 
Giải: 
a) P(-2,33 < x < 2,33) = Φ0(2,33) – Φ0(-2,33) = Φ0(2,33) + Φ0(2,33) = 2. Φ0(2,3 + 0,03) = 2. 

0,4901 = 0,9802 
(Tra bảng phụ lục 5) 
b) P(-2 < x < 1) = Φ0(1) – Φ0(-2) = Φ0(1) + Φ0(2) = 0,3413 + 0,4772 = 0,8185 
(Tra bảng phụ lục 5) 
c) P(-0,89 < x < 2,5) = Φ0(2,5) – Φ0(-0,89) = Φ0(2,5) + Φ0(0,89) = 0,4938 + 0.3133 = 0,8071 
(Tra bảng phụ lục 5) 
d) P(x > 3,02) = P(x > (3 + 0,02)) = 0,0013 
17


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

(Tra bảng phụ lục 6) 
e) P(x < 2,5) = 1 – P(x > 2,5) = 1 – 0,0062 = 0,9938 
(Tra bảng phụ lục 6) 
Bài 3.34  Biến ngẫu nhiên    X  tuân theo  quy  luật chuẩn với µ  =10,δ=  2. Tính xác  suất để  X 
nhận được giá trị trong khoảng ( 8;12) 
Giải: 
X tuân theo phân phối chuẩn    Áp dụng công thức, ta có: 

bµ
a  – 
P(8 ) –  Ф0 ( 
 )  





 

12  10
8 –10
 ) –  Ф0 ( 
 )   
= Ф0(  
2
2

 

= 2 Ф0 (1) 

Tra bảng: Ф0(1)=0,3413 
Vậy P(8Bài 3.35 Trọng lượng sản phẩm X do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên tuân theo 
quy luật chuẩn với E(X) = 100 gam và độ lệch chuẩn 1 gam. Sản phẩm được coi là đạt tiêu 
chuẩn kỹ thuật nếu trọng lượng của nó đạt từ 98 đến 102 gam. 
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy. 
b) Tìm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy. 
c) Giải thích bằng đồ thị kết quả tìm được ở phần (a). 
Giải: 
X  N(100;  12 )  
Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy là: 
 102  100 

 98  100 
P(98  0 
   0  2     0  2   2 0  2   0,9544  
1
1





P(98

b) Tỷ lệ phế phẩm của nhà máy là:p 
p = 1 – P(98Đồ thị: 

18

=> 


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

 
Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật của nhà máy chính là phần diện tích gạch chéo ở hình 
 102  100 
 98  100 
1 (=P(98  0 
).  
1
1






Bài 3.36 Trong hệ thống tỷ  giá hối đoái thả nổi, sự biến đổi của tỷ giá hối đoái thả nổi, sự 
biến động của tỷ giá hối đoái chịu sự tác động của rất nhiều nhân tố và có thể xem như biến 
ngẫu  nhiên  phấn  phối  chuẩn,  giả  sử  ở  một  giai  đoạn  nào  đó  tỷ  giá  của  USD   với  VND  có 
trung bình là 15000đ và độ lệch chuẩn là 500đ. Tìm xác suất để trong một ngày nào đó. 
a) Tỷ giá sẽ cao hơn 16000đ 
b) Tỷ giá sẽ thấp hơn 14500đ 
c) Nằm trong khoảng 14500đ đến 16500 

Giải: 
Gọi X là tỷ giá của USD và VND  
Ta có: X~N(15000, 5002) 
a) P(X>16000)= P( 

X  15000 16000  15000
 > 
) = P(U>2)=0,0228 
500
500

b) tương tự câu A 

P(X<14500) = P(U<-1) =P(U>1)=0.1587 
c) P(14500Bài 3.37  Việc  tiêu  dùng  điện  hàng  tháng  của  các  hộ  gia  đình ở  Hà  Nội là  biến  ngẫu  nhiên 
phân bố chuẩn với trung bình là 200KWh và độ lệch chuẩn là 40KWh. Tìm xác suất để chọn 
ngẫu nhiên một hộ gia đình thì hộ đó: 
a.

