Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ MAI LOAN

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
VÀ TÍNH COFINITE CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ MAI LOAN

TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
VÀ TÍNH COFINITE CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng
mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các
thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm ...
Người viết Luận văn

Hà Mai Loan

i


Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy, người đã hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu khoa học đúng
đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện
Toán học và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và
khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin
cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Khoa Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp
đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của

mình.
Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2016
Người viết luận văn

Hà Mai Loan

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Biểu diễn thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Môđun Ext và môđun Tor . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết và tính
cofinite của môđun đối đồng điều địa phương
2.1

13

Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun
đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

13


2.2

Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương . . . .

25

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42

iv


Mở đầu
Cho R là vành Noether, a là một iđêan của R, và M là R−môđun. Một
vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào tập các iđêan
nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i, Hai (M )
của M ứng với iđêan a là hữu hạn. Nếu R là vành địa phương chính quy

chứa một trường, khi đó Hai (R) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên
kết với mọi i ≥ 0 (trong [10] và [13]). Trong [20] Singh đã đưa ra một ví
dụ của một vành Noether R không địa phương và một iđêan a sao cho

Ha3 (R) có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết. Cũng trong [11] Katzman
đã đưa ra một ví dụ của một vành địa phương Noether R với đặc số
dương và một iđêan a sao cho Ha2 (R) có vô hạn các iđêan nguyên tố liên
kết.
Trong [2, Định lý 2.2] Brodmann và Lashgari đã chỉ ra rằng môđun
đối đồng điều địa phương không hữu hạn sinh đầu tiên Hai (M ) của một
môđun hữu hạn sinh M ứng với một iđêan a chỉ có hữu hạn các iđêan
nguyên tố liên kết.
Một R−môđun M được gọi là a-cofinite nếu SuppR (M ) ⊆ V(a) và

ExtiR (R/a, M ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0. Gần đây M. T. Dibaei
và S. Yassemi đã mở rộng kết quả của Brodmann và Lashgari, cụ thể là
1


định lý sau:
Định Lý 1 ([6, Định lý 2.1]) Cho a là một iđêan của vành Noether

R. Cho s là một số nguyên không âm. Cho M là R−môđun sao cho
ExtsR (R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu Hai (M ) là a−cofinite với
mọi i < s, thì HomR (R/a, Has (M )) là hữu hạn sinh.
Mặt khác, trong [12] Khashyarmanesh và Salarian đã chỉ ra rằng
môđun đối đồng điều địa phương thứ t, Hat (M ) của một môđun hữu
hạn sinh M ứng với một iđêan a có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết
nếu SuppR (Hai (M )) là hữu hạn với mọi i < t. Gần đây, P. H. Quý đã kết
hợp kết quả của Brodmann-Lashgari và kết quả của KhashyarmaneshSalarian, cụ thể là định lý sau:

Định lý 2 ([18, Định lý 3.2]) Cho a là một iđêan của vành Noether R,
và cho M là một R−môđun hữu hạn sinh. Cho t ∈ N sao cho Hai (M )
là hữu hạn sinh hoặc SuppR (Hai (M )) là hữu hạn với mọi i < t. Khi đó

AssR (Hat (M )) là tập hữu hạn.
Trong phần tiếp theo ta tìm hiểu một số kiến thức căn bản về tính
chất cofinite của môđun. Cho (R, m) là vành địa phương Noether, cho

M là R−môđun hữu hạn sinh và a là iđêan của R, trong [6] Dibaei và
Yassemi đã định nghĩa q(a, M ) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ −1 sao cho
các môđun Hai (M ) là m-cofinite với mọi i > n, và đưa ra kết quả về số
nguyên q(a, M ), cụ thể là định lý sau:
Định lý 3 ([6, Định lý 3.9]) Cho a là iđêan của R và i ≥ 0 là một số
nguyên cho trước sao cho Hai (R/b) là m−cofinite với mọi iđêan b của R.
Khi đó q(a, R/p) < i với mọi p ∈ Spec R. Đặc biệt, q(a, M ) < i với mỗi
2


