He doi xung dang cap

Bài số 2. HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU II VÀ HỆ ĐẲNG CẤP
I. HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2
A. PHƯƠNG PHÁP
Hệ đối xứng loại 2 có đặc trưng nếu thay x bởi y, y bởi x thì phương trình này trở
thành phương trình kia và ngược lại
 f1 ( x; y ) = 0
 f1 ( x; y ) − f 2 ( x; y ) = 0
⇔


Hpt :  f 2 ( x; y ) = 0  f 2 ( x; y ) = 0
 x = y & f 2 ( x; y ) = 0
( x − y ) F ( x; y ) = 0
⇔
⇔
 f 2 ( x; y ) = 0
 F ( x; y ) = 0 & f 2 ( x; y ) = 0
Trong đó F(x;y) là biểu thức đối xứng của x,y.
*Chú ý:
i) Có thể ta phải đặt ẩn phụ thì hpt mới có dạng đối xứng, nhưng khi đó ta cần lưu ý
đến điều kiện của ẩn phụ.
ii) Nếu các ẩn x,y có cùng một điều kiện thì thay vì giữ nguyên phương trình
(2) ta nên cộng hai phương trình lại với nhau để đưa hệ hai về dạng đối xứng loại
1.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA :
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 x + y − 1 = 3

2 y + x − 1 = 3
Hướng dẫn giải:

Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ 1 .
Đặt: X = x − 1;Y = y − 1( X , Y ≥ 0) , ta có hệ:

2( X 2 + 1) + Y = 3  2 X 2 + Y = 1(1)
⇔ 2

2
2(Y + 1) + X = 3  2Y + X = 1(2)
Lấy (1) trừ(2) vế theo vế:
2( X 2 − Y 2 ) − ( X − Y ) = 0 ⇔ ( X − Y )(2 X + 2Y − 1) = 0
X = Y
⇔
 2 X + 2Y − 1 = 0
i)
Với X=Y, thay vào (2) ta có:
1
5
2 X 2 + X − 1 = 0 ⇔ X = (vì X ≥ 0) ⇔ x = y =
2
4
1
ii)
Với 2 X + 2Y − 1 = 0 ⇔ Y = (1 − 2 X ) , thay vào (1) ta có:
2


Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP



1+ 5
1− 5
⇒Y =
(l )
X =
4
4
2
4X − 2X −1 = 0 ⇔ 

1− 5
(l )
X =

4
5 5
Vậy hệ có nghiệm  ; ÷.
4 4
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình:
 y 2 = x 3 − 3 x 2 + 2 x(1)
 2
3
2
 x = y − 3 y + 2 y (2)
Hướng dẫn giải:
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
y 2 − x 2 = x3 − y 3 − 3( x 2 − y 2 ) + 2( x − y )
⇔ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 − 2 x − 2 y + 2) = 0
1

⇔ ( x − y )  x 2 + y 2 + ( x + y − 2) 2  = 0 ⇔ x = y
2
(vì x 2 + y 2 + ( x + y − 2)2 > 0)
Thay x=y vào (1) ta được:
x 3 − 4 x 2 + 2 x = 0 ⇔ x( x 2 − 4 x + 2) = 0
x = 0
x = 0
⇔ 2
⇔
 x − 4x + 2 = 0
x = 2 ± 2
Vậy hệ có 3 nghiệm: (0;0);(2 + 2;2 + 2);(2 − 2;2 − 2) .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
 x 2 − 2 y 2 = 2 x + y (1)
 2
2
 y − 2 x = 2 y + x (2)

Hướng dẫn giải:
Trừ từng vế cua phương trình (1) cho (2) ta có:
x2 – y2 – 2y2 + 2x2 = 2x – 2 y+ y– x
⇔ 3( x 2 − y 2 ) = x − y
⇔ ( x − y )(3 x + 3 y − 1) = 0
 x− y =0
⇔
3 x − 3 y − 1 = 0
 x= y
⇔
 y = 1 − 3x
3


Thay vào phương trình (1) ta có:
TH1: x = y ⇔ x2 – 2x2 = 3x ⇔ x ( x+3) = 0
Trang 2


Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP
 x=0⇒ y =0
⇔ 
 x = −3 ⇒ y = −3

1 − 3x
TH2: y =
3

2

1 − 3x 
1 − 3x
⇔ x 2 − 2 
÷ = 2x +
3
 3 
2
2
⇔ 9 x − 2(1 − 6 x + 9 x ) = 18 x + 3 − 9 x