Có mức tiêu dùng điện hàng tháng trên 250KWh 

b.

Có mức tiêu dùng điện hàng tháng dưới 180KWh 

Giải: 
19


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh



ĐH Ngoại Thương Hà nội



X  ~ N  ;  2  (200;1600)  và   X  là biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn. 

P  X  250  P  X    250      

 
                       P[

X 





250  



] 

5
X  200

 ~ N (0;1)  
                       P[U  ]         với  U  
4
40
5
5
                        F     F    1  F     
4
4

1
 5  1

5
                        1      0         0    
 4  2
4
2
                        0,5  0,3944  0,1056  

P  0  X  180   P  0    X    180      

 
                       P[

0





X 

                       P[5  U 





180  



] 

1
X  200
]         với  U   
 ~ N (0;1)  

2
40

 1 
                       F    F (5)  
 2 
1
                        0 (5)    0    
2

                       0,5  0,1915  0,3085  
Bài 3.38  Chiều cao  nam  giới khi  trưởng thành ở  một vùng  dân cư là  biến ngẫu nhiên phân 

phối chuẩn với    160cm và    6cm . Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao nhỏ hơn 
155cm 
a) Tìm tỷ lệ thanh niên lùn ở vùng đó 
b) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên 4 người thì có ít nhất 1 người không bị lùn. 
Giải: 
Gọi X là chiều cao của 1 thanh niên   X  ~ N    160,  2   62   
a. Tỷ lệ thanh niên lùn là 
P( X <155) = P(U <

155  160
)  P U  0,83   0, 2033  
6

20


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

b. Xác suất để cả 4 người đều bị lùn là  0, 20334  
Xác suất có ít nhất 1 người không bị lùn là 1 -  0, 20334  = 0,9983 
Bài 3.39 Kích thước chi tiết là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với    50 . Kích thước thực 

tế của  các chi tiết không  nhỏ hơn 32cm  và  không  lớn hơn 68cm.  Tìm xác  suất  để  lấy ngẫu 
nhiên một chi tiết có kích thước. 
a) Lớn hơn 55cm 
b) Nhỏ hơn 40cm 
Giải: 
Tính phương sai   2 : 
P( 32  X  68) =100% 

18
18
18
= P( 32  50  X  50  68  50) = P( 18  X  50  18) =   0 ( )   0 (

) =2  0 ( )  



suy ra 

18







 xấp xỉ 5; có nghĩa    3, 6 . 

a) Xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết có kích thước lớn hơn 55cm: 
P( X  55) 

1
55  50
 0 (
)  0, 5   0 (1,39)  0, 0823 .  
2

3, 6

b) Xác suất lấy ngẫu nhiên một chi tiết có kích thước nhỏ hơn 40cm: 

P( X  40) 

1
40  50
 0 (
)  0,5   0 (2, 78)  0, 0027 .  
2
3,6

Bài 3.40 Năng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với  μ = 50 tạ/ha và 
σ = 3,6 tạ/ha. Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2 thửa ruộng có 

năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5  tạ/ha. 
Giải: 
Xác suất để gặt ngẫu nhiên thửa ruộng bất kỳ có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình 
không quá 0,5 tạ/ha là: 
 0,5 
P(|X - 50| < 0,5) =  2Φ0 
  2Φ0  0,14      2.0,0557=0,1114 
 3, 6 

Lúc đó, xác suất để gặt 3 thửa ruộng có 2 thửa có năng suất sai lệch so với năng suất trung 
bình không vượt quá 0,5 tạ/ha được tìm theo công thức Bernoulli: 

