Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ THÙY TRANG
VỀ TÍNH HỮU HẠN
CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ THÙY TRANG
VỀ TÍNH HỮU HẠN
CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN
Nghệ An - 2014
3
MỤC LỤC
Mục lục 3
Mở đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Vành địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Môđun hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Giá của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Môđun xoắn, hàm tử xoắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7. Hàm tử Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8. Hàm tử Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Về tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên
kết của môđun đối đồng điều địa phương 18
2.1. Kết quả của Brodmann-Faghani và Khashyarmanesh-Salarian . . 19
2.2. Môđun FSF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Về chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng Quý [10] . . . . . 25
Kết luận 29
Tài liệu tham khảo 30
4
MỞ ĐẦU
Trong toàn bộ luận văn, vành R luôn được giả thiết là vành giao hoán
Noether có đơn vị và M là một R-môđun.
Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được A. Grothendick đưa ra
năm 1967. Từ đó đến nay, lý thuyết này đã được phát triển mạnh mẽ nhờ
hàng loạt công trình của những nhà toán học nổi tiếng và trở thành công cụ
quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số. Nghiên cứu môđun
đối đồng điều địa phương cho ta biết nhiều thông tin về môđun ban đầu cũng
như tính chất của vành cơ sở.
Như ta đã biết, môđun đối đồng điều địa phương thứ i với giá là iđêan a
triệt tiêu (tức H
i
a
(M) = 0) với mọi số nguyên i > dimM hoặc i < grade
M
(a)
(grade
M
(a) là độ dài chung của các dãy chính qui cực đại trong a; khi (R, m)
là vành địa phương thì grade

M
(m) = depth(M) là độ sâu của M). Năm 1992,
C. Huneke [4] đã đặt ra câu hỏi: Nếu M là một môđun hữu hạn sinh, phải
chăng tập các iđêan nguyên tố liên kết AssH
i
a
(M) của môđun đối đồng điều
địa phương H
i
a
(M) là một tập hợp hữu hạn với mọi i ≥ 0? Khi vành cơ sở
R là chính quy, các kết quả liên quan đến vấn đề này được đưa ra bởi C.
Huneke-R. Y. Sharp [5], G. Lyubznik [9] và A. K. Singh-U. Walther [12]. Khi
vành cơ sở R không là vành chính quy, A. K. Singh [11] và M. Katzman [6] đã
đưa ra phản ví dụ cho câu hỏi trên của C. Huneke, cụ thể, tồn tại một vành
địa phương Noether R và một iđêan a sao cho AssH
2
a
(R) là tập hợp vô hạn.
Tuy nhiên câu hỏi này vẫn có câu trả lời khẳng định với những điều kiện nhất
định, chẳng hạn, M. Brodmann-A. L. Faghani [3] và K. Khashyarmanesh-Sh.
5
Salarian [7] đã chứng minh được rằng: AssH
t
a
(M) là một tập hữu hạn nếu
một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) H
i
a

(M) là hữu hạn sinh với mọi i < t (xem [3] và [7]);
(ii) Supp(H
i
a
(M)) là tập hữu hạn với mọi i < t (xem [7] và [8]).
Trong [10], Phạm Hùng Quý đã tổng hợp hai trường hợp nói trên như sau:
Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Xét t là một
số nguyên không âm sao cho H
i
a
(M) là hữu hạn sinh hoặc Supp(H
i
a
(M)) là
một tập hữu hạn với mọi i < t. Khi đó AssH
t
a
(M) là một tập hữu hạn.
Như vậy, tập hợp AssH
t
a
(M) là hữu hạn nếu H
t
a
(M) là môđun đối đồng
điều địa phương đầu tiên không hữu hạn sinh và Supp(H
t
a
(M)) là không hữu
hạn. Đây là kết quả chính trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý. Có thể