R−môđun hữu hạn sinh M .
Mục đích của luận văn này là trình bày lại chi tiết các chứng minh
của các Định lý 1, 2, 3 như đã nêu trên, các chứng minh này dựa trên
ba bài báo chính là [6], [17], [18]. Luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1 dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm:
iđêan nguyên tố liên kết, biểu diễn thứ cấp, môđun Ext và Tor, môđun
đối đồng điều địa phương, bao đầy đủ của môđun. Chương 2 là chương
chính của luận văn dành để chứng minh chi tiết các Định lý 1, Định lý
2, Định lý 3 như đã nêu trên, bên cạnh đó một số hệ quả của các định lý
và một số kiến thức căn bản về tính chất cofinite của môđun cũng được
trình bày.

3


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, M
là R−môđun và a là iđêan của R.

1.1

Iđêan nguyên tố liên kết

Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [14].
Định nghĩa 1.1.1. (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p
của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu có một phần tử

0 = x ∈ M sao cho AnnR (x) = p.
Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR (M )
(hoặc Ass(M )).
Định nghĩa 1.1.2. (Tập giá của môđun) Đặt

SuppR (M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0}.
Khi đó SuppR (M ) được gọi là tập giá của M .
Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết.
4


Mệnh đề 1.1.3.
(i) Cho p ∈ Spec(R). Khi đó p ∈ AssR (M ) nếu và chỉ nếu M có một

môđun con đẳng cấu với R/p.
(ii) Đặt

= {AnnR (x) | 0 = x ∈ M }. Nếu p là phần tử tối đại của

, thì p ∈ AssR (M ). Vì R là vành Noether nên M = 0 khi và chỉ khi

AssR (M ) = 0. Đặt ZDR (M ) = {x ∈ M | ∃a = 0, a ∈ R, ax = 0} là tập
tất cả các ước của không của M , khi đó ZDR (M ) =

p.
p∈AssR (M )

(iii) Cho 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp các R−môđun. Khi đó

AssR (M ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M ) ∪ AssR (M ).
(iv) AssR (M ) ⊆ SuppR (M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập SuppR (M )
đều thuộc vào tập AssR (M ).
(v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì AssR (M ) là tập hữu hạn.
Hơn nữa AssR (M ) ⊆ V (AnnR (M )) và mỗi phần tử tối thiểu của

V (AnnR (M )) đều thuộc AssR (M ). Vì thế

AnnR (M ) là giao các iđêan

nguyên tố liên kết của M .
(vi) AssRp (Mp ) = {qRp | q ∈ AssR (M ), q ⊆ p}.

1.2

Biểu diễn thứ cấp

Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I. G. Macdonald được
xem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các
môđun Noether. Các kiến thức sau đây được trích dẫn từ sách [3] và [14].
5


Định nghĩa 1.2.1.
(i) Một R−môđun M được gọi là thứ cấp nếu M = 0 và với mọi x ∈ R,
phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong trường hợp này
tập p = {x ∈ R | xn M = 0, với n ∈ N} là iđêan nguyên tố và ta gọi M
là p−thứ cấp.
(ii) Cho M là R−môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích

M = N1 + . . . + Nn thành tổng hữu hạn các môđun con pi −thứ cấp Ni .
Nếu M = 0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn
được. Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên
tố pi đôi một khác nhau và không có hạng tử Ni nào là thừa, với mọi

i = 1, . . . , n.
Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng
tối thiểu. Khi đó tập {p1 , . . . , pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ
cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

M , kí hiệu là AttR (M ) (hoặc Att(M )). Các hạng tử Ni , i = 1, . . . , n,
được gọi là các thành phần thứ cấp của M . Nếu pi là tối tiểu trong

AttR (M ) thì Ni được gọi là thành phần thứ cấp cô lập.
Mệnh đề 1.2.2. ([3, Mệnh đề 7.2.11]) Cho M là R−môđun Artin và

x ∈ R. Khi đó
(i) xM = M nếu và chỉ nếu x ∈ R \
(ii)

AnnR (M ) =

p∈AttR (M ) p.

