Hai duong thang vuong goc-02

uu
r
b
uu
r
b

Về góc giữa 2 vectơ

(
(
(
 (

)
)
)
)

A

B

Trắc nghiệm

Cho tam giác đều ABC
có đường cao là AH
Hệ thức nào sau đây là sai?
uuu uuu
r r

AB,BC = 1200
A
uuu uuu
r r
CA,CB = 600
B
uuu uuu
r r
AH,CB = 900
C
uuu uuu
r r
BA, AC = 600
D

uu
r
a

•
O
A

B

H

C

uu uu ur
r r u
Cho a , b ≠ 0
uu uu uu uu
r r
r r
uu uu
r r
a . b = a . b .cos a , b

Về tích vô hướng
của 2 vectơ

(

Trắc nghiệm

)

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng uuu
a.r
uuu
r
Tích vô hướng của hai vectơ AB và BClà

A


C

a

2

-a
2

B
2

-a

A

2
2

D

a
2

B

C


I

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

II

NỘI DUNG
BÀI

III
IV

Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC


I

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN

1

Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghóa

uu
r
u

Trong không gian
uu

r
uu
r
cho u và v là hai vectơ
khác vectơ - không

uu
r
u

Lấy một điểm A bất kì,
gọi B và Crlà 2 điểm sao
uuuu uu uuuu uu
r
r r
cho AB = u , AC = v

A•

uu
r
v
C

uu
r
v

·
Khi đó ta gọi góc BAC

·
(00 ≤ BAC ≤ 1800 )

là góc giữa 2 vectơ trongr
uu uu
r
không v
u,
gian, kí hiệu:

(

B

)


I

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN

1

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Cho tứ diện đều ABCD
có H là trung điểm của
cạnh AB. Hãy tính góc

giữa các cặp vectơ sau
đây:
uuuu
r
uuuu
r
a) AB và BC

uuuu
r
uuuu
r
b) CH và AC

GIẢI

A
H•
B

D
C

uuuu uuuuur
uuuur uuuuu
r
r
b) Lấy A” sao cho AB = BA' A’
a)
A’ sao cho AC = CA"

(

Ta coù

uuuu uuuu
uuuu uuuu
r
uuuur uuuur
r
r
uuuuu uuuuur
r
·
CH AC = CH BC
AB ,, BC = BA' , CA" ==·HCA" = 150 0
CBA' = 1200

) (

))

A”


I

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN

2 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghóa
uu
r
uu
r
Trong không gian cho hai vectơ u và v
đều khác vectơ - không
uu
r
uu
r
Tích vô hướngr a 2 vectơ u và v là một số, kí
uu uucủ
r
u ,được xác định bởi công thức:
.v
hiệu là

uu uu uu uu
r r
r r
uu uu
r r
u . v = u . v .cos u , v

(
ur
u

)

uu uu
r r
uu ur
r u
uu
r
Trường hợp: u = 0 hoặc u = 0 ta quy ước u . v = 0
Ứng dụng
uu uu uu 2
r r
r
uu
r
uu 2
r
Tính độ dài vectơ u . u = u ⇒ u = u
uu uu
r r
uu uu
r r
uu uu
r r
u.v
r r
Tính góc 2 vectơ cos u , v = uu uu ⇒ goùc u , v
u. v

(

)

(

)


I

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN

2 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Ví dụ 1

Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC
đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọr M là trung
i
uuuu
uuur
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC

GIẢI

Ta có

uuur uuu uuur uuu
r
r

uuur uuu
r OMBC OMBC uuur uuu
r
.
.
=
= OMBC
.
cos OM, BC =
OM.BC
2

(

)

uuur uuu
r
OMBC =
.

. 2
2 uuu uuu
r
r
r
1 uuur uuu

(

)(

)

OA + OB . OC − OB
2
r r
r r
r r
r
1 uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu 2
= OA.OC − OA.OB + OB.OC − OB
2
1
= -

(

)

2
uuur uuu
r
uuur uuu
r
1
cos OM, BC = - ⇒ OM, BC = 1200
2

(

)

(

)

C

B
O

•
A

M


I

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG
GIAN

2 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Bài toán

Cho uuuu lập phương ABCD.A’B’C’D’uuuu
hình uuu
uuu uuu
r

r
r
r
r
tích các r
theo AA'
AB, AD,3
uuuu a)rHãy phânAC' và BDvectơ r
r uuu
uuuu
uuu
vectơ cos AC',BD
b) Tính
AC' và BD
và từ đó suy ra
vuông góc nhau

(

)

GIẢI

a) Theo r uuu tắc r uuuu hộp
quyr uuuhình
uuuu
r
ta có AC' = AB + AD + AA'
Theor uuu tắc 3 điểm
quy uuu

uuu
r
r
ta có BD = AD − AB

D
A

C
B

uuuu uuu
r r uuu uuu uuuu uuu uuu
r
r
r
r
r
b) AC'.BD = AB + AD + AA' . AD − AB

(

=

)(

0

uuuu uuu
r r

uuuu uuu
r r
AC'.BD
cos AC',BD =
=0
AC'.BD
uuuu uuu
r
r
⇒ AC' ⊥ BD

(

)