⇔ 9 x 2 − 3x + 5 = 0 ⇔ x ∈ ∅

Vậy x = y = 0 hoặc x = y = -3

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
 x2 − 2x + 5 = 4 y
 2
x − 2 y + 5 = 4x
Hướng dẫn giải:

 x2 − 2x + 5 = 4 y
 2
x − 2 y + 5 = 4x
( x 2 − y 2 ) − 2( x − y ) = −4( x − y )

⇔

x2 − 2x + 5 = 4 y

( x − y )( x + y + 2) = 0
⇔
2
 x − 2x + 5 = 4 y

x− y =0
 2
x − 2x + 5 − 4 y = 0
⇔
 x + y + 2 = 0
 2
  x − 2 x + 5 − 4 y = 0

x− y =0
x=y


⇔ 2
 2
x − 2x + 5 − 4x = 0
 x − 2x + 5 − 4 y = 0
x= y

TH1: ⇔  2
 x − 6 x + 5 = 0 (a+b+c=0)

TH2:


x=y
x = y =1
⇔
⇔
x = y = 5
 x = 1 hay x=5
 x+ y+2=0
⇔ 2
x − 2x + 5 − 4 y = 0

 y = −2 − x
 y = −2 − x
 x ∈∅
⇔ 2
⇔
⇔
2

 y = −2 − x
 x + 2 x + 13 = 0
( x + 1) + 12 = 0

Hệ phương trình vô nghiệm
x =1
hay
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 
y =1

x = 5

y = 5

Trang 3


Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP
 x 2 = my − 1 (1)
Ví dụ 5: Giải và biện luận theo m hệ phương trinh sau:  2
 y = mx − 1 (2)

Giải:
Lấy (1) – (2) ta được:
⇒ ( x − y )( x + y ) = m( x + y )
 y=x
⇒ ( x − y )( x + y + m) = 0 ⇒ 
 y = −x − m
TH1: y = x
(1) ⇒ x 2 − mx + 1 = 0 (∆ =m 2 − 4)

Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ m ≥ 4

(1)

– (2)

Khi đó hệ có nghiệm x = y =

m + m2 − 4
m − m2 − 4
= α và x = y =
= β (*)
2
2

TH2: y = -x – m
(1)

⇒ x 2 + mx + m 2 + 1 = 0
∆ = m 2 − 4( m 2 + 1) = −3m 2 − 4 < 0

Phương trình vô nghiệm
Vậy
m ≥ 2 : (α ; α ) , (β ;β ) như trên
•
m < 2 : vô nghiệm
•
 x 2 + 2 xy − y = mx (1)
 2
 y + 2 xy − x = my (2)

Ví dụ 6: Giải và biện luận theo m hệ:

GIẢI
Trừ từng vế hai phương trình ta được :


x= y

(x – y)(x + y – m +1) =0 ⇔ 
x + y − m +1 = 0
Thay x = y vào (1) ta được nghiệm

m +1
3
⇔
y
=
m
−
1
−
x
Thay x + y –m + 1=0
, thay vào (1):
2
∆
=
(
m

−
1)( m − 5)
x − (m − 1) x + m − 1 = 0 có

x = y = 0 hay x = y =

Biện luận theo m biệt số ∆ để suy ra nghiệm x và y
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 x 2 = 3x + 2 y
Bài 1/ Giải hệ phương trình sau: a)  2
 y = 3 y + 2x

ĐS: (0; 0) , (5;5) , (2;-1) , ( −1; 2)

 x3 = 2 x + y
a
)
Bài 2/ Giải hệ phương trình sau:
 3
y = 2y + x

ĐS: (0;0) , (1;-1) , (-1;1) , ( 3; 3) ; (- 3; − 3)
Trang 4


Bi 2: H I XNG KIU 2 V H NG CP
1
2
x
+

y
+
= 0 (1)

4
Bi 3/ Gii h phng trỡnh sau: a)
x + y 2 + 1 = 0 (2)

4
1
2

1
2

S: ( ; )
x = y 2 2
Bi 4/ Gii h phng trỡnh: a)
2
y = x 2
x 3 = 5 x + y
b) 3
y = 5 y + x

Bi 5/ Gii h phng trỡnh:

1 3

2 x + y = x
a)