6

p∈AttR (M ) p;

và


1.3

Môđun Ext và môđun Tor

Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn sách [19].
Định nghĩa 1.3.1.
(i) (Môđun xạ ảnh) Một R−môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi
toàn cấu f : M → N và mỗi đồng cấu g : P → N , luôn tồn tại đồng cấu

h : P → M sao cho g = f h.
(ii) (Giải xạ ảnh) Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp

. . . → P2 → P1 → P0 → M → 0,
trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i.

Định nghĩa 1.3.2.
(i) (Môđun nội xạ) Một R−môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn
cấu f : N → M và mọi đồng cấu g : N → E , luôn tồn tại đồng cấu

h : M → E sao cho g = hf .
(ii) (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp
µ

f0

f1

f2

0→M →
− E0 −
→ E1 −
→ E2 −
→ ··· ,
trong đó Ei là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.
Chú ý 1.3.3. Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại.
Định nghĩa 1.3.4. (Môđun Ext) Cho N là R−môđun. Xét hàm tử
Hom(−, N ) là phản biến, khớp trái. Cho M là R−môđun, lấy một giải
xạ ảnh của M
f2

f1

f0

µ

... −
→ P2 −
→ P1 −
→ P0 →
− M → 0.
7


Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có đối phức
f∗

f∗

f∗

0
1
2
0 → Hom(P0 , N ) −
→
Hom(P1 , N ) −
→
Hom(P2 , N ) −
→
....

∗
Khi đó ExtiR (M, N ) = Ker fi∗ / Im fi−1

được gọi là môđun mở rộng thứ

i của M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh
của M .
Định nghĩa 1.3.5. (Môđun Tor) Cho N là R−môđun. Xét hàm tử

− ⊗ N là hiệp biến, khớp phải. Cho M là R−môđun, lấy một giải xạ
ảnh của M
f2

f1

f0

µ

... −
→ P2 −
→ P1 −
→ P0 →
− M → 0.
Tác động hàm tử − ⊗ N vào dãy khớp trên ta có phức
f∗

f∗

f∗

0
1

2
→
P0 ⊗ N → 0.
→
P1 ⊗ N −
→
P2 ⊗ N −
... −

∗
∗
Khi đó TorR
i (M, N ) = Ker fi−1 / Im fi được gọi là môđun xoắn thứ i của

M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của M .
Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Ext và Tor.
Mệnh đề 1.3.6.
(i) Nếu M là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì ExtiR (M, N ) = 0 với mọi

i

1.

(ii) Nếu M hoặc N là xạ ảnh thì TorR
i (M, N ) = 0 với mọi i

1.

∼
(iii) Ext0R (M, N ) ∼

= Hom(M, N ) và TorR
0 (M, N ) = M ⊗ N .
(iv) Nếu 0 → N → N → N → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng
cấu nối ExtnR (M, N ) → Extn+1
R (M, N ) với mọi n
8

0 sao cho ta có dãy


khớp dài

0 → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ) → Ext1R (M, N )
→ Ext1R (M, N ) → Ext1R (M, N ) → Ext2R (M, N ) → . . .
(v) Nếu 0 → N → N → N → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng
cấu nối ExtnR (N , M ) → Extn+1
R (N , M ) với mọi n

0 sao cho ta có

dãy khớp dài

0 → Hom(N , M ) → Hom(N, M ) → Hom(N , M ) → Ext1r (N , M )
→ Ext1R (N, M ) → Ext1R (N , M ) → Ext2R (N , M ) → . . . .
Hệ quả 1.3.7. Nếu M, N là các R−môđun hữu hạn sinh thì ExtiR (M, N )
và TorR
i (M, N ) cũng là hữu hạn sinh với mọi i.
Mệnh đề 1.3.8.
(i) ([14, tr. 53]) Nếu R là R−môđun phẳng thì ta có

ExtiR (R/a, M ) ⊗R R ∼
= ExtiR (R /aR , M ⊗R R )
với mọi i.
(ii) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu S là tập đóng nhân của R
thì ta có

S −1 (ExtnR (M, N )) ∼
= ExtnS −1 R (S −1 M, S −1 N ),
S −1 R
∼
S −1 (TorR
(S −1 M, S −1 N ).
n (M, N )) = Torn