)
D’

A’

C’
B’


II

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Định nghóa

uu
r
Vectơ a khác vectơ-không

được gọi là vectơ chỉ phương
của đường uu ng d nếu giá
thẳ
r
của vectơ a song song hoặc
trùng với đường thẳng d

r
2.a

d

uu
r
a
r
−3a

2 Nhận xét

uu
r
a là vectơ chỉ phương của d

r
thì vectơ k a với k ≠ 0

a) Nếu
cũng là vectơ chỉ phương của d
b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được
xác địnhuu u biết một điểm A thuộc d và vectơ chỉ
nế
r
phương a của nó
c) Hai đường thẳng song song nhau khi và chỉ khi chúng
là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ
phương cùng phương


III

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

1 Định nghóa
Góc giữa hai đường thẳng
a, b trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a’, b’
cùng đi qua một điểm và lần
lượt song song với a, b
2 Nhận xét

a

b
a’
•

O

b’

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta có thể lấy
điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ
đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại
uu uu
r r
b)Nếu u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của 2 đường
uu uu
r r
thẳng a,b và u , v = α thì :

(

)

+Góc giữa hai đườngthẳng a, b là α nếu 00 ≤ α ≤ 900
+Góc giữa hai đườngthẳng a, b là 1800 − α nếu 900 < α ≤ 1800


III

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Hãy tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây: a)
AB và B’C’
b) AC và B’C’

c) A’C’ và B’C
GIẢI

uuu uuuu
r
r
uuu uuu
r r
a) AB,B'C' = AB, AD = 900

(

) (

)

⇒ Goùc giữa 2 đường thẳng
AB,B'C' bằng 900

uuu uuuu
r
r
uuu uuu
r r
b) AC,B'C' = AC,BC = 45 0

(

) (

)

D
A

C
B

⇒ Góc giữa 2 đường thẳng
AC,B'C' bằng 45 0
uuu uuur
r u
c) AC,B'C = 600

(

)

⇒ Góc giữa 2 đường thẳng A’
AC,B'C bằng 600

D’

C’
B’


III

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Ví du 2

Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a
và BC = a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC

GIẢI
uuu uuu uuu
r
r
r
uuu uuu
r r
SA + AC .AB
uuu uuu
r r SC.AB
cos SC, AB =
=
SC.AB
a.a
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
SA.AB + AC.AB
=
a2
uuu uuu
r r
Tam giác ABC vuông tại A ⇒ AC.AB = 0
uuu uuu

r r
Tam giác SAB đều ⇒ SA.AB = 1200 A

(

(

)

)

(

)

C

)

(

a

)

uuu uuu
r r
a2
⇒ Cos SA, AB = 2
uuu uuu

r r
uuu uuu
r r
1
⇒ Cos SC, AB = - ⇒ SC, AB = 1200
2

(

S

(

)

a 2
B


IV

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1 Định nghóa
Hai đường thẳng được gọi
là vuông góc với nhau nếu
góc giữa chúng bằng 90o
Nếu a vuông góc b ta
hiệu a ⊥ b

b

kí
a

2 Nhận xét

uu uu
r r
a) Nếu u , v lần lượt là vectơuu phương của hai đường
uu chỉ
r r
thẳng a, b thì a ⊥ b ⇔ u . v = 0
b) Cho 2 đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng
vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với
đường thẳng kia
c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau
hoặc chéo nhau


IV

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Ví dụ 3
Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD . Gọi P và Q lần lượt
là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là
hai đường thẳng vuông góc với nhau

GIẢI

uuu uuu uuu uuur
r
r
r
Ta có PQ = PA + AC + CQ
uuu uuu uuu uuu
r
r
r
r
vaøù PQ = PB +BD +DQ
uuu uuu uuu
r
r
r
do đó 2PQ = AC +BD
uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r r
r r
r r
⇒ 2PQ.AB = AC.AB +BD.AB = 0 B
uuu uuu
r
r
⇒ PQ ⊥ AB ⇒ PQ ⊥ AB

A
P•
D
•

C

Q


IV

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài toán
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của
hình lập phương đã cho và vuông góc với:
a) Đường thẳng AB
b) Đường thẳng AC
GIẢI
D
a) BC, AD, A’D’, B’C’,
AA’, BB’, CC’, DD’, AD’,
A’D, BC’, B’C
b) AA’, BB’, CC’, DD’,
BD, B’D’, B’D, BD’

A

C
B

D’

A’

C’
B’


Trong hình lập phươnguuu uuu
ABCD.EFGH có
r r
cạnh bằng a. Ta có AB.EG bằng:


a

a

2

b

2

a 2
2

c

2

a 3

d

a 2
2


Nhắc lại trọng tâm đã học ?
  Góc giữc phần 2 đường không vuông góc
Xem trướ a 2 vectơ trong thẳ ng gian
  Tích vô hướng củ7 2 vectơ trong không
Làm bài tập 1, 2, 4, a SGK trang 97, 98
gian
 Vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng
 Góc giữa 2 đường thẳng
 Hai đường thẳng vuông góc