nói, nó là một mở rộng của [3] và [7].
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại các kết quả trong bài báo
[10] của Phạm Hùng Quý. Để dễ theo dõi, trong luận văn này, chúng tôi cũng
trình bày chứng minh kết quả nói trên của M. Brodmann-A. L. Faghani [3]
và K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian [7].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung
luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong
chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán
có sử dụng trong luận văn nhằm giúp cho người đọc dễ theo dõi nội dung
chính của luận văn. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có
nhằm phục vụ cho các chứng minh ở Chương 2. Chương 2: Về tính hữu hạn
của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương.
Phần đầu chương này, chúng tôi dành trình bày chứng minh kết quả chính
của M. Brodmann-A. L. Faghani trong [3] và của K. Khashyarmanesh-Sh.
Salarian trong [7]. Chú ý rằng K. B. Lorestani, P. Sahandi và T. Sharif [8] đã
chứng minh lại kết quả của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7] một
cách đơn giản hơn. Vì thế, chúng tôi trình bày chứng minh theo [3] và [8].
6
Phần tiếp theo của chương, chúng tôi trình bày một cách chi tiết kết quả
trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý.
Luận văn được hoàn thành vào tháng 09 năm 2014 dưới sự hướng dẫn tận
tình của Cô, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này chúng tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô. Đồng thời, tác giả cũng xin được cảm ơn các
thầy, cô trong khoa Toán, phòng Đào tạo Sau đại học của trường Đại học
Vinh, trường Đại học Đồng Tháp; cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp và gia
đình đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Nghệ An, tháng 09 năm 2014
Tác giả
7
CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Đại số giao
hoán như: iđêan nguyên tố liên kết, vành địa phương, môđun hữu hạn sinh,
giá của môđun, môđun xoắn, hàm tử xoắn, môđun đối đồng điều địa phương,
hàm tử Tor, hàm tử Ext, nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội
dung chính của luận văn ở Chương 2. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số
kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh
ở phần sau.
1.1 Vành địa phương
1.1.1 Định nghĩa. (i) Vành R được gọi là vành địa phương nếu trong R chỉ
có duy nhất một iđêan cực đại m. Khi đó vành thương R/m là một trường và
gọi là trường thặng dư của vành R. Ký hiệu vành địa phương là (R, m) hoặc
(R, m, k) với (k = R/m).
(ii) Vành R được gọi là vành nửa địa phương nếu R có hữu hạn iđêan cực
đại.
1.1.2 Định lí. Cho R là một vành.
(i) Giả sử m là một iđêan thực sự của vành R. Khi đó R là vành địa
phương với iđêan cực đại duy nhất m khi và chỉ khi mọi phần tử x ∈ R\m
đều khả nghịch trong vành R.
8
(ii) Giả sử m là một iđêan cực đại của R. Nếu mọi phần tử của tập hợp
1 + m = {1 + a | a ∈ m}
đều khả nghịch trong vành R thì R là vành địa phương với iđêan cực đại duy
nhất là m.
1.1.3 Định nghĩa. Cho R và S là các vành. Khi đó một đồng cấu vành
f : R → S được gọi là đồng cấu địa phương nếu f(m
R
) ⊆ m
S
, với mọi iđêan

cực đại m
R
của vành R (m
S
là iđêan cực đại của vành S).
1.2 Môđun hữu hạn sinh
1.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Một hệ các phần tử {x
i
}
i∈I
với x
i
∈ M được gọi là hệ sinh của R-môđun M nếu mọi phần tử x ∈ M đều
là tổ hợp tuyến tính trên R của hệ {x
i
}
i∈I
, nghĩa là, với mọi x ∈ M đều tồn
tại tập con hữu hạn J ⊆ I sao cho x =

i∈J
a
i
x
i
, a
i
∈ R.
Chú ý rằng mọi môđun đều có hệ sinh. Hệ sinh của mỗi môđun là không
duy nhất. Giả sử S là một hệ sinh của R-môđun M. Khi đó ta nói S là hệ

sinh tối thiểu của M nếu khi ta bớt đi bất kỳ một phần tử nào của S thì hệ
còn lại không còn là hệ sinh của M.
1.2.2 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Nếu M có hệ sinh gồm hữu
hạn phần tử thì M được gọi là môđun hữu hạn sinh.
1.2.3 Mệnh đề. M là R-môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với
môđun thương của R-môđun tự do R
n
(n ∈ N
∗
).
1.2.4 Định lí. (Định lí đặc trưng của môđun Noether) Cho M là một R-
môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là R-môđun Noether;
9
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại
theo quan hệ bao hàm;
(iii) Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh.
Chú ý rằng, nếu R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh
thì M là R-môđun Noether.
1.3 Giá của môđun
1.3.1 Định nghĩa. Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p = R và
với mọi a, b ∈ R mà ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p. Kí hiệu SpecR là tập tất cả
các iđêan nguyên tố của vành R. Với mỗi iđêan I của R ta kí hiệu
V (I) = {p ∈ SpecR | p ⊇ I}.
1.3.2 Định nghĩa. Tập con
SuppM = {p ∈ SpecR | M
p
= 0}
của SpecR được gọi là giá của môđun M. Với mỗi x ∈ M ta kí hiệu
Ann

R
(x) = {a ∈ R | ax = 0},
Ann
R
(M) = {a ∈ R | ax = 0, ∀x ∈ M}.
Ta có Ann
R
(x) và Ann
R
(M) là những iđêan của R; Ann
R
(M) được gọi là
linh hóa tử của môđun M. Hơn nữa SuppM = V (Ann
R
M) nếu M là môđun
hữu hạn sinh.
1.4 Iđêan nguyên tố liên kết
1.4.1 Định nghĩa. Giả sử M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố p của R
được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x ∈ M, x = 0
sao cho
p = (0:
R
x) = Ann
R
(x).
10
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass
R
(M), hoặc
Ass(M) nếu không cần thiết phải nhấn mạnh vào vành R. Vậy

Ass
R
(M) = {p ∈ SpecR | ∃x ∈ M, x = 0 và p = Ann
R
(x)}.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố liên kết.
1.4.2 Mệnh đề. Cho M là một R-môđun và p là một iđêan nguyên tố của
vành R. Khi đó p ∈ Ass
R
(M) khi và chỉ khi tồn tại một môđun con N của
M sao cho N
∼
=
R/p.
1.4.3 Mệnh đề. Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun.
(i) Ký hiệu