Đặc biệt, với mọi p ∈ Spec R ta có

(ExtnR (M, N ))p ∼
= ExtnRp (Mp , Np ),
Rp
∼
(TorR
n (M, N ))p = Torn (Mp , Np ).
9


1.4

Môđun đối đồng điều địa phương

Môđun đối đồng điều địa phương được định nghĩa bởi A. Grothendieck

(vào những năm 1960). Các kiến thức của mục này được trích theo cuốn
sách [3] và [19]. Trước hết ta giới thiệu về hàm tử a−xoắn.
Định nghĩa 1.4.1. (Hàm tử a−xoắn) Cho a là iđêan của R. Với mỗi

R−môđun M, ta định nghĩa Γa (M ) =

n≥0 (0

:M an ), dễ thấy nó là

môđun con của M . Nếu f : M → N là đồng cấu các R−môđun thì ta
có đồng cấu cảm sinh f ∗ : Γa (M ) → Γa (N ) cho bởi f ∗ (m) = f (m). Khi
đó Γa (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù
các R−môđun đến phạm trù các R−môđun. Γa (−) được gọi là hàm tử
a−xoắn.
Định nghĩa 1.4.2. (Mở rộng cốt yếu) Một R−môđun E được gọi là mở
rộng cốt yếu của một R−môđun không tầm thường M nếu M ⊆ E và
với mỗi môđun con khác không N của E luôn có N ∩ M = 0.
Định nghĩa 1.4.3. (Bao nội xạ) Một R−môđun E được gọi là bao nội
xạ của M nếu E là R−môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M .
Chú ý 1.4.4.
(i) Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E = ER (R/m) là bao
nội xạ của trường thặng dư R/m (khi xem như R−môđun). Ta kí hiệu

R = limR/mn và K lần lượt là đầy đủ m−adic của R và K đối với tôpô
←

m−adic. Một vành R gọi là đầy đủ nếu R = R.
(ii) Kí hiệu D(−) = HomR (−, E) là hàm tử từ phạm trù các R−môđun
và các R−đồng cấu vào chính nó. Với mỗi R−môđun K , ta gọi D(K) là

10


đối ngẫu Matlis của K .
Định nghĩa 1.4.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là

R−môđun và a là iđêan của R. Lấy giải nội xạ của M
µ

f0

f1

f2

0→M →
− E0 −
→ E1 −
→ E2 −
→ ....
Tác động hàm tử a−xoắn vào dãy khớp trên ta được đối phức
f∗

f∗

f∗

0
1
2

0 → Γa (E0 ) −
→
Γa (E1 ) −
→
Γa (E2 ) −
→
....

∗
Khi đó Hai (M ) = Ker fi∗ / Im fi−1
(với mọi i ≥ 0) được gọi là môđun đối

đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a.
Tiếp theo ta xét một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa
phương.
Mệnh đề 1.4.6. Cho M là một R−môđun. Khi đó các phát biểu sau là
đúng.
(i) Γa (M ) ∼
= Ha0 (M ).
(ii) Nếu M là nội xạ thì Hai (M ) = 0 với mọi i ≥ 1.
(iii) Nếu 0 → M → M → M → 0 là dãy khớp ngắn, thì tồn tại các
đồng cấu nối Han (M ) → Han+1 (M ) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy
khớp dài

0 → Γa (M ) → Γa (M ) → Γa (M ) → Ha1 (M ) → Ha1 (M )
→ Ha1 (M ) → Ha2 (M ) → · · ·
Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa
phương và hàm tử địa phương hóa.
11

Mệnh đề 1.4.7. Nếu S là tập đóng nhân của R, khi đó S −1 Han (M ) ∼
=

HSn−1 a (S −1 M ). Đặc biệt, (Han (M ))p ∼
= HanRp (Mp ) với mọi iđêan nguyên
tố p của R.
Từ mệnh đề trên ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.4.8. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có p ∈

AssR (Han (M )) nếu và chỉ nếu pRp ∈ AssRp (HanRp (Mp )).
Sau đây là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương thông
qua chiều môđun.
Định lý 1.4.9. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Nếu dim M = d, thì

Hai (M ) = 0 với mọi i > d và mọi iđêan a.
Một tính chất Artin của môđun đối đồng điều địa phương.
Định lý 1.4.10. Cho (R, m) là vành địa phương, M là R−môđun hữu
hạn sinh với dim M = d. Khi đó Had (M ) là Artin với mọi iđêan a.