2 y + 1 = 3

x y

x3 = 3 x + 8 y
b) 3
y = 3 y + 8 x


y2 + 2
3
y
=

x2

Bi 6/ Gii hpt sau:
a)
( S: x = y = 1 )
2
3 x = x + 2

y2
3

x +1 = 2 y
b)
3
(
S

y +1 = 2x
1 + 5 1 + 5 1 5 1 5
;
;
( 1;1) ,
ữ,
ữ)
2
2 ữ
2
2 ữ



2
2
x 2 y = 2 x + y (1)
Bi 7 : Gii h 2
(x = y = 0 hoc x = y = -3)
2
y 2 x = 2 y + x (2)
x =1
x2 2x + 5 = 4 y
x = 5
hay
Bi 8 Gii h phng trỡnh sau: 2
S:
y = 5
x 2 y + 5 = 4x

y =1
2 x + y 1 = 3
5 5
Bi 9: Gii h phng trỡnh:
S: ; ữ
4 4
2 y + x 1 = 3
y 2 = x 3 3 x 2 + 2 x (1)
Bi 10: Gii h phng trỡnh: 2 3
2
x = y 3 y + 2 y (2)
H cú ba nghim ( 0; 0 ) ; (2+ 2; 2 + 2) ; (2 2; 2 2)

:

Baứi 11: Giaỷi caực heọ phửụng trỡnh:
2
x + 2 y = x
1/ 2
y + 2 x = y

x 2 = 13 x + 4 y

3/ 2

y = 13 y + 4 x
3
x = 2 x + y
5/ 3
y = 2 y + x

2
x = 2 y
2/ 2
y = 2 x

2 x = y 2 4 y + 5

4/
2

2 y = x 4 x + 5
x 2 = 3x + 2 y

6/ 2

y = 3y + 2x

Trang 5


Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP

x − 2 y = 2x + y
7/  2
2

 y − 2x = 2 y + x
2


 x + y = 2 xy
9/  2

 y + x = 2 xy
2

2

3
2

x + y = 2 y
11/  3 2

 y + x = 2x

1
 2
 2 x = y + y
13/ 
2 y 2 = x + 1

x

2
2

x − 2 y = 7x
8/  2
2


 y − 2x = 7 y
2

 x + y = 20
10/  2

 y + x = 20
3

 2 x + y = x 2
12/ 
 2 y + x = 32
y


 x 3 = 3x + 8 y + m
13/  3
với m
 y = 3 y + 8 x + m

= 0 và m = 10
2
2

x y + 2 = y
14/  2
2

 xy + 2 = x

 x2 + 1 = 3 y

16/  2

 y + 1 = 3x
2 x 2 − 3x = y 2 − 2
18/  2
2
2 y − 3 y = x − 2
y
 2
 x = 2 + 7 x
20/ 
 y2 = 2 + 7 x
y

 x = 4 x + y
3
 y = 4 y + x
3

22/ 

2 x + x y = 24

2
2

 xy + 2 y = 24

3

2

24/ 

3
2

 x − 4 x y = −3
26/  3
2

 y − 4 y x = −3
2
2
2

 x = y + 7 x − 20 x
28/  2 2
2

 y = x + 7 y − 20 y

2 2
2

x y = 2x + y
15/  2
2


 xy + 2 x = 1
y

 x − 3 y = 4 x
17/ 
 y − 3x = 4 x
y

3

x = x + 3y
19/  3

 y = y + 3x

 x3 = 3x + 2 y

21/  3

 y = 3y + 2x


7 x + y −
23/ 
x + 7 y −


8
=0

x2
8
=0
y2

56

6 x + y − x 2 = 0
25/ 
 x + 6 y − 562 = 0
y

 y 2 = x 3 − 4 x 2 + 7 x
27/  2 3
2
 x = y − 4 y + 7 y

Bài 12: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3
2
2

 x = y + 7 x − mx
 3
2
2

 y = x + 7 y − my

Trang 6

Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP
a

7 x + y − x 2 = 0
Bài 13: Cho phương trình sau: 
3
7 y + x − a = 0

y2

Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhất với
mọi a.
Bài14 : Giải và biện luận theo m của hệ phương trình:
2
 x + 2 xy − y = mx
 2
 y + 2 xy − x = my