= {Ann
R
(x)/x ∈ M}. Khi đó, nếu p là phần tử cực đại của

theo quan hệ bao hàm thì p ∈ Ass
R
(M).
(ii) Ass
R
(M) = ∅ khi và chỉ khi M = 0.
(iii) Ký hiệu tập các ước của không của M là
ZD(M) = {a ∈ R | ∃x ∈ M, x = 0, ax = 0}.
Khi đó ZD(M) =


p∈Ass
R
(M)
p.
(iv) Nếu N là một môđun con của M thì Ass
R
(N) ⊆ Ass
R
(M) .
(v) Cho
0
//
M

//
M
//
M

//
0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Ta có
Ass
R
(M

) ⊆ Ass
R
(M) ⊆ Ass

R
(M

) ∪ Ass
R
(M

)
Supp
R
(M) = Supp
R
(M

) ∪ Supp
R
(M

).
11
1.4.4 Định lí. Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun. Khi đó
Ass
R
(M) ⊆ Supp
R
(M) và bất kỳ phần tử tối thiểu nào của Supp
R
(M) theo
quan hệ bao hàm đều thuộc Ass
R

(M).
1.4.5 Định lí. Nếu M là R-môđun Noether thì tập Ass
R
(M) là hữu hạn.
1.5 Môđun xoắn, hàm tử xoắn
1.5.1 Định nghĩa. Cho R-môđun M, I là iđêan của R, ta đặt:
Γ
I
(M) =

n≥0
(0:
M
I
n
)
Khi đó Γ
I
(M) là một môđun con của M. Môđun Γ
I
(M) gọi là môđun con
I-xoắn của R-môđun M. Một R-môđun M được gọi là môđun I-xoắn nếu
M = Γ
I
(M), nghĩa là với mỗi m ∈ M, tồn tại n ∈ N sao cho mI
n
= 0.
Với mỗi R-đồng cấu f : M → N ta có f(Γ
I
(M)) ⊆ Γ

I
(N). Vì thế có một
R-đồng cấu Γ
I
(f) : Γ
I
(M) → Γ
I
(N), xác định bởi Γ
I
(f)(x) = f(x), ∀x ∈
Γ
I
(M). Do đó hàm tử:
Γ
I
: R − mod → R − mod, M → Γ
I
(M)
là một hàm tử cộng tính, hiệp biến trên phạm trù các R-môđun. Hàm tử Γ
I
gọi là hàm tử I-xoắn.
1.5.2 Mệnh đề. Giả sử I là iđêan của vành Noether R và M là một R-
môđun. Khi đó Γ
I
(M) là I-xoắn.
1.5.3 Mệnh đề. Nếu M là I-xoắn, N là môđun con của M thì N và M/N
là I-xoắn.
1.5.4 Mệnh đề. Nếu M là R-môđun nội xạ thì Γ
I

(M) cũng là R-môđun
nội xạ.
12
1.5.5 Mệnh đề. Hàm tử I-xoắn Γ
I
là hàm tử khớp trái, nghĩa là, với mỗi
dãy khớp ngắn các R-môđun
0 → M

→ M → M

→ 0
ta có cảm sinh sau đây cũng khớp
0 → Γ
I
(M

) → Γ
I
(M) → Γ
I
(M

).
1.6 Môđun đối đồng điều địa phương
1.6.1 Định nghĩa. Cho a là một iđêan của vành R. Với mỗi số tự nhiên i,
hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ
a
được kí hiệu là H
i

a
và được gọi là hàm tử
đối đồng điều địa phương thứ i với giá là a.
Với một R-môđun M, ta kí hiệu H
i
a
(M) là ảnh của M qua tác động bởi
hàm tử H
i
a
. Khi đó H
i
a
(M) là một R-môđun và được gọi là môđun đối đồng
điều địa phương thứ i của môđun M với giá là iđêan a.
Từ định nghĩa trên ta có thể xác định H
i
a
(M) như sau. Trước hết ta lấy
lời giải nội xạ
a
0
: 0
d
−1
//
a
0
d
0

//
a
1
d
1
////
. . .
//
a
i
d
i
//
a
i+1
d
i+1
//
. . . .
của M. Khi đó có một R-đồng cấu α : M → a
0
sao cho dãy
0
//
M
α
//
a
0
d

0
//
a
1
d
1
////
. . .
//
a
i
d
i
//
a
i+1
//
. . . .
là khớp. Từ đó ta nhận được đối phức
0
Γ
a
(d
−1
)
−→ Γ
a
(a
0
)