12


Chương 2

Tính hữu hạn của tập iđêan
nguyên tố liên kết và tính cofinite
của môđun đối đồng điều địa
phương
2.1

Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của
môđun đối đồng điều địa phương

Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether, a là iđêan của R
và M là R−môđun.
Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun a−cofinite do Hartshorne [8]
định nghĩa.
Định nghĩa 2.1.1. (Môđun a-cofinite) Một R−môđun M được gọi là
môđun a−cofinite nếu thỏa mãn các điều kiện SuppR (M ) ⊆ V(a) và

ExtiR (R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh với mọi i.
Kết quả chính thứ nhất của luận văn này chính là định lý sau đây của
13


M. T. Dibaei và S. Yassemi trong [6, Định lý 2.1].
Định lý 2.1.2. (Định lý 1) Cho a là một iđêan của vành Noether

R. Cho s là một số nguyên không âm. Cho M là R−môđun sao cho
ExtsR (R/a, M ) là R−môđun hữu hạn sinh. Nếu Hai (M ) là a−cofinite với
mọi i < s, thì HomR (R/a, Has (M )) là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Ta sử dụng phương pháp quy nạp theo s.
Trường hợp s = 0, thì Ha0 (M ) ∼
= Γa (M ).
Ta có (0 :M a) ∼
= HomR (R/a, M ), thật vậy xét

φ : (0 :M a) −→ HomR (R/a, M )
x −→ fx

trong đó

fx : R/a −→ M
α
¯ = α + a −→ αx
φ là đồng cấu vì với mọi x, x1 , x2 ∈ (0 :M a), với mọi α
¯ ∈ R/a và mọi
r ∈ R ta có
φ(x1 + x2 )(¯
α) = fx1 +x2 (¯
α) = α(x1 + x2 ) = αx1 + αx2
= fx1 (¯
α) + fx2 (¯
α) = φ(x1 )(¯
α) + φ(x2 )(¯
α),
φ(rx)(¯
α) = frx (¯
α) = α(rx) = r(αx) = rfx (¯
α) = rφ(x)(¯
α).
φ là đơn cấu vì Ker φ = {x ∈ (0 :M a)|fx = 0} = {0}.
φ là toàn cấu vì với mọi f ∈ HomR (R/a, M ), tồn tại x = f (¯1) ∈ (0 :M a)
thỏa mãn

φ(x)(¯
α) = φ(f (¯1))(¯
α) = ff (¯1) (¯
α) = αf (¯1) = f (¯
α).

14


Vậy φ là đẳng cấu.
Tương tự ta có (0 :Γa (M ) a) ∼
= HomR (R/a, Γa (M )).
Mặt khác (0 :M a) = (0 :Γa (M ) a) vì ta có (0 :Γa (M ) a) ⊆ (0 :M a), và
ngược lại với mọi x ∈ (0 :M a) ⊆ Γa (M ), suy ra x ∈ Γa (M ) và xa = 0,
do đó x ∈ (0 :Γa (M ) a), suy ra (0 :M a) ⊆ (0 :Γa (M ) a) . Do đó

HomR (R/a, Γa (M )) ∼
= HomR (R/a, M )
là hữu hạn sinh. Vì vậy HomR (R/a, Ha0 (M )) là hữu hạn sinh.
Giả sử rằng s > 0 và trường hợp s−1 là đúng. Vì Γa (M ) là a−cofinite,
ta có ExtiR (R/a, Γa (M )) là hữu hạn sinh với mọi i. Từ dãy khớp