21


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

2

P =  C32  0,1114  1  0,1114   0, 0331  
Vậy xác suất cần tìm là: P    0,0331. 
Bài 3.41 Cho Xi (i= 1, n ) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng tuân theo quy luật chuẩn với 
E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=m 
V(X1)=V(X2)=…=V(Xn)= δ2 
Lập công thức tính 
P( X  m < ℇ)biết rằng  X 

1 n
X i 

n i 1

Giải:  
   E(X ) = 

V( X)   = 

1 n
1
1 n
 = 
E(X

)

m m 
 i n n
n i 1
i 1

1 n
δ2
δ
 
V(X

)

X
i
2 
n i 1
n
n

 X  N( m,  

δ2

) 
n

Suy ra: P(| X -m| < ε) = P(- ε  m  X  ε  m)  
               

    =  Φ0 (

 

    =  Φ 0  (

εmm
ε  m  m
) -  Φ0 (
) 
δ
δ
n
n

ε n
ε n
) +  Φ0 (

) 
δ
δ

   = 2 Φ0 (

ε n
) 
δ

. 

Bài 3.42 Tiến hành 1000 phép thử độc lập. P(A)=0,75 trong mỗi phép thử. Tìm xác suất sự sai 
lệch giữa tần suất với xác suất không vượt quá 0,02. 
Giải: 
Ta có theo quy luật nhị thức thì số lần xuất hiện biến cố A: 
  

X ~ B (n = 1000, p = 0.75) 

Lại do n khá lớn, p không quá gần 0,1 nên có thể coi  
X  ~ N( μ  = np =750, σ2 = npq = 187.5) 
22

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

f  là tần suất xuất hiện của biến cố A 
Do f =  

X
  nên f có thể coi là phân phối chuẩn với 

n

E (f) = p = 0.75;  
V (f) = 

p (1 –  p )  
=0.0001875 
n

P(  f  p  < 0.02) = 2  0 (0.02 /   0.0001875  ) = 2.0.4279 = 0.8558 
Bài 3.43 Tiến hành kiểm tả chất lượng 900 chi tiết. Xác suất được chi tiết đạt tieu chuẩn là 
0,9. Hãy tìm với xác suất 0,9544 xem số chi tiết đạt tiêu chuẩn nằm trong khoảng nào xung 

quanh số chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình? 
Giải: 
Gọi X là số chi tiết đạt tiêu chuẩn trong 900 chi tiết thì X ~ B(n = 900; p = 0,9 ). 
Dễ dàng kiểm tra được X phân phối xấp xỉ chuẩn với 
E(X) = =
V(X) =  2=

=900.0.9=810 
=810.0,1=81 

Giả sử với xác suất 0,9544 số chi tiết đạt tiêu chuẩn nằm trong khoảng (a;b) xung quanh số 
chi tiết đạt tiêu chuẩn trung bình. Như vậy, bài toán thỏa mãn quu luật 2 xich-ma, nghĩa là: 

( ,)=(| − |<2 )=( −2 < < +2 ) → = −2 =81−2.9=792; = +2 =810+2.9=828 
Kết luận: 792 < X <828 
Bài 3.44 Xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử độc lập là 0,5. Tìm số phép thử n 
để với xác suất 0,7698 có thể khẳng định rằng tần suất sai lệch so với xác suất không vượt quá 
0,02. 
Giải:
Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n lần thử =>  X  B(n,  p  0,5)  
Có:  E  f   p  0,5 ;  V  f  

pq 0,5.0,5
0,5


 σ 2  =>  σ 
 (*)  
n
n
n

Vì n khá lớn nên có thể coi  X ~  N  μ,  σ 2   
Khi đó,  E  X  f    μ  μ  p  
Theo bài ra  P  0, 02  f  p  0, 02   0, 7698   

23

 0, 02 f  p 0, 02 
 P


  0, 7698  
σ
σ 
 σ


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

 0, 02 
 0, 02 
 2 0 
  0, 7698   0 
  0,3849  
 σ 
 σ 

 



 

