Chương I. §3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chuyên đề: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ
MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Nêu bảy hằng đẳng thức đáng
nhớ?

( A + B) = A + 2AB + B

( A - B)

2

2

2

2

= A - 2AB + B

2

A - B = ( A + B) ( A - B)
2

2

2

3

2
2
3
A
+B
=
A
+3A
B
+3AB
+B
(
)
3

3
2
2
3
A
-B
=
A
-3A
B
+3AB
-B
( )
3

(

3

A + B = ( A + B ) A - AB + B
3

3

(

A - B = ( A - B ) A + AB + B
3

2

2

)

2

2

)


Dạng 1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng
nhớ để tính

Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy
hằng đẳng thức đáng nhớ để tính.
Bài 1: Tính
a) ( x + 2y)2
b) ( 3x 2y)2
1 2
c) ( 6x - )
2

x
x
d) (
- (
+ y)
2
y) 2
1 3
e) (x - )
3
f) ( 3x + 2)3


Dạng2. Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng
đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng
vế trái hoặc vế trái bằng vế phải.
Bài 2: Chứng minh các đẳng
thức:
a) ( x + y)2 - y2 = x ( x +

2y ) 2
b) ( x + y2)2 - (2xy)2 = (x + y )2 ( x
–y )2
c) ( x + y)3 = x(x - 3y )2 +y( y –3x )2


Dạng2. Chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái
hoặc vế trái bằng vế phải.
Bài 3: Chứng minh các đẳng
thức:
a) ( a + b)3 + (a – b)3 = 2a ( a2 + 3b2 )
b) ( a + b)3 - (a – b)3 = 2b ( b2 + 3a2 )


Dạng 3. Tính nhanh

Phương pháp giải: Đưa số cần tính về
dạng (a+b)2 hoặc (a –b)2 , trong đó a là
số nguyên chia hết cho 10 hoặc 100.
Bài 4: Tính nhanh
a) 10012
b) 29,9.
30,1
c) (31,8)2 – 2.31,8.21,8 +
(21,8)2

Dạng 4. Rút gọn biểu thức và
tính giá trị biểu thức
Phương pháp giải: * Áp dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn
*Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn

Bài 5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức
a) ( x - 10)2 - x(x+ 80) với x=
0,98
b) ( 2x + 9)2 - x(4x+ 31) với x =
-16,2
c) 4x2 - 28x + 49 với x = 4
d) x3 - 9x2 + 27x với x =103


Dạng4. Rút gọn biểu thức

Bài 6: Rút gọn biểu thức:
a) ( x2 – 2x +2)(x – 2) (x2 + 2x+2)(x +2)
b) ( x + 1)3 + (x -1)3 + x3 – 3x( x+1
)(x-1)
c) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 +
2
(d)2a
-b)
2
100 - 992 + 982 -972 + … + 22
-12
e) 3(22 + 1)(24 +1)…( 264 +1)
+1

f) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 + 2( a
+b)2


Dạng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
một biểu thức

Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức
2
2
2
2
2
A
+
B
=
A
+
2AB
+
B
;
(
)
A
B
=
A
2AB

+
B
(
)
2

Để đưa về dạng T = a ± [M]2 với a là hằng số.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu
thức: a) A = 4x2 +4x
+11
b) B = ( x -1 )( x +2 )( x +3 )
( x +6 ) 2
c) C = x - 2x + y2 – 4y
+7


Dạng 6. Phương pháp tổng bình phương

Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức về dạng A2
+ B2 = 0, từ đó suy ra A = 0, B = 0.
Bài 8:
a) Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc
+ ca,
chứng minh a=b =c
b) Tìm a, b, c thỏa mãn đẳng
thức: a2 - 2a + b2 + 4b + 4c2 4c + 6 = 0


Dạng 7. Áp dụng vào số học

Bài 9: Chứng minh rằng tổng các lập
phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia
hết cho 9
Giải:
Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1.
tổng lập phương của chúng là:
A = (n-1)3 + n3 + (n+1)3
= n3 -3n2 +3n -1 + n3 + n3 +3n2 +3n +1

M
= 3n3 + 6n = 3n( n2 -1) + 9n = 3 (n-1)n(n+1)
9n 9ba số nguyên liên tiếp có một số chia
Vì:+trong
hết cho 3 nên 3n(n2-1) chia hết cho 9, lại có 9n


Dạng 8. Điền vào ô trống các hạng tử thích
hợp

Bài 10: Điền vào ô trống để biểu thức sau
trở thành bình phương của một tổng hoặc
một hiệu:
a) x2 + 20x +

b) 16x2 + 24x +

c) y2 -

d)
49y2

+ 49

- 42xy +


Dạng 8. Điền vào ô trống các
hạng tử thích hợp
Bài 11: Điền vào ô trống để được đẳng thức
đúng:

a) x2 + 6xy + ?
= ?
(
+ 3y)2
b) ( ?
+ ?
)2 = x2 +?
+ 4y4
1
c) ( ? + ?
)2 =?
+ m
4
+


Dạng 9. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình
phương, lập phương của một tổng (một hiệu)