0 → Γa (M ) → M → M/Γa (M ) → 0,
ta có dãy khớp dài cảm sinh

. . . → ExtsR (R/a, M ) → ExtsR (R/a, M/Γa (M ))
→ Exts+1
R (R/a, Γa (M )) → . . . ,
trong đó ExtsR (R/a, M ) hữu hạn sinh và ExtiR (R/a, Γa (M )) là hữu hạn
sinh với mọi i, do đó ta có ExtsR (R/a, M/Γa (M )) là hữu hạn sinh.
Mặt khác Ha0 (M/Γa (M )) = 0 và Hai (M/Γa (M )) ∼
= Hai (M ) với mọi i > 0.
Do đó ta có thể giả sử rằng Γa (M ) = 0. Cho E là một bao nội xạ của M
và đặt N = E/M . Khi đó Γa (E) = 0 (vì E là mở rộng cốt yếu của M nên
nếu Γa (E) = 0, suy ra tồn tại x = 0, x ∈ Γa (E) ∩ M , do đó x ∈ Γa (M )
điều này là mâu thuẫn) và do đó HomR (R/a, E) ∼

= (0 :E a) ⊆ Γa (E) = 0.
Từ dãy khớp ngắn

0→M →E→N →0
15


ta có các dãy khớp dài

. . . → Hak (E) → Hak (N ) → Hak+1 (M ) → Hak+1 (E) → . . . ,
. . . → ExtkR (R/a, E) → ExtkR (R/a, N ) → Extk+1
R (R/a, M )
→ Extk+1
R (R/a, E) → . . . .
Vì E là nội xạ nên ExtiR (R/a, E) = 0 và Hai (E) = 0, với mọi i > 0 .
i
∼ i+1
Do đó ExtiR (R/a, N ) ∼
= Exti+1
R (R/a, M ) và Ha (N ) = Ha (M ) với mọi
s−1
i ≥ 0, suy ra ExtR
(R/a, N ) là hữu hạn sinh và Hai (N ) là a-cofinite với

mọi i < s−1. Bây giờ theo giả thuyết quy nạp thì HomR (R/a, Has−1 (N ))
là hữu hạn sinh và do đó HomR (R/a, Has (M )) cũng là hữu hạn sinh.
Trong chứng minh như vậy cho tính hữu hạn sinh của R−môđun

HomR (R/a, Ha1 (M )), ta có thể đưa ra kết quả sau đây với giả thuyết yếu
hơn. Trước hết ta nhắc lại một số tính chất về hàm tử a−biến đổi.

Chú ý 2.1.3. (Theo [3, 2.2]) Cho a là iđêan của R, M là R−môđun.
Hàm tử a−biến đổi Da (−) ∼
= limHomR (an , −) có các tính chất sau.
→

(i) Da (−) là hàm tử khớp trái.
(ii) Ri Da ∼
= Hai+1 , với mọi i ≥ 1.
(iii) Tồn tại dãy khớp

0 → Γa (M ) → M → Da (M ) → Ha1 (M ) → 0.

(1)

(iv) Từ (1) ta thấy nếu M là a−xoắn (tức là Γa (M ) = M ) thì

Da (M ) = 0.
16


(v) Da (M ) ∼
= Da (M/Γa (M )). Thật vậy, từ (i) và dãy khớp

0 → Γa (M ) → M → M/Γa (M ) → 0,
ta được dãy khớp

0 → Da (Γa (M )) → Da (M ) → Da (M/Γa (M )) → R1 Da (Γa (M )).
Mà ta có Da (Γa (M )) = 0 và R1 Da (Γa (M )) ∼
= Ha2 (Γa (M )) = 0. Suy ra

Da (M ) ∼
= Da (M/Γa (M )).
(vi) Da (M ) ∼
= Da (Da (M )). Thật vậy, từ (1) ta có dãy khớp

0 → M/Γa (M ) → Da (M ) → Ha1 (M ) → 0,
suy ra có dãy khớp

0 → Da (M/Γa (M )) → Da (Da (M )) → Da (Ha1 (M )).
Mà ta có Da (Ha1 (M )) = 0, suy ra Da (M/Γa (M )) ∼
= Da (Da (M )). Mặt
khác Da (M/Γa (M )) ∼
= Da (M ) (do (v)), suy ra Da (M ) ∼
= Da (Da (M )).
(vii) Γa (Da (M )) = 0. Thật vậy, áp dụng dãy khớp (1) cho môđun Da (M )
ta được dãy khớp
α