Bài 15: Trong hệ sau đây hãy xác đònh a để hệ có
 y 2 = x3 − 4 x 2 + ax

nghiệm duy nhất:  2 3
2

 x = y − 4 y + ay

II. HỆ ĐẲNG CẤP
A. PHƯƠNG PHÁP

a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1
Hệ đẳng cấp bậc 2 có dạng:  2
2
a2 x + b2 xy + c2 y = d 2
Xét xem x =0 (hay y=0) có thể là nghiệm của hpt khơng?
Với x ≠ 0(hay y ≠ 0). Đặt y=tx(hay x=ty), ta có:
 x 2 (a1 + b1t + c1t 2 = d1
 2
2
 x (a2 + b2t + c2t = d 2
Chia hai vế của 2 pt ta được 1 pt bậc hai theo ẩn t, từ đó tính x và suy ra y.
Chú ý: Đối với hệ pt đẳng cấp bậc ba ta cũng thực hiện tương tự.
A.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1:Giải hệ phương trình
 x 2 − xy + y 2 = 1
 2
2
2 x − 3xy + 4 y = 3
Hướng dẫn giải:
_Ta thấy x=0 khơng thoả hệ
_Với x ≠ 0 , đặt y=tx, thay vào hệ ta được
 x 2 (t 2 − t + 1) = 1(1)
 2 2
 x (2t − 3t + 4) = 3(2)

Lấy (1) chia (2) ta được 3(t 2 − t + 1) = 2t 2 − 3t + 4 ⇒ t = ±1
Với t=1, ta có x 2 = 1 , suy ra hệ có nghiệm: (1;1);( −1; −1)
Trang 7

Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP

1
 1 −1   −1 1 
2
;
;
Với t=-1 ta có x = , suy ra hệ có nghiệm 
÷; 
÷
3
 3 3  3 3

 3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  2
2
 x + 2 xy + 3 y = 17
Hướng dẫn giải:
Ta thấy x=0, y=0 không thoả hệ phương trình, nói cách khác hệ phương rình
không có nghiêm x =0 Đặt x = ky và thay vào hệ ta được:
 y 2 (3k 2 + 2k + 1) = 11 (1)
 2 2
 y (k + 2k + 3) = 17 (2)
⇒

3k 2 + 2k +1 11
=
( k 2 + 2k + 3 ≥ 0)
2

k + 2k + 3 17

⇔ 51k 2 + 34k + 17 = 11k 2 + 22k + 33
⇔40k 2 +12k −16 = 0

4

k
=
−

5
⇔
k=1

2
Thay vào (1) ta được:

k= −

4
5

⇒y 2 =

25
3

5


y
=
⇒ x=−

3
⇔
5

y
=
−
⇒ x=

3


k=

4
3
4
3

1
⇒ y2 = 4
2
 y = 2 ⇒ x =1
⇔ 
 y = −2 ⇒ x = −1

5 
 4 5   4
;
;−
ĐS:  −
÷; 
÷; ( 1; 2 ) ; ( −1; −2 )
3
3
3
3

 

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

3x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38
 2
2
 5 x − 9 xy − 3 y = 15

Hướng dẫn giải:
Ta thấy x=0, y=0 không thoả hệ phương trình, nói cách khác hệ phương trình
không có nghiêm x =0. Đặt x = ky và thay vào hệ ta được:
Trang 8


Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP
3 x + 5tx − 4t 2 x 2 = 38
 2

2
2 2
 5 x − 9tx − 3t x = 15
2

2

 x 2 (3 + 5t − 4t 2 ) = 38 (1)
⇔ 2
2
 x (5 − 9t − 3t ) = 15 (1)
1

t
=

3 + 5t − 4t 38
3
⇒
= ⇔ 54t 2 + 417t − 145 = 0 ⇔ 
2
5 − 9t − 3t 15
 t = − 145

18
1
 x = 3 ⇒ y =1
Với t= 3 thì (2) ⇔ x2 = 9 ⇔ 
 x = −3 ⇒ y = −1
2

Với t = −
x = 3

145
15.108
thì (2) ⇔ x2 = −
: Phương trình vô nghiệm
18
12655

 x = −3

Vậy  y = 1 hay  y = −1


Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:

 x 2 + 6 y 2 − 5 xy = 0
 2
 4 x + 2 xy + 6 x − 27 = 0

Hướng dẫn giải:
Ta thấy x=0, y=0 không thoả hệ phương trình, nói cách khác hệ phương trình
không có nghiêm x =0 Đặt x = ky và thay vào hệ ta được:
 x 2 + 6t 2 y 2 − 5tx 2 = 0
 2
2
 4 x + 2tx + 6 x = 27
 