Bài 12: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng
tổng của hai bình phương:
a) x2 + 10x + 26 + y2 +2y
b) x2 - 2xy + 2y2 +2y +1
c) z2 - 6z + 13 + t2 +4t
d) 4x2 -4xz + 1 + 2z2 -2z


Dạng 10. Chứng minh giá trị của biểu
thức không phụ thuộc vào giá trị của
biến
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã
cho không còn chứa biến.
Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức sau
không phụ thuộc vào x:
a) (2x +3)(4x2 - 6x +9) - 2(4x3
-1)
b) ( x +3)3 -(x + 9) (x2
+27)


Dạng 10. Chứng minh giá trị của biểu
thức không phụ thuộc vào giá trị của
biến
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng
thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã
cho không còn chứa biến.
Bài 14: Chứng minh giá trị biểu thức sau
không phụ thuộc vào x,y:

a) (x +y)(x2 - xy +y2) + (x -y)(x2 + xy +
y2) – 2x3
1
b) ( xy -5)(xy+2) +3(xy-2)(xy +2) -(3xy - )2
2
+ 5x2y2


Dạng 11. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho
trước

Phương pháp giải: Áp dụng các hằng
đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái (hoặc
vế phải) về dạng aX = b, từ đó tìm X.

Bài 15: Tìm x,
a) ( x + 2 )2 - 9 =
biết:
c) x2 - 2x = 24
b) ( x + 2 )2 - x20+ 4
=0
d) ( x - 3 )3 - x (x- 4)(x +4) = x 27
e) ( x - 1)3 - (x +3)3 + 28 = 0


Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu
thức:
a) A = x2 - 20x
+101
b) B = 4a2 +4a +2

c) C = x2 - 4xy + 5y2 – 22y +10x
+28
Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu
thức:
a) A = 4x - x2
+3
b) B = x - x2


Bài 18: Chứng minh rằng
nếu:
( x - y) 2 + ( y - z )2 + ( z – x )2
= (y+z -2x )2 + (z +x -2y)2 + (x
+y -2z)2
thì: x = y = z


Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức
thỏa mãn với mọi biến số
Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức
2
2
2
2
2
A
+
B
=
A

+
2AB
+
B
;
(
)
A
B
=
A
2AB
+
B
(
)
Để đưa về dạng [ F ]2 + k với k >0
2

hoặc - [ F ]2 + n với n<0

Bài 19: Chứng minh rằng:
a) A = x2 +x +1 >0 với
mọi
b) Bx= -4x2 -4x -2 <0 với mọi x
c) C = x2 - 6z+ 4y2 +8y + z2 - 2x +
15 >0 với mọi x,y,z


Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức

thỏa mãn với mọi biến số

Bài 20: Chứng minh rằng các bất đẳng thức
sau thỏa mãn với mọi x,y:
a) A = x2 +xy + y2 +1 > 0
b) B = x2 -4xy + 5y2 + 2x -10y
+14 >0
c) C = 5x2 + 10y2 -6xy - 4x – 2y
+3 >0


Dạng 13. Một số hằng đẳng thức
tổng quát
Phương pháp giải: Bằng phép nhân đa thức
có:
1. an

– bn = (a-b)( an-1+an-2b+ …+ abn-2 +bn-1)
với mọi số nguyên dương n

2. an

+ bn = (a+b)( an-1-an-2b+ … - abn-2 +bn-1)
với mọi số nguyên dương n lẻ

3. Nhị

1
thức newton:

C

n

C

2
n

C

n −1
n

( a+b)n = an +
an-1b +
an-2b2 +…+
n ( n − 1) ( n − 2 ) ... ( n − k + 1)
K
abn-1+
( k = 1, 2,3..., n − 1)
C nb=n với
1.2.3....k


Dạng 13.
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng
thức trên vào tính chia hết ta có:
• an – bn chia hết cho a – b với a ≠ b và n
nguyên dương

• a2n +1 + b2n+1 chia hết cho a+b
• a2n – b2n chia hết cho a + b.
Bài 21: Chứng minh 1110 – 1 chia hết cho
100.


Dạng 13.
Bài 22: Chứng minh 1110 – 1 chia hết cho
100.
Giải:
Có 1110 – 1 = 1110 – 110= (11 -1)(119+118+…+
11+1)
11+1)

= 10(119+118+…+

Vì 119+118+…+ 11+1 có chữ số tận cùng
bằng 0
nên 119+118+…+ 11+1 chia hết cho


Bài 23: Với n là số nguyên dương chẵn,
chứng minh 20n +16n –3n - 1 chia hết cho
323.
Giải:
Ta có: 323 = 17.19. Áp dụng các hằng
đẳng thức tổng quát ta có 20n – 1 chia hết
cho 19, và vì n chẵn nên 16n - 3n chia hết
cho 16 +3 =19, do đó 20n +16n –3n - 1 =
(20n – 1) + (16n - 3n) chia hết cho 19.

Mặt khác, vì 20n -3 chia hết cho 17 và 16n
-1 chia hết cho 16 +1 = 17 nên 20n +16n –
3n - 1 = (20n -3 ) + (16n -1 ) chia hết cho
17.
Vậy 20n +16n –3n - 1 chia hết cho 323