0 → Γa (Da (M )) → Da (M ) → Da (Da (M )) → Ha1 (Da (M )) → 0.
Mà ta có Da (M ) ∼
= Da (Da (M )). Suy ra Γa (Da (M )) ∼
= Ker α = 0.
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử M là R−môđun sao cho Ext1R (R/a, M ) và

Ext2R (R/a, Γa (M )) là các R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó R−môđun
HomR (R/a, Ha1 (M )) là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Từ dãy khớp

0 → Γa (M ) → M → M/Γa (M ) → 0,
17

ta có dãy khớp

Ext1R (R/a, M ) → Ext1R (R/a, M/Γa (M )) → Ext2R (R/a, Γa (M )).
Do đó môđun Ext1R (R/a, M/Γa (M )) là hữu hạn sinh. Mặt khác từ dãy
khớp

0 → M/Γa (M ) → Da (M ) → Ha1 (M ) → 0,
ta có dãy khớp

HomR (R/a, Da (M )) → HomR (R/a, Ha1 (M )) → Ext1R (R/a, M/Γa (M )).
Ta có Ext1R (R/a, M/Γa (M )) là hữu hạn sinh và Hom(R/a, Da (M )) = 0
vì Hom(R/a, Da (M )) ∼
= (0 :Da(M ) a) ⊆ Γa (Da (M )), mà Γa (Da (M )) = 0
(theo Chú ý 2.1.3(vii)) , do đó ta có được kết quả HomR (R/a, Ha1 (M ))
là hữu hạn sinh.
Kết quả tiếp theo đã được đưa ra bởi Divaani - Aazar và Mafi [7].
Hệ quả 2.1.5. Cho M là R−môđun sao cho ExtiR (R/a, M ) là hữu hạn
sinh với mọi i. Khi đó môđun đối đồng điều địa phương đầu tiên không
là a−cofinite của M ứng với a chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên
kết.
Chứng minh. Giả sử s là số nguyên không âm sao cho Has (M ) không là
a-cofinite và Hai (M ) là a-cofinite với mọi i < s. Khi đó theo Định lý 2.1.2
ta có HomR (R/a, Has (M )) là hữu hạn sinh. Mà ta có

AssR (HomR (R/a, Has (M ))) = AssR (Has (M )) ∩ SuppR (R/a)
= AssR (Has (M )) ∩ V(a) = AssR (Has (M )).
Suy ra AssR (Has (M )) là hữu hạn.
18

Kết quả tiếp theo đã được đưa ra bởi Brodmann và Lashgari trong [2,
Định lý 2.2] và nó chứng minh lại phần đầu của (2.4) và sự mở rộng (2.5)
của Brodmann, Rotthaus và Sharp trong [4].
Hệ quả 2.1.6. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Cho s là một số
nguyên không âm sao cho Hai (M ) là hữu hạn sinh với mọi i < s. Khi đó
tập AssR (Has (M )) là hữu hạn.
Chứng minh. Vì M là R−môđun hữu hạn sinh nên ta có ExtiR (R/a, M )
là hữu hạn sinh với mọi i. Mặt khác vì Supp(Hai (M )) ⊆ V(a) với mọi

i và ExtjR (R/a, Hai (M )) là hữu hạn sinh với mọi i < s, với mọi j ,
nên Hai (M ) là a-cofinite với mọi i < s . Khi đó theo Định lý 2.1.2 ta
có HomR (R/a, Has (M )) là hữu hạn sinh. Suy ra AssR (Has (M )) là hữu
hạn.

Kết quả chính thứ hai của luận văn này là định lý sau đây của P. H.
Quý trong [18, Định lý 3.2]. Đó là sự kết hợp kết quả của BrodmannLashgari ([2]) và kết quả của Khashyarmanesh-Salarian([12]).
Định lý 2.1.7. (Định lý 2) Cho a là một iđêan của vành Noether R,
và cho M là một R−môđun hữu hạn sinh. Cho t ∈ N sao cho Hai (M )
là hữu hạn sinh hoặc SuppR (Hai (M )) là hữu hạn với mọi i < t. Khi đó

AssR (Hat (M )) là hữu hạn.
Để chứng minh Định lý 2.1.7 ta cần một số kiến thức chuẩn bị về
môđun FSF và một số kết quả bổ trợ sau.

19