Γ
a
(d
0
)
−→ Γ
a
(a
1
)
Γ
a
(d
1
)
−→ · · ·
Γ
a
(d
i−1
)
−→ Γ
a
(d
i
)
Γ
a
(d
i

)
−→ · · · .
Với mỗi số tự nhiên i, môđun đối đồng điều thứ i của M với giá a là
H
i
a
(M) =
Ker(Γ
a
(d
i
))
Im(Γ
a
(d
i−1
))
.
13
Cần chú ý rằng H
i
a
(M) không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của M.
Dễ thấy H
0
a
(M) = Γ
a
(M). Do đó H
0

a
(M) = Γ
a
(M) là một môđun con của
M.
Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.
1.6.2 Mệnh đề. Nếu M là một R-môđun a-xoắn thì H
i
a
(M) = 0 với mọi
i ≥ 1.
1.6.3 Mệnh đề. Nếu iđêan a có thể sinh bởi t phần tử thì với mọi R-môđun
M ta có H
i
a
(M) = 0 với mọi i > t.
Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và aM = M. Khi đó độ sâu của a
theo M, kí hiệu là grade
M
(a), là độ dài chung của tất cả các dãy chính quy cực
đại trong iđêan a. Khi (R, m) là vành địa phương thì grade
M
(m) = depth(M)
chính là độ sâu của M.
1.6.4 Mệnh đề. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và aM = M. Khi
đó H
i
a
(M) = 0 với mọi số nguyên i > dim M hoặc i < grade
M

(a).
1.6.5 Mệnh đề. Giả sử (R, m) là vành Noether địa phương và M là một
R-môđun hữu hạn sinh khác không chiều d. Khi đó ta luôn có H
d
m
(M) = 0.
1.6.6 Mệnh đề. Từ dãy khớp ngắn các R-môđun
0
//
M

//
M
//
M

//
0,
ta có dãy khớp dài các R-môđun đối đồng điều địa phương với mọi iđêan a
của R:
0
//
H
0
a
(M

)
//
H

0
a
(M)
//
H
0
a
(M

)
//
H
1
a
(M

)
//
. . .
//
H
i−1
a
(M

)
//
H
i
a

(M

)
//
H
i
a
(M)
//
H
i
a
(M

)
//
H
i+1
a
(M

)
//
. . .
14
1.6.7 Mệnh đề. Giả sử a là iđêan của vành R, M là một R-môđun hữu hạn
sinh và t là một số nguyên dương. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) H
i
a

(M) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i < t;
(ii) a ⊆

AnnH
i
a
(M) với mọi i < t;
(iii) Tồn tại số nguyên dương n
0
sao cho a
n
0
H
i
a
(M) với mọi i < t.
1.7 Hàm tử Tor
1.7.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Xét hàm tử tenxơ:
T = M⊗
R
− : µ
R
−→ µ
R
N −→ M
R
⊗ N.
Từ một lời giải xạ ảnh của N
P
N

: . . .
//
P
n
d
n
//
P
n−1
d
n−1
////
. . .
//
P
1
d
1
//
P
0
d
0
//
0. (1)
Ta có phức
M⊗
R
P
N

: . . .
//
M⊗
R
P
n
d
∗
n
////
M⊗
R
P
n−1
d
∗
n−1
////
. . .
. . .
//
M⊗
R
P
1
d
∗
1
//
M⊗

R
P
0
d
∗
0
//
0. (2)
Môđun đồng điều thứ n của dãy phức (2): H
n
(M⊗
R
P
N
) được gọi là môđun
dẫn xuất trái thứ n của hàm tử tenxơ M⊗
R
− và được ký hiệu là: Tor
R
n
(M, N).
Khi đó
Tor
R
n
(M, −) : µ
R
−→ µ
R
N −→ Tor

R
n
(M, N)
được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ n của hàm tử tenxơ.
1.7.2 Định lí. Hàm tử Tor
R
n
(A, B) không phụ thuộc vào sự lựa chọn giải xạ
ảnh của B.
1.7.3 Mệnh đề. (i) Tor
R
n
(M, N) = 0, ∀n < 0.
15
(ii) Tor
R
0
(M, −)
∼
=
M⊗
R
− .
(iii) Tor
R
0
(−, N)
∼
=
−⊗

R
N.
1.7.4 Định lí. Từ dãy khớp ngắn các môđun
0
//
N

//
N
//
N

//
0,
ta được dãy khớp dài
. . .
//
Tor
R
n
(M, N

)
//
Tor
R
n
(M, N)
//
Tor

R
n
(M, N

)
//
. . .
. . .
//
Tor
R
1
(M, N

)
//
Tor
R
1
(M, N)
//
Tor
R
1
(M, N

)
//
//
M⊗

R
N

//
M⊗
R
N
//
M⊗
R
N

//
0.
1.7.5 Mệnh đề. (i) Nếu M là môđun xạ ảnh thì T or
R
n
(M, N) = 0 với mọi
n ≥ 1 và với mọi môđun N.
(ii) Nếu N là môđun xạ ảnh thì T or
R
n
(M, N) = 0 với mọi n ≥ 1 và với mọi
môđun M.
1.8 Hàm tử Ext
1.8.1 Định nghĩa. Cho M là một R-môđun. Xét hàm tử Hom
R
(M, −):
T = Hom
R