1
t=
 
  2 2 2
  4 x + x + 6 x = 27
⇔ 
1

x=


3

2
  4 x 2 + x 2 + 6 x = 27
3
 

 x 2 (1 + 6t 2 − 5t ) = 0
 6t 2 − 5t + 1 = 0
⇔
⇔ 2
 2
2
2
 4 x + 2tx + 6 x = 27
 4 x + 2tx + 6 x = 27

3


1
x = −3 ⇒ y = −
 

t=
2

⇔
2
9
9
  5 x 2 + 6 x − 27 = 0 
x= ⇒ y=
 
5
10

⇔
1

t=

3
 
 1± 5 

2
÷÷
 14 x + 18 x − 81 = 0 ⇔ x = − 9. 
 

 14 

 1 ± 15 
⇒ y = −3. 
÷
÷
 14 
 1 ± 15     −1 ± 5 
 1 ± 15    9 9 
3    −1 ± 5 

ĐS:  −3; − 2 ÷;  9  14 ÷÷; −3  14 ÷÷÷÷;  −9  14 ÷÷; −3  14 ÷÷÷÷;  5 ; 10 ÷

  



  


 
2
 2
Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì hệ: 3x + 2 xy + y = 11

2
2

 x + 2 xy + 3 y = 17 + m có nghiệm

GIẢI
Vì x = 0, y = 0 không là nghiệm của hệ nên đặt: y = kx, hệ trở thành:
Trang 9


Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU 2 VÀ HỆ ĐẲNG CẤP
 x 2 ( 3 + 2k + k 2 ) = 11

 2
2
 x ( 1 + 2k + 3k ) = 17 + m

( 1)
( 2)

Chia (1) cho (2) ta được:

( 17 + m ) ( 3 + 2k + k 2 ) = 11( 1 + 2k + 3k 2 )
⇔ ( m − 16 ) k 2 + 2 ( m + 6 ) k + 3m + 40 = 0 ( 3 )
2
Ta có: 3 + 2k + k > 0, ∀k ⇒ ( 1) luôn có nghiệm x.
Xét :

m − 16 = 0 ⇔ m = 16

( 3) ⇒ 44k + 88 = 0 ⇔ k = −2
Vậy m = 16 ( nhận)
Xét m ≠ 16 :
m ≠ 16
∆ ' ≥ 0

(3) có nghiệm k ⇔ 

m ≠ 16
m ≠ 16
⇔
⇔

2
2
−m + 10m + 338 ≥ 0
( m + 6 ) − ( m − 16 ) ( 3m + 40 ) ≥ 0
⇔ 5 − 11 3 ≤ m ≤ 5 + 11 3 ⇒ hệ có nghiệm.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1/ Giải các hệ phương trình sau:
 x 2 − 3 xy + y 2 = −1
;
a)  2
2
3
x
−
xy
+
3
y
=
13


ĐS:

2 x 2 − 4 xy + y 2 = −1
;
b)  2
2
3
x
+
2
xy
+
2
y
=
7


a ) (1;2) ; ( 2;1) ; ( −1; −2 ) ; ( −2; −1)

 y 2 − 3 xy = 4
c)  2
2
 x − 4 xy + y = 1

17  
9
17 
 9

b) ( 1;1) ; ( −1; −1) ; 
;
;−
÷;  −
÷
161 
 161 161   161
c) ( 1; 4 ) ; ( −1; −4 )

Bài 2/ Giải các hệ phương trình:
3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38
a)  2
;
2
 5 x − 9 xy − 3 y = 15
 2 x 2 − xy + 3 y 2 = 13
 2
2
 x + 4 xy − 2 y = −6
a ) ( 3;1) ; ( −3; −1)
ĐS:

 x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9
b)  2
;
2
 x − 4 xy + 5 y = 5

5 2 2   5 2
b) ( 3; 2 ) ; ( −3; −2 ) ; 

;
÷
÷;  − 2 ; −
2
2

 
25  
4
 4
;
;−
c) ( −2;1) ; ( 2; −1) ; 
÷;  −
 139 139   139

Trang 10

c)

2
÷
2 ÷


25 
÷.
139 