0, 02
 1, 2  
σ

Thay vào (*) => n=900 
Bài 3.45 Việc kiểm tra các viên bi tiến hành như sau: nếu viên bi không lọt qua lỗ có đường 

kính d1 song lọt qua lỗ có đường kính d2 thì viên bi được coi là đạt chuẩn, nếu không thì viên 
bi bị loại. Biết rằng đường kính các viên bi được sản xuất ra là biến phân phối chuẩn với µ = 

d1  d 2
d d
 và σ=  2 1 . 
2
4
Tìm xác suất để viên bi bị loại. 
Giải: 
Gọi X là đường kính 1 viên bi 
→ X ~ N ( µ = 

d1  d 2
d d
; σ =  2 1  ) 
2
4

Viên bi không bị loại nếu d1 < X < d2. Do đó xác suất viên bi bị loại là: 
P = 1 – P(d1 < X < d2 ) 

d   d 2
d   d 2

d1     1
 
d 2     1
 
2
2
   =  1 – P (
 < U < 
 ) 
d 2  d1
d 2  d1
4

4
   = 1 – P (-2 < U < 2) 
   = 1 – [P(U> -2) – P(U> 2)] 
   = 1 – [1 – 2P(U> 2)] = 2P(U > 2) 
   = 2. 0,0228 = 0.0456 

§7 Bài tập tổng hợp chương III

Bài 3.46 Xác suất máy bị hỏng trong 1 ngày hoạt động là 0.01. Chi phí sửa chữa mỗi lần máy 
hỏng là một triệu. Vậy có nên kí hợp đồng bảo dưỡng 120 ngàn đồng một tháng để giảm xác 
suất hỏng của máy một nữa hay không và nếu kí thì mang lại hiệu quả bao nhiêu? 
Giải: 

24


TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí

TS. Nguyễn Văn Minh

ĐH Ngoại Thương Hà nội

Chi phí trung bình cho một ngày khi không kí hợp đồng là 
0.01 x 1 000 000 = 10 000 
  Chi phí cho một năm không kí hợp đồng là 

10 000 x 365 = 3 650 000 
Tương tự, chi phí cho một năm khi kí hợp đồng là 
(0.005 x 1 000 000) x 365 – 120 000 x 12 =3 265 000 
Vậy trong một năm, kí hợp đồng sẽ có lợi hơn không kí hợp đồng, giảm được chi phí là 
3 650 000 - 3 265 000 = 385 000 đồng. 
Bài 3.47 Thời gian bảo hành sản phẩm được qui định là 3 năm. Nếu bán được một sản phẩm 
thì cửa hàng lãi 150 ngàn song nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì cửa hàng 
phải chịu chi phí 500 ngàn cho việc bảo hành. Biết rẳng tuổi thọ của sản phẩm là biến ngẫn 
nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 4,2 năm và độ lệch chuẩn là 1,8 năm. 
a) Tìm số tiền lãi mà cửa hàng hi vọng thu được khi bán mỗi sản phẩm. 
b) Nếu muốn số tiền lãi cho mỗi sản phẩm bán ra là 50 ngàn thì phải quy định thời gian 

bảo hành là bao nhiêu. 
Giải: 
Gọi X là tuổi thọ của sản phẩm thì X ~ N(   4, 2;  2  1,82 ) 
a) Xác suất sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành là: 
P(X   3 )=P(U<

3  4, 2
) =P(U<-0,67)=P(U>0,67)=0,2514 
1,8

Vì  u =0,67 suy ra   =0,2514. 
 

Gọi Y là tiền lãi nhận được khi bán 1 sản phẩm. 

 

Suy ra Y=150 khi sản phẩm không bị hỏng trong thời gian bảo hành. 

Y=150-500=-350 khi sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành. 
Y có bản phân phối xác suất 
Y 
P 

-350 

150 

0,2514  0,7486 

Số tiền lãi hi vọng thu được khi bán 1 sản phẩm là: 
E(Y)=-350.0,2514+150.0,7468=24,3(ngàn) 

25