(M, −) : µ
R
−→ µ
R
N −→ Hom
R
(M, N).
Từ lời giải nội xạ của N
E
N
: 0
//
E
0
d
0
//
E
1
d
1
////
. . .
//
E
n−1
d
n−1
//
E

n
d
n
//
. . . . (1)
Ta có dãy phức
Hom
R
(M, E
N
) : 0
//
Hom
R
(M, E
0
)
d
0
∗
//
Hom
R
(M, E
1
)
d
1
∗
//

. . .
16
. . .
//
Hom
R
(M, E
n−1
)
d
n−1
∗
//
Hom
R
(M, E
n
)
d
n
∗
//
. . . (2)
Môđun đồng điều thứ n của dãy phức (2): H
n
(Hom
R
(M, E
N
)) được gọi

là môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom
R
(M, −) và được ký hiệu là:
Ext
n
R
(M, N).
Khi đó
Ext
n
R
(M, −) : µ
R
−→ µ
R
N −→ Ext
n
R
(M, N)
được gọi là hàm tử dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom
R
(M, −).
1.8.2 Mệnh đề. (i) Hàm tử Ext không phụ thuộc vào sự lựa chọn vào giải
nội xạ (giải xạ ảnh).
(ii) Ext
n
R
(M, N) = 0, ∀n < 0.
(iii) Ext
0

R
(M, N)
∼
=
Hom
R
(M, N).
1.8.3 Định lí. Từ dãy khớp ngắn các môđun
0
//
N

//
N
//
N

//
0,
ta được dãy khớp dài
0
//
Hom
R
(M, N

)
//
Hom
R

(M, N)
//
Hom
R
(M, N

)
//
//
Ext
1
R
(M, N

)
//
Ext
1
R
(M, N)
//
Ext
1
R
(M, N

)
//
. . .
. . .

//
Ext
n
R
(M, N

)
//
Ext
n
R
(M, N)
//
Ext
n
R
(M, N

)
//
. . . .
1.8.4 Mệnh đề. (i) Nếu M là môđun xạ ảnh thì
Ext
n
R
(M, N) = 0,
với mọi số nguyên dương n và với mọi môđun N.
17
(ii) Nếu N là môđun nội xạ thì
Ext

n
R
(M, N) = 0,
với mọi số nguyên dương n và với mọi môđun M.
1.8.5 Mệnh đề. Cho I là một iđêan của vành R và M là một R-môđun.
Khi đó với mọi số tự nhiên i tồn tại duy nhất đẳng cấu tự nhiên
H
i
I
(M)
∼
=
lim
→
n∈N
Ext
i
R
(R/I
n
, M).
Nói riêng, Γ
I
(M)
∼
=
lim
→
n∈N
Hom

R
(R/I
n
, M).
18
CHƯƠNG 2
VỀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN
NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Trong chương này vẫn giả thiết vành R là vành giao hoán Noether có đơn
vị; a là một iđêan của R và M là một R-môđun. Môđun đối đồng điều địa
phương H
i
a
(M) không phải luôn hữu hạn sinh ngay cả khi M là môđun hữu
hạn sinh. Nếu (R, m) là vành địa phương thì lớp môđun M mà H
i
m
(M) hữu
hạn sinh với mọi i = dim M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng.
Chú ý rằng, một môđun không hữu hạn sinh nhưng tập các iđêan nguyên tố
liên kết của nó có thể vẫn hữu hạn.
Một vấn đề được nhiều người quan tâm trong Đại số giao hoán là xác
định xem khi nào thì tập các iđêan nguyên tố liên kết AssH
i
a
(M) của môđun
đối đồng điều địa phương H
i
a

(M) là một tập hợp hữu hạn? Khi vành cơ sở
R là chính quy, các kết quả liên quan đến vấn đề này được đưa ra bởi C.
Huneke-R. Y. Sharp [5], G. Lyubznik [9] và A. K. Singh-U. Walther [12]. Khi
vành cơ sở R không là vành chính quy, A. K. Singh [11] và M. Katzman [6] đã
đưa ra phản ví dụ cho câu hỏi trên của C. Huneke, cụ thể, tồn tại một vành
địa phương Noether R và một iđêan a sao cho AssH
2
a
(R) là tập hợp vô hạn.
Tuy nhiên câu hỏi này vẫn có câu trả lời khẳng định với những điều kiện nhất
định, chẳng hạn, M. Brodmann-A. L. Faghani [3] và K. Khashyarmanesh-Sh.
Salarian [7] đã chứng minh được rằng: AssH
t
a
(M) là một tập hữu hạn nếu
19
một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) H
i
a
(M) là hữu hạn sinh với mọi i < t (xem [3] và [7]);
(ii) Supp(H
i
a
(M)) là một tập hữu hạn với mọi i < t (xem [7] và [8]).
Trong [10], Phạm Hùng Quý đã tổng hợp hai trường hợp nói trên như sau:
Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Xét t là một
số nguyên không âm sao cho H
i
a

(M) là hữu hạn sinh hoặc Supp(H
i
a
(M)) là
một tập hữu hạn với mọi i < t. Khi đó AssH
t
a
(M) là một tập hữu hạn.
Như vậy, tập hợp AssH
t
a
(M) là hữu hạn nếu H
t
a
(M) là môđun đối đồng
điều địa phương đầu tiên không hữu hạn sinh và Supp(H
t
a
(M)) là không hữu
hạn. Đây là kết quả chính trong bài báo [10] của Phạm Hùng Quý. Có thể
nói, nó là một mở rộng của [3] và [7].
Mục đích chính của chương này là trình bày lại kết quả trong bài báo
[10] của Phạm Hùng Quý. Để dễ theo dõi, phần đầu của chương, chúng tôi
dành trình bày chứng minh kết quả chính của M. Brodmann-A. L. Faghani
trong [3] và của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7]. Chú ý rằng K.
B. Lorestani, P. Sahandi và T. Sharif [8] đã chứng minh lại kết quả của K.
Khashyarmanesh-Sh. Salarian trong [7] một cách đơn giản hơn. Vì thế, chúng
tôi trình bày chứng minh theo [3] và [8]. Phần tiếp theo của chương, chúng
tôi trình bày một cách chi tiết kết quả trong bài báo [10] của Phạm Hùng
Quý.

2.1 Kết quả của Brodmann-Faghani và Khashyarmanesh-
Salarian
Cho R là vành Noether, a là iđêan của R và M là một R-môđun hữu hạn
sinh. Cho t một số nguyên không âm. Kết quả chính của M. Brodmann-A. L.
Faghani trong [3] chỉ ra rằng: AssH
t
a
(M) là một tập hợp hữu hạn nếu H
i
a
(M)
là hữu hạn sinh với mọi i < t. Kết quả chính của K. Khashyarmanesh-Sh.
Salarian trong [7] là: AssH
t
a
(M) là một tập hợp hữu hạn nếu một trong các
20
điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) H
i
a
(M) là hữu hạn sinh với mọi i < t;
(ii) Supp(H
i
a
(M)) là một tập hợp hữu hạn với mọi i < t.
Bài báo [3] của M. Brodmann-A. L. Faghani ra năm 2000, nó được gửi đi vào
tháng 09 năm 1998; còn bài báo [7] của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian ra
năm 1999. Vì thế hai kết quả này là độc lập. Chứng minh trong [3] khá đơn
giản, tuy nhiên chứng minh trong [7] phức tạp hơn, phải dùng đến kỹ thuật

dãy a-lọc chính quy. Đến năm 2006, P. Sahandi và T. Sharif [8] đã chứng
minh lại kết quả (ii) của [7] đơn giản hơn rất nhiều. Vì thế chúng tôi sẽ trình
bày chứng minh hai kết quả này theo [3] và [8].
Trước hết, chúng tôi trình bày chứng minh kết quả chính của M. Brodmann-
A. L. Faghani trong [3].
2.1.1 Mệnh đề. Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho H
i
a
(M) là
hữu hạn sinh với mọi i < t và N là một môđun con hữu hạn sinh của H
t
a
(M).
Khi đó tập Ass
R
(H
t
a
(M)/N) là hữu hạn.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng qui nạp theo t. Trường hợp t = 0
thì rõ ràng H
0
a
(M) là hữu hạn sinh. Vì thế, giả sử t > 0 và
¯
M := M/Γ
a
(M).
Vì H
0

a
(
¯
M) = 0 và trong đẳng cấu tự nhiên H
k
a
(
¯
M)
∼
=
H
k
a
(M) ∀k ∈ N, chúng
ta có thể thay thế M bởi
¯
M và do đó, có thể giả thiết rằng Γ
a
(M) = 0. Do
đó tồn tại một phần tử M-chính qui y ∈ a. Bởi sự lựa chọn của N, tồn tại
n ∈ N sao cho y
n
N = 0.
Đặt x := y
n
, và áp dụng tính chất đối đồng điều vào dãy khớp ngắn
0
//
M

x
//
M
//
M/xM
//
0.
Từ đó suy ra H
l
a
(M/xM) là hữu hạn sinh với mọi l < t − 1. Hơn thế nữa, ta
có biểu đồ sau giao hoán với các dòng và các cột là khớp, trong đó δ là đồng
21
cấu nối và ε, ς là những ánh xạ tự nhiên.
H
t−1
a
(M)
ε
//
H
t−1
a
(M/xM)

δ
//
H
t
a

(M)
ς

x
//
H
t
a
(M)
||

0
//
H
t−1
a
(M/xM)/δ
−1
(N)

¯
δ
//
H
t
a
(M)/N

¯x
//

H
t
a
(M)
oo
0 0
Do Ker(δ) = ε(H
t−1
a
(M)) và N đều hữu hạn sinh, nên δ
−1
(N) cũng hữu hạn
sinh. Vì thế, theo qui nạp ta có
T := H
t−1
a
(M/xM)/δ
−1
(N)
chỉ có hữu hạn nguyên tố liên kết. Do đó ta chỉ cần chứng minh:
Ass
R
(H
t
a
(M)/N) ⊆ Ass
R
(T ) ∪ Ass
R
(N).(∗∗)

Thật vậy, lấy p ∈ Ass
R
(H
t
a
(M)/N)\Ass
R
(T ). Với h ∈ H
t
a
(M) thích hợp
chúng ta có thể viết p = N
:
R
h, do đó p = 0
:
R
ς(h). Vì p /∈ Ass
R
(T ), từ đẳng
thức cuối và dòng thứ hai của biểu đồ (*)cho thấy rằng:
p ∈ Ass
R
(¯x(ς(h))R) = Ass
R
(xhR)
Điều đó cho phép chúng ta viết p = 0
:
R
xsh với s ∈ R.

Vì xsh bị triệt tiêu bởi một lũy thừa của x nên x ∈ p. Bởi cách chọn h
ta có xsh ∈ N. Điều đó kéo theo p ∈ Ass
R
(N), và do đó bao hàm thức (**)
được chứng minh.
Định lý sau đây là kết quả chính của [3], nó được suy ra ngay từ mệnh đề
trên.
2.1.2 Định lí. Cho t một số nguyên không âm. Khi đó AssH
t
a
(M) là một
tập hợp hữu hạn nếu các môđun H
i
a
(M) là hữu hạn sinh với mọi i < t.
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 2.1.1 với N = 0.
22
Phần tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu kết quả sau: Cho R là vành Noether,
a là iđêan của R, M là một R- môđun hữu hạn sinh và t là một số nguyên
không âm. Nếu SuppH
i
a
M là tập hữu hạn với mọi i < t thì Ass(H
t
a
M) là
tập hợp hữu hạn. Đây là kết quả chính trong [7] nhưng được chứng minh lại
trong [8] một cách đơn giản hơn nên chúng tôi trình bày chứng minh theo [8].
2.1.3 Bổ đề. Giả sử M là một R-môđun a-xoắn, tức là, M =
∞

∪
n=1
(0 :
M
a
n
).
Khi đó
Ass(M) = Ass(0 :
M
a).
2.1.4 Bổ đề. Cho R là vành và M là một R-môđun. Nếu N là môđun con
của M thì
Ass(M/N) ⊆ Ass(M) ∪ Supp(N).
Đặc biệt, nếu tập Supp(N) là hữu hạn thì Ass (M/N) là hữu hạn nếu và chỉ
nếu Ass(M) là hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử p ∈ Ass(M/N)\Supp(N). Khi đó tồn tại 0 = x ∈ M
sao cho p = (N:
R
x). Suy ra px ⊆ N. Đặt

Ann(px) = ∩
n
i=1
q
i
. Khi đó tồn
tại một số nguyên dương t sao cho (q
1
q

n
)
t
px = 0. Đặt q = (q
1
q
n
)
t
. Ta có
qpx = 0 và do đó p ⊆ Ann(qx) ⊆ (N:
R
qx).
Lấy a ∈ (N:
R
qx), khi đó aqx ⊆ N. Suy ra aq ⊆ p. Nếu a /∈ p, tức là, q ⊆ p
thì q
i
⊆ p với i nào đó thỏa mãn 1 ≤ i ≤ n. Do q
i
∈ Supp(px) và px ⊆ N ta
nhận được p ∈ Supp (N) . Điều này mâu thuẫn. Vậy a ∈ p và p = Ann(qx),
do đó p ∈ Ass(qx) suy ra p ∈ Ass(M). Bổ đề được chứng minh.
2.1.5 Định lí. Cho a là iđêan của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh.
Giả sử tồn tại một số nguyên không âm t sao cho Supp(H
i
a
M) là tập hữu
hạn với mọi i < t. Khi đó Ass(H
t

a
M) là tập hợp hữu hạn.
Chứng minh. Nếu t = 0, hiển nhiên đúng. Trường hợp t = 1 đã được chứng
minh bởi Định lý 2.1.2. Giả sử rằng t > 1 và giả sử Định lý đúng đối với mọi
23
i < t. Chú ý rằng ta có thể giả thiết M là R-môđun a-xoắn tự do vì ta có
được đẳng cấu H
i
a
(M)
∼
=
H
i
a
(M/Γ
a
(M)) với mọi i ≥ 1. Do đó tồn tại một
phần tử x ∈ a là M–chính quy. Từ dãy khớp
0
//
M
x
//
M
//
M/xM =
¯
M
//

0.
ta có dãy khớp dài sau:
. . .
//
H
t−1
a
(M)
x
//
H
t−1
a
(M)
g
//
H
t−1
a
(
¯
M)
f
////
H
t
a
(M)
//
. . . .

Từ đó ta thấy rằng Supp(H
i
a
(
¯
M)) là hữu hạn với i < t − 1. Theo giả thiết
quy nạp, ta có Ass(H
t−1
a
¯
M) là hữu hạn. Hơn nữa, Supp(Img) là một tập con
của tập hợp hữu hạn Supp(H
t−1
a
(M)) theo giả thiết. Áp dụng Bổ đề 2.1.4
đối với dãy khớp
0
//
Img
//
H
t−1
a
(
¯
M)
//
Imf
//
0

ta nhận được Ass(Imf) là tập hữu hạn. Do đó áp dụng Bổ đề 2.1.3 và tính
chất Imf = (0:
H
t
a
(M)
x) ta có điều cần chứng minh.
2.2 Môđun FSF
Trong Mục 2.1, chúng tôi đã trình bày chứng minh kết quả chính của M.
Brodmann-Faghani [3] và của K. Khashyarmanesh-Sh. Salarian [7]. Có thể
tóm lược các kết quả này thông qua định lý sau.
2.2.1 Định lí. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và là t một số nguyên
không âm. Khi đó AssH
t
a
(M) là một tập hợp hữu hạn nếu một trong các điều
kiện sau được thỏa mãn:
(i) H
i
a
(M) là hữu hạn sinh với mọi i < t.
(ii) Supp(H
i
a
(M)) là một tập hợp hữu hạn với mọi i < t.
24
Trong bài báo [10], tác giả Phạm Hùng Quý đưa ra kết quả tổng hợp cho
định lí nói trên. Để làm được điều này, Phạm Hùng Quý đã giới thiệu một
lớp môđun gọi là môđun FSF.
2.2.2 Định nghĩa. Một R-môđun M được gọi là môđun F SF nếu tồn tại

một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho Supp(M/N) là một tập hữu
hạn.
2.2.3 Mệnh đề. Giả sử
0 → M
1
→ M → M
2
→ 0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó M là môđun FSF nếu và chỉ nếu
M
1
và M
2
là các môđun FSF.
Chứng minh. Nếu M là môđun F SF thì ta dễ dàng chứng minh rằng các
môđun M
1
và M
2
cũng là F SF .
Giả sử M
1
và M
2
là các môđun F SF . Gọi N
1
và N
2
là các môđun con hữu
hạn sinh của M

1
và M
2
, tương ứng, sao cho Supp(M
1
/N
1
) và Supp(M
2
/N
2
)
là tập hợp hữu hạn. Ta có thể giả sử rằng M
1
là một môđun con của M và
M
2
là môđun thương của M. Xét các phần tử x
1
, x
2
, . . . , x
n
và y
1
, y
2
, . . . , y
m
cuả M sao cho x

1
, x
2
, . . . , x
n
là các phần sinh của N
1
và y
1
, y
2
, . . . , y
m
là các
phần sinh của N
2
trong M
2
= M/M
1
, ở đây ta kí hiệu y = y + M
1
. Gọi N
là môđun con của M sinh bởi x
1
, x
2
, . . . , x
n
, y

1
, y
2
, . . . , y
m
. Ta có N là hữu
hạn sinh, và khẳng định Supp(M/N) là một tập hữu hạn được suy ra từ dãy
khớp
M
1
/N
1
→ M/N → M
2
/N
2
→ 0.
Vậy M là môđun FSF.
Từ mệnh đề trên ta suy ra ngay hệ quả sau.
2.2.4 Hệ quả. Nếu M là môđun FSF thì môđun con và môđun thương của
M cũng là môđun FSF.
25
2.2.5 Chú ý. (i). Từ định nghĩa ta thấy ngay nếu M là F SF thì AssM là
tập hữu hạn.
(ii). Nếu M là môđun Noether hoặc môđun Artin thì M là môđun FSF.
2.3 Về chứng minh kết quả chính của Phạm Hùng
Quý [10]
2.3.1 Bổ đề. Cho M là một R-môđun FSF và N là một R-môđun hữu hạn
sinh. Khi đó Ext
i

R
(N, M) và T or
R
i
(N, M) là các môđun FSF với mọi i ≥ 0.
Chứng minh. Trước hết ta sẽ chứng minh tính FSF của Ext
i
R
(N, M). Vì M
là FSF, nên tồn tại một dãy khớp ngắn
0
//
M
1
//
M
//
M
2
//
0,
với M
1
là hữu hạn sinh và Supp(M
2
) là hữu hạn. Dãy khớp trên cảm sinh
các dãy khớp
Ext
i
R

(N, M
1
)
//
Ext
i
R
(N, M)
//
Ext
i
R
(N, M
2
)
với mọi i ≥ 0. Do N và M
1
là các môđun hữu hạn sinh và Supp(M
2
) là một
tập hữu hạn, ta có Ext
i
R
(N, M
1
) là hữu hạn sinh Supp(Ext
i
R
(N, M
2

)) là hữu
hạn. Nên Ext
i
R
(N, M) là FSF với mọi i ≥ 0.
Tính FSF của Tor
R
i
(N, M) được chứng minh tương tự.
2.3.2 Bổ đề. Cho a là một iđêan của vành R và M là một R-môđun FSF.
Giả sử t là một số nguyên không âm sao cho H
i
a
(M) là FSF với mọi i < t.
Khi đó Hom
R
(R/a, H
t
a
(M)) là FSF.
Chứng minh. Ta chứng minh Hom
R
(R/a, H
t
a
(M)) là FSF bằng quy nạp theo
t. Trường hợp t = 0 là hiển nhiên do Hom
R
(R/a, H
0

a
(M)) ⊆ M. Xét t > 0
và đặt M = M/H
0
a
(M). Khi đó M là FSF theo Mệnh đề 2.2.3, H
0
a
(M